積分によって定義される特殊関数
積分学
において 、 楕円積分 は、特定の積分の値として定義される一連の関連関数の 1 つであり、 ジュリオ・ファニャーノ と レオンハルト・オイラー ( 1750 年頃) によって初めて研究されました。楕円積分の名前は、 楕円 の弧の 長さを 求める問題に関連して最初に登場したことに由来しています 。
現代数学では、「楕円積分」を、 次の形式で表現できる
関数 fと定義しています。
ふ （ x ） =
∫
c
x
R
（
t 、
ポ （ t ）
）
d t 、
{\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R{\left({\textstyle t,{\sqrt {P(t)}}}\right)}\,dt,}
ここで、 R は2 つの引数の 有理関数 、 P は 重根を持たない 3 次または 4 次多項式、 c は 定数です。
一般に、この形式の積分は、初等関数 で表現することはできません 。この一般規則の例外は、 P が 重根を持つ場合、 R ( x 、 y )が y の奇数乗を含まない場合 、または積分が擬楕円である場合です。ただし、適切な 簡約式を使用すると、すべての楕円積分を、有理関数上の積分と 3 つの ルジャンドル標準形式 (第 1 種、第 2 種、第 3 種の楕円積分とも呼ばれる) を
含む形式にすることができます。
以下に示すルジャンドル形式の他に、楕円積分は カールソン対称形式でも表すことができます。楕円積分の理論に対するさらなる洞察は、 シュワルツ-クリストッフェル写像 の研究を通じて得られます 。歴史的に、 楕円関数は 楕円積分の逆関数として発見されました。
引数表記 不完全楕円積分は 2 つの引数の関数です。 完全楕円積分は 1 つの引数の関数です。これらの引数は同じ楕円積分を与えるため、さまざまな異なる方法で表現されますが、どれも同等です。ほとんどのテキストは、次の命名規則を使用した標準的な命名スキームに準拠しています。
1つの引数を表現する場合:
α 、 モジュラー角 k = sin α 、 楕円率 または 離心率 m = k 2 = sin 2 α 、 パラメータ 上記の 3 つの量はそれぞれ、他の量によって完全に決定されます (負でない場合)。したがって、これらは互換的に使用できます。
他の引数も同様に 振幅 φ 、 または x または u として表すことができます。ここで、 x = sin φ = sn u であり、 sn は ヤコビ楕円関数 の 1 つです 。
これらの量のいずれかの数値を指定すると、他の数値も決まります。u は m にも依存することに注意してください。u に関連する その他 の関係には次のもの があります。
コス φ = 中国語 あなた 、
そして
1 − メートル
罪
2
φ
= いいえ あなた 。
{\displaystyle \cos \varphi =\operatorname {cn} u、\quad {\textrm {および}}\quad {\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatorname {dn} u。}
後者は デルタ振幅と呼ばれることもあり、 Δ( φ ) = dn u と表記されます 。文献では、 補完パラメータ 、 補完係数、 補完 モジュラ角と呼ばれることもあります。これらは、 四半期周期 に関する記事でさらに定義されています 。
この表記では、区切り文字として縦棒を使用すると、それに続く引数が「パラメータ」（上記で定義）であることを示し、バックスラッシュはそれがモジュラー角度であることを示します。セミコロンを使用すると、その前の引数が振幅の正弦であることを意味します。楕円積分では、
この異なる引数区切り文字の使用が混乱を招く可能性があり、表記法の多くは Abramowitz と Stegunの参考書や Gradshteyn と Ryzhik の積分表で使用されている表記法と互換性があります 。
ふ （ φ 、 罪 α ） = ふ
（
φ ∣
罪
2
α
）
= ふ （ φ ∖ α ） = ふ （ 罪 φ ; 罪 α ） 。
{\displaystyle F(\varphi ,\sin \alpha )=F\left(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha \right)=F(\varphi \setminus \alpha )=F(\sin \varphi ;\sin \alpha )。}
文献で使用されている楕円積分の表記法には、他にも慣例があります。引数を交換した表記法 F ( k , φ ) がよく見られます。同様に、第 2 種の積分については E ( k , φ ) が使用されます。Abramowitz と Stegun は、 第 2種および第 3 種の積分の定義で、 引数 φ を第 1 種の積分 F ( φ , k ) で置き換えます。ただし、引数の後に縦棒が続く場合は除きます。つまり、 E ( φ | k 2 ) ではなく、 E ( F ( φ , k ) | k 2 ) です 。 さらに 、 彼ら の 完全 積分では、係数 k の代わりに引数として パラメーター k 2 を 使用します。つまり、 K ( k ) ではなく K ( k 2 ) です。また、 Gradshteyn と Ryzhik によって定義された第 3 種の積分 Π( φ , n , k ) では 、振幅 φ が 最初になり、「特性」 n は 最初にはなりません。
したがって、これらの関数を使用するときは表記に注意する必要があります。さまざまな信頼できる参考文献やソフトウェア パッケージでは、楕円関数の定義に異なる規則を使用しているためです。たとえば、 Wolfram の Mathematica ソフトウェアと Wolfram Alpha では、 楕円係数 kではなく、パラメーター m で第 1 種の完全楕円積分を定義します 。
第一種不完全楕円積分 第一種不完全楕円積分 F は 次のように定義される。
ふ （ φ 、 け ） = ふ
（
φ ∣
け
2
）
= ふ （ 罪 φ ; け ） =
∫
0
φ
d θ
1 −
け
2
罪
2
θ
。
{\displaystyle F(\varphi ,k)=F\left(\varphi \mid k^{2}\right)=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{ \frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}
これはルジャンドルの楕円積分の三角関数形式です。 t = sin θ および x = sin φ を代入すると、ヤコビの代数形式が得られます。
ふ （ x ; け ） =
∫
0
x
d t
（
1 −
t
2
）
（
1 −
け
2
t
2
）
。
{\displaystyle F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}.}}
同様に、振幅とモジュラー角に関しては次のようになります。
ふ （ φ ∖ α ） = ふ （ φ 、 罪 α ） =
∫
0
φ
d θ
1 −
（
罪 θ 罪 α
）
2
。
{\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\ left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}.}
x = sn( u , k ) のとき、次 の式が得られます。
この ヤコビ楕円関数は、 第一種不完全楕円積分の単純な逆関数であることが証明されます。
ふ （ x ; け ） = あなた ;
{\displaystyle F(x;k)=u;}
第一種不完全楕円積分には次の加法定理がある [ 要出典 ] ：
ふ
[
アークタンジェント （ x ） 、 け
]
+ ふ
[
アークタンジェント （ ええ ） 、 け
]
= ふ
[
アークタンジェント
（
x
け
′
2
ええ
2
+ 1
ええ
2
+ 1
）
+ アークタンジェント
（
ええ
け
′
2
x
2
+ 1
x
2
+ 1
）
、 け
]
{\displaystyle F{\bigl [}\arctan(x),k{\bigr ]}+F{\bigl [}\arctan(y),k{\bigr ]}=F\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}
楕円係数は次のように変換できます。
ふ
[
アークサイン （ x ） 、 け
]
=
2
1 +
1 −
け
2
ふ
[
アークサイン
（
（
1 +
1 −
け
2
）
x
1 +
1 −
け
2
x
2
）
、
1 −
1 −
け
2
1 +
1 −
け
2
]
{\displaystyle F{\bigl [}\arcsin(x),k{\bigr ]}={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}
第二種不完全楕円積分 ルジャンドルの三角関数形式における
第2種不完全楕円積分 E は
え （ φ 、 け ） = え
（
φ
|
け
2
）
= え （ 罪 φ ; け ） =
∫
0
φ
1 −
け
2
罪
2
θ
d θ 。
{\displaystyle E(\varphi ,k)=E\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .}
t = sin θ および x = sin φ を 代入すると 、ヤコビの代数形式が得られます。
E
(
x
;
k
)
=
∫
0
x
1
−
k
2
t
2
1
−
t
2
d
t
.
{\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt.}
同様に、振幅とモジュラー角の観点から見ると、次のようになります。
E
(
φ
∖
α
)
=
E
(
φ
,
sin
α
)
=
∫
0
φ
1
−
(
sin
θ
sin
α
)
2
d
θ
.
{\displaystyle E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}\,d\theta .}
ヤコビの楕円関数 との関係 としては
、
E
(
sn
(
u
;
k
)
;
k
)
=
∫
0
u
dn
2
(
w
;
k
)
d
w
=
u
−
k
2
∫
0
u
sn
2
(
w
;
k
)
d
w
=
(
1
−
k
2
)
u
+
k
2
∫
0
u
cn
2
(
w
;
k
)
d
w
.
{\displaystyle {\begin{aligned}E{\left(\operatorname {sn} (u;k);k\right)}=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(w;k)\,dw&=u-k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {sn} ^{2}(w;k)\,dw\\[1ex]&=\left(1-k^{2}\right)u+k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {cn} ^{2}(w;k)\,dw.\end{aligned}}}
赤道から 緯度 φ までの 子午線 弧の 長さは、 E で表されます 。
ここで、 a は 半長径 、 e は 離心率 です 。
m
(
φ
)
=
a
(
E
(
φ
,
e
)
+
d
2
d
φ
2
E
(
φ
,
e
)
)
,
{\displaystyle m(\varphi )=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right),}
第二種不完全楕円積分には次の加法定理がある [ 要出典 ] ：
E
[
arctan
(
x
)
,
k
]
+
E
[
arctan
(
y
)
,
k
]
=
E
[
arctan
(
x
k
′
2
y
2
+
1
y
2
+
1
)
+
arctan
(
y
k
′
2
x
2
+
1
x
2
+
1
)
,
k
]
+
k
2
x
y
k
′
2
x
2
y
2
+
x
2
+
y
2
+
1
(
x
k
′
2
y
2
+
1
y
2
+
1
+
y
k
′
2
x
2
+
1
x
2
+
1
)
{\displaystyle E{\left[\arctan(x),k\right]}+E{\left[\arctan(y),k\right]}=E{\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}+{\frac {k^{2}xy}{k'^{2}x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}}\left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}+{\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)}
楕円係数は次のように変換できます。
E
[
arcsin
(
x
)
,
k
]
=
(
1
+
1
−
k
2
)
E
[
arcsin
(
(
1
+
1
−
k
2
)
x
1
+
1
−
k
2
x
2
)
,
1
−
1
−
k
2
1
+
1
−
k
2
]
−
1
−
k
2
F
[
arcsin
(
x
)
,
k
]
+
k
2
x
1
−
x
2
1
+
1
−
k
2
x
2
{\displaystyle E{\left[\arcsin(x),k\right]}=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)E{\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}-{\sqrt {1-k^{2}}}F{\left[\arcsin(x),k\right]}+{\frac {k^{2}x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}}
第三種不完全楕円積分 第三種不完全楕円 積分 Π は
Π
(
n
;
φ
∖
α
)
=
∫
0
φ
1
1
−
n
sin
2
θ
d
θ
1
−
(
sin
θ
sin
α
)
2
{\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}}
または
Π
(
n
;
φ
|
m
)
=
∫
0
sin
φ
1
1
−
n
t
2
d
t
(
1
−
m
t
2
)
(
1
−
t
2
)
.
{\displaystyle \Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-mt^{2}\right)\left(1-t^{2}\right)}}}.}
数値 nは 特性 値と呼ばれ 、他の引数とは独立して任意の値を取ることができます。ただし、 Π(1; π / 2 | m ) は任意の m に対して無限大です 。
ヤコビ楕円関数との関係は
Π
(
n
;
am
(
u
;
k
)
;
k
)
=
∫
0
u
d
w
1
−
n
sn
2
(
w
;
k
)
.
{\displaystyle \Pi {\bigl (}n;\,\operatorname {am} (u;k);\,k{\bigr )}=\int _{0}^{u}{\frac {dw}{1-n\,\operatorname {sn} ^{2}(w;k)}}.}
赤道から緯度 φ までの子午線弧の長さもΠ の特殊なケースと関連しています 。
m
(
φ
)
=
a
(
1
−
e
2
)
Π
(
e
2
;
φ
|
e
2
)
.
{\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\Pi \left(e^{2};\varphi \,|\,e^{2}\right).}
第一種完全楕円積分 第一種完全楕円積分 K ( k )のプロット 楕円積分は、振幅 φ = のとき「完全」であると言われる。 π / 2 であり、したがって x = 1 で ある。 したがって、第一種完全楕円積分 K は 次のように定義される。
または、より簡潔に第一種不完全積分を用いて次のように
K
(
k
)
=
∫
0
π
2
d
θ
1
−
k
2
sin
2
θ
=
∫
0
1
d
t
(
1
−
t
2
)
(
1
−
k
2
t
2
)
,
{\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}},}
K
(
k
)
=
F
(
π
2
,
k
)
=
F
(
π
2
|
k
2
)
=
F
(
1
;
k
)
.
{\displaystyle K(k)=F\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=F\left({\tfrac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)=F(1;k).}
これはべき級数 として表現できる
K
(
k
)
=
π
2
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
2
k
2
n
=
π
2
∑
n
=
0
∞
(
P
2
n
(
0
)
)
2
k
2
n
,
{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right)^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\bigl (}P_{2n}(0){\bigr )}^{2}k^{2n},}
ここで P n は ルジャンドル多項式 であり 、これは次式と等しい。
K
(
k
)
=
π
2
(
1
+
(
1
2
)
2
k
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
2
k
4
+
⋯
+
(
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
)
2
k
2
n
+
⋯
)
,
{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left({\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\cdots \right),}
ここで n !!は 二重階乗 を表す 。ガウスの 超幾何関数 を用いて、第一種完全楕円積分は次のように表される。
K
(
k
)
=
π
2
2
F
1
(
1
2
,
1
2
;
1
;
k
2
)
.
{\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}
第一種完全楕円積分は、 四分の一周期と呼ばれることもある。これは 、算術幾何平均 によって非常に効率的に計算することができる 。
K
(
k
)
=
π
2
agm
(
1
,
1
−
k
2
)
.
{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}.}
したがって、係数は次のように変換できます。
K
(
k
)
=
π
2
agm
(
1
,
1
−
k
2
)
=
π
2
agm
(
1
2
+
1
−
k
2
2
,
1
−
k
2
4
)
=
π
(
1
+
1
−
k
2
)
agm
(
1
,
2
1
−
k
2
4
(
1
+
1
−
k
2
)
)
=
2
1
+
1
−
k
2
K
(
1
−
1
−
k
2
1
+
1
−
k
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {1-k^{2}}}{2}},{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\operatorname {agm} \left(1,{\frac {2{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}K\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}
この式は0 ≤ k ≤ 1 の すべての場合に有効です 。
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
K
(
k
)
=
n
[
∑
a
=
1
n
dn
(
2
a
n
K
(
k
)
;
k
)
]
−
1
K
[
k
n
∏
a
=
1
n
sn
(
2
a
−
1
n
K
(
k
)
;
k
)
2
]
{\displaystyle K(k)=n\left[\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left({\frac {2a}{n}}K(k);k\right)\right]^{-1}K\left[k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left({\frac {2a-1}{n}}K(k);k\right)^{2}\right]}
ガンマ関数との関係 k 2 = λ ( i √ r ) かつ （ λ は モジュラーラムダ関数 ）の場合 、 K ( k )は ガンマ関数 を用いて閉じた形で表現できます 。 [2] たとえば、 r = 2 、 r = 3 、 r = 7 の場合には、それぞれ次の式が成り立ちます。 [3]
r
∈
Q
+
{\displaystyle r\in \mathbb {Q} ^{+}}
K
(
2
−
1
)
=
Γ
(
1
8
)
Γ
(
3
8
)
2
+
1
8
2
4
π
,
{\displaystyle K\left({\sqrt {2}}-1\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right){\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}{8{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\pi }}}},}
そして
K
(
3
−
1
2
2
)
=
1
8
π
3
4
4
3
Γ
(
1
3
)
3
{\displaystyle K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{8\pi }}{\sqrt[{4}]{3}}\,{\sqrt[{3}]{4}}\,\Gamma {\biggl (}{\frac {1}{3}}{\biggr )}^{3}}
そして
K
(
3
−
7
4
2
)
=
Γ
(
1
7
)
Γ
(
2
7
)
Γ
(
4
7
)
4
7
4
π
.
{\displaystyle K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {4}{7}}\right)}{4{\sqrt[{4}]{7}}\pi }}.}
より一般的には、虚数二次体 [注1]
に属する という条件
で 十分である。 [4] [5] 例えば、 k = e 5 πi /6 のとき、
i
K
′
K
=
i
K
(
1
−
k
2
)
K
(
k
)
{\displaystyle {\frac {iK'}{K}}={\frac {iK\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{K(k)}}}
iK ′ / け = e 2 πi /3 および [6]
K
(
e
5
π
i
/
6
)
=
e
−
π
i
/
12
Γ
3
(
1
3
)
3
4
4
2
3
π
.
{\displaystyle K\left(e^{5\pi i/6}\right)={\frac {e^{-\pi i/12}\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right){\sqrt[{4}]{3}}}{4{\sqrt[{3}]{2}}\pi }}.}
漸近表現
K
(
k
)
≈
π
2
+
π
8
k
2
1
−
k
2
−
π
16
k
4
1
−
k
2
{\displaystyle K\left(k\right)\approx {\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{8}}{\frac {k^{2}}{1-k^{2}}}-{\frac {\pi }{16}}{\frac {k^{4}}{1-k^{2}}}}
この近似値は、 3 × 10 −4 （ k < ） 1 / 2 最初の2項のみを保持すると、 k < の場合には0.01の精度で正確になります 。 1 / 2 . [ 要出典 ]
微分方程式 第一種楕円積分の微分方程式は
d
d
k
(
k
(
1
−
k
2
)
d
K
(
k
)
d
k
)
=
k
K
(
k
)
{\displaystyle {\frac {d}{dk}}\left(k\left(1-k^{2}\right){\frac {dK(k)}{dk}}\right)=k\,K(k)}
この方程式の2番目の解は である 。この解は次の関係を満たす。
K
(
1
−
k
2
)
{\displaystyle K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}
d
d
k
K
(
k
)
=
E
(
k
)
k
(
1
−
k
2
)
−
K
(
k
)
k
.
{\displaystyle {\frac {d}{dk}}K(k)={\frac {E(k)}{k\left(1-k^{2}\right)}}-{\frac {K(k)}{k}}.}
連分数 連分数展開は次のように なる : [7]
ここで nome はその定義の中にある 。
K
(
k
)
2
π
=
−
1
4
+
∑
n
=
0
∞
q
n
1
+
q
2
n
=
−
1
4
+
1
1
−
q
+
(
1
−
q
)
2
1
−
q
3
+
q
(
1
−
q
2
)
2
1
−
q
5
+
q
2
(
1
−
q
3
)
2
1
−
q
7
+
q
3
(
1
−
q
4
)
2
1
−
q
9
+
⋯
,
{\displaystyle {\frac {K(k)}{2\pi }}=-{\frac {1}{4}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}=-{\frac {1}{4}}+{\cfrac {1}{1-q+{\cfrac {\left(1-q\right)^{2}}{1-q^{3}+{\cfrac {q\left(1-q^{2}\right)^{2}}{1-q^{5}+{\cfrac {q^{2}\left(1-q^{3}\right)^{2}}{1-q^{7}+{\cfrac {q^{3}\left(1-q^{4}\right)^{2}}{1-q^{9}+\cdots }}}}}}}}}},}
q
=
q
(
k
)
=
exp
[
−
π
K
′
(
k
)
/
K
(
k
)
]
{\displaystyle q=q(k)=\exp[-\pi K'(k)/K(k)]}
期間比の反転 ここでは、代わりにパラメータ を持つ第一種完全楕円積分を使用します 。これは、複素平面で逆関数を計算するときに2乗関数が問題を引き起こすためです。
m
{\displaystyle m}
K
[
m
]
=
∫
0
π
/
2
d
θ
1
−
m
sin
2
θ
{\displaystyle K[m]=\int _{0}^{\pi /2}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}
そして
θ
2
(
τ
)
=
2
e
π
i
τ
/
4
∑
n
=
0
∞
q
n
(
n
+
1
)
,
q
=
e
π
i
τ
,
Im
τ
>
0
,
{\displaystyle \theta _{2}(\tau )=2e^{\pi i\tau /4}\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)},\quad q=e^{\pi i\tau },\,\operatorname {Im} \tau >0,}
θ
3
(
τ
)
=
1
+
2
∑
n
=
1
∞
q
n
2
,
q
=
e
π
i
τ
,
Im
τ
>
0
{\displaystyle \theta _{3}(\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}},\quad q=e^{\pi i\tau },\,\operatorname {Im} \tau >0}
シータ関数 となります 。
方程式
τ
=
i
K
[
1
−
m
]
K
[
m
]
{\displaystyle \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}}
（解が 存在すると仮定して）次のよう
に解くことができる。
m
{\displaystyle m}
m
=
θ
2
(
τ
)
4
θ
3
(
τ
)
4
{\displaystyle m={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}}
これは実際には モジュラーラムダ関数 です。
計算の目的のために、誤差解析は [8]で与えられる。
|
e
−
π
i
τ
/
4
θ
2
(
τ
)
−
2
∑
n
=
0
N
−
1
q
n
(
n
+
1
)
|
≤
{
2
|
q
|
N
(
N
+
1
)
1
−
|
q
|
2
N
+
1
,
|
q
|
2
N
+
1
<
1
∞
,
otherwise
{\displaystyle \left|{e}^{-\pi i\tau /4}\theta _{2}\!\left(\tau \right)-2\sum _{n=0}^{N-1}{q}^{n\left(n+1\right)}\right|\leq {\begin{cases}{\frac {2{\left|q\right|}^{N\left(N+1\right)}}{1-\left|q\right|^{2N+1}}},&\left|q\right|^{2N+1}<1\\\infty ,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\;}
|
θ
3
(
τ
)
−
(
1
+
2
∑
n
=
1
N
−
1
q
n
2
)
|
≤
{
2
|
q
|
N
2
1
−
|
q
|
2
N
+
1
,
|
q
|
2
N
+
1
<
1
∞
,
otherwise
{\displaystyle \left|\theta _{3}\!\left(\tau \right)-\left(1+2\sum _{n=1}^{N-1}{q}^{n^{2}}\right)\right|\leq {\begin{cases}{\frac {2{\left|q\right|}^{N^{2}}}{1-\left|q\right|^{2N+1}}},&\left|q\right|^{2N+1}<1\\\infty ,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\;}
ここで 、および 。
N
∈
Z
≥
1
{\displaystyle N\in \mathbb {Z} _{\geq 1}}
Im
τ
>
0
{\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}
また
K
[
m
]
=
π
2
θ
3
(
τ
)
2
,
τ
=
i
K
[
1
−
m
]
K
[
m
]
{\displaystyle K[m]={\frac {\pi }{2}}\theta _{3}(\tau )^{2},\quad \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}}
どこ 。
m
∈
C
∖
{
0
,
1
}
{\displaystyle m\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}
第二種完全楕円積分 第二種完全楕円積分 E ( k )のプロット 第二種完全楕円積分 E は 次のように定義される。
E
(
k
)
=
∫
0
π
2
1
−
k
2
sin
2
θ
d
θ
=
∫
0
1
1
−
k
2
t
2
1
−
t
2
d
t
,
{\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt,}
あるいは第二種不完全積分 E ( φ , k ) を用いてより簡潔に表すと、
E
(
k
)
=
E
(
π
2
,
k
)
=
E
(
1
;
k
)
.
{\displaystyle E(k)=E\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=E(1;k).}
長半径 a と短半径 b を持ち、離心率 e = √ 1 − b 2 / a 2 の楕円の場合、第 2 種完全楕円積分 E ( e )は、長半径 a の単位で測定された楕円の円周 C の 4 分の 1 に等しくなります 。言い換えると、
C
=
4
a
E
(
e
)
.
{\displaystyle C=4aE(e).}
第二種完全楕円積分は 冪級数として表すことができる [9]
E
(
k
)
=
π
2
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
2
k
2
n
1
−
2
n
,
{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}},}
これは次の式と同等である。
E
(
k
)
=
π
2
(
1
−
(
1
2
)
2
k
2
1
−
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
2
k
4
3
−
⋯
−
(
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
)
2
k
2
n
2
n
−
1
−
⋯
)
.
{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right).}
ガウスの超幾何関数 を用いると 、第二種完全楕円積分は次のように表される。
E
(
k
)
=
π
2
2
F
1
(
1
2
,
−
1
2
;
1
;
k
2
)
.
{\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}
係数は次のように変換できます。
E
(
k
)
=
(
1
+
1
−
k
2
)
E
(
1
−
1
−
k
2
1
+
1
−
k
2
)
−
1
−
k
2
K
(
k
)
{\displaystyle E(k)=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\,E\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)-{\sqrt {1-k^{2}}}\,K(k)}
計算 第一種積分と同様に、第二種完全楕円積分は 算術幾何平均 を使って非常に効率的に計算することができます。
数列 a n と g n を 定義します。ここで、 a 0 = 1 、 g 0 = √ 1 − k 2 = k ′ であり、再帰関係 a n + 1 = あん + あん / 2 , g n + 1 = √ a n g n が成り立つ。さらに、定義する
c
n
=
|
a
n
2
−
g
n
2
|
.
{\displaystyle c_{n}={\sqrt {\left|a_{n}^{2}-g_{n}^{2}\right|}}.}
定義上、
a
∞
=
lim
n
→
∞
a
n
=
lim
n
→
∞
g
n
=
agm
(
1
,
1
−
k
2
)
.
{\displaystyle a_{\infty }=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }g_{n}=\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right).}
また
lim
n
→
∞
c
n
=
0.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=0.}
それから
E
(
k
)
=
π
2
a
∞
(
1
−
∑
n
=
0
∞
2
n
−
1
c
n
2
)
.
{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2a_{\infty }}}\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n-1}c_{n}^{2}\right).}
実際には、算術幾何平均は単純にある限界まで計算されます。この式は、すべての | k | ≤ 1 に対して2次収束します。計算をさらに高速化するには、関係式 c n + 1 = cn2 ... / 4 α n + 1 が 使えます。
さらに、 k 2 = λ ( i √ r ) かつ （ λ は モジュラーラムダ関数 ）の場合、 E ( k ) はの項で閉じた形式で表現できるため
、無限和項を必要とせずに計算できます。たとえば、 r = 1 、 r = 3 、 r = 7 の場合には、それぞれ次の式が得られます。 [10]
r
∈
Q
+
{\displaystyle r\in \mathbb {Q} ^{+}}
K
(
k
)
=
π
2
agm
(
1
,
1
−
k
2
)
{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}}
E
(
1
2
)
=
1
2
K
(
1
2
)
+
π
4
K
(
1
2
)
,
{\displaystyle E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\pi }{4K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}},}
そして
E
(
3
−
1
2
2
)
=
3
+
3
6
K
(
3
−
1
2
2
)
+
π
3
12
K
(
3
−
1
2
2
)
,
{\displaystyle E\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{12K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}},}
そして
E
(
3
−
7
4
2
)
=
7
+
2
7
14
K
(
3
−
7
4
2
)
+
π
7
28
K
(
3
−
7
4
2
)
.
{\displaystyle E\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {7+2{\sqrt {7}}}{14}}K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)+{\frac {\pi {\sqrt {7}}}{28K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)}}.}
微分方程式と微分方程式
d
E
(
k
)
d
k
=
E
(
k
)
−
K
(
k
)
k
{\displaystyle {\frac {dE(k)}{dk}}={\frac {E(k)-K(k)}{k}}}
(
k
2
−
1
)
d
d
k
(
k
d
E
(
k
)
d
k
)
=
k
E
(
k
)
{\displaystyle \left(k^{2}-1\right){\frac {d}{dk}}\left(k\;{\frac {dE(k)}{dk}}\right)=kE(k)}
この 方程式の2番目の解は E ( √1 − k2 ) −K ( √1 − k2 ) です 。
第三種完全楕円積分 いくつかの固定されたn の値を持つ 第三種完全楕円積分 Π( n , k )のプロット 第三種完全楕円積分 Π は 次のように定義される。
Π
(
n
,
k
)
=
∫
0
π
2
d
θ
(
1
−
n
sin
2
θ
)
1
−
k
2
sin
2
θ
.
{\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1-n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}
第三種楕円積分は、特性 n の逆符号で定義されることもあるので注意が必要である 。
Π
′
(
n
,
k
)
=
∫
0
π
2
d
θ
(
1
+
n
sin
2
θ
)
1
−
k
2
sin
2
θ
.
{\displaystyle \Pi '(n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1+n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}
第一種および第二種の完全楕円積分と同様に、第三種の完全楕円積分は算術幾何平均を用いて非常に効率的に計算することができます。
偏微分
∂
Π
(
n
,
k
)
∂
n
=
1
2
(
k
2
−
n
)
(
n
−
1
)
(
E
(
k
)
+
1
n
(
k
2
−
n
)
K
(
k
)
+
1
n
(
n
2
−
k
2
)
Π
(
n
,
k
)
)
∂
Π
(
n
,
k
)
∂
k
=
k
n
−
k
2
(
E
(
k
)
k
2
−
1
+
Π
(
n
,
k
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial n}}&={\frac {1}{2\left(k^{2}-n\right)(n-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{n}}\left(k^{2}-n\right)K(k)+{\frac {1}{n}}\left(n^{2}-k^{2}\right)\Pi (n,k)\right)\\[8pt]{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial k}}&={\frac {k}{n-k^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n,k)\right)\end{aligned}}}
ヤコビゼータ関数 1829 年、ヤコビは ヤコビのゼータ関数 を定義しました。
これは で周期的であり 、最小周期です 。これは ヤコビの zn 関数 と によって関連しています 。文献 (例: Whittaker と Watson (1927)) では、 は Wikipedia の を意味する場合があります 。著者によっては (例: King (1924))、 はWikipedia の と の 両方に使用します 。
Z
(
φ
,
k
)
=
E
(
φ
,
k
)
−
E
(
k
)
K
(
k
)
F
(
φ
,
k
)
.
{\displaystyle Z(\varphi ,k)=E(\varphi ,k)-{\frac {E(k)}{K(k)}}F(\varphi ,k).}
φ
{\displaystyle \varphi }
π
{\displaystyle \pi }
Z
(
φ
,
k
)
=
zn
(
F
(
φ
,
k
)
,
k
)
{\displaystyle Z(\varphi ,k)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,k),k)}
Z
{\displaystyle Z}
zn
{\displaystyle \operatorname {zn} }
Z
{\displaystyle Z}
Z
{\displaystyle Z}
zn
{\displaystyle \operatorname {zn} }
ルジャンドルの関係 ルジャンドル の関係式 または ルジャンドル恒等式は 、楕円係数の積分KとEとその反関係積分 [11] [12] の関係を2次積分方程式で表したものである。
互いにピタゴラス対応である 2 つのモジュールの場合、次の関係は有効です。
K
(
ε
)
E
(
1
−
ε
2
)
+
E
(
ε
)
K
(
1
−
ε
2
)
−
K
(
ε
)
K
(
1
−
ε
2
)
=
π
2
{\displaystyle K(\varepsilon )E\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)+E(\varepsilon )K\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)-K(\varepsilon )K\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}}
例えば：
K
(
3
5
)
E
(
4
5
)
+
E
(
3
5
)
K
(
4
5
)
−
K
(
3
5
)
K
(
4
5
)
=
1
2
π
{\displaystyle K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})E({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})+E({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})-K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }
また、互いに接線方向に対応する 2 つのモジュールの場合、次の関係が有効です。
(
1
+
ε
)
K
(
ε
)
E
(
1
−
ε
1
+
ε
)
+
2
1
+
ε
E
(
ε
)
K
(
1
−
ε
1
+
ε
)
−
2
K
(
ε
)
K
(
1
−
ε
1
+
ε
)
=
1
2
π
{\displaystyle (1+\varepsilon )K(\varepsilon )E({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})+{\tfrac {2}{1+\varepsilon }}E(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})-2K(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})={\tfrac {1}{2}}\pi }
例えば：
4
3
K
(
1
3
)
E
(
1
2
)
+
3
2
E
(
1
3
)
K
(
1
2
)
−
2
K
(
1
3
)
K
(
1
2
)
=
1
2
π
{\displaystyle {\tfrac {4}{3}}K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})E({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})+{\tfrac {3}{2}}E({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})-2K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }
接線モジュラー対応物に対するルジャンドルの関係は、ピタゴラス対応 モジュラーに対する
ランデン モジュラー変換を使用することで、ピタゴラス モジュラー対応物に対するルジャンドルの恒等式から直接得られます。
レムニスカティックケースの特別なアイデンティティ レムニスカティックの場合、楕円係数または特定の離心率 ε は 2 の平方根の半分に等しくなります。レムニスカティックの場合のルジャンドルの恒等式は次のように証明できます。
連鎖律 によれば、 これらの導関数は次のようになります。
d
d
y
K
(
1
2
2
)
−
F
[
arccos
(
x
y
)
;
1
2
2
]
=
2
x
1
−
x
4
y
4
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}
d
d
y
2
E
(
1
2
2
)
−
K
(
1
2
2
)
−
2
E
[
arccos
(
x
y
)
;
1
2
2
]
+
F
[
arccos
(
x
y
)
;
1
2
2
]
=
2
x
3
y
2
1
−
x
4
y
4
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}
微積分の基本定理 を使用すると 、次の式を生成できます。
K
(
1
2
2
)
−
F
[
arccos
(
x
)
;
1
2
2
]
=
∫
0
1
2
x
1
−
x
4
y
4
d
y
{\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}
2
E
(
1
2
2
)
−
K
(
1
2
2
)
−
2
E
[
arccos
(
x
)
;
1
2
2
]
+
F
[
arccos
(
x
)
;
1
2
2
]
=
∫
0
1
2
x
3
y
2
1
−
x
4
y
4
d
y
{\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}
これまでに述べた 2 つの積分の線形 結合 により、次の式が得られます。
2
1
−
x
4
{
2
E
(
1
2
2
)
−
K
(
1
2
2
)
−
2
E
[
arccos
(
x
)
;
1
2
2
]
+
F
[
arccos
(
x
)
;
1
2
2
]
}
+
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}\,+}
+
2
x
2
1
−
x
4
{
K
(
1
2
2
)
−
F
[
arccos
(
x
)
;
1
2
2
]
}
=
∫
0
1
2
x
3
(
y
2
+
1
)
(
1
−
x
4
)
(
1
−
x
4
y
4
)
d
y
{\displaystyle +\,{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}\,y^{4})}}}\,\mathrm {d} y}
積の法則 を使用して、現在示されている関数から x に関連する元の不定積分を形成すると、 次の式が得られます。
{
K
(
1
2
2
)
−
F
[
arccos
(
x
)
;
1
2
2
]
}
{
2
E
(
1
2
2
)
−
K
(
1
2
2
)
−
2
E
[
arccos
(
x
)
;
1
2
2
]
+
F
[
arccos
(
x
)
;
1
2
2
]
}
=
{\displaystyle {\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=}
=
∫
0
1
1
y
2
(
y
2
+
1
)
[
artanh
(
y
2
)
−
artanh
(
1
−
x
4
y
2
1
−
x
4
y
4
)
]
d
y
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1){\biggl [}{\text{artanh}}(y^{2})-{\text{artanh}}{\bigl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\bigr )}{\biggr ]}\mathrm {d} y}
この整数恒等式に値 を挿入すると、次の恒等式が出現します。
x
=
1
{\displaystyle x=1}
K
(
1
2
2
)
[
2
E
(
1
2
2
)
−
K
(
1
2
2
)
]
=
∫
0
1
1
y
2
(
y
2
+
1
)
artanh
(
y
2
)
d
y
=
{\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggl [}2\,E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\,{\text{artanh}}(y^{2})\,\mathrm {d} y=}
=
[
2
arctan
(
y
)
−
1
y
(
1
−
y
2
)
artanh
(
y
2
)
]
y
=
0
y
=
1
=
2
arctan
(
1
)
=
π
2
{\displaystyle ={\biggl [}2\arctan(y)-{\frac {1}{y}}(1-y^{2})\,{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=2\arctan(1)={\frac {\pi }{2}}}
ルジャンドルの等式からのこのレムニスカティックな抜粋は次のようになります。
2
E
(
1
2
2
)
K
(
1
2
2
)
−
K
(
1
2
2
)
2
=
π
2
{\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}
全体的なケースの一般化 ここで、モジュラー一般の場合 [13] [14] が解決される。この目的のために、完全楕円積分の導関数は、モジュラスの後に導出され 、次にそれらが結合される。そして、ルジャンドルの恒等バランスが決定される。
ε
{\displaystyle \varepsilon }
円関数 の導関数は、 同一のマッピング関数 と円関数の逆数
の負の積であるため、
d
d
ε
1
−
ε
2
=
−
ε
1
−
ε
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}=-\,{\frac {\varepsilon }{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}
これらは、この記事の上のセクションで示した K と E の導関数です。
d
d
ε
K
(
ε
)
=
1
ε
(
1
−
ε
2
)
[
E
(
ε
)
−
(
1
−
ε
2
)
K
(
ε
)
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}}
d
d
ε
E
(
ε
)
=
−
1
ε
[
K
(
ε
)
−
E
(
ε
)
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )=-\,{\frac {1}{\varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )-E(\varepsilon ){\bigr ]}}
円関数の導関数と組み合わせると、これらの導関数は有効になります。
d
d
ε
K
(
1
−
ε
2
)
=
1
ε
(
1
−
ε
2
)
[
ε
2
K
(
1
−
ε
2
)
−
E
(
1
−
ε
2
)
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}
d
d
ε
E
(
1
−
ε
2
)
=
ε
1
−
ε
2
[
K
(
1
−
ε
2
)
−
E
(
1
−
ε
2
)
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}{\bigl [}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}
ルジャンドルの恒等式には、任意の 2 つの完全楕円積分の積が含まれます。ルジャンドルの恒等式の等式スケールから関数側を導出するために、 積の規則 が次のように適用されます。
d
d
ε
K
(
ε
)
E
(
1
−
ε
2
)
=
1
ε
(
1
−
ε
2
)
[
E
(
ε
)
E
(
1
−
ε
2
)
−
K
(
ε
)
E
(
1
−
ε
2
)
+
ε
2
K
(
ε
)
K
(
1
−
ε
2
)
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}
d
d
ε
E
(
ε
)
K
(
1
−
ε
2
)
=
1
ε
(
1
−
ε
2
)
[
−
E
(
ε
)
E
(
1
−
ε
2
)
+
E
(
ε
)
K
(
1
−
ε
2
)
−
(
1
−
ε
2
)
K
(
ε
)
K
(
1
−
ε
2
)
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}
d
d
ε
K
(
ε
)
K
(
1
−
ε
2
)
=
1
ε
(
1
−
ε
2
)
[
E
(
ε
)
K
(
1
−
ε
2
)
−
K
(
ε
)
E
(
1
−
ε
2
)
−
(
1
−
2
ε
2
)
K
(
ε
)
K
(
1
−
ε
2
)
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}
これら 3 つの方程式のうち、上の 2 つの方程式を加算し、下の方程式を減算すると、次の結果が得られます。
d
d
ε
[
K
(
ε
)
E
(
1
−
ε
2
)
+
E
(
ε
)
K
(
1
−
ε
2
)
−
K
(
ε
)
K
(
1
−
ε
2
)
]
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}=0}
方程式のバランスに関しては 、常に値ゼロが返されます。
ε
{\displaystyle \varepsilon }
以前に決定された結果は、前のセクションで計算された
係数に対するルジャンドル方程式と組み合わせる必要があります。
ε
=
1
/
2
{\displaystyle \varepsilon =1/{\sqrt {2}}}
2
E
(
1
2
2
)
K
(
1
2
2
)
−
K
(
1
2
2
)
2
=
π
2
{\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}
最後の 2 つの式を組み合わせると、次の結果が得られます。
K
(
ε
)
E
(
1
−
ε
2
)
+
E
(
ε
)
K
(
1
−
ε
2
)
−
K
(
ε
)
K
(
1
−
ε
2
)
=
1
2
π
{\displaystyle K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }
連続関数の導関数が常にゼロの値を取る場合、その関数は定数関数です。つまり、この関数は各横座標値に対して同じ関数値になり 、関連する関数グラフは水平の直線になります。
ε
{\displaystyle \varepsilon }
参照
数学ポータル
参考文献
注記
参考文献
^ ボルウェイン、ジョナサン M.; ボルウェイン、ピーター B. (1987)。 円周率と AGM: 解析的数論と計算複雑性の研究 (初版)。Wiley- Interscience。ISBN 0-471-83138-7 。 296ページ ^ ボルウェイン、ジョナサン M.; ボルウェイン、ピーター B. (1987)。 円周率と AGM: 解析的数論と計算複雑性の研究 (初版)。Wiley- Interscience。ISBN 0-471-83138-7 。 298ページ ^ Chowla, S.; Selberg, A. (1949). 「エプスタインのゼータ関数について (I)」. Proceedings of the National Academy of Sciences . 35 (7): 373. Bibcode :1949PNAS...35..371C. doi :10.1073/PNAS.35.7.371. PMC 1063041. PMID 16588908. S2CID 45071481 . ^ チョウラ、S.セルバーグ、A. (1967)。 「エプスタインのゼータ関数について」。 Reine und Angewandte Mathematik に関するジャーナル 。 227 : 86-110. ^ 「ルジャンドルの楕円積分（エントリ 175b7a）」。 ^ N.Bagis、L.Glasser.(2015)「ラマヌジャンの連分数の評価」Rend.Sem.Mat.Univ.Padova、Vol.133 pp 1-10 ^ 「ヤコビシータ関数の近似値」。 数学関数グリモア 。フレドリック・ヨハンソン 。 2024年 8月29日 閲覧。 ^ 「第2種の完全楕円積分：級数表現（式08.01.06.0002）」。 ^ ボルウェイン、ジョナサン M.; ボルウェイン、ピーター B. (1987)。 円周率と AGM: 解析的数論と計算複雑性の研究 (初版)。Wiley- Interscience。ISBN 0-471-83138-7 。 26, 161ページ ^ 「Legendre-Relation」（ドイツ語） 。 2022年11月29日 閲覧 。 ^ 「Legendre Relation」 . 2022年11月29日 閲覧 。 ^ 「積分 - 楕円曲線のルジャンドル関係式の証明」 。 2023年2月10日 閲覧。 ^ インターネットアーカイブ (1991)、ポール・ハルモスの数学50周年記念、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラグ、 ISBN 0-387-97509-8 、 2023-02-10 取得
出典
アブラモウィッツ、ミルトン 、 ステグン、アイリーン ・アン編 (1983) [1964 年 6 月]。「第 17 章」。 数式、グラフ、および数学表付き数学関数ハンドブック 。応用数学シリーズ。第 55 巻 (第 10 刷の訂正を加えた第 9 刷 (1972 年 12 月)、初版)。ワシントン DC、ニューヨーク: 米国商務省、国立標準局、ドーバー出版。p. 587。ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036。MR 0167642。LCCN 65-12253 。 Byrd, PF; Friedman, MD (1971)。 エンジニアと科学者のための楕円積分ハンドブック （第2版）。ニューヨーク：Springer- Verlag。ISBN 0-387-05318-2 。 Carlson, BC (1995). 「実数または複素数の楕円積分の数値計算」. 数値アルゴリズム . 10 (1): 13–26. arXiv : math/9409227 . Bibcode :1995NuAlg..10...13C. doi :10.1007/BF02198293. S2CID 11580137. Carlson, BC (2010)、「楕円積分」、 Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、 NIST Handbook of Mathematical Functions 、Cambridge University Press、 ISBN 978-0-521-19225-5 、 MR 2723248 。 Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1953). Higher transcendental functions. Vol II (PDF) . McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London. MR 0058756. 2011-07-14 に オリジナル (PDF)からアーカイブ 。2016-07-24 に取得 。 Gradshteyn, イズライル・ソロモノヴィッチ ; ヨシフ・モシェヴィッチ・リジク ; ジェロニムス、ユーリ・ヴェニアミノヴィッチ ; ツェイトリン、ミハイル・ユリエヴィッチ ;ジェフリー、アラン (2015) [2014 年 10 月]。 「8.1」。ツウィリンガーでは、ダニエル。 モル、ヴィクトル・ユゴー 編（編）。 インテグラル、シリーズ、および製品の表 。 Scripta Technica, Inc. による翻訳 (第 8 版)。 Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5 . LCCN 2014010276. グリーンヒル、アルフレッド・ジョージ （1892）。楕円関数の応用。ニューヨーク：マクミラン。 ハンコック、ハリス (1910)。楕円関数の理論に関する講義。ニューヨーク: J. Wiley & Sons。 キング、ルイス V. (1924)。楕円関数と積分の直接数値計算について。ケンブリッジ大学出版局。 Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007)、「セクション 6.12. 楕円積分とヤコビ楕円関数」、 Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (第 3 版)、ニューヨーク: Cambridge University Press、 ISBN 978-0-521-88068-8 、2011年8月11日にオリジナルからアーカイブされ 、 2011年8月9日に取得
外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、楕円積分 に関連するメディアがあります 。
「楕円積分」、 数学百科事典 、 EMS Press 、2001 [1994] Eric W. Weisstein、「楕円積分」（Mathworld） 楕円積分評価のための Matlab コード (楕円プロジェクトによる) 完全楕円積分の有理近似 (Exstrom Laboratories) 楕円積分加法定理の簡単な歴史
![{\displaystyle F{\bigl [}\arctan(x),k{\bigr ]}+F{\bigl [}\arctan(y),k{\bigr ]}=F\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57910fd4c508794e391acf88c5a0773167da8c3a)
![{\displaystyle F{\bigl [}\arcsin(x),k{\bigr ]}={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76eea8fbafa5746e507a2b9aa62ba30683aa47ad)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E{\left(\operatorname {sn} (u;k);k\right)}=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(w;k)\,dw&=uk^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {sn} ^{2}(w;k)\,dw\\[1ex]&=\left(1-k^{2}\right)u+k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {cn} ^{2}(w;k)\,dw.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3daa5ea5ba73b833fb145588e70b71f71415c222)
![{\displaystyle E{\left[\arctan(x),k\right]}+E{\left[\arctan(y),k\right]}=E{\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}+{\frac {k^{2}xy}{k'^{2}x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}}\left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}+{\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7296585a0f08d2d545ea65df758a897730f2db9)
![{\displaystyle E{\left[\arcsin(x),k\right]}=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)E{\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}-{\sqrt {1-k^{2}}}F{\left[\arcsin(x),k\right]}+{\frac {k^{2}x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ba9d8ee4d78dd93dfb0ad86ebdef17a98c7a1a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {1-k^{2}}}{2}},{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\operatorname {agm} \left(1,{\frac {2{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}K\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6746059c2ef65a4af7d2856a18b5c5ebe7d179fb)
![{\displaystyle K(k)=n\left[\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left({\frac {2a}{n}}K(k);k\right)\right]^{-1}K\left[k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left({\frac {2a-1}{n}}K(k);k\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e4dd3df58277155b3c0a3a472621affaaedad5)
![{\displaystyle K\left({\sqrt {2}}-1\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right){\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}{8{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\pi }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af68e2bb757bf83cb31b8c621daba7d08d25233)
![{\displaystyle K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{8\pi }}{\sqrt[{4}]{3}}\,{\sqrt[{3}]{4}}\,\Gamma {\biggl (}{\frac {1}{3}}{\biggr )}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91fa028e9c294b1850c7a3ed45260a6ecfcf0cee)
![{\displaystyle K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {4}{7}}\right)}{4{\sqrt[{4}]{7}}\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71967f390fee21bad3fb4f6a4422fb095cd6c06d)
![{\displaystyle K\left(e^{5\pi i/6}\right)={\frac {e^{-\pi i/12}\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right){\sqrt[{4}]{3}}}{4{\sqrt[{3}]{2}}\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9aeeb4847d98060f6d067a35f0d07b04e7f308)
![{\displaystyle q=q(k)=\exp[-\pi K'(k)/K(k)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb86726110efea04f613a63fbdb98f397fa30d15)
![{\displaystyle K[m]=\int _{0}^{\pi /2}{\dfrac {d\theta}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3007fef4e342b267f123e7b3e8a9c93f119d8a5)
![{\displaystyle \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e80a5226937cb73c0699926d4cfa3e10d4aca09d)
![{\displaystyle K[m]={\frac {\pi }{2}}\theta _{3}(\tau )^{2},\quad \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee3b2fe5e7899ee67a5c9f8d6364a9c7cb92b9d2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial n}}&={\frac {1}{2\left(k^{2}-n\right)(n-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{n}}\left(k^{2}-n\right)K(k)+{\frac {1}{n}}\left(n^{2}-k^{2}\right)\Pi (n,k)\right)\\[8pt]{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial k}}&={\frac {k}{nk^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n,k)\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ebce786ea35739a3664eb489c14c514a1c4d602)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr )}-F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc1718190eb8439c5553637893ee9656401692e)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51fd6c63925cf33e09dd212d2f2855ee54c35a9e)
![{\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58282761c03c55c3f20388ee7bf290e4dbc1df6a)
![{\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199cf8df44d0d8a8724c407a1bc765265fa06832)
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}\,+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2728dee1248dd6d671e14e2a97c8ba1ea1f9dc7)
![{\displaystyle +\,{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}\,y^{4})}}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57d166320807a046a01e07b470de52bfd40a80e)
![{\displaystyle {\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e9f11c1f6b542a1f472fb7b974897d33203df1)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1){\biggl [}{\text{artanh}}(y^{2})-{\text{artanh}}{\bigl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\bigr )}{\biggr ]}\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2503c8ea3948bd57fb32a6a33e02c60afcac539)
![{\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggl [}2\,E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\,{\text{artanh}}(y^{2})\,\mathrm {d} y=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6222e15184d9633c7d6c2406698e6e018464ee)
![{\displaystyle ={\biggl [}2\arctan(y)-{\frac {1}{y}}(1-y^{2})\,{\text{artanh}}(y^{2} ){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=2\arctan(1)={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec66a7530dc2aacf368477e7fe3ee49ddc4c3273)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}} {\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8257c714bf0c36a8da6b69b079fb6aa68ca8779)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )=-\,{\frac {1}{\varepsilon }}{\bigl [}K( \バレプシロン )-E(\バレプシロン ){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9f0f2fa512b0426ff239625f6651b4cd519591)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb0a0cfe27981a29e18422cdd2fabf9f4fe241ee)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1 -\varepsilon ^{2}}}{\bigl [}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165f349634d534b3da323035a60dd50f249e26c1)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac { 1}{\バレプシロン (1-\バレプシロン ^{2})}}{\bigl [}E(\バレプシロン )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({ \sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f346b9a656f98160dcbf47164685c470bf227ca1)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac { 1}{\バレプシロン (1-\バレプシロン ^{2})}}{\bigl [}-E(\バレプシロン )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/442ae2b56db1b68bee1c2b44535a248527fc2e32)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac { 1}{\バレプシロン (1-\バレプシロン ^{2})}}{\bigl [}E(\バレプシロン )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\バレプシロン )K({\sqrt {1-\バレプシロン ^{2}}}){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0981cb098ac4b82cb503bffa8964b0d92030ae8d)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}) +E(\バレプシロン )K({\sqrt {1-\バレプシロン ^{2}}})-K(\バレプシロン)K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a6abc97b33945523271bd18bd396c52280c64a)
