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幾何学において、ジョン・ホートン・コンウェイは、建築的テッセレーションと反射的テッセレーションを、素空間群とその双対を持つユークリッド 3 次元空間の一様テッセレーション（またはハニカム）として定義し、平面のプラトン的、アルキメデス的、およびカタラン的タイリングの 3 次元類似物としています。建築的テッセレーションの特異頂点図形は、対応する反射的テッセレーションのセルの双対であり、その逆も同様です。キュービルは、3 次元空間の唯一のプラトン的（正則）テッセレーションであり、自己双対です。これらのカテゴリから除外される、回転または角柱スタック（およびその双対）として構築される他の一様ハニカムもあります。
列挙
以下に、建築的テッセレーションと反射的テッセレーションのペアを、その対称群とともに示します。これらのテッセレーションは、4 つの対称空間群のみを表し、すべて立方晶系内にあります。これらのテッセレーションの多くは、複数の対称群で定義できるため、それぞれの場合において最も高い対称性が表現されます。
頂点図形
すべての建築ハニカムの頂点図と、すべての反射ハニカムの二重セルを、同じスケールと同じ方向で以下に示します。
対称
これら 4 つの対称グループは次のようにラベル付けされます。
参考文献
- ^ 建築立体の相互参照には、Andreini (1-22)、Williams(1-2,9-19)、Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65)、Grünbaum(1-28)のリスト索引が用いられる。Coxeterの名前は、立方ハニカムのδ 4、交互立方ハニカムのhδ 4 、および1/4立方ハニカムのqδ 4に基づいている。
- ^ Hestenes, David; Holt, Jeremy (2007 年 2 月 27 日). 「幾何代数における結晶学的空間群」(PDF) . Journal of Mathematical Physics . 48 (2). AIP Publishing LLC: 023514. doi :10.1063/1.2426416. ISSN 1089-7658.
- 準結晶の結晶学：概念、方法、構造、Walter Steurer、Sofia Deloudi (2009)、p. 54-55。立方対称性を持つ2つ以上の均一な多面体の12のパッキング
さらに読む
- Conway, John H. ; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008)。「21. アルキメデスとカタロニアの多面体とタイルの命名」。The Symmetries of Things。AK Peters, Ltd. pp. 292– 298。ISBN 978-1-56881-220-5。
- インチボールド、ガイ (1997年7月) 。「アルキメデスのハニカム双対」。数学ガゼット。81 (491)。レスター: 数学協会: 213– 219。doi :10.2307/3619198。JSTOR 3619198。[1]
- Branko Grünbaum (1994)「3次元空間の均一タイリング」Geombinatorics 4, 49 - 56。
- ノーマン・ジョンソン(1991)均一多面体、原稿
- A. Andreini、(1905) Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (多面体の規則的および半規則的なネットおよび対応する相関ネットについて)、Mem。イタリア科学協会、Ser.3、14 75–129。PDF [2]
- ジョージ・オルシェフスキー（2006）「均一な全倍数体テトラコーム」原稿PDF [3]
- ピアース、ピーター（ 1980 ）。 『自然の構造はデザイン戦略である』MIT出版 。pp.41-47。ISBN 9780262660457。
- 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [4]
- (論文24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45] p318参照 [5]