全反射

物理学において、全反射( TIR ) とは、ある媒体から別の媒体 (水から空気など) への界面(境界)に到達した波が、2 番目 (「外部」) の媒体に屈折せず、最初の (「内部」) 媒体に完全に反射される現象です。これは、2 番目の媒体の波の速度が最初の媒体よりも速く (つまり、屈折率が低い)、波が界面に十分な斜めの角度で入射する場合に発生します。たとえば、一般的な水槽の水と空気の表面を下から斜めに見ると、明るさを失うことなく、水中の景色が鏡のように映ります(図 1)。

TIR は、光やマイクロ波などの電磁波だけでなく、音波や水波などの他の種類の波でも発生します。波が狭いビームを形成できる場合 (図 2)、反射は波ではなく「光線」として説明される傾向があります。空気、水、ガラスなど、方向に依存しない特性を持つ媒体では、「光線」は関連する波面に対して垂直です。

屈折は一般に部分反射を伴います。波が伝播速度の遅い（屈折率が高い）媒体から伝播速度の速い（屈折率が低い）媒体へ、たとえば水から空気へ屈折する場合、屈折角（出射光線と表面法線の間）は入射角（入射光線と法線の間）よりも大きくなります。入射角が臨界角と呼ばれる一定のしきい値に近づくと、屈折角は 90° に近づき、屈折光線は境界面と平行になります。入射角が臨界角を超えて大きくなると、屈折条件が満たされなくなるため屈折光線はなくなり、部分反射が全反射になります。可視光の場合、臨界角は水から空気への入射で約 49°、普通のガラスから空気への入射で約 42° です。

TIR のメカニズムの詳細により、より微妙な現象が生まれます。定義上、全反射では2 つの媒体間のインターフェースを横切る電力の継続的な流れは発生しませんが、外部媒体はいわゆるエバネッセント波を運びます。この波は、インターフェースからの距離に応じて指数関数的に振幅が減少する振幅でインターフェースに沿って移動します。外部媒体が損失なし (完全に透明)、連続、無限の範囲である場合、「全」反射は確かに全反射ですが、エバネッセント波が損失のある外部媒体によって吸収される (「減衰全反射」)、または外部媒体の外側の境界またはその媒体に埋め込まれた物体によって逸らされる (「フラストレーション」TIR) 場合は、全反射より著しく小さくなることがあります。透明媒体間の部分反射とは異なり、全内部反射では、偏光の各成分 (入射面に対して垂直または平行) に対して、重要な位相シフト(ゼロまたは 180° だけではない)が伴い、シフトは入射角によって異なります。 1823 年にオーギュスタン＝ジャン・フレネルがこの効果を説明し、光の波動理論を支持する証拠がさらに増えました。

位相シフトは、フレネルの発明であるフレネル・ロムによって偏光を変更するために使用されています。全反射の効率は、光ファイバー（通信ケーブルや画像形成ファイバースコープで使用）や、単眼鏡や双眼鏡用の像正立ポロプリズム/ルーフプリズムなどの反射プリズムによって利用されています。

全反射は、マイクロ波^[1]や音波^[2]など、斜入射すると考えられるあらゆる種類の波で発生する可能性がありますが、最もよく知られているのは光波 の場合です。

光の全反射は、一般的なガラスまたはアクリルガラスの半円筒形のブロックを使用して実証できます。図 3 では、「光線ボックス」が細い光線 (「光線」) を放射状に内側に投影しています。ガラスの半円形の断面により、入射光線は空気/ガラス表面の湾曲部分に対して垂直に保たれ、平面部分との角度は変化しますが、平面部分に向かって直線的に進み続けます。

光線が平らなガラスと空気の界面にぶつかる部分で、光線と界面の法線（垂直）との間の角度を入射角と呼びます。^[3]この角度が十分に小さければ、光線は部分的に反射されますが大部分は透過し、透過した部分は法線から離れて屈折するため、屈折角（屈折した光線と界面の法線との間の角度）は入射角よりも大きくなります。ここでは、入射角をθ _i、屈折角をθ _tと呼びましょう（tは透過、rは反射）。θ _{i が}増加してθ _c（またはθ _crと呼ばれることもある）で示される特定の「臨界角」に近づくと、屈折角は 90° に近づき（つまり、屈折した光線が界面の接線に近づき）、屈折した光線は暗くなり、反射した光線は明るくなります。^[4] θ _{i が}θ _{c を}超えて増加すると、屈折光線は消えて反射光線のみが残り、入射光線のエネルギーはすべて反射されます。これが全反射（TIR）です。簡単に言うと、

• θ _i < θ _c ‍ の場合、入射光線部分的に反射され、部分的に屈折します。 
• θ _i > θ _c ‍ の場合、入射光線 

臨界角は、全反射をもたらす最小の入射角、または同等に屈折光線が存在する最大角度です。^[5]単一の屈折率 n ₁ を持つ「内部」媒体から単一の屈折率n ₂を持つ「外部」媒体に入射する光波の場合、臨界角は ‍ で与えられ、 ‍ n ₂ ≤ n ₁の場合に定義されます。他の種類の波については、屈折率ではなく伝播速度の観点から考える方が便利です。速度の観点からの臨界角の説明はより一般的なので、最初に説明します。   ${\displaystyle \theta _{{\text{c}}\!}=\arcsin(n_{2}/n_{1})\,,}$  

波面が 1 つの媒体から別の媒体に屈折すると、波面の入射部分と屈折部分 (出射部分) が屈折面 (界面) 上の共通線で出会います。この線をLで表し、表面を速度uで移動するとします^{[6] [7]。}ここで、u はL ‍ に対して垂直に測定されます (図 4)。入射波面と屈折波面がそれぞれ垂直速度とで伝播し、界面と二面角θ ₁とθ ₂を成すとします。幾何学から、 ‍ は入射波に対して垂直な方向のuの成分であるため、‍ 同様に、‍ 1/ uについて各方程式を解き、結果を等しくすると、波の屈折の一般法則が得られます。 ${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{1\!}=u\sin \theta _{1}\,.}$ ${\displaystyle v_{2}=u\sin \theta _{2}\,.}$

しかし、2つの平面間の二面角は、それらの法線間の角度でもあります。したがって、θ ₁は入射波面の法線と界面の法線の間の角度であり、θ ₂は屈折波面の法線と界面の法線の間の角度です。そして、式（1）は、これらの角度の正弦がそれぞれの速度と同じ比率であることを示しています。^[8]

この結果は「スネルの法則」の形をしていますが、速度の比が一定であるとはまだ言っておらず、θ ₁とθ _{2 を}入射角と屈折角 (上記ではθ _iとθ _tと呼ばれています) と同一視していません。しかし、ここで媒体の特性が等方性(方向に依存しない) であると仮定すると、さらに 2 つの結論が導かれます。まず、2 つの速度、したがってその比は方向に依存しません。次に、波の法線方向は光線の方向と一致し、θ ₁とθ _{2 は}上記で定義した入射角と屈折角と一致します。^{[注 1]}

明らかに屈折角は90°を超えることはできません。 極限の場合、式（1 ）に‍ θ ₂ = 90°および‍ θ ₁ = θ _{c ‍ を}代入し、臨界角を解きます。  

この結果を導くにあたり、 θ ₁とθ _{2 を}入射角と屈折角と同一視するために等方性媒体という仮定を維持した。 ^{[注 3]}

電磁波、特に光の場合、上記の結果は屈折率で表すのが通例です。通常の速度を持つ媒体の屈折率は次のように定義されます。ここでcは真空中の光速です。^[9]したがって同様に、式( 1 )と式( 2 )にこれらの代入を行うと、次の式が得られます 。${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle n_{1\!}=c/v_{1}\,,}$  ${\displaystyle v_{1\!}=c/n_{1}\,.}$  ${\displaystyle v_{2}=c/n_{2}\,.}$   

そして

式( 3 )は、 θ1とθ2_を二面角とした場合の屈折率による一般媒質の屈折の法則である。しかし、媒質が等方性の場合_、n1とn2_は方向とは無関係_になり、θ1_とθ2は光線の入射角と屈折角と見なすことができ、式(4)が成り立つ。_{したがって}、等方性媒質の場合、式( 3 )と式( 4 )を合わせて図5の挙動を説明する。   

式（4）によれば、水（n ₁ ≈ 1.333）から空気（n ₂ ≈ 1）への入射の場合、‍ θ _c ≈ 48.6°となるのに対し、一般的なガラスやアクリル（ n ₁ ≈ 1.50）から空気（n ₂ ≈ 1）への入射の場合、‍ θ _c ≈ 41.8°となる。

θ _{c を}生じるアークサイン関数は、 ‍ n ₂ ≤ n ₁の場合にのみ定義されます。したがって、等方性媒体の場合、2 番目の媒体の屈折率が最初の媒体よりも高い (法線速度が低い) 場合、全反射は発生しません。たとえば、空気から水への入射では全反射は発生しません。むしろ、水から空気への入射の臨界角は、空気から水への斜入射時の屈折角です^[10]  ${\displaystyle (v_{2}\geq v_{1})\,.}$ 

屈折率の高い媒体は一般的に光学的に密度が高いと説明され、屈折率の低い媒体は光学的に希薄であると説明されます。^[11]したがって、全反射は「密から希」の入射では可能だが、「希から密」の入射では不可能であると言われています。

水槽の横に立って、目が水面より下を向いていると、水面と空気の表面に映った魚や水中の物体が見えることがあります (図 1)。反射像の明るさは、直接見たのと同じくらい明るく、驚くほどです。

同様の効果は、水面直下を泳ぎながら目を開けることでも観察できます。水が穏やかであれば、臨界角（垂直から測った）の外側の水面は鏡のように見え、下にある物体を映し出します。水面上の領域は頭上以外では見えません。頭上では、半球状の視野がスネルの窓と呼ばれる円錐形の視野に圧縮され、その角直径は臨界角の 2 倍になります（図 6 を参照）。^[12] 水面上の視野は理論上は 180° ですが、水平線に近づくにつれて、屈折によって垂直方向の次元がより強く圧縮されるため、視野は狭く見えます。たとえば、式（３）空気から水への入射角が90°、80°、70°の場合、対応する屈折角は48.6°（図6_のθcr）、47.6°、44.8°であり、地平線から20°上の点の像はスネルの窓の端から3.8°離れているのに対し、地平線から10°上の点の像は端からわずか1°離れていることを示しています。^[13]

たとえば、図 7 は、プールの浅い端の底近くで撮影された写真です。右側の壁の幅広い横縞のように見えるものは、オレンジ色のタイルの列の下端とその反射で構成されています分散を参照)。

臨界角は宝石をカットする角度に影響します。たとえば、ラウンドブリリアントカットは、前面のファセットに入射する光を屈折させ、それを背面のファセットで TIR によって 2 回反射させ、再び前面のファセットから透過させて石を明るく見せるように設計されています。ダイヤモンド(図 8) は、屈折率が高く (約 2.42)、その結果臨界角が小さい (約 24.5°) ため、幅広い視野角で望ましい動作が得られるため、この処理に特に適しています。^[14]同様にこの処理に適した安価な素材には、キュービックジルコニア(屈折率 ≈ 2.15) やモアッサナイト(非等方性、したがって複屈折、屈折率は約 2.65 ～ 2.69 ^{[注 4]}で、方向と偏光によって異なります) があります。そのため、これらは両方ともダイヤモンド類似品として人気があります。

数学的には、波は時間とともに変化する場として記述され、「場」は空間内の位置の関数である。伝播する波には「努力」場と「流れ」場が必要であり、後者はベクトルである（2次元または3次元で作業している場合）。努力と流れの積は電力に関係している（システム等価性を参照）。たとえば、非粘性流体の音波の場合、努力場を圧力（スカラー）として、流れ場を流体速度（ベクトル）としてとらえることができる。これら2つの積は強度（単位面積あたりの電力）である。^{[15] [注5]電磁波の場合、努力場を}電場  Eとして 、流れ場を磁化場  Hとしてとらえる。これらは両方ともベクトルであり、そのベクトル積はやはり強度である（ポインティングベクトルを参照）。^[16]

たとえば、媒体 1 の波が媒体 1 と媒体 2 の界面で反射されると、媒体 1 の流れ場は、入射波と反射波による流れ場のベクトル和になります。^{[注 6]} 反射が斜めの場合、入射場と反射場は反対方向にはないため、界面で打ち消すことはできません。また、全反射であっても、結合した場の法線成分または接線成分 (場所と時間の関数として) のいずれかが、界面に隣接してゼロ以外でなければなりません。さらに、場を支配する物理法則では、一般に、2 つの成分のうちの 1 つが界面全体で連続している (つまり、界面を横切っても突然変化しない) ことが示されています。たとえば、電磁波の場合、界面条件の 1 つは、表面電流がない場合、 Hの接線成分が連続していることです。 ^[17]したがって、全反射であっても、流れ場が媒体 2 にいくらか浸透している必要があります。そして、これは、努力場と流れ場に関する法則と相まって、努力場の浸透もあることを意味しています。同じ連続条件は、媒体 2 の場の変化 (「波状」) が、媒体 1 の入射波と反射波の変化と同期することを意味しています。

しかし、反射が完全である場合、媒質 2 への場の空間的浸透は何らかの方法で制限される必要があります。そうしないと、それらの場の総範囲、したがって総エネルギーが増加し続け、媒質 1 から電力が消費されます。連続波列の全反射により、いくらかのエネルギーが媒質 2 に蓄積されますが、媒質 1 から媒質 2 への電力の継続的な転送は許可されません。

したがって、主に定性的な推論を使用すると、全反射は「外部」媒体内の波のような場を伴い、入射波と反射波と同期して界面に沿って移動するが、「外部」媒体への何らかの限られた空間浸透を伴うと結論付けることができます。このような場は、エバネッセント波と呼ばれることがあります。

図 9 は基本的な考え方を示しています。入射波は平面で正弦波であると仮定します。反射波は、簡単にするために示されていません。エバネッセント波は、入射波と反射波と同期して右方向に進みますが、その振幅は界面からの距離が増すにつれて減少します。

(図 9 のエバネッセント波の 2 つの特徴については後で説明します。1 つ目は、エバネッセント波の山が界面に対して垂直であること、2 つ目は、エバネッセント波が入射波よりもわずかに先行していることです。)

内部反射が完全反射であるためには、エバネッセント波の方向転換があってはなりません。たとえば、ある入射角でガラス (屈折率が高い) から空気 (屈折率が低い) に入射する電磁波が TIR の影響を受けるとします。また、屈折率が十分に高い第 3 の媒体 (多くの場合、第 1 の媒体と同一) があり、第 3 の媒体を第 2 の媒体と置き換えると、同じ入射角で標準的な透過波列が得られるとします。次に、第 3 の媒体を第 1 の媒体の表面から数波長の距離内に持ち込むと、エバネッセント波が第 2 の媒体で大きな振幅を持ち、エバネッセント波は第 3 の媒体に効果的に屈折し、第 3 の媒体への透過がゼロではなくなるため、第 1 の媒体への反射は全反射よりも少なくなります。^[18]エバネッセント波の振幅が空気ギャップを横切って減衰するにつれて、透過波は減衰し、ギャップがない場合よりも透過が少なくなり、したがって反射が多くなります。ただし、透過がある限り、反射は完全反射よりも少なくなります。この現象は、フラストレート全反射（「フラストレート」は「完全」を否定します）と呼ばれ、「フラストレートTIR」または「FTIR」と略されます。

フラストレートTIRは、手に持ったコップの水の表面を覗き込むことで観察できます（図10）。コップをゆるく持つと、接触が十分に近く広範囲に及ばないため、顕著な効果は得られません。しかし、よりしっかりと持つと、指紋の隆起がエバネッセント波と強く相互作用し、通常は完全に反射するガラスと空気の表面を通して隆起が見えるようになります。^[19]

同じ効果は、パラフィンワックスを「内部」媒体（入射波と反射波が存在する場所）として使用してマイクロ波でも実証できます。この場合、許容されるギャップ幅は（例えば）1cmまたは数cmになる可能性があり、これは簡単に観察および調整できます。^{[1] [20]}

フラストレートTIRという用語は、エバネッセント波が反射界面に十分近い物体によって散乱される場合にも適用されます。この効果は、散乱光の量が界面からの距離に強く依存することと相まって、全反射顕微鏡法で利用されています。^[21]

FTIRのメカニズムはエバネッセント波結合と呼ばれ、量子トンネル効果を視覚化するのに適した類似例です。^[22]物質の波動性により、電子は、古典力学ではエネルギーが不十分だと言われても、障壁を「トンネル」する確率がゼロではありません。 [ ^{18] [19]}同様に、光の波動性により、光線光学ではそのアプローチが斜めすぎると言われても、光子はギャップを横切る確率がゼロではありません。

臨界角を超えても内部反射が全反射より小さくなるもう一つの理由は、外部媒体が「損失性」（完全に透明ではない）である可能性があるためである。この場合、外部媒体はエバネッセント波からエネルギーを吸収し、エバネッセント波の維持は入射波から電力を引き出す。結果として生じる全反射より小さい反射は減衰全反射率（ATR）と呼ばれる。この効果、特に吸収の周波数依存性は、未知の外部媒体の組成を研究するために使用できる。^[23]

均一平面正弦波電磁波では、電場  Eは次の形をとる。

ここで、E _kは（定数）複素振幅ベクトル、  iは虚数単位、  kは波数ベクトル（その大きさkは角波数）、  rは位置ベクトル、  ωは角周波数、  t時間であり、式の実数部は物理的な場であることが理解される。 ^{[注 7]}磁化場  H は、同じkとωで同じ形になります。位置r がkに垂直な方向に変化しても、式の値は変化しません。したがって、k は 波面に対して垂直です。

ℓ がrのk方向の成分である場合、場( 5 ) は次のように書ける。の引数が一定である    場合、 ℓ は位相速度と呼ばれる 速度 で増加する必要がある。^[24]これは、次に に等しい。ここで、c は参照媒体（真空と仮定）の位相速度であり、 nは参照媒体に対する局所屈折率である。k について解くと、 すなわち${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i(k\ell -\omega t)}\,.}$${\displaystyle e^{i(\cdots )}}$ ${\displaystyle \omega /k\,,\,}$${\displaystyle c/n\,,\,}$ ${\displaystyle k=n\omega /c\,,\,}$

ここで真空中の波数である。^{[25] [注8]}${\displaystyle \,k_{0}=\omega /c\,}$

（５）から、「外部」媒体の電場は次の形をとる。

ここで、k _{t は}透過波の波動ベクトルです（等方性媒体を想定していますが、透過波がエバネッセントであるとはまだ想定されていません）。

直交座標( x、  y、z )において、 y < 0 の領域の屈折率をn ₁、とし、 y > 0 の領域の屈折率をn ₂とします。この場合、xz平面が界面となり、y軸が界面に対して垂直となります (図 11)。iとj (太字のローマン体) をそれぞれx方向とy方向の単位ベクトルとします。入射面(入射波の法線と界面の法線を含む) をxy平面 (ページの平面) とし、jからiに向かって測定した入射角θ _iとします。同じ方向に測定した屈折角をθ _t ( tは透過、 r は反射を表す ) とします。  

（6）から、透過波ベクトルk _{t の大きさは}n ₂ k ₀である。したがって、幾何学から、 最後のステップではスネルの法則を使用する。位置ベクトルとの ドット積を取ると、 式（7）は次のようになる 。$${\displaystyle \mathbf {k} _{\text{t}}=n_{2}k_{0}(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}})=k_{0}(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _{\text{t}})\,,}$$$${\displaystyle \mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} =k_{0}(n_{1}x\sin \theta _{\text{i}}+n_{2}y\cos \theta _{\text{t}})\,,}$$

TIRの場合、角度θ _tは通常の意味では存在しません。しかし、cos θ _tを複素数として許容することで、透過波（エバネッセント波）の（ 8 ）を解釈することができます。これは、cos θ _tをsin θ _t ‍、 ‍で表し、スネルの法則を使用してsin θ _iで表すときに必要になります。 臨界角よりも大きいθ _i の場合、平方根記号の下の値は負であるため、^[26]    $${\displaystyle \cos \theta _{\text{t}}={\sqrt {1-\sin ^{2}\theta _{\text{t}}}}={\sqrt {1-(n_{1}/n_{2})^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}}}\,.}$$

どの符号が適用できるかを決定するために、（9）を（8）に代入すると、

ここで、未定符号は（ 9 ）の符号と反対である。減衰透過波、つまりyが増加するにつれて振幅が減少する波の場合、（10 ）の未定符号は負でなければならないので、（ 9 ）の未定符号は正でなければならない。^[注9]

正しい符号を付けると、結果（10）は次のように省略できる。

どこ

k _{0 は}真空中の波数であり、 すなわち${\displaystyle \,\omega /c\,.}$

したがって、エバネッセント波はx方向に伝播する平面正弦波であり、振幅はy方向に指数関数的に減少します (図 9 を参照)。この波に蓄えられたエネルギーも同様にx方向に伝播し、界面を横切らないことは明らかです。したがって、ポインティング ベクトルは一般にx方向の成分を持ちますが、そのy成分は平均してゼロになります (ただし、瞬間的なy成分は完全にゼロではありません)。^{[27] [28]}

式（11）は、エバネッセント波の振幅は、座標y（界面から測定）がエバネッセント波の「浸透深さ」と呼ばれる距離だけ増加するにつれて係数eだけ減少することを示している。 ^[29]式（ 12 ）の最初の式の逆数を取ると、浸透深さは^次のようになる。 [28] ここでλ ₀は真空中の波長、すなわち ^[30]分子と分母をn ₂で割ると、次の式が得られる 。ここでλ 2 は第2の（外部）媒体中の波長である。したがって、λ 2 の単位でdを入射角の関数として、さまざまな値に対してプロットすることができる （図₁₂）。 θ iが_臨界角に向かって減少するにつれて 、分母はゼロに近づくため、 dは無制限に増加する。これは予想される通りである。なぜなら、 θ _{i が}臨界角未満になるとすぐに、均一な平面波が外部媒体で許容されるからである。θ _{i が}90°（斜入射）に近づくと、 d は最小値に近づきます 。 水から空気、または一般的なガラスから空気への入射の場合、d _{min は}⁠とあまり変わりません。 ${\displaystyle d=1/\kappa \,,\,}$ $${\displaystyle d={\frac {\lambda _{0}}{2\pi \,{\sqrt {n_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}\,-\,n_{2}^{2}}}}}~,}$$${\displaystyle \,2\pi /k_{0}\,.}$ $${\displaystyle d={\frac {\lambda _{2}}{2\pi \,{\sqrt {(n_{1}/n_{2})^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}\,-\,1}}}}~,}$$${\displaystyle \,\lambda _{2}=\lambda _{0}/n_{2}\,}$${\displaystyle n_{1}/n_{2\,}}$   $${\displaystyle d_{\text{min}}={\frac {\lambda _{2}}{2\pi \,{\sqrt {(n_{1}/n_{2})^{2}-1}}}}~.}$$  λ2 _.../2π​⁠ しかし、入射角が小さいほどd は大きくなり (図 12)、距離がdの数倍の場合でも振幅は依然として大きい可能性があります。たとえば、e ^−4.6は 0.01 より大きいため、界面から距離4.6 ‍ d以内のエバネッセント波の振幅は  、界面での値の少なくとも 1% になります。したがって、大まかに言えば、エバネッセント波の振幅は界面の「数波長以内」で大きいと言えます。

1817年から1823年の間に、オーギュスタン＝ジャン・フレネルは、全反射は、フレネル反射係数がゼロ以外の虚数部を獲得するため、重要な位相シフト（つまり、0°または180°に制限されない位相シフト）を伴うことを発見しました。^{[31]ここで、}線形、均質、等方性、非磁性媒体の場合の電磁波に対するこの効果について説明します。位相シフトは、入射角が臨界角を超えて増加するにつれて大きくなるが、入射波の偏光に依存する、前進であることが判明しています。

式（5）、（7）、（8）、（10）、（11 ）において、 ωtをωt+ϕに置き換えると（つまり、−ωtを−ωt−ϕに置き換えると）、位相は角度ϕだけ進み、その結果、（複素）場はe ^−iϕで乗算されます。したがって、位相の進みは、負の引数を持つ複素定数による乗算と同等です。これは、（例えば）場（5）を次のように因数分解するとより明らかになります。最後の因数は時間依存性を含みます。^[注10]   ${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i\mathbf {k\cdot r} }e^{-i\omega t},\,}$

入射波、反射波、透過波の偏光を表現するために、界面に隣接する電界を、それぞれ表面と入射面に平行なs成分 と p成分と呼ばれる 2 つの直交成分に分解することができます。言い換えると、s成分 と p成分はそれぞれ入射面に対して直角と平行です。 ^{[注 11]}

偏光の各成分について、入射、反射、または透過電界（式（5）のE）は特定の方向を持ち、その方向の（複素）スカラー成分で表すことができます。反射係数または透過係数は、同じ点、または界面の反対側の無限に離れた点における複素成分の比として定義できます。ただし、係数の符号を固定するには、「方向」に正の方向を選択する必要があります。s成分の場合、入射、反射、および透過電界の正の方向はすべて同じであると言うのが当然の選択です（たとえば、図11のz方向） 。p成分の場合、この記事では、入射、反射、および透過電界の正の方向が同じ媒体（つまり、界面の同じ側、たとえば図11の赤い矢印など）に傾いているという規則を採用しています。^{[注12]しかし、いくつかの書籍では}p成分の表記法が異なり、反射係数の式の符号が異なる場合があるので注意が必要である。^[32] 

s偏光の場合、反射係数と透過係数をそれぞれr _sとt _sとする。p偏光の場合、対応する係数をr _pとt _p とする。すると、線形、均質、等方性、非磁性媒体の場合、係数は次のように与えられる。^[33]

(上記の導出については、  フレネル方程式 § 理論を参照してください。)

ここで、透過波がエバネッセント波であると仮定する。正しい符号（+）で、（9）を（13）に代入すると、次の式が得られる。 ここ で、nは「外部」媒体に対する「内部」媒体の屈折率、または外部媒体が真空の場合は内部媒体の屈折率である。^{[注13]したがって、} r _sの大きさは1であり、r _sの偏角は、 位相の進みが‍ [ 34 ^]となる。$${\displaystyle r_{s}=\,{\frac {n\cos \theta _{\text{i}}-i{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{n\cos \theta _{\text{i}}+i{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}}\,,}$$$${\displaystyle n=n_{1}/n_{2}\,;}$$ $${\displaystyle -2\arctan {\frac {\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}{n\cos \theta _{\text{i}}}}\,,}$$

（ 14）に同じ代入を行うと、 t _{s は}r _sと同じ分母を持ち、分子が正の実数（複素共役分子ではなく）であるため、r _s ‍ ‍ の半分の引数を持つことがわかります。そのため、エバネッセント波の位相進みは反射波の半分になります。

同じ符号の選択で、^[注14] ( 9 )を( 15 )に代入すると、 その大きさは1、その引数は となり、位相の進みは‍ [ ^{34]となる。}$${\displaystyle r_{p}=\,{\frac {\cos \theta _{\text{i}}-in{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{\cos \theta _{\text{i}}+in{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}}\,,}$$$${\displaystyle -2\arctan {\frac {\,n{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}\,,}$$

（ 16 ）で同じ代入を行うと、エバネッセント波の位相進みは反射波の位相進みの 半分であることが再びわかる。

式（17）と（18）は、θ _iが入射角、θ _cが臨界角arcsin （1/ n）であるとき、 θ _c ≤ θ _i < 90°のときに適用される。これらの式は、  

• 各位相進みは臨界角（分子がゼロ）でゼロになります。
• 各位相の進みは‍ θ _i → 90°のときに 180° に近づきます。
• θ _iの中間値ではδ _p > δ _{s ‍ で}ある（因子nは（ 18 ）の分子と（ 17）の分母にあるため）。 ^[35]

θ _i ≤ θ _c ‍ の場合、反射係数は式( 13 )と式( 15 )で与えられ、実数であるため、位相シフトは0°(係数が正の場合)または180°(係数が負の場合)のいずれかになります。

（１３）において、‍（スネルの法則）を置き、 分子と分母に‍ ⁠を掛けると、${\displaystyle n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}}$ 1/1 ₁⁠  sin θ _t  ‍ 、 ‍ は ^{[36] [37]を得る。}

これは透過光線のすべての入射角に対して正であり（‍ θ _t > θ _iなので）、位相シフトδ _{s は}ゼロになります。

（ 15 ）についても同様にすると、結果は ^{[38] [39]と等価であることが簡単に示される。}

これは、小さな角度（つまり、垂直入射に近い角度）では負ですが、ブリュースター角で符号が変わります。ここで、  θ _iとθ _{t は}相補的です。したがって、位相シフトδ _{p は}、 θ _{i が}小さい場合は 180° ですが、ブリュースター角では 0° に切り替わります。この相補性とスネルの法則を組み合わせると、密入射から希入射までのブリュースター角として‍ θ _i = arctan (1/ n ) ‍ が得られます。^{[注 15]}

（式（19）と（20 ）はフレネルの正弦法則とフレネルの接線法則として知られています。^{[40]どちらも法線入射では0/0になりますが、} θ _i → 0の極限では正しい結果が得られます。法線入射に近づくにつれて反対の符号を持つことは、この記事で使用されている符号規則の明らかな欠点です。対応する利点は、斜入射では同じ符号を持つことです。）

これで、すべての入射角に対するδ _sとδ _{p を}プロットするために必要な情報が完成しました。これは、3 つの屈折率に対して、 δ _{p を}赤、δ _{s を}青で表した図 13 ^[34]で示されています。入射角スケール (水平軸) では、ブリュースター角はδ _p (赤) が 180° から 0° に低下する角度であり、臨界角はδ _pとδ _s (赤と青) の両方が再び上昇し始める角度です。臨界角の左側は部分反射の領域で、ここでは両方の反射係数が実数（位相 0° または 180°）で大きさが 1 未満です。臨界角の右側は全反射の領域で、ここでは両方の反射係数が複素数で大きさが 1 です。その領域では、黒い曲線はp成分のs成分 に対する位相の進みを示しています 。^[41] 屈折率 1.45 では 45° の位相差を与えるのに十分ではありませんが、屈折率 1.5 では（わずかですが）2 つの入射角（約 50.2° と 53.3°）で 45° の位相差を与えるのに十分であることがわかります。 $${\displaystyle \delta =\delta _{p\!}-\delta _{s}\,.}$$

この 45° の相対シフトは、現在フレネル菱形として知られるフレネルの発明で採用されており、入射角は、2 つの内部反射によって入射波の 2 つの偏光間で 90° の相対位相シフトが生じるように選択されます。このデバイスは、複屈折1/4 波長板と同じ機能を果たしますが、より無色です (つまり、菱形の位相シフトは波長の影響を受けにくい)。どちらのデバイスも、たとえば直線偏光を円偏光に変換したり(これもフレネルが発見)、その逆を行ったりするために使用できます。

図13では、  δは最後の減算によって計算されていますが、表現方法は他にもあります。フレネル自身は1823年に^[42] cosδ の式を与えました  。Born とWolf（1970、p.50）は、tan （δ /2）の式を導出し、その最大値を解析的に求めています。

有限幅のビームのTIRでは、入射角による位相シフトの変化により、グース・ヘンヒェン効果が発生し、これは入射面内で反射ビームが横方向にシフトする現象である。^{[28] [43]この効果は、} s方向またはp方向の直線偏光に適用される。インベルト・フェドロフ効果は、円偏光または楕円偏光に対する類似の効果であり、入射面に対して垂直なシフトを生成する。^[44]

光ファイバーは全反射を利用して、ほとんど減衰せずに長距離にわたって信号を伝送します。 ^{[45]光ファイバーは}通信ケーブルや結腸鏡などの画像形成ファイバースコープに使用されます。 ^[46]

オーギュスタン＝ジャン・フレネルが灯台用に発明した反射屈折型フレネルレンズでは、外側のプリズムがTIRを利用して、ランプからの光を、純粋な屈折型プリズムで可能な角度よりも大きな角度で偏向させるが、従来の鏡よりも光の吸収が少なく（変色のリスクも少ない）。^[47]

TIRを使用する他の反射プリズムには以下のものがある（カテゴリ間で重複する部分もある）^{[48] 。}

• 双眼鏡やスポッティングスコープ用の像正立プリズムには、45°-90°-45°のペアのポロプリズム（図14）、ポロ・アッベプリズム、インラインケーニッヒ^[49]とアッベ・ケーニッヒプリズム、コンパクトなインラインシュミット・ペシャンプリズムなどがあります。（最後のものは2つの部品で構成されており、そのうちの1つは一種のバウエルンファインドプリズムで、入射角が臨界角未満であるため、2つの反射面のうちの1つに反射コーティングが必要です。）これらのプリズムには、対物レンズから主焦点までの光路を折り曲げるという追加機能があり、与えられた主焦点距離に対する全体の長さを短縮します。
• 天体望遠鏡用のプリズム型星対角線は、単一のポロプリズム（単一反射用に構成され、鏡像が反転した画像を生成する）またはアミチルーフプリズム（非反転画像を生成する）で構成される場合があります。
• ルーフプリズムは、90° の鋭角で交わる 2 つの面で TIR を使用します。このカテゴリには、ケーニッヒ、アッベ・ケーニッヒ、シュミット・ペシャン、アミチの各タイプ (すでに説明) と、一眼レフカメラで使用されるルーフペンタプリズムが含まれます。これらの最後のプリズムでは、 TIR 以外の1 つの面に反射コーティングが必要です。
• プリズムコーナーリフレクターは、 3回の全内部反射を利用して入射光の方向を反転します。
• ダブプリズムは、鏡像反転によるインラインビューを提供します。

偏光プリズム: 直線偏光と楕円偏光を変換するフレネル菱形プリズムは複屈折性（二重屈折性）ではないが、特定の偏光の光が完全に反射され、直交偏光の光が少なくとも部分的に透過されるように、複屈折性とTIRを組み合わせた他の種類のプリズムがある。例としては、ニコルプリズム、^[50] グラン・トムソンプリズム、グラン・フーコープリズム（または「フーコープリズム」）、^{[51] [52]}グラン・テイラープリズムなどがある。^[53]

屈折率を測定する屈折計では臨界角がよく用いられる。 ^{[54] [55]}

自動フロントガラス/ワイパー用の雨滴センサーは、フロントガラスの外側の表面が乾燥している場合は全反射により赤外線ビームが光源から検出器に導かれるが、表面に水滴があると光の一部が逸れるという原理を利用して実装されています。 ^[56]

エッジライトLEDパネルは、例えば液晶コンピュータモニターのバックライトとして使用され、TIRを利用してLEDの光をアクリルガラス板に閉じ込めますが、光の一部はガラス板の片側のエッチングによって散乱され、ほぼ均一な光放射率が得られます。^[57]

全反射顕微鏡（TIRM）は、エバネッセント波を使用して反射界面に近い小さな物体を照射します。エバネッセント波の散乱（フラストレーションTIRの一種）により、物体は「外部」側から見ると明るく見えます。^[21]全反射蛍光顕微鏡（TIRFM）では、単純な散乱に頼るのではなく、蛍光を引き起こすのに十分短いエバネッセント波長を選択します（図15）。^[58]界面からの距離に対する照明の高感度により、非常に小さな変位と力を測定できます。^[59]

ビームスプリッターキューブは、入射ビームのパワーを透過ビームと反射ビームに分割するために、フラストレートTIRを使用します。^[18] 2つのプリズム間の空気ギャップ（または低屈折率ギャップ）の幅は調整可能で、ギャップを狭くすると透過率が高く反射率が低くなり、ギャップを広くすると反射率が高く透過率が低くなります。^[60]

光変調は、急速に変化するギャップを持つフラストレーションTIRによって実現できます。 ^[61]透過係数はギャップ幅に非常に敏感であるため（ギャップがほぼ閉じるまで関数はほぼ指数関数的である）、この技術は大きなダイナミックレンジを実現できます。

光学指紋採取装置は、インクを使わずに人の指紋の画像を記録するために、フラストレーションTIRを使用しています（図11を参照）。^[62]

歩行分析は、高速カメラを用いたフラストレートTIRを使用して足跡を撮影し分析することで実行できます。 ^[63]

ゴニオスコープは、検眼や眼科で緑内障の診断に使用され、虹彩と角膜の間の角度を見るためにTIRを抑制します。この視野は通常、角膜と空気の境界面でTIRによって遮られます。ゴニオスコープは空気を高屈折率媒体に置き換え、斜め入射での透過を可能にし、通常は「鏡」で反射しますが、それ自体もTIRを使用して実装できます。^{[64] [65]}

一部のマルチタッチインタラクティブ テーブルやホワイトボードでは、画面に触れる指を検出するために FTIR が使用されています。赤外線カメラは、赤外線 LED によってエッジが照らされた画面表面の後ろに配置されています。表面に触れると、FTIR によって赤外線の一部が画面面から漏れ、カメラはこれを明るい領域として認識します。次に、コンピューター ビジョンソフトウェアを使用して、これを一連の座標とジェスチャに変換します。

虹に関する、驚くほど包括的で概ね正しい説明は、テオドリック・フォン・フライベルク（1304年から1310年の間に執筆）^[66]とカマール・アルディーン・アル・ファリス（1309年までに完成）^[67]によるものであるが、全反射（TIR）との関連で言及されることはあるものの、球状の雨滴における太陽光の反射は完全ではないため、その関連性は疑わしい。^{[注 16]しかし、}カール・ベンジャミン・ボイヤーによると、テオドリックの虹に関する論文でも光学現象を5つの原因に分類しており、その最後の原因は「2つの透明媒体の境界における全反射」であった。^[68]テオドリックの著作は、 1814年にジョヴァンニ・バッティスタ・ヴェンチュリによって再発見されるまで忘れられていた。^[69]

テオドリックが忘れ去られた後、TIRの発見はヨハネス・ケプラーの功績と一般に考えられ、ケプラーは1611年に『ディオプトリス』でその発見を発表した。ケプラーは真の屈折の法則を発見することはできなかったが、空気からガラスへの入射の場合、入射光線と屈折光線は入射点を中心に同じ方向に回転し、入射角が±90°変化すると、（現在私たちがそう呼んでいる）屈折角が±42°変化するということを実験で示した。彼はまた、入射光線と屈折光線が交換可能であることも知っていた。しかし、これらの観察は、42°を超える角度でガラスから空気に入射する光線のケースをカバーしておらず、ケプラーはすぐに、そのような光線は反射しかあり得ないと結論付けた。^[70]

ルネ・デカルトは屈折の法則を再発見し、 1637年に『屈折の法則』で発表した。同著の中で、彼は入射光線と屈折光線の回転方向とTIRの条件について言及した。しかし、彼は限界ケースについて議論することを怠り、その結果、臨界角の表現を与えることができなかったが、そうすることは容易であった。^[71]

クリスティアーン・ホイヘンスは、その著書『光論』（1690年）の中で、入射光線が「他の透明物質に浸透できなくなる」閾値に多大な注意を払った。^[72]彼は臨界角に名前も代数式も与えなかったが、ガラスから空気への入射と水から空気への入射の数値例を示し、臨界角付近での入射角の小さな変化に対して屈折角が大きく変化することに注目し、屈折光線が界面の接線に近づくにつれて反射光線の明るさが急激に増加する原因としてこれを挙げた。^[73]ホイヘンスの洞察は現代の理論によって裏付けられている。上記の式（13）と（15 ）では、 θ _{t が}90°に近づくにつれて反射係数が例外的に急激に増加するとは言っていないが、スネルの法則によれば、θ _t自体はθ _i の関数としてますます急峻になるということである。  

ホイヘンスは、直線伝播、反射、通常の屈折、さらには「アイスランド水晶」（方解石）の異常屈折の法則の説明と同じ枠組みで TIR の説明を行った。その枠組みは、2 つの前提に基づいていた。第 1 に、伝播する波面が通過するすべての点が二次波面の源になる（「ホイヘンスの原理」）。第 2 に、最初の波面が与えられた場合、波面のその後の位置は、最初の位置から放射されるすべての二次波面の包絡線（共通接線面）になる。表面による反射または屈折のすべてのケースは、その表面から放射される二次波を考慮するだけで説明できる。伝播速度の遅い媒体から伝播速度の速い媒体への屈折の場合、入射角に一定の傾斜があり、それを超えると二次波面が第 2 の媒体で共通接線を形成することは不可能になる。^[74]これが現在、臨界角と呼ばれているものである。入射波面がこの臨界傾斜に近づくと、屈折波面は屈折面に対して集中し、第1媒質への反射を生成する二次波を増強する。^[75]

ホイヘンスのシステムは、異なる大きさの粒子の衝突の法則からの類推により、漠然とではあるが、異なる媒体の界面での部分反射さえも考慮していた。 ^{[76]しかし、波動理論が}縦波を仮定し続けている限り、偏光を考慮することはできず、したがって異常屈折の偏光依存性や^[77]部分反射係数、TIRの位相シフトを説明することもできなかった。

アイザック・ニュートンは、光が波で構成されているなら、光は「あらゆる方向に曲がって広がり」、影の中に入っていくだろうと考え、直線伝播の波動説明を否定した。^[78]彼の光の粒子理論は直線伝播をより簡単に説明し、光の粒子が界面に垂直に作用する力を受けるという仮説に基づいて、TIR を含む屈折と反射の通常の法則を説明した。^[79]このモデルでは、高密度から希薄への入射の場合、力はより高密度の媒体に向かう引力であり、臨界角は、接近する粒子の通常の速度が力場の反対側に到達するのにちょうど十分な入射角であった。より斜めの入射の場合、粒子は引き返される。^[80]ニュートンは言葉ではあるが臨界角の公式を与えた。「正弦が屈折を測定するのと同じように、完全な反射が始まる入射角の正弦は円の半径に対しても測定される」^{[81] 。}

ニュートンは 2 つの点でホイヘンスを上回った。まず、当然のことながら、ニュートンは TIR と分散の関係を指摘した。白色光線が傾斜角を増しながらガラスと空気の境界面に近づくと、最も強く屈折する光線 (紫色) が最初に「全反射」によって「取り出され」、その後に屈折度の低い光線が続く。^[82]次に、ニュートンは、2 つのプリズム (1 つは平面、もう 1 つはわずかに凸面) を一緒に配置することで、全反射を(現在で言うように)妨げることができることに気づいた。そして、粒子が最初のプリズムだけでなく 2 番目のプリズムにも引き付けられるという単純な説明をした。^[83]

しかし、ニュートンの体系は、他の 2 つの点で一貫性に欠けていた。第一に、部分反射に関する彼の説明は、粒子と媒体の間に働くとされる引力だけでなく、「容易な反射の発作」と「容易な透過の発作」というより漠然とした仮説にも依存していた。^[84]第二に、彼の粒子には「側面」または「極」があり、その方向によって「島状結晶」で粒子が通常の屈折を受けるか異常な屈折を受けるかが決まる可能性があるが、^[85]異常な屈折に関する彼の幾何学的記述^[86]は理論的に裏付けられておらず^[87]、経験的にも不正確であった。^[88]

ウィリアム・ハイド・ウォラストンは、 1802年にロンドン王立協会で発表した2本の論文のうち最初の論文で、 ^[55]既知の「屈折力」（屈折率）を持つ内部媒体から、屈折率を測定すべき外部媒体への臨界入射角に基づく屈折計の発明を報告した。 ^{[89]この装置で、ウォラストンは数多くの物質の「屈折力」を測定したが、その中には屈折角を直接測定するには不透明すぎるものもあった。彼の論文の翻訳は1803年にフランスで出版され、}ピエール＝シモン・ラプラスの目に留まったようだ。^[90]

ラプラスによるニュートンの屈折理論の詳細によれば、2 つの均質な等方性媒体の間の平面界面に入射する微粒子は、界面に関して対称な力場の影響を受ける。両方の媒体が透明であれば、微粒子が 2 番目の媒体の場から出る前に折り返されると全反射が発生する。しかし、2 番目の媒体が不透明であれば、微粒子が最初の媒体を出る前に折り返されない限り全反射は発生しない。これにはスネルの法則で与えられるものよりも大きな臨界角が必要となり、結果として不透明媒体に対するウォラストンの方法の妥当性が疑問視された。^[91]ラプラスは、2 つのケースを臨界角 (TIR の最小入射角) に関する相対屈折率の 1 つの式に統合した。この式には、透明な外部媒体の場合は 1 つの値、不透明な外部媒体の場合は別の値を取るパラメータが含まれていた。ラプラスの理論は、特定の物質の屈折率と密度の関係をさらに予測した。^[92]

1807年、ラプラスの理論は弟子のエティエンヌ＝ルイ・マルスによって実験的に検証された。ラプラスの屈折率の公式を与えられたものとして、様々な温度（したがって様々な密度）での液体（透明）状態と固体（不透明）状態の蜜蝋の屈折率を測定するためにそれを使用し、マルスは屈折率と密度の間のラプラスの関係を検証した。^{[93] [94]}

しかしラプラスの理論は、入射角が彼の修正臨界角を超えると、外部媒体が吸収性であっても全反射すると示唆していた。明らかにこれは間違っていた。上の式 ( 12 ) では、角度θ _iの閾値は存在せず、それを超えるとκ は無限大になる。したがって、エバネッセント波の浸透深さ (1/ κ ) は常にゼロではなく、外部媒体が損失性であれば、反射を減衰させる。マルスが不透明なワックスに対してこのような角度を観察した理由は、反射の減衰が非常に小さくなり、ATRと TIR を視覚的に区別できなくなる特定の角度があったためと推測する必要がある。^[95]

フレネルは偏光の研究を通じて全反射の研究に至った。1811年、フランソワ・アラゴは、偏光した光が二重屈折結晶の薄片を通過すると、方向と色に依存して「偏光解消」されることを発見した。つまり、出てきた光は、検光子（第2の偏光子）を通して見ると、色を帯びていた。この現象は色偏光と呼ばれるようになり、1812年にジャン＝バティスト・ビオによってさらに徹底的に研究された。1813年、ビオは、アラゴが研究した1つの事例、すなわち光軸に垂直にカットされた石英が、実際には距離とともに偏光面が徐々に回転するものであることを証明した。^[96]

1816年、フレネルは波動に基づく色偏光理論の最初の試みを提示した。彼の理論では、（まだ）横波を明示的に引用することなく、光は2つの垂直に偏光した成分からなるものとして扱われた。 ^[97] 1817年、彼は平面偏光は、最初に入射面に対して鋭角に偏光した場合、全反射によって部分的に偏光解消されるように見えることに気付いた。^[98]色偏光実験に全反射を含めることで、彼は明らかに偏光解消された光が入射面に対して平行および垂直に偏光した成分の混合であり、全反射によってそれらの間の位相差が生じることを発見した。^[99]適切な入射角（まだ正確には指定されていない）を選択すると、1/8サイクルの位相差が得られた。「2つの結合したプリズム」の「平行面」からのそのような2つの反射は、1/4サイクルの位相差をもたらした。この場合、光が入射面と反射面に対して45°で最初に偏光していた場合、 2回の反射後には完全に偏光が解除されたように見えました。これらの発見は、 1817年11月にフランス科学アカデミーに提出され朗読された回顧録で報告されました。^[100]

1821年、フレネルは、光波を、それまで偏光面と呼ばれていた面に対して垂直な振動を持つ横方向の弾性波としてモデル化することで、正弦法則と正接法則（上記式（19）と（20 ））に相当する公式を導出した。^{[101] [注 17]}古い実験データを使用して、彼はすぐに、空気からガラスや水に入射する光について、入射ビームが入射面に対して45°で偏光されている場合、方程式が反射ビームの偏光方向を正しく予測することを確認した。^[102]この実験的確認は、フレネルが横波を導入した色偏光の成熟した理論を説明した著作の「追記」で報告された。^[103]導出の詳細は、1823年1月にアカデミーで読まれた回想録の中で後に説明されました。^[104]この導出は、エネルギー保存則と界面における接線振動の連続性を組み合わせたものでしたが、振動の法線成分に関する条件を考慮していませんでした。^[105] 

一方、1822年12月に提出された回顧録^{[106]で、フレネルは}直線偏光、円偏光、楕円偏光という用語を作り出した。^[107]円偏光の場合、2つの直交する成分は1/4サイクル（±90°）位相がずれていた。

^{この新しい用語は、1823年1月の回想録[104]}で役立ちました。そこには正弦法則と正接法則の詳細な導出が含まれています。同じ回想録で、フレネルは臨界角よりも大きな入射角の場合、結果として生じる反射係数は単位振幅の複素数になることを発見しました。振幅は通常どおり振幅比を表していることに注目し、彼は引数が位相シフトを表していると推測し、実験によって仮説を検証しました。^[108]検証には、

• s成分とp成分の間に90°の合計位相差を生じさせる入射角を、その角度での全内部反射の回数に応じて計算する（一般的には2つの解がある）。
• 入射面に対して45°の初期直線偏光で、その入射角でその回数の全反射を光に与え、
• 最終的な偏光が円形であることを確認する。^[109]

この手順が必要だったのは、当時の技術ではs 位相 シフトと p位相シフトを直接測定できず、位相シフトの差によって生じる可能性のある偏光の楕円度の任意の程度を測定することもできなかったためです。しかし、光の明るさは検光子の向きに影響されないため、 偏光が円形であることは確認できました。

屈折率が 1.51 のガラスの場合、フレネルは、2 つの反射係数の位相差が 45° (したがって 2 回の反射後には 90° の差) であるためには、入射角が 48°37' または 54°37' であることを計算し、その計算結果を導きました。彼は後者の角度に菱形を切って、予想どおりの動作をすることを発見しました。^[110]こうしてフレネル菱形の仕様が完成しました。同様に、フレネルは、同じ角度で3 回反射した後、および同じ角度で4 回反射した後に 90° の位相差を与える入射角を計算し、検証しました。それぞれの場合で 2 つの解があり、いずれの場合も、入射角が大きい方が正確な円偏光 (反射面に対して 45° の初期直線偏光の場合) を与えると報告しました。3 回の反射の場合、彼は小さい方の角度もテストしましたが、臨界角の近さと波長へのわずかな依存性のために、多少の色付きが生じることを発見しました。 （上の図 13 と比較すると、入射角が小さいほど位相差δ が屈折率に対してより敏感になることがわかります。）

フレネルは信頼性を高めるために、68°27'での4回の全反射が、2回の反射が外部媒体として水であり、他の2回が空気である場合に正確な円偏光を与えるが、反射面がすべて濡れていたり乾燥していたり​​する場合は正確な円偏光を与えないと予測し、検証した。^[111]

フレネルによる全反射における位相シフトの演繹は、複素数の引数に物理的な意味が付与された最初の例であると考えられている。この推論は光波が電磁波であるという知識なしに応用されたが、実験のテストに合格し、ジェームズ・クラーク・マクスウェルが波の想定された性質を変えた後も驚くほどそのまま生き残った。^[112]一方、フレネルの成功は、ジェームズ・マックカラーとオーギュスタン＝ルイ・コーシーにインスピレーションを与え、1836年から、複素屈折率を持つフレネル方程式を使用して金属からの反射を解析するようになった。^[113]複素屈折率の虚数部は吸収を表す。^[114]

上記の説明で便宜上使用されている「臨界角」という用語は時代錯誤的であり、1873年に遡るものである^。[115]

20世紀には、量子電気力学によって、電磁波の振幅が光子を見つける確率という観点から再解釈されました。^[116]この枠組みでは、部分透過とフラストレーションTIRは光子が境界を越える確率に関係し、減衰全反射は光子が反対側で吸収される確率に関係します。

グース・ヘンヒェン効果やインベルト・フェドロフ効果、そしてそれらの量子的解釈を含む、TIRにおける位相シフトのより微妙な側面に関する研究は21世紀まで継続されている。^[44]

• 
  インドモンガラカワハギと水面に映るその姿
• 
  ガラス内の水と空気の表面による絵筆の全反射
• 
  ワイングラスの脚部における緑色レーザーの全反射

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• PhysicsatUVM、「Frustrated Total Internal Reflection」（ビデオ、37 秒）、2011 年 11 月 21 日にアップロード。 （「レーザー ビームは、曇ったプレキシガラス内で全反射を起こします...」）
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