計算解剖学

計算解剖学は、解剖学的形状の変動性の定量的な調査とモデル化に焦点を当てた生物学の学際的な分野です。 ^{[1] [2]}生物学的構造のモデル化とシミュレーションのための数学的、統計的、データ分析的手法の開発と応用が含まれます。

この分野は広く定義されており、解剖学、応用数学、純粋数学、機械学習、計算力学、計算科学、生物学的イメージング、神経科学、物理学、確率、統計の基礎を含み、流体力学や幾何力学とも密接な関係があります。さらに、その解釈には元のセンサーイメージングモダリティ（磁気共鳴イメージングは​​その一例）から得られたメタデータを使用するという意味で、バイオインフォマティクスやニューロインフォマティクスなどの新しい学際分野を補完します。医療用画像装置ではなく、画像化される解剖学的構造に焦点を当てています。伝送および通信媒体 として機能するセンサーではなく、言語構造に焦点を当てた分野である計算言語学の歴史と精神的に似ています。

計算解剖学では、微分同相群は、における流れのラグランジュ速度とオイラー速度を介して生成される座標変換を介して、異なる座標系を研究するために使用されます。計算解剖学における座標間の流れは、流れの運動エネルギーに対して最小作用の原理を満たす測地線の流れになるように制約されます。運動エネルギーは、流速の各成分に対して厳密に2つ以上の一般化された平方積分可能な導関数を持つソボレフの滑らかさノルムによって定義され、これにより、における流れが微分同相写像であることが保証されます。^[3] これはまた、測地線のオイラー–ラグランジュ方程式を満たす点ごとに取られた微分同相形状運動量が、速度場の空間微分を介してその近傍によって決定されることを意味します。これにより、運動量が速度の点ごとの関数である非圧縮性流体の場合^{[4]とこの分野が区別されます。計算解剖学は、}リーマン多様体と非線形大域解析の研究と交差しており、ここでは微分同相写像の群が中心的な焦点となっている。形状に関する高次元理論^[5]の出現は、計算解剖学の多くの研究の中心であり、形状統計という新興分​​野から浮上した問題も同様である。計算解剖学における計量構造は、精神的には形態測定学に関連しているが、計算解剖学は、微分同相写像によって変換された座標系の無限次元空間に焦点を当てているという特徴があり、そのため、微分同相写像を介した座標系の計量空間研究である微分形態測定学という用語が中心的に使用されている。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

計算解剖学の核心は、ある形状の中に別の形状を認識することによる形状の比較である。これは、生物学においてパターンが形成される過程である形態形成の科学的説明につながった、ダーシー・ウェントワース・トンプソンの著書『成長と形態について』と関係している。アルブレヒト・デューラーの『人体比率に関する四書』は、おそらく計算解剖学に関する最も初期の著作である。^{[6] [7] [8]}計算言語学の先駆者であるノーム・チョムスキーの努力は、変換を介して作用する標本から形状と形態を生成するモデルとして計算解剖学を独自に定式化するきっかけとなった。^[9]

磁気共鳴画像（MRI）などの技術による高密度の3D測定が利用できるようになったため、 3Dの形態素スケールで解剖学的座標系を抽出するための医療用画像およびバイオエンジニアリングのサブフィールドとして計算解剖学が浮上しました。この分野の精神は、問題の動きを担うグループを解析することで物体を研究するコンピュータービジョンや剛体の運動学などの分野と重なり合っています。計算解剖学は、無限次元微分同相写像群が生物学的形状の解析の中心であるため、剛体運動に焦点を当てたコンピュータービジョンとは異なります。これは、ウルフ・グレナンダーが開拓したブラウン大学^[10]の画像解析およびパターン理論学派の一分野です。グレナンダーの一般計量パターン理論では、パターン空間を計量空間にすることが基本的な操作の1つです。これは、解剖学的構成をクラスター化して認識できるようにするには、形状間の近似値と遠近値の計量が必要になることが多いためです。計算解剖学の微分形態測定法^[11]は、2つの微分同相座標変換が互いにどれだけ離れているかを測定し、それによって、それらにインデックス付けされた形状と画像に関する測定法を誘導します。測定パターン理論のモデル^{[12] [13]} 、特に形状と形態の軌道上のグループアクションは、計算解剖学における正式な定義の中心的なツールです。

計算解剖学は、形態学または肉眼解剖学ミリメートル、あるいは形態学スケールで形状や形態を研究するもので、人体解剖学の点、曲面、部分体積の部分多様体の研究に重点を置いています。初期の近代計算神経解剖学者であるデイビッド・ヴァン・エッセン^[14]は、人間の皮質の印刷と切断に基づいて、人間の脳の初期の物理的な展開をいくつか行いました。ジャン・タライラッハのタライラッハ座標 の出版は、形態学スケールでの重要なマイルストーンであり、神経解剖学の研究における局所座標系の基本的基礎を示し、したがって微分幾何学の図表との明確なつながりを示しています。同時に、高解像度の高密度画像座標にわたる計算解剖学の仮想マッピングは、コンピュータ体軸断層撮影法と磁気共鳴画像法 に基づくルゼナ・バジシー^[15]とフレッド・ブックスタイン^[16]の初期の展開ですでに行われていました。画像解析や医用画像処理における座標系の変換に微分同相写像の流れを利用する最も古い研究は、クリステンセン、ジョシ、ミラー、ラビットらによって行われた。^{[17] [18] [19]}${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3},}$

計算解剖学を微分同相群 作用の下での模範テンプレートの軌道として初めて形式化したのは、1997 年 5 月にブラウン大学応用数学部 50 周年記念でグレナンダーとミラーが同じ題名で行った最初の講義であり、^[20]その後の出版物で発表された。^[9]これは、歴史的に加算と基底展開の概念に基づいて構築された空間正規化と画像登録の高度な方法に関する以前の研究の多くからの大きな逸脱の基礎となった。計算解剖学の現代分野の中心となる構造保存変換、同相写像、微分同相写像は滑らかな部分多様体を滑らかに運ぶ。これらは、群の性質を形成する関数の合成法則を満たすラグランジアン フローおよびオイラー フローを介して生成されるが、加法的ではない。

計算解剖学の元のモデルは、3 つの要素、グループ 、形状と形態の軌道、および軌道内のオブジェクトの変化をエンコードする確率法則でした。テンプレートまたはテンプレートのコレクションは、形状の軌道内の要素です。 ${\displaystyle ({\mathcal {G}},{\mathcal {M}},{\mathcal {P}})\ ,}$${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle m_{\mathrm {temp} }\in {\mathcal {M}}}$

計算解剖学の運動方程式のラグランジアンおよびハミルトン定式化は、1997 年以降、エコール・ノルマル・カシャンのアゼンコット^[22]スクールが主催した「形状認識の数学」に関する 1997 年の Luminy 会議^[21]や、デイビッド・マンフォードが主催したアンリ・ポアンカレ研究所の 1998 年のトリメストル「信号と画像の処理に関する数学的問題」など、いくつかの極めて重要な会議で始まりました。これらの会議は、ホプキンス-ブラウン-ENS カシャン グループと、その後の発展、および計算解剖学とグローバル分析の発展とのつながりを促進しました。

計算解剖学の発展には、微分同相写像の空間における変分問題の解の存在を保証するための微分形態測定計量上のソボレフの滑らかさ条件の確立、 ^{[23] [24]}群と関連する保存則を通じて測地線を特徴付けるオイラー-ラグランジュ方程式の導出、^{[25] [26] [27]}右不変計量の計量特性の実証、^[28]オイラー-ラグランジュ方程式がすべての時間に対して一意の解を持つ適切に設定された初期値問題を持つことの実証、^[29]ランドマーク空間における微分形態測定計量の断面曲率に関する最初の結果が含まれます。^[30] 2002年のロスアラモス会議の後、^[31]ジョシ^[32]の計算解剖学における最初の大変形特異ランドマーク解は、カマッサ・ホルム方程式の解としてピークソリトンまたはピーコン^[33]に関連付けられました。その後、ソボレフ滑らかさを満たす右不変計量に対する運動量密度の計算解剖学のオイラー・ラグランジュ方程式と、体積保存微分同相写像群における測地線を記述する非圧縮流のオイラー方程式のウラジミール・アーノルド^{[4]による特徴付けとの間に関連が作られました。 [34] [35]}その後、体積^{[32] [36] [37]}と球面多様体^[38]曲線^[39]電流と表面^{[40] [41] [42]}体積^[43]テンソル^{[44 ] 可変長体[ 45]}時系列^{[46] [47] [48]}内のランドマーク間の接続を計算するための大変形微分同相写像を表すLDDMMと呼ばれる最初のアルゴリズムが続いた。

微分同相群の部分群の無限次元多様体に関連する大域解析への計算解剖学の貢献は、決して些細なことではない。無限次元多様体上で微分幾何学、曲率、測地線を扱うという元々のアイデアは、ベルンハルト・リーマンの『仮説の上、幾何学がどこまで根本にあるか』 ^{[49] [50]}に遡る。大域解析におけるそのようなアイデアの基礎を築いた現代の重要な本は、ミコールによるものである。^[51]

計算解剖学の医療用画像処理への応用は、カリフォルニア大学ロサンゼルス校の純粋・応用数学研究所会議^{[52] [53]}での2回の組織的な会合の後も盛んに行われた。計算解剖学は、形態素スケールでの人間の脳の萎縮の正確なモデルや心臓テンプレート^[54] 、および生物学的システムのモデリング^[55]を作成するのに役立っている。 1990年代後半以降、計算解剖学は医療用画像処理の分野で新興技術を開発する上で重要な部分となっている。デジタルアトラスは、現代の医学部教育^{[56] [57]}および形態素スケールでの神経画像研究の基本的な部分となっている。[ ^{58] [59]}変形可能なテンプレートなどのバリエーションに対応するアトラスベースの方法と仮想教科書^{[60]は、Freesurfer、 [61]} FSL、^[62] MRIStudio、^[63] SPMなど多くの神経画像解析プラットフォームの中心となっている。^[64] 1990年代に導入された微分同相レジストレーション^{[18]は現在では重要な役割を果たしており、既存のコードベースはANTS、 [65]} DARTEL、^[66] DEMONS、^[67] LDDMM、^[68] StationaryLDDMM、^[69] FastLDDMM、^[70]を中心に編成されています。これらは、疎な特徴と密な画像に基づいて座標系間の対応関係を構築するために積極的に使用されている計算コードの例です。ボクセルベースの形態計測は、これらの原理の多くに基づいて構築された重要な技術です。

人体解剖モデルは変形可能なテンプレート、つまり群作用による模範の軌道である。変形可能なテンプレートモデルはグレナンダーの計量パターン理論の中心であり、テンプレートを介して典型性を説明し、テンプレートの変形を介して可変性を説明する。変形可能なテンプレートの表現としての群作用による軌道は、微分幾何学の古典的な定式化である。図形の空間は で表され、群は合成法則 を持つ。群が図形に及ぼす作用は で表され、群の作用はを満たすように定義される。 ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {G}},\circ )}$${\displaystyle \circ}$${\displaystyle g\cdot m}$${\displaystyle g\cdot m\in {\mathcal {M}},m\in {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle (g\circ g^{\prime })\cdot m=g\cdot (g^{\prime }\cdot m)\in {\mathcal {M}}.}$

テンプレートの軌道は、 の要素の作用の下で同次であるすべての図形の空間になります。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{m=g\cdot m_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

計算解剖学の軌道モデルは、グループが形状に対して非線形に作用するため、線形代数と比較される抽象代数です。これは、線形代数の古典的なモデルの一般化であり、有限次元ベクトルのセットが有限次元の解剖学的部分多様体 (点、曲線、面、体積) とそのイメージに置き換えられ、線形代数の行列が線形およびアフィン群とより一般的な高次元微分同相群に基づく座標変換に置き換えられます。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$${\displaystyle n\times n}$

中心となるオブジェクトは計算解剖学における形状またはフォームであり、一組の例は の 0、1、2、3 次元部分多様体であり、二組目の例は磁気共鳴画像法(MRI) や機能的磁気共鳴画像法などの医療用画像法によって生成された画像である。${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

0 次元多様体はランドマークまたは基準点です。1 次元多様体は、脳の溝曲線や脳回曲線などの曲線です。2 次元多様体は、中脳の皮質下構造や大脳新皮質の脳回表面などの解剖学におけるサブ構造の境界に対応します。サブボリュームは、人体、心臓、視床、腎臓のサブ領域に対応します。

ランドマークは、他の構造を持たない点の集合であり、人間の形状と形態内の重要な基準点を描写します (関連するランドマーク画像を参照)。表面などのサブ多様体形状は、ローカル チャートまたは浸漬によってパラメーター化されてモデル化された点の集合です(メッシュ サーフェスとしての形状を示す図を参照)。 MR 画像や DTI 画像などの画像は、密な関数であり、 スカラー、ベクトル、および行列です (スカラー画像を示す図を参照)。 ${\displaystyle X\doteq \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m:U\subset {\mathbb {R} }^{1,2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle m(u),u\in U}$${\displaystyle I\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle I(x),x\in X\subset {\mathbb {R} }^{1,2,3}}$

群と群作用は、機械工学、電気工学、応用数学における信号とシステムの解析の基本モデルとして、世界的に普及し標準化された線形代数によって、工学界ではよく知られています。線形代数では、行列群（逆行列を持つ行列）が中心構造であり、群作用は行列としての通常の定義によって定義され、ベクトルとして作用します。線形代数における軌道は、 によって与えられる -ベクトル の集合であり、これは の軌道を通る行列の群作用です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle x\in {\mathbb {R} }^{n}}$${\displaystyle n\times 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y=A\cdot x\in {\mathbb {R} }^{n}}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

の体積上で定義される計算解剖学の中心的グループは、 3 成分を持つ写像である微分同相写像、関数の合成法則、逆関数を持つ微分同相写像です。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\doteq \operatorname {Diff} }$${\displaystyle \varphi (\cdot )=(\varphi _{1}(\cdot ),\varphi _{2}(\cdot ),\varphi _{3}(\cdot ))}$${\displaystyle \varphi \circ \varphi ^{\prime }(\cdot )\doteq \varphi (\varphi ^{\prime }(\cdot ))}$${\displaystyle \varphi \circ \varphi ^{-1}(\cdot )=\varphi (\varphi ^{-1}(\cdot ))={\rm {id}}}$

最も人気のあるのは、逆関数を介して右側に作用する スカラー像 です。${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I(x)=I\circ \varphi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}.}$

チャートまたは浸漬によってパラメータ化された部分多様体 の場合、微分同相作用は位置の流れ ${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m(u),u\in U}$

${\displaystyle \varphi \cdot m(u)\doteq \varphi \circ m(u),u\in U.}$

計算解剖学ではいくつかのグループアクションが定義されています。^{[引用が必要]}

剛体運動 学の研究においては、低次元行列リー群が中心的な焦点となってきました。行列群は低次元写像であり、座標系間の 1 対 1 の対応と滑らかな逆を提供する微分同相写像です。回転とスケールの行列群は、行列指数によって解が与えられる単純な常微分方程式の解である閉じた形式の有限次元行列を介して生成できます。

計算解剖学における変形可能な形状の研究では、より一般的な微分同相群が、無限次元の類似物として選ばれてきました。計算解剖学で使用される高次元微分同相群は、 ^{[17] [19] [71]}で初めて導入された流れ場のラグランジュおよびオイラー仕様を満たす滑らかな流れによって生成され、常微分方程式を満たします。${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$

上のベクトル場は流れの位置における粒子のオイラー速度と呼ばれる。ベクトル場は関数空間内の関数であり、高次元の滑らかなヒルベルト空間としてモデル化され、流れのヤコビアンは、行列群の場合のような低次元行列ではなく、関数空間内の高次元場である。流れは、画像マッチングにおける大きな変形のために最初に導入された^{[72] [73]。}は、時間における粒子の瞬間速度である。 ${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}$${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

グループに必要な逆関数 は、移流逆流 を伴うオイラーベクトル場上で定義される。${\displaystyle \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

微分同相写像の群は非常に大きい。逆写像のショックのような解を避けながら微分同相写像のスムーズな流れを保証するために、ベクトル場は空間で少なくとも 1 回連続微分可能でなければならない。^{[74] [75]}上の微分同相写像では、ベクトル場はソボレフの埋め込み定理を使用してヒルベルト空間の要素としてモデル化され 、各要素は 2 より大きい一般化二乗積分可能な空間微分を持ち（これで十分）、1 回連続微分可能な関数が得られる。^{[74] [75]}${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$

微分同相群は、ソボレフノルムで絶対積分可能なベクトル場を持つ流れである。

ここで、 線形演算子は双対空間 にマッピングされ、積分は、が双対空間内の一般化関数である ときに部分積分によって計算されます。${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v\in V\ ,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A:V\mapsto V^{*}}$${\displaystyle Av\in V^{*}}$

微分同相写像群の計量研究と多様体と曲面の間の計量研究は、重要な研究分野である。^{[28] [76] [77] [78] [79] [80]}微分同相写像計量は、2つの図形または画像が互いにどれだけ近いか遠いかを測定する。計量長は、1つの座標系を他の座標系に運ぶ流れの最短の長さである。

多くの場合、よく知られているユークリッド計量は直接適用できません。これは、図形や画像のパターンがベクトル空間を形成しないためです。計算解剖学のリーマン軌道モデルでは、形状に作用する微分同相写像は線形に作用しません。計量を定義する方法は多数あり、図形に関連付けられたセットの場合、ハウスドルフ計量は別の方法です。リーマン計量を誘導するために使用する方法は、フローに対する微分同相座標系変換間の計量の長さで定義することにより、図形の軌道上の計量を誘導するために使用されます。図形の軌道上の座標系間の測地線フローの長さを測定することを、微分形態測定法と呼びます。 ${\displaystyle \varphi \cdot m\in {\mathcal {M}},\varphi \in \operatorname {Diff} _{V},m\in {\mathcal {M}}}$

微分同相写像群上の距離を定義する

これは微分形態測定法の右不変計量であり、^{[11] [28]}空間の再パラメータ化に対して不変である。 なぜなら、すべての に対して、${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$

${\displaystyle d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi \circ \varphi ,\varphi \circ \varphi )}$。

形状と形態上の距離、^[81]、 ${\displaystyle d_{\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

画像^[28]は 軌道が 、計量として表される。 ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle ,d_{\mathcal {I}}}$

古典力学では、物理システムの発展は、ハミルトンの最小作用原理に関連するオイラー・ラグランジュ方程式の解によって記述される。これは、例えばニュートンの自由粒子の運動の法則を得るための標準的な方法である。より一般的には、オイラー・ラグランジュ方程式は、一般化座標系に対して導出することができる。計算解剖学におけるオイラー・ラグランジュ方程式は、微分同相写像計量の座標系間の測地線最短経路フローを表す。計算解剖学では、一般化座標は微分同相写像のフローとそのラグランジュ速度であり、この2つはオイラー速度を介して関連付けられている。 オイラー・ラグランジュ方程式を生成するハミルトンの原理では、ラグランジュ上の作用積分が次式で与えられることが必要である。 ${\displaystyle \varphi ,{\dot {\varphi }}}$${\displaystyle v\doteq {\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}$

ラグランジアンは運動エネルギーによって与えられる：

計算解剖学では、 オイラー速度に対して積分するとエネルギー密度が得られ、微分同相形状運動量の保存則が成り立つため、最初はオイラーまたは微分同相形状運動量^[82]と呼ばれていました。この演算子は、一般化慣性モーメントまたは慣性演算子です。 ${\displaystyle Av}$${\displaystyle v}$${\displaystyle A}$

ハミルトン原理からオイラー・ラグランジュ方程式を古典的に計算するには、流れの一次摂動に関する運動エネルギーにおけるベクトル場のラグランジアン摂動が必要である。これには、次式 で与えられるヤコビアンを含む 演算子によって与えられるベクトル場のリー括弧による調整が必要である。${\displaystyle ad_{v}:w\in V\mapsto V}$

${\displaystyle ad_{v}[w]\doteq [v,w]\doteq (Dv)w-(Dw)v\in V}$。

随伴関数を定義すると、一次変分によって一般化方程式を満たす オイラー形状運動量が得られます。${\displaystyle ad_{v}^{*}:V^{*}\rightarrow V^{*},}$${\displaystyle Av\in V^{*}}$

すべてのスムーズな意味${\displaystyle w\in V,}$

${\displaystyle \int _{X}\left({\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})\right)\cdot w\,dx=\int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})dx=0.}$

計算解剖学は、部分多様体、点、曲線、曲面、体積の運動を研究する学問である。点、曲線、面に関連付けられた運動量はすべて特異であり、運動量がルベーグ測度の次元である部分集合に集中していることを意味する。このような場合でも、 は一般化関数であるにもかかわらずベクトル場は滑らかであり、オイラー運動量は滑らかな関数への作用を介して理解されるため、エネルギーは依然として明確に定義されている。これを完璧に例示すると、デルタディラックの重ね合わせであっても、体積全体の座標の速度は滑らかに動く。一般化関数の微分同相写像に関するオイラー–ラグランジュ方程式 ( EL-一般)は で導出された。^[83] Riemannian Metric and Lie-Bracket Interpretation of the Euler–Lagrange Equation on Geodesicsでは、微分同相写像群の随伴演算子とリー括弧によって導出が行われている。これは 、非圧縮性、発散のない流体の慣性演算子の文脈で研究されてきたオイラー-ポアンカレ法に関連する微分同相写像のEPDiff方程式と呼ばれるようになりました。 ^{[35] [84]}${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle \leq 2}$${\displaystyle (Av_{t}\mid v_{t})}$${\displaystyle Av_{t}}$${\displaystyle Av\in V^{*}}$${\displaystyle A=identity}$

運動量密度の場合、オイラー・ラグランジュ方程式には古典的な解があります。${\displaystyle (Av_{t}\mid w)=\int _{X}\mu _{t}\cdot w\,dx}$

運動量密度に対して古典的に定義された微分同相写像上のオイラー・ラグランジュ方程式は、医療画像解析のための^[85]で初めて登場しました。

医療用画像処理や計算解剖学では、形状の位置決めと調整は基本的な操作です。解剖学的座標と形状を位置決めするシステムは、距離とオイラー・ラグランジュ方程式に基づいて構築され、ミラー・トゥルーヴとユネスによって初めて説明された測地線位置決めシステムです。^[11] 測地線を初期条件から解くことは、リーマン指数と呼ばれ、群への恒等 写像です。${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(\cdot ):V\to \operatorname {Diff} _{V}}$

リーマン指数関数は初期条件、ベクトル場ダイナミクス、 ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})=\varphi _{1}}$${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{0}=v_{0}}$${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},t\in [0,1]}$

• 古典方程式の微分同相形状運動量、の場合、${\displaystyle \int _{X}Av_{t}\cdot w\,dx}$${\displaystyle Av\in V}$

${\displaystyle \ \ \ {\frac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;}$

• 一般化方程式の場合、、、${\displaystyle Av\in V^{*}}$${\displaystyle w\in V}$

${\displaystyle \ \ \ \int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})\,dx=0.}$

リーマン対数 座標への流れを計算し、^{[11] [81]}からベクトル場への恒等写像。 ${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle Log_{\rm {id}}(\cdot ):\operatorname {Diff} _{V}\to V}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle v_{0}\in V}$

${\displaystyle \log _{\rm {id}}(\varphi )=v_{0}\ {\text{initial condition of EL geodesic}}{\dot {\varphi }}_{0}=v_{0},\varphi _{0}=id,\varphi _{1}=\varphi \ .}$

グループ全体に広げると

${\displaystyle \varphi =\operatorname {Exp} _{\varphi }(v_{0}\circ \varphi )\doteq \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\circ \varphi }$ ; .${\displaystyle \log _{\varphi }(\varphi )\doteq \log _{\rm {id}}(\varphi \circ \varphi ^{-1})\circ \varphi }$

これらは、対数の一意の解に対する互いの逆です。前者は測地線配置と呼ばれ、後者は測地座標と呼ばれます (有限次元バージョンについては、指数マップ、リーマン幾何学を参照)。測地線計量は、リーマン座標系の局所的な平坦化です (図を参照)。

計算解剖学では、微分同相写像は座標系を推し進めるために使用され、ベクトル場は解剖学的軌道または形態空間内の制御として使用されます。モデルは動的システムであり、座標の流れとベクトル場の制御は、 ハミルトンの視点 ^{[81] [86] [87] [88] [89]}を介して関連付けられます。運動量分布を共役運動量または正準運動量で再パラメータ化し、ラグランジュ速度を制約するラグランジュ乗数として導入されます。したがって、 ${\displaystyle t\mapsto \varphi _{t}\in \operatorname {Diff} _{V}}$${\displaystyle t\mapsto v_{t}\in V}$${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\cdot \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}}.}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle p:{\dot {\varphi }}\mapsto (p\mid {\dot {\varphi }})}$${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t}}$

${\displaystyle H(\varphi _{t},p_{t},v_{t})=\int _{X}p_{t}\cdot (v_{t}\circ \varphi _{t})\,dx-{\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx.}$

この関数は拡張ハミルトニアンである。ポントリャーギン最大原理^[81]は、縮約ハミルトニアンと同様に 測地線流を決定する最適化ベクトル場を与える。${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}},}$

${\displaystyle H(\varphi _{t},p_{t})\doteq \max _{v}H(\varphi _{t},p_{t},v)\ .}$

ラグランジュ乗数は線形形式として作用し、形状に依存する流れの速度に作用する正準運動量の独自の内積を持ちます。たとえば、ランドマークの場合は和、表面の場合は表面積分、体積の場合は に関する体積積分です。 すべての場合において、グリーン核は、EL に対応するが正準運動量における測地線の再パラメータ化である常微分方程式に従って進化する正準運動量である重みを持ちます。最適化ベクトル場は次のように与えられます。 ${\displaystyle dx}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle v_{t}\doteq \operatorname {argmax} _{v}H(\varphi _{t},p_{t},v)}$

測地線に沿ったベクトル場を再パラメータ化する正準運動量のダイナミクス

ベクトル場は の背景空間全体に拡張されるが、部分多様体に関連付けられた測地線フローは、部分多様体に集中した一般化関数として発展するオイラー形状の運動量を持つ。ランドマーク^{[90] [91] [92]} の場合、測地線は、有限個の粒子とともに移動するデルタ分布の重ね合わせであるオイラー形状の運動量を持つ。座標の微分同相フローは、重み付きグリーン核の範囲の速度を持つ。表面の場合、運動量は表面とともに移動するデルタ分布の面積分である。^[11]${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle Av_{t}\in V^{*}}$

EL一般を満たす座標系を接続する測地線は、ラグランジアンの定常性を持つ。ハミルトニアンは、経路に沿った極値、によって与えられ、ラグランジアン運動エネルギーに等しく 、EL一般に沿って定常である。恒等式で測地線速度を定義し、測地線に沿って ${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle H(\varphi ,p)=\max _{v}H(\varphi ,p,v)}$${\displaystyle v_{0}=\arg \max _{v}H(\varphi _{0},p_{0},v)}$

ハミルトニアンの定常性は、ラグランジュ乗数を運動量として解釈することを証明しています。速度に対して積分するとエネルギー密度が得られます。正準運動量には多くの名前があります。最適制御では、流れは状態として解釈され、共役状態または共役運動量として解釈されます。^[93] ELの測地線は、におけるベクトル場またはオイラー運動量の指定、または正準運動量の指定が流れを決定することを意味します。 ${\displaystyle {\dot {\varphi }}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle p}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle Av_{0}}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle p_{0}}$

計算解剖学では、部分多様体は、基本的なプリミティブである点集合、曲線、表面、および部分体積です。部分多様体間の測地線フローは距離を決定し、微分形態測定法の基本的な測定および転送ツールを形成します。 測地線には、共役運動量と、オイラー運動量を定義する慣性演算子のグリーン核によって決定されるベクトル場があります。測地線を介して接続された座標系間の距離は、単位元と群元との間の誘導距離によって決定されます。 ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle v_{0}=Kp_{0}}$${\displaystyle K=A^{-1}}$

${\displaystyle d_{\operatorname {Diff} _{V}}({\rm {id}},\varphi )=\|\log _{\rm {id}}(\varphi )\|_{V}=\|v_{0}\|_{V}={\sqrt {2H({\rm {id}},p_{0})}}}$

最小作用が与えられれば、一般化座標に関連付けられた運動量の自然な定義があり、速度に逆らって作用する量はエネルギーを与える。この分野では、オイラーベクトル場に関連付けられた運動量（オイラー微分同相形状運動量）と、初期座標または標準座標に関連付けられた運動量（標準微分同相形状運動量）の 2 つの形式が研究されてきた。それぞれに保存則がある。運動量の保存は、EL 一般と密接に関連している。計算解剖学では、はオイラー運動量であり、オイラー速度に対して積分するとエネルギー密度を与える。演算子は、オイラー速度に作用する一般化慣性モーメントまたは慣性演算子であり、測地線に沿って保存される運動量を与える。${\displaystyle Av}$${\displaystyle v}$${\displaystyle A}$

オイラー形状運動量の保存は^{[94]で示されており、} EL一般から従う。正準運動量の保存は^[81]で示されている。

形状間の微分同相対応の構築により、初期ベクトル場座標とグリーン核の関連する重みが計算されます。これらの初期座標は、大変形微分同相距離マッピング (LDDMM)と呼ばれる形状のマッチングによって決定されます。LDDMMは、対応のあるランドマークと対応のないランドマーク^{[32] [95] [96] [97] [98]}および密な画像マッチングに対して解かれています。^{[99] [100]}曲線、^[101]表面、^{[41] [102]}密なベクトル^[103]とテンソル^[104]画像、および方向を削除する可変長体^{[105]に対して解かれています。 LDDMM は、} EL 一般のターゲット座標への測地線フローを計算し、座標系変換下での軌道内の要素の対応を測定するエンドポイント マッチング条件を作用積分に追加します。^[24]変分問題の解は境界条件付きでEL一般を満たす。 ${\displaystyle v_{0}\in V}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt}$${\displaystyle E:\varphi _{1}\rightarrow R^{+}}$${\displaystyle t\in [0,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\min \left\{C(\varphi ):v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1},\varphi _{0}={\rm {id}}\right\}\\[5pt]\doteq {}&{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+E(\varphi _{1})\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Euler conservation }}&\displaystyle {\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0,\ t\in [0,1)\ ,\\{\text{Boundary condition }}&\displaystyle \varphi _{0}={\rm {id}},Av_{1}=\left.-{\frac {\partial E(\varphi )}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =\varphi _{1}}\ .\end{cases}}}$

EL-一般からの保存は、 における BC をパスの残りの部分に拡張します。エンドポイントのマッチング項を伴う不正確なマッチング問題には、いくつかの代替形式があります。測地線解に沿ったハミルトニアンの定常性に関する重要なアイデアの 1 つは、積分実行コストがt  = 0 で初期コストに減少し、EL-一般の測地線が初期条件によって決定されることです。 ${\displaystyle t=1}$${\displaystyle t\in [0,1)}$${\displaystyle E(\varphi _{1})}$${\displaystyle v_{0}}$

実行コストは、 Kernel -Surf.-Land.-Geodesicsによって決定される初期コストまで削減されます。 ${\displaystyle v_{0}=Kp_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\min _{v_{0}}C(v_{0})\doteq {\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{0}\cdot v_{0}\,dx+E(\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0})\\[6pt]&\min _{p_{0}}C(p_{0})={\frac {1}{2}}\int _{X}p_{0}\cdot Kp_{0}\,dx+E(\mathrm {Exp} _{\text{id}}(Kp_{0})\cdot I_{0})\end{aligned}}}$

初期条件に明示的にインデックス付けされたマッチング問題はシューティングと呼ばれ、共役運動量を介して再パラメータ化することもできます。 ${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle p_{0}}$

高密度画像マッチングには長い歴史があり、初期の取り組み^{[106] [107]}は小さな変形フレームワークを利用しています。大きな変形は 1990 年代初頭に始まり、^{[18] [19]、}高密度画像マッチングの微分同相写像の流れの変分問題に対する最初のソリューションが 1990 年代初頭に確立されました。^[24]ベグは、ベクトル場に関して高密度画像によって定義されたエンドポイントとの変分マッチングをベクトル場に関して変分をとって解くことに基づく、最も初期の LDDMM アルゴリズムの 1 つによって解決されました。^[99]高密度画像マッチングの別のソリューションは、最適化問題を状態に関して再パラメータ化し、移流方程式によって定義された微小アクションに関してソリューションを与えます。^{[11] [27] [100]}${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \varphi _{t}^{-1},q_{0}=I}$

BegのLDDMMでは、グループアクション を持つイメージ を表します。これを最適制御問題として見ると、システムの状態は座標 の微分同相フローであり、制御と状態を関連付けるダイナミクスは で与えられます。エンドポイントマッチング条件により、変分問題 ${\displaystyle I(x),x\in X}$${\displaystyle \varphi \cdot I\doteq I\circ \varphi ^{-1}}$${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$${\displaystyle {\dot {\varphi }}=v\circ \varphi }$${\displaystyle E(\varphi _{1})\doteq \|I\circ \varphi _{1}^{-1}-I^{\prime }\|^{2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Endpoint condition:}}&Av_{1}=\mu _{1}\,dx,\mu _{1}=(I\circ \varphi _{1}^{-1}-I^{\prime })\nabla (I\circ \varphi _{1}^{-1})\ ,\\[5pt]{\text{Conservation:}}&Av_{t}=\mu _{t}\,dx,\ \mu _{t}=(D\varphi _{t}^{-1})^{T}\mu _{0}\circ \varphi _{t}^{-1}|D\varphi _{t}^{-1}|\ .\\[5pt]&\mu _{0}=(I-I^{\prime }\circ \varphi _{1})\nabla I|D\varphi _{1}|\ .\\\end{cases}}}$

Beg の反復LDDMM アルゴリズムには、必要な最適化条件を満たす固定点があります。反復アルゴリズムは、高密度画像マッチングのための Beg の LDDMM アルゴリズムで説明されています。

状態とダイナミクス関連の状態および制御が移流項によって与えられる画像 を表す。終点は変分問題を与える。 ${\displaystyle I(x),x\in X}$${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \varphi _{t}^{-1}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}}$${\displaystyle E(q_{1})\doteq \|q_{1}-I^{\prime }\|^{2}}$

Viallard の反復ハミルトニアン LDDMM には、必要な最適化条件を満たす固定点があります。

稠密なLDDMMテンソルマッチング^{[104] [108]}は、画像を3x1ベクトルと3x3テンソルとして扱い、各ボクセルの -テンソルで構成されるで示される拡散テンソルMRI画像(DTI)の主固有ベクトルに基づいて座標系間のマッチングを行う変分問題を解きます。正方行列間のフロベニウス行列ノルムに基づいて定義されるグループアクションのいくつか。添付の図に示すのは、各ボクセルのDTI行列の固有ベクトルの方向を方向の方向によって決まる色で表したカラーマップを介して示されるDTI画像です。テンソル画像を固有要素、で表します。 ${\displaystyle M(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle \|A\|_{F}^{2}\doteq \operatorname {trace} A^{T}A}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle M(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle \{\lambda _{i}(x),e_{i}(x),i=1,2,3\}}$${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}}$

DTI イメージングに基づく座標系変換では、 主固有ベクトルまたは全体行列に基づく2 つのアクションが利用されています。

拡散テンソル行列の主固有ベクトルに基づくLDDMMマッチングは、画像を第1固有ベクトルによって定義される単位ベクトル場として扱います。グループアクションは次のようになります。 ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I={\begin{cases}{\frac {D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|I\circ \varphi ^{-1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0;\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

テンソル行列全体に基づくLDDMMマッチングはグループアクションが変換された固有ベクトル になる${\displaystyle \varphi \cdot M=(\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}&={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{3}={\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\end{aligned}}}$。

主固有ベクトルまたは行列への変分マッチング問題は、 LDDMM テンソル画像マッチングで説明されています。

高角度分解能拡散イメージング (HARDI) は、DTI のよく知られた限界、つまり、DTI では各位置で 1 つの主要な繊維配向しか明らかにできないという限界に対処します。HARDI は、球面上の均一に分布した方向に沿った拡散を測定し、より複雑な繊維形状を特徴付けることができます。HARDI は、水分子の拡散確率密度関数の角度プロファイルを特徴付ける配向分布関数(ODF) を再構築するために使用できます。ODF は、単位球面上で定義される関数です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathbb {S} }^{2}}$

稠密な LDDMM ODF マッチング^[109]は、各ボクセルで HARDI データを ODF として受け取り、ODF の空間で LDDMM 変分問題を解きます。情報幾何学の分野^[110]では、ODF の空間はフィッシャー・ラオ計量を持つリーマン多様体を形成します。LDDMM ODF マッピングの目的で、平方根表現が選択されます。これは、測地線、指数マップ、対数マップなどのさまざまなリーマン演算が閉じた形式で利用できるため、現在までに見つかった最も効率的な表現の 1 つであるためです。以下では、平方根 ODF ( ) をと表します。ここで、 は一意性を保証するために非負であり、 です。マッチングの変分問題は、2 つの ODF ボリュームが、恒等写像 から始まる常微分方程式の解である微分同相写像 のフローを介して一方から他方へ生成できることを前提としています。テンプレート上の微分同相写像の作用を、、 はそれぞれ単位球面、および像領域の座標であり、ターゲットは同様に 、、とインデックス付けされます。 ${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})\,d{\bf {s}}=1}$${\displaystyle \varphi _{t}}$${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}(\varphi _{t}),t\in [0,1],}$${\displaystyle \varphi _{0}={\rm {id}}}$${\displaystyle \varphi _{1}\cdot \psi _{\mathrm {temp} }({\bf {s}},x)}$${\displaystyle {\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {{\mathbb {S} }^{2}}}$${\displaystyle \psi _{\mathrm {targ} }({\bf {s}},x)}$${\displaystyle {\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}$${\displaystyle x\in X}$

テンプレート上の微分同相写像の群作用は次のように与えられる。

${\displaystyle \varphi _{1}\cdot \psi (x)\doteq (D\varphi _{1})\psi \circ \varphi _{1}^{-1}(x),x\in X}$、

ここで、はアフィン変換されたODFのヤコビアンであり、次のように定義される。 ${\displaystyle (D\varphi _{1})}$

${\displaystyle (D\varphi _{1})\psi \circ \varphi _{1}^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\varphi _{1}^{-1}(x)\right).}$

ODF に対する微分同相写像のこのグループ作用は、ODF を再方向付けし、アフィン変換による の大きさと のサンプリング方向の両方の変化を反映します。これにより、小さなパッチに向けられた繊維の体積分率は、パッチが変換された後も同じままであることが保証されます。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\bf {s}}}$

LDDMM変分問題は次のように定義される。

${\displaystyle C(v)=\inf _{v:{\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+\lambda \int _{x\in \Omega }\|\log _{(D\varphi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \varphi _{1}^{-1}(x)}(\psi _{\mathrm {targ} }(x))\|_{(D\varphi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \varphi _{1}^{-1}(x)}^{2}\,dx.}$

ここでの対数は次のように定義される。 ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}\in \Psi }$

${\displaystyle \|\log _{\psi _{1}}(\psi _{2})\|_{\psi _{1}}=\cos ^{-1}\langle \psi _{1},\psi _{2}\rangle =\cos ^{-1}\left(\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi _{1}({\bf {s}})\psi _{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}\right),}$

ここで、これはメトリックの下にある球面上の点間の通常のドット積です。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}}$

このLDDMM-ODFマッピングアルゴリズムは、加齢、アルツハイマー病、血管性認知症における脳白質変性の研究に広く使用されています。^[111] ODFに基づいて生成された脳白質アトラスは、ベイズ推定によって構築されます。^[112] ODFの回帰分析は、ODF多様体空間で開発されています。^[113]

軌道モデルによって表現される変化の原理は、座標の変化である。画像のペアが微分同相写像によって関連付けられていないが、テンプレートによって表現されない光度変化または画像変化を持つ設定では、アクティブ外観モデリングが導入された。これは、もともとエドワーズ・クート・テイラー^[114]によって、3D医療画像処理では^[115]によって導入された。解剖学的軌道の測定基準が研究されている計算解剖学の文脈では、テンプレートに存在しない腫瘍や光度変化などの構造をモデリングするためのメタモルフォーシスが磁気共鳴画像モデルに対して^[28]で導入され、その後多くの開発がメタモルフォーシスの枠組みを拡張した。^{[116] [117] [118]}

画像マッチングの場合、画像メタモルフォーシス フレームワークはアクション を拡大し、アクション でとなるようにします。この設定では、メタモルフォーシスは、計算解剖学の微分同相座標系変換と、測光または画像強度のみをフェードまたは変更する初期のモーフィングテクノロジの両方を組み合わせます。 ${\displaystyle t\mapsto (\varphi _{t},I_{t})}$${\displaystyle \varphi _{t}\cdot I_{t}\doteq I_{t}\circ \varphi _{t}^{-1}}$

すると、マッチング問題は等式境界条件を持つ形式になります。

${\displaystyle \min _{(v,I)}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx+\|{\dot {I}}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1}\|^{2}/\sigma ^{2}\right)\,dt{\text{ subject to}}\ \varphi _{0}={\rm {id}},I_{0}={\text{fixed}},I_{1}={\text{fixed}}}$

ランドマークポイントまたはフィデューシャルマーカーの特徴に基づいて座標系を変換する方法は、フィデューシャルポイントによって定義された対応関係を、フィデューシャルが定義されている2次元または3次元の背景空間に補間するための小変形スプライン法に関するブックスタインの初期の研究^{[119]にまで遡ります。大変形ランドマーク法は1990年代後半に登場しました。 [26] [32] [120]}上の図は、扁桃体、嗅内皮質、海馬という3つの脳構造に関連する一連のランドマークを示しています。

ラベル付けされていない点分布、曲線、または曲面などの幾何学的オブジェクトのマッチングは、計算解剖学におけるもう 1 つの一般的な問題です。これらがメッシュを持つ頂点として一般的に与えられる離散設定であっても、上記のランドマークの状況とは対照的に、点間には事前に決定された対応関係はありません。理論的な観点からは、の任意の部分多様体はローカル チャート でパラメーター化できますが、これらのチャートのすべての再パラメーター化は、幾何学的に同じ多様体を与えます。したがって、計算解剖学の早い段階で、研究者はパラメーター化不変表現の必要性を認識していました。不可欠な要件の 1 つは、2 つの部分多様体間のエンドポイント マッチング項自体が、それらのパラメーター化から独立していることです。これは、幾何学的測度理論、特に曲線と曲面のマッチングに広く使用されてきたカレント^[40]とバリフォールド^[45]から借用した概念と方法によって実現できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle d=1,2,3}$${\displaystyle m:u\in U\subset {\mathbb {R} }^{0,1,2,3}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$

終点 を持つランドマーク図形を表すと、変分問題は次のようになる。 ${\displaystyle X\doteq \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle E(\varphi _{1})\doteq \textstyle \sum _{i}\displaystyle \|\varphi _{1}(x_{i})-x_{i}^{\prime }\|^{2}}$

測地線オイラー運動量は、変分問題におけるランドマーク集合でサポートされる 一般化された関数である 。保存を伴う終点条件は、群の恒等式における初期運動量を意味する。${\displaystyle \displaystyle Av_{t}\in V^{*}\textstyle ,t\in [0,1]}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Endpoint condition: }}&Av_{1}=\sum _{i=1}^{n}p_{1}(i)\delta _{\varphi _{1}(x_{i})},p_{1}(i)=(x_{i}^{\prime }-\varphi _{1}(x_{i}))\ ,\\[5pt]{\text{Conservation: }}&Av_{t}=\sum _{i=1}^{n}p_{t}(i)\delta _{\varphi _{t}(x_{i})},\ p_{t}(i)=(D\varphi _{t1})_{|\varphi _{t}(x_{i})}^{T}p_{1}(i)\ ,\ \varphi _{t1}\doteq \varphi _{1}\circ \varphi _{t}^{-1}\ ,\\[5pt]&Av_{0}=\sum _{i}\delta _{x_{i}}(\cdot )p_{0}(i)\ {\text{ with }}p_{0}(i)=(D\varphi _{1})_{|x_{i}}^{T}(x_{i}^{\prime }-\varphi _{1}(x_{i}))\end{cases}}}$

ランドマークの大変形微分同相距離マッピングのための反復アルゴリズム が与えられます。

Glaunes と同僚は、マッチング分布の一般的な設定において、点集合の微分同相マッチングを初めて導入しました。^[121]ランドマークとは対照的に、これには特に、定義済みの対応がなく、異なる基数を持つ可能性のある重み付き点群の状況が含まれます。テンプレートとターゲットの離散点群は、の符号付き測度の空間に存在するディラックとの 2 つの重み付き和として表されます。この空間には、上の実正カーネルから得られるヒルベルト計量が備わっており、次のノルムを与えます。 ${\displaystyle \mu _{m}=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}\delta _{x_{i}}}$${\displaystyle \mu _{m^{\prime }}=\sum _{i=1}^{n^{\prime }}\rho _{i}^{\prime }\delta _{x_{i}^{\prime }}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle k(x,y)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \|\mu _{m}\|_{\mathrm {mea} }^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}\rho _{i}\rho _{j}k(x_{i},x_{j})}$

テンプレートとターゲット ポイント クラウド間のマッチング問題は、エンドポイント マッチング項のこのカーネル メトリックを使用して定式化できます。

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|\mu _{\varphi _{1}\cdot m}-\mu _{m^{\prime }}\|_{\mathrm {mea} }^{2}}$

ここで、変形によって輸送される分布です。 ${\displaystyle \mu _{\varphi _{1}\cdot m}=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}\delta _{\varphi _{1}(x_{i})}}$

1次元の場合、3Dの曲線は埋め込み で表すことができ、 Diffの群作用は になります。しかし、区間 [0,1] の微分同相写像に対する任意の再パラメータ化 は幾何学的に同じ曲線を表すため、曲線と埋め込みの対応は1対1ではありません。エンドポイントマッチング項でこの不変性を保つために、以前の0次元測度マッチングアプローチのいくつかの拡張が考えられます。 ${\displaystyle m:u\in [0,1]\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle \varphi \cdot m=\varphi \circ m}$${\displaystyle m\circ \gamma }$${\displaystyle \gamma }$

• 電流による曲線のマッチング

有向曲線の状況では、電流は不変マッチング項を構築するための効率的な設定を提供します。このような表現では、曲線は空間ベクトル場と双対な関数空間の要素として解釈され、これらの空間上のカーネルノルムを介して比較されます。2つの曲線のマッチングは、最終的に変分問題として記述されます。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle m^{\prime }}$

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}}$

終点項はノルムから得られる ${\displaystyle E(\varphi _{1})=\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}/2}$

${\displaystyle \|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}K_{C}(m(u),m(v))\partial m(u)\cdot \partial m(v)\,du\,dv}$

導関数は曲線の接線ベクトルと の与えられた行列カーネルです。このような表現はおよびの任意の正の再パラメータ化に対して不変であり、したがって 2 つの曲線の方向に依存します。 ${\displaystyle \partial m(u)}$${\displaystyle K_{\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m'}$

• バリフォールドによる曲線マッチング

バリフォールドは、例えば「一貫した」方向が定義できない複数の曲線の束が関係する状況など、方向が問題になる場合に、電流の代わりとなるものです。バリフォールドは、点の位置に余分な接線空間方向を追加することで 0 次元の測度を直接拡張し、曲線をと内のすべての直線のグラスマン多様体の積の測度として表すことができます。2 つの曲線間のマッチング問題は、端点のマッチング項を次の形式のバリフォールドノルム に置き換えることです。${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle E(\varphi _{1})=\|{\mathcal {V}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {V}}_{m^{\prime }}\|_{\text{cur}}^{2}/2}$

${\displaystyle \|{\mathcal {V}}_{m}\|_{var}^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}k_{\mathbb {R} ^{3}}(m(u),m(v))k_{\mathbf {Gr} }\left([\partial m(u)],[\partial m(v)]\right)\partial m(u){|}\partial m(v){|}\,du\,dv}$

ここで、 は接線ベクトルと2 つのスカラー カーネルによってそれぞれ 方向付けられ、グラスマン多様体上にある非方向性の直線です。グラスマン多様体表現の固有の非方向性により、このような表現は正と負の再パラメータ化に対して不変です。 ${\displaystyle [\partial m(u)]}$${\displaystyle \partial m(u)}$${\displaystyle k_{\mathbb {R} ^{3}},k_{\mathbf {Gr} }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

表面マッチングは曲線の場合と多くの類似点を共有しています。 の表面は、埋め込みによってローカルチャートにパラメータ化され、 U の微分同相写像を持つすべての再パラメータ化は幾何学的に同等です。 カレントと可変長体を使用して表面マッチングを形式化することもできます。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle m:u\in U\subset {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle m\circ \gamma }$${\displaystyle \gamma }$

• 流れと表面のマッチング

有向面は、微分 2 形式と双対な 2 電流として表すことができます。 では、3D ベクトルの標準的なウェッジ積を介して、2 形式をベクトル場とさらに同一視することができます。 この設定では、面マッチングは次のように再び記述されます。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}}$

終点はノルムによって与えられる ${\displaystyle E(\varphi _{1})=\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}/2}$

${\displaystyle \|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}=\iint _{U\times U}K_{C}(m(u),m(v)){\vec {n}}(u)\cdot {\vec {n}}(v)\,du\,dv}$

表面の法線ベクトルは によってパラメータ化されます。 ${\displaystyle {\vec {n}}=\partial _{u_{1}}m\wedge \partial _{u_{2}}m}$${\displaystyle m}$

この表面マッピングアルゴリズムは、CARETとFreeSurferを用いて脳皮質表面に対して検証されている。^[122]マルチスケール表面のLDDMMマッピングについては、^{[123]で議論されている。}

• バリフォールドによる表面マッチング

非有向面や非有向面の場合、可変長フレームワークの方が適切な場合が多い。パラメトリック面を、とグラスマン多様体の積の測度空間内の可変長と同一視すると、以前の現在のメトリックを次のように置き換えるだけで済む。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle {\mathcal {V}}_{m}}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle \|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}}$

${\displaystyle \|{\mathcal {V}}_{m}\|_{\mathrm {var} }^{2}=\iint _{U\times U}k_{\mathbb {R} ^{3}}(m(u),m(v))k_{\mathbf {Gr} }\left([{\vec {n}}(u)],[{\vec {n}}(v)]\right){|}{\vec {n}}(u){|}{|}{\vec {n}}(v){|}\,du\,dv}$

ここで、法線ベクトルによって表面に向けられた（無指向の）線です。 ${\displaystyle [{\vec {n}}(u)]}$

一連の測定値、つまり基礎となる座標系が一致して流れ込む時系列がある設定は数多くあります。これは、たとえば^{[46] [124] [125] [126]}で検討されているような動的成長および萎縮モデルや動作追跡で発生します。観測された時間シーケンスが与えられ、目標は、観測期間を通じて標本またはテンプラーを運ぶ座標の幾何学的変化の時間フローを推測することです。

一般的な時系列マッチング問題では、一連の時間 が であるとします。フローは一連のコストで最適化され、次のような最適化問題が与えられます。 ${\displaystyle 0<t_{1}<\cdots <t_{K}=1}$${\displaystyle E(t_{k}),k=1,\ldots ,K}$

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1},\varphi _{0}=id}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}(Av_{t}\mid v_{t})\,dt+\sum _{k=1}^{K}E(\varphi _{t_{k}})}$。

これまでに少なくとも3つの解法が提案されており、区分測地線^[46] 、主測地線^[126]、スプライン^{[127]である。}

計算解剖学のランダム軌道モデルは、 ^{[128] [129] [130]} で初めて登場し、テンプレートに作用するグループのランダム性に関連する座標の変化をモデル化しています。これは、形状や形態の解剖学的軌道における画像のソースにランダム性を誘発し、医療用画像装置を通した観察をもたらします。グループのランダム性が画像にランダム性を誘発するこのようなランダム軌道モデルは、物体認識のための特殊ユークリッド群について検討されました。^[131]

図には、各例の周りのランダム軌道が描かれています。これは、恒等関数 で初期接空間ベクトル場 を生成し、次にランダム オブジェクト を生成することでフローをランダム化することによって生成されます。 ${\displaystyle m_{0}\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle v_{0}\in V}$${\displaystyle n\doteq \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\cdot m_{0}\in {\mathcal {M}}}$

ランダム軌道モデルは、特定のアトラス に条件付けられた形状と画像 の事前分布を誘導します。このため、生成モデルはに従ってテンプレートの座標のランダムな変化として平均場を生成します。ここで、座標の微分同相変化は測地線フローを介してランダムに生成されます。のランダム変換の事前分布はフロー によって誘導され、 はガウスランダム場事前分布 として構築されます。センサーの出力におけるランダム観測量の密度は次のように与えられます。 ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I_{a}\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$${\displaystyle \pi _{\text{Diff}}(d\varphi )}$${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}}$${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v)}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle \pi _{V}(dv)}$${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{D}}$

${\displaystyle p(I^{D}\mid I_{a})=\int _{V}p(I^{D}\mid \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v)\cdot I_{a})\pi _{V}(dv)\ .}$

右の図に示されている漫画の軌道は、サブ多様体上でサポートされているベクトル場をランダム化することによって生成された皮質下多様体のランダム スプレーです。 ${\displaystyle v_{0}}$

医療画像処理における計算解剖学の中心的な統計モデルは、シャノン理論のソースチャネルモデルである。^{[128] [129] [130]}ソースは画像の変形可能なテンプレートであり、チャネル出力は観測可能な画像センサーである（図を参照）。 ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$

(i) 複数のアトラスによる MAP 推定、(ii) 複数のアトラスによる MAP セグメンテーション、集団からのテンプレートの MAP 推定については、 「計算解剖学のベイズモデル」を参照してください。

計算解剖学における形状は局所理論であり、形状や構造をテンプレートにインデックス付けし、それらが全単射にマッピングされる。計算解剖学における統計的形状は、集団と共通テンプレート座標系との間の微分同相対応の経験的研究である。これは、David G. Kendall ^{[132]が開拓した}プロクラステス解析や形状理論からの大きな逸脱であり、Kendall の理論の中心となるグループは有限次元リー群であるのに対し、計算解剖学における形状の理論^{[133] [134] [135] は}微分同相群に焦点を当てており、ヤコビアンを介して第 1 順序では、スケールと回転の低次元リー群の体 (したがって無限次元) として考えることができる。

ランダム軌道モデルは、解剖学的形状と形態に関する誘導確率法則の非線形性が微分同相群の恒等式における接空間のベクトル場への還元を介して誘導されるため、計算解剖学における経験的形状と形状統計を理解するための自然な設定を提供します。オイラー方程式の連続フローは、形状と形態のランダム空間を誘導します。 ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle v_{0}\in V}$${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\cdot m\in {\mathcal {M}}}$

この接空間の恒等関数で経験的統計を実行することは、形状の統計に関する確率法則を誘導する自然な方法です。ベクトル場とオイラー運動量は両方ともヒルベルト空間内にあるため、自然なモデルはガウス確率場の 1 つであり、テスト関数が与えられると、テスト関数との内積は平均と共分散を持つガウス分布になります。 ${\displaystyle Av_{0}}$${\displaystyle w\in V}$

これは添付の図に示されており、皮質下脳構造は、テンプレートからそれらを生成する初期ベクトル場の内積に基づく 2 次元座標系で示され、ヒルベルト空間の 2 次元スパンで示されています。

集団の形状と統計の研究は局所理論であり、形状と構造をテンプレートにインデックス付けし、テンプレートに全単射的にマッピングします。統計的形状は、テンプレートに対する微分同相対応の研究です。コア操作は、集団からテンプレートを生成し、集団に一致する形状を推定することです。テンプレートを生成するための重要な方法はいくつかあり、フレシェ平均に基づく方法^[137]や、期待最大化アルゴリズムと計算解剖学のベイズランダム軌道モデルに基づく統計的アプローチなどがあります。 ^{[136] [138]}添付の図は、MRI 対象者の集団から再構成した皮質下テンプレートです。^[139]

さまざまな微分同相写像アルゴリズムを含む ソフトウェア スイートには、次のものがあります。

• アリ^[65]
• DARTEL ^[66] ボクセルベースの形態計測
• デフォルメトリカ^[140]
• 悪魔^[67]
• LDDMM ^[68] 大変形微分同相計量写像
• フレームベースカーネルに基づくLDDMM ^[141]
• 定常LDDMM ^[69]

• MRIクラウド^[142]

• 計算解剖学におけるテンプレートのベイズ推定
• 計算神経解剖学
• 幾何学的データ分析
• 大変形微分同相計量写像
• プロクルステス分析
• 計算解剖学におけるリーマン計量とリー括弧
• 形状分析（曖昧さ回避）
• 統計的形状分析