計算解剖学のベイズモデル

計算解剖学 (CA)は、医用画像処理における分野であり、形態学の目に見えるスケールまたは肉眼解剖学的スケールでの解剖学的形状および形態 の研究に焦点を当てています。この分野は広く定義されており、医用画像処理、神経科学、物理学、確率、統計を含む、解剖学、応用数学、純粋数学の基礎を含みます。医用画像処理装置ではなく、画像化される解剖学的構造に焦点を当てています。医用画像処理における計算解剖学のサブフィールドの中心的な焦点は、ほとんどの場合、磁気共鳴画像(MRI)内で測定された高密度情報を解剖学的座標系全体にマッピングすることです。流体力学で使用される運動方程式に似た CA へのフロー導入は、画像解析における高密度座標がラグランジュおよびオイラーの運動方程式に従うという概念を活用しています。微分同相写像のラグランジュ流とオイラー流に基づくモデルでは、この制約は、開集合が保存されること、座標が交差しないことで逆写像の一意性と存在が示唆されること、連結集合が連結されたままであることなどの位相特性と関連している。微分同相写像法の使用は、クリステンセン^[1]の 原著論文以降、写像法の分野を急速に支配するようになり、高速で対称的な方法が利用可能になった。^{[2] [3]}

医療画像処理における計算解剖学の中心的な統計モデルは、シャノン理論のソースチャネルモデルである。ソースは画像の変形可能なテンプレートであり、チャネル出力は観測可能な画像センサである（図を参照）。ソースチャネルモデルの重要性は、解剖学的構成の変化が医療画像のセンサの変化とは別にモデル化されることである。ベイズ理論によれば、モデルはソースの事前分布、の事前分布、および観測可能な条件付き密度 によって特徴付けられる。${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle p(\cdot \mid I){\text{ on }}I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$

条件付き。 ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$

変形可能テンプレート理論では、画像はテンプレートにリンクされており、変形はテンプレートに作用するグループです。計算解剖学のグループ作用を参照してください。 画像作用の場合、グループの事前分布は画像の事前分布を誘導し、密度として書かれ、対数事後分布は次の形式になります。 ${\displaystyle I(g)\doteq g\cdot I_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \pi _{\mathcal {G}}(\cdot )}$${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$

${\displaystyle \log p(I(g)\mid I^{D})\simeq \log p(I^{D}\mid I(g))+\log \pi _{\mathcal {G}}(g).}$

次のランダム軌道モデルは、グループ要素を生成する方法、つまり事前分布を形成するオブジェクトのランダムなスプレーを生成する方法を指定します。

計算解剖学のランダム軌道モデルは、^{[4] [5] [6]} で初めて登場し、テンプレートに作用するグループのランダム性に関連する座標の変化をモデル化しています。これは、形状や形態の解剖学的軌道の画像ソースのランダム性を引き起こし、医療用画像装置を通した観察につながります。グループのランダム性が画像のランダム性を誘発するこのようなランダム軌道モデルは、グループ要素が特殊ユークリッド群である物体認識のための特殊 ユークリッド群について検討されました。^[7]${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$

CA における変形可能な形状の研究のために、計算解剖学で使用される高次元微分同相群は、常微分方程式を満たす流れ場のラグランジュおよびオイラー仕様を満たす滑らかな流れを介して生成されます。${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$

上のベクトル場は流れの位置における粒子のオイラー速度と呼ばれる。ベクトル場は関数空間内の関数であり、ベクトル場が1連続導関数 を持つ滑らかなヒルベルト空間としてモデル化される。 の場合、流れの逆関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle v_{t}={\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

そして流れのヤコビ行列は 次のように与えられる。${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

逆元を持つ微分同相写像の滑らかな流れを保証するために、ベクトル場は空間内で少なくとも 1 回連続微分可能でなければならない^{[8] [9]。}これは、各要素が 3 乗積分可能な導関数を持つように、ソボレフの埋め込み定理を使用してヒルベルト空間の要素としてモデル化され ます。したがって、 1 回連続微分可能な関数に滑らかに埋め込まれます。^{[8] [9]} 微分同相写像群は、ソボレフノルムで絶対積分可能なベクトル場を持つ流れです。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

ここで、は RKHS のノルムを定義する線形演算子です。 が双対空間内の一般化関数である場合、積分は部分積分によって計算されます。 ${\displaystyle \|v_{t}\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}dx}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A:V\mapsto V^{*}}$${\displaystyle Av}$${\displaystyle V^{*}}$

計算解剖学のランダム軌道モデルでは、全体の流れは、微分同相写像をエンコードする座標を形成する初期条件に縮小されます。初期条件から、計算解剖学のリーマン計量に関する測地線配置により、オイラー-ラグランジュ方程式の流れが解かれます。初期条件から測地線を解くことは、リーマン指数と呼ばれ、グループへの恒等 写像です。${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(\cdot ):V\to \operatorname {Diff} _{V}}$

リーマン指数関数は初期条件、ベクトル場ダイナミクス、 ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})=\varphi _{1}}$${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{0}=v_{0}}$${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},t\in [0,1]}$

• 古典方程式の微分同相形状運動量、の場合、${\displaystyle \int _{X}Av_{t}\cdot w\,dx}$${\displaystyle Av\in V}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;}$

• 一般化された方程式の場合、${\displaystyle Av\in V^{*}}$${\displaystyle w\in V}$

${\displaystyle \int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})\,dx=0.}$

これはグループ全体に拡張され、 添付の図に描かれているのは、各例の周りのランダム軌道の描写です。これは、恒等関数 で初期接空間ベクトル場を生成し、次にランダム オブジェクト を生成することによってフローをランダム化することによって生成されます。 ${\displaystyle \varphi =\operatorname {Exp} _{\varphi }(v_{0}\circ \varphi )\doteq \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\circ \varphi .}$${\displaystyle m_{0}\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle v_{0}\in V}$${\displaystyle n\doteq \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot m_{0}\in {\mathcal {M}}}$

右の図に示されている漫画の軌道は、サブ多様体上でサポートされているベクトル場をランダム化することによって生成された皮質下多様体のランダムスプレーです。ランダム軌道モデルは、特定のアトラス に条件付けられた形状と画像の事前分布を誘導します。このため、生成モデルは、 に従ってテンプレートの座標のランダムな変化として平均場を生成します。ここで、座標の微分同相変化は測地線フローを介してランダムに生成されます。 ${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I_{a}\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$

ランダム軌道モデルは、特定のアトラス に条件付けられた形状と画像 の事前分布を誘導します。このため、生成モデルはに従ってテンプレートの座標のランダムな変化として平均場を生成します。ここで、座標の微分同相変化は測地線フローを介してランダムに生成されます。のランダム変換の事前分布はフロー によって誘導され、 はガウスランダム場事前分布 として構築されます。センサーの出力におけるランダム観測量の密度は次のように与えられます。 ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I_{a}\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$${\displaystyle \pi _{\mathrm {Diff} }(d\varphi )}$${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}}$${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v)}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle \pi _{V}(dv)}$${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{D}}$

${\displaystyle p(I^{D}\mid I_{a})=\int _{V}p(I^{D}\mid \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v)\cdot I_{a})\pi _{V}(dv)\ .}$

最大事後推定（MAP）推定は、現代の統計理論の中心です。関心のあるパラメータには、（i）神経変性疾患や神経発達疾患などの疾患タイプ、（ii）画像のセグメンテーションに関連する問題における皮質または皮質下構造などの構造タイプ、（iii）集団からのテンプレート再構築など、さまざまな形式があります。観測された画像が与えられると、MAP推定は事後を最大化します。 ${\displaystyle \theta \in \Theta }$${\displaystyle I^{D}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}\doteq \arg \max _{\theta \in \Theta }\log p(\theta \mid I^{D}).}$

これには条件付き確率の計算が必要です。複数のアトラス軌道モデルは、アトラスの可算な集合をランダム化します。軌道上の画像に関するモデルは、多峰性混合分布の形をとります。 ${\displaystyle p(\theta \mid I^{D})={\frac {p(I^{D},\theta )}{p(I^{D})}}}$${\displaystyle \{I_{a},a\in {\mathcal {A}}\}}$

${\displaystyle p(I^{D},\theta )=\sum _{a\in {\mathcal {A}}}p(I^{D},\theta \mid I_{a})\pi _{\mathcal {A}}(a)\ .}$

条件付きガウスモデルは、高密度画像における不正確なマッチングやランドマークのマッチングについて精力的に研究されてきました。

条件付きガウスランダムフィールド、条件付き平均フィールドとして モデル化します。均一分散の場合、エンドポイント誤差項は、エンドポイント項を与える対数条件（平均フィールドのみの関数）の役割を果たします。 ${\displaystyle I^{D}(x),x\in X}$${\displaystyle \varphi _{1}\cdot I\doteq I(\varphi _{1}^{-1}),\varphi _{1}\in Diff_{V}}$

平均場とランドマークに依存しない一定のノイズ分散を持つ条件付きガウス分布としてモデル化します。対数条件（平均場のみの関数）はエンドポイント項として見ることができます。 ${\displaystyle Y=\{y_{1},y_{2},\dots \}}$${\displaystyle \varphi _{1}(x_{i}),i=1,2,\dots ,\varphi _{1}\in \operatorname {Diff} _{V}}$

${\displaystyle -\log p(I^{D}\mid I(g))\simeq \operatorname {E} (\varphi _{1})\doteq {\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i}\|y_{i}-\varphi _{1}(x_{i})\|^{2}.}$

複数のアトラスのランダム軌道モデルは、微分同相写像のグループ作用から生成された複数の解剖学的軌道の和集合として形状の軌道をモデル化します。各アトラスはテンプレートと定義済みのセグメンテーション フィールドを持ちます。MRI の座標の解剖学的構造に区画化を組み込みます。ペアは、MRI 画像とすべてのボクセル座標の密なラベル付けを使用して、ボクセル格子上でインデックス付けされます。区画化された構造の解剖学的ラベル付けは、神経解剖学者による手動の描写です。 ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\textstyle \bigcup _{a\in {\mathcal {A}}}\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}\cdot I_{a}}$${\displaystyle (I_{a},W_{a}),a=a_{1},a_{2},\ldots }$${\displaystyle I_{a}(x_{i}),W_{a}(x_{i}),x_{i}\in X\subset {\mathbb {R} }^{3}}$

ベイズ分割問題^[10]は、平均場と区画化による測定が与えられると、測定されたMRI画像に対して解剖学的ラベル付けを推定しなければならない。観測画像の平均場は、これもランダムに選択されるテンプレートの1つからのランダム変形としてモデル化される、、。最適な微分同相写像は隠されており、ランダムに選択されたテンプレート画像の背景座標空間に作用する。単一のアトラスが与えられると、推論の尤度モデルは結合確率によって決定され、複数のアトラスがある場合、尤度関数の融合により、モデル全体の事前平均化によるマルチモーダル混合モデルが得られる。 ${\displaystyle I^{D}}$${\displaystyle (I,W)}$${\displaystyle \theta \doteq W}$${\displaystyle I^{D}}$${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$${\displaystyle A=a}$${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle I_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p(I^{D},W\mid A=a)}$

セグメンテーションの MAP 推定量は 、すべてのアトラスにわたる混合を含む、 与えられた 最大化値です 。${\displaystyle W_{a}}$${\displaystyle \max _{W}\log p(W\mid I^{D})}$${\displaystyle I^{D}}$

${\displaystyle {\hat {W}}\doteq \arg \textstyle \max _{W}\displaystyle \log p(I^{D},W){\text{ with }}p(I^{D},W)=\textstyle \sum _{a\in {\mathcal {A}}}\displaystyle p(I^{D},W\mid A=a)\pi _{A}(a).}$

この量は、複数の変形可能なアトラスからの尤度の融合によって計算されます。は、観測された画像が特定のテンプレート画像から進化する事前確率です。 ${\displaystyle p(I^{D},W)}$${\displaystyle \pi _{A}(a)}$${\displaystyle I_{a}}$

MAPセグメンテーションは、期待値最大化アルゴリズムによって反復的に解くことができる。

${\displaystyle W^{\text{new}}\doteq \arg \max _{W}\int \log p(W,I^{D},A,\varphi )\,dp(A,\varphi \mid W^{\text{old}},I^{D}).}$

集団から経験的にテンプレートを生成することは、この分野で普遍的な基本的な操作です。ベイズ統計に基づくいくつかの方法が、部分多様体と密な画像ボリュームに対して登場しました。密な画像ボリュームの場合、観測可能量が与えられた場合、問題は密な画像の軌道にあるテンプレートを推定することです。Ma の手順では、最初のハイパーテンプレートを開始点として、推定される未知の微分同相写像の下で軌道にあるテンプレートをモデル化し、推定されるパラメータはハイパーテンプレートの測地線マッピングを決定する対数座標です。 ${\displaystyle I^{D_{1}},I^{D_{2}},\dots }$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I\doteq \varphi _{0}\cdot I_{0}}$${\displaystyle \theta \doteq v_{0}}$${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0}=I\in {\mathcal {I}}}$

計算解剖学のベイジアンランダム軌道モデルでは、観測された MRI 画像は、テンプレートのランダムな未知の変換を伴う、平均場を持つ条件付きガウスランダム場としてモデル化されます。MAP 推定問題は、観測された MRI 画像が与えられた場合に 未知のテンプレートを推定することです。${\displaystyle I^{D_{i}}}$${\displaystyle \varphi _{i}\cdot I}$${\displaystyle \varphi _{i}}$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$

稠密画像のための Ma の手順では、初期ハイパーテンプレートを開始点として、推定される未知の微分同相写像の下で軌道上のテンプレートをモデル化します。観測可能値は、平均場 を持つ条件付きガウスランダム場である条件付きランダム場としてモデル化されます。MAP によって明示的に推定される未知の変数はハイパーテンプレートのマッピングであり、その他のマッピングはベイズ手順によって統合される不要な変数または隠れた変数と見なされます。これは、期待値最大化アルゴリズムを使用して実現されます。 ${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I\doteq \varphi _{0}\cdot I_{0}}$${\displaystyle I^{D_{i}}}$${\displaystyle \varphi _{i}\cdot I\doteq \varphi _{i}\cdot \varphi _{0}\cdot I_{0}}$${\displaystyle \varphi _{0}}$

軌道モデルは、リーマン測地対数と指数関数を介して、推定される未知のフローをそれらの対数座標に関連付けることによって利用され、計算解剖学では、単位元における接空間の初期ベクトル場がハイパーテンプレートのマッピング でとなる。MAP推定問題は、${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i})\doteq \varphi _{i}}$${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})}$

${\displaystyle \max _{v_{0}}p(I^{D},\theta =v_{0})=\int p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )\pi (v_{1},v_{2},\dots )\,dv}$

EMアルゴリズムは、マッピングをパラメータ化するベクトル場座標を完全なデータとして受け取り、条件付き期待値を反復的に計算する。 ${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$

${\displaystyle {\begin{cases}Q(\theta =v_{0};\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})&=-\operatorname {E} (\log p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )\mid I^{D},\theta ^{\text{old}})\\&=-\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}\end{cases}}}$

• Q関数を最大化する新しいテンプレートを計算し、設定する

${\displaystyle \theta ^{\text{new}}\doteq v_{0}^{\text{new}}=\arg \max _{\theta =v_{0}}Q(\theta ;\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})=-\left\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\right\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}}$

• モード値の期待値を更新して、期待値のモード近似を計算します。

${\displaystyle v_{i}^{\text{new}}=\arg \max _{v:{\dot {\varphi }}=v\circ \varphi }-\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}^{2}\,dt-\|I^{D_{i}}-I_{0}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0}^{\text{old}})^{-1}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v)^{-1}\|^{2}.i=1,2,\dots }$

${\displaystyle \beta ^{\text{new}}(x)=\sum _{i=1}^{n}|D\operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|,{\text{ with }}{\bar {I}}^{\text{new}}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}I^{D_{i}}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})|D\operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|}{\beta ^{\text{old}}(x)}}}$