計算解剖学におけるグループアクション

群作用は、リーマン幾何学と軌道の定義（制御理論）の中心です。計算解剖学の軌道は、解剖学的形状と医療画像で構成されます。解剖学的形状は、点、曲線、面、部分体積で構成される微分幾何学の部分多様体です。これは、線形ベクトル空間である線型代数のより馴染みのある軌道の考え方を一般化したものです。医療画像は、医療画像処理からのスカラー画像とテンソル画像です。群作用は、変化に対応する人間の形状のモデルを定義するために使用されます。これらの軌道は、もともとパターン理論でより抽象的に定式化された変形可能なテンプレートです。

計算解剖学における人体解剖学の中心モデルは、微分幾何学の古典的な定式化である群と群作用である。軌道は形状と形態の空間と呼ばれる。^[1]形状の空間は と表され、群は合成法則を持つ。群の形状に対する作用は と表され、群の作用はを満たすように定義される。 ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {G}},\circ )}$${\displaystyle \circ}$${\displaystyle g\cdot m}$${\displaystyle g\cdot m\in {\mathcal {M}},m\in {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle (g\circ g^{\prime })\cdot m=g\cdot (g^{\prime }\cdot m)\in {\mathcal {M}}.}$

テンプレートの軌道はすべての図形の空間になります。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{m=g\cdot m_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}\}}$

の体積上に定義される CA の中心群は、 3 成分、関数の合成法則、逆関数 を持つ写像である微分同相写像群です。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\doteq \mathrm {Diff} }$${\displaystyle \phi (\cdot )=(\phi _{1}(\cdot ),\phi _{2}(\cdot ),\phi _{3}(\cdot ))}$${\displaystyle \phi \circ \phi ^{\prime }(\cdot )\doteq \phi (\phi ^{\prime }(\cdot ))}$${\displaystyle \phi \circ \phi ^{-1}(\cdot )=\phi (\phi ^{-1}(\cdot ))=\operatorname {id} }$

チャートまたは浸漬によってパラメータ化された部分多様体 の場合、微分同相作用は位置の流れである ${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m(u),u\in U}$

${\displaystyle \phi \cdot m(u)\doteq \phi \circ m(u),u\in U}$。

最も人気のあるのは、逆関数を介して右側に作用する スカラー像 です。${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \phi \cdot I(x)=I\circ \phi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$。

さまざまな画像撮影法がさまざまなアクションで使用されています。 が3次元ベクトルである 画像の場合、${\displaystyle I(x)}$

${\displaystyle \varphi \cdot I=((D\varphi )\,I)\circ \varphi ^{-1},}$

${\displaystyle \varphi \star I=((D\varphi ^{T})^{-1}I)\circ \varphi ^{-1}}$

Cao et al. ^[2]は、拡散テンソルイメージングによって測定され、その主固有ベクトルによって表されるMRI画像のマッピングのアクションを調べた。テンソル場に対して、フレームと呼ばれる正の方向 の 正規直交基底 、ベクトル積は次のように 表される。${\displaystyle I(x)=(I_{1}(x),I_{2}(x),I_{3}(x))}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle I_{1}\times I_{2}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I=\left({\frac {D\varphi I_{1}}{\|D\varphi \,I_{1}\|}},{\frac {(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}\times D\varphi \,I_{1}}{\|(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}\times D\varphi \,I_{1}\|}},{\frac {(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}}{\|(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}\|}}\right)\circ \varphi ^{-1}\ ,}$

3 つの正規直交ベクトルのフレネ フレームは、接線として変形し、によって生成される平面の法線として変形し、 です。 H は、基底が正で正規直交であるという一意の制約を受けます。 ${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{3}}$${\displaystyle I_{1}\times I_{2}}$${\displaystyle I_{3}}$

非負対称行列の場合、アクションは になります。 ${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle \varphi \cdot I=(D\varphi \,ID\varphi ^{T})\circ \varphi ^{-1}}$

MRI DTI画像^{[3] [4]}（テンソル）をマッピングする場合、微分同相写像によって固有値が保存され、固有ベクトルが回転し、固有値が保存されます。固有要素が与えられた場合 、作用は次のようになります。 ${\displaystyle \{\lambda _{i},e_{i},i=1,2,3\}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I\doteq (\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1}}$

${\displaystyle {\hat {e}}_{1}={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,{\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},(D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\|D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},(D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}\|}}\ ,\ {\hat {e}}_{3}\doteq {\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\ .}$

配向分布関数 (ODF) は、水分子の拡散確率密度関数の角度プロファイルを特徴付けるもので、高角度分解能拡散イメージング (HARDI) から再構築できます。ODF は、単位球 上で定義される確率密度関数です。情報幾何学の分野^[5]では、ODF の空間はフィッシャー・ラオ計量を持つリーマン多様体を形成します。LDDMM ODF マッピングの目的では、測地線、指数マップ、対数マップなどのさまざまなリーマン演算が閉じた形式で利用できるため、平方根表現は現在までに見つかった最も効率的な表現の 1 つであるため、これを選択します。以下では、平方根 ODF ( ) を と表します。ここで、 は一意性を確保するために非負であり、 です。 ${\displaystyle {\mathbb {S} }^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1}$

微分同相変換を と表記する。 、 上の微分同相写像の群作用は非負性と を保証する必要がある。 の導出に基づき、^[6]この群作用は次のように定義される。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$${\displaystyle \phi \cdot \psi }$${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\phi \cdot \psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(D\phi )\psi \circ \phi ^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\phi ^{-1}(x)\right),\end{aligned}}}$

のヤコビアンはどこですか？ ${\displaystyle (D\phi )}$${\displaystyle \phi }$