ソボレフの不等式

数学では、数学的解析において、ソボレフ不等式という、ソボレフ空間のノルムを含むノルムを関連付けるクラスがある。これらは、特定のソボレフ空間間の包含関係を与えるソボレフ埋め込み定理や、やや強い条件下では一部のソボレフ空間が他のソボレフ空間にコンパクトに埋め込まれることを示すレリッヒ-コンドラチョフ定理を証明するために使用される。これらはセルゲイ・リヴォヴィチ・ソボレフにちなんで名付けられている。

W ^k,p ( R ⁿ )は、 k次までの弱導関数がL ^pの関数であるようなR ⁿ上のすべての実数値関数からなるソボレフ空間を表すものとする。ここでk は非負の整数であり、1 ≤ p < ∞である。ソボレフの埋め込み定理の最初の部分は、k > ℓ、p < nおよび1 ≤ p < q < ∞が、

${\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}={\frac {1}{q}}-{\frac {\ell}{n}},}$

（、が与えられ、が与えられた場合にこれが満たされる）、 ${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle q\in [1,\infty )}$${\displaystyle (k-\ell )p<n}$

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq W^{\ell ,q}(\mathbf {R} ^{n})}$

埋め込みは連続的である。つまり、任意の に対して が成り立ち 、 ${\displaystyle f\in W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})}$${\displaystyle f\in W^{l,q}(\mathbf {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla ^{\ell }f\vert ^{q}{\biggr )}^{\frac {1} {q}}\leq C{\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla ^{k}f\vert ^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}.}$

k = 1かつℓ = 0の特別な場合、ソボレフ埋め込みは次式を与える。

${\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}$

ここでp ^{∗ は}pのソボレフ共役であり、次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {1}{p^{*}}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{n}}}$

そして、すべての に対して 、 および ${\displaystyle f\in W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}$${\displaystyle f\in L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert f\vert ^{p_{*}}{\biggr )}^{1-{\frac {n}{ p}}}\leq C\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla ^{k}f\vert ^{p}.}$

ソボレフ埋め込みのこの特殊なケースは、ガリアルド・ニーレンバーグ・ソボレフ不等式の直接的な結果です。この結果は、 の関数がで 1 つの導関数を持つ場合、それ自体が改良された局所的動作を持つ、つまりの空間に属する、と解釈されます。( であるため、 となることに注意してください。) したがって、 の局所的特異点は、の典型的な関数の場合よりも穏やかでなければなりません。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{p^{*}}}$${\displaystyle p^{*}>p}$${\displaystyle 1/p^{*}$${\displaystyle p^{*}>p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{p}}$

ソボレフの埋め込み定理の2番目の部分は、ホルダー 空間 C ^r,α ( R ⁿ )への埋め込みに適用されます。n < pkかつ

${\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}=-{\frac {r+\alpha }{n}},{\mbox{ または、同等に、 }}r+\alpha =k-{\frac {n}{p}}}$

α ∈ (0, 1)のとき、埋め込みは次のようになる。

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\alpha }(\mathbf {R} ^{n}).}$

言い換えれば、すべてのおよびに対して、${\displaystyle f\in W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})}$${\displaystyle x,y\in \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle f\in C^{\ell }(\mathbf {R} ^{n})}$

${\displaystyle \vert \nabla ^{\ell }f(x)-\nabla ^{\ell }f(y)\vert \leq C{\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n }}\vert \nabla ^{k}f\vert ^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}\vert xy\vert ^{\alpha }.}$

ソボレフ埋め込みのこの部分は、モーリーの不等式の直接的な結果です。直感的には、この包含は、十分に多くの弱導関数の存在が古典導関数の連続性を意味するという事実を表現しています。 の場合、任意の に対して。 ${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}$${\displaystyle \gamma \in (0,1)}$

特に、 である限り、および の何らかの正の値で埋め込み基準が成り立ちます。つまり、 上の関数について、が およびで導関数を持つ場合、 は連続になります（そして実際には何らかの正の指数 でヘルダー連続になります）。 ${\displaystyle pk>n}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle pk>n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \alpha }$

ソボレフの埋め込み定理は、他の適切な領域M上のソボレフ空間W ^k,p ( M )に対して成立する。特に（Aubin 1982、第2章; Aubin 1976）、ソボレフの埋め込みの両方の部分は、

• MはR ⁿ内のリプシッツ境界を持つ有界 開集合である（またはその境界は円錐条件を満たす; Adams 1975、定理5.4）
• Mはコンパクトな リーマン多様体である
• Mは境界を持つコンパクトなリーマン多様体であり、境界はリプシッツです (境界は局所的にリプシッツ連続関数のグラフとして表現できることを意味します)。
• M は、入射半径δ > 0と有界断面曲率を持つ完全なリーマン多様体です。

Mが^連続境界を持つRn内^の有界開集合である場合、W1,2 ( M )は^L2 ( M )にコンパクトに埋め込まれます(Nečas 2012、セクション1.1.5、定理1.4)。

C ¹境界を持つコンパクト多様体M上で、コンドラコフ埋め込み定理は、k > ℓのときソボレフ埋め込みが成立 することを述べている。$${\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}<{\frac {1}{q}}-{\frac {\ell }{n}}}$$

${\displaystyle W^{k,p}(M)\subset W^{\ell ,q}(M)}$

は完全に連続（コンパクト）である。 ^[1]条件はソボレフの埋め込み定理の最初の部分と全く同じであるが、等式が不等式に置き換えられ、より規則的な空間W ^k,p ( M ) が必要となることに注意されたい。

u がR ⁿ上の連続的に微分可能な実数値関数で、コンパクトな台を持つと仮定する。すると、1 ≤ p < nに対して、 nとpのみに依存する定数Cが存在し、

${\displaystyle \|u\|_{L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

となる。このケースはソボレフ^[2]によるものであり、このケースはガリアルドとニーレンバーグに独立して起因する。^{[3] [4]} ガリアルド・ニーレンバーグ・ソボレフの不等式は、ソボレフの埋め込みを直接的に意味する。 ${\displaystyle 1/p^{*}=1/p-1/n}$${\displaystyle 1<p<n}$${\displaystyle p=1}$

${\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n}).}$

R ⁿ上の他の順序の埋め込みは、適切な反復によって得られます。

ソボレフの埋め込み定理の元々の証明は、ハーディ・リトルウッド・ソボレフ分数積分定理とも呼ばれる以下の定理に基づいていました。同等の記述は、(Aubin 1982、第 2 章) のソボレフの補題として知られています。証明は (Stein 1970、第 5 章、§1.3) にあります。

0 < α < nかつ1 < p < q < ∞とする。I _α = (−Δ) ^{− α /2を}R ⁿ上のリースポテンシャルとする。すると、q は次のように定義される。

${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {\alpha }{n}}}$

pのみに依存する定数Cが存在し、

${\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.}$

p = 1の場合、2つの置換推定値が可能です。1つ目はより古典的な弱型推定値です。

${\displaystyle m\left\{x:\left|I_{\alpha }f(x)\right|>\lambda \right\}\leq C\left({\frac {\|f\|_{1}}{\lambda }}\right)^{q},}$

ここで1/ q = 1 − α / nです。あるいは、次のように推定できます。ここで はベクトル値リース変換です (Schikorra、Spector、Van Schaftingen 2017)。リース変換の有界性は、後者の不等式がリースポテンシャルの不等式族を統一的に記述する方法を与えることを意味します。 $${\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|Rf\|_{1},}$$${\displaystyle Rf}$

ハーディ・リトルウッド・ソボレフの補題は、本質的にリース変換とリースポテンシャル の関係によってソボレフ埋め込みを意味します。

n < p ≤ ∞と仮定すると、 pとnのみに依存する定数C が存在し、

${\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}}$

すべてのu ∈ C ¹ ( R ⁿ ) ∩ L ^p ( R ⁿ )に対して、ここで

${\displaystyle \gamma =1-{\frac {n}{p}}.}$

したがって、u ∈ W ^{1, p} ( R ⁿ )の場合、u は測度 0 の集合上で再定義された後、 指数γのホルダー連続になります。

同様の結果は、リプシッツ境界を持つ有界領域Uでも成り立つ。この場合、

${\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)}}$

ここで定数C はn、p、Uに依存します。このバージョンの不等式は、 W ^{1, p} ( U )のノルム保存拡張をW ^{1, p} ( R ⁿ )に適用することで、前のバージョンから得られます。この不等式はCharles B. Morrey Jr.にちなんで名付けられました。

U をC ¹境界を持つR ⁿの有界開部分集合とします。( U は有界でない場合もありますが、その場合、境界が存在する場合は、十分に適切に動作する必要があります。)

u ∈ W ^k,p ( U )と仮定します。次の2つのケースを考えます。

この場合、 u ∈ L ^q ( U )と結論付けられる。ここで

${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}.}$

さらに見積もりがあります

${\displaystyle \|u\|_{L^{q}(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)}}$、

定数C はk、p、n、およびUのみに依存します。

ここで、u はより正確にはホルダー空間に属すると結論付けます。

${\displaystyle u\in C^{k-\left[{\frac {n}{p}}\right]-1,\gamma }(U),}$

どこ

${\displaystyle \gamma ={\begin{cases}\left[{\frac {n}{p}}\right]+1-{\frac {n}{p}}&{\frac {n}{p}}\notin \mathbf {Z} \\{\text{any element in }}(0,1)&{\frac {n}{p}}\in \mathbf {Z} \end{cases}}}$

さらに見積もりがあります

${\displaystyle \|u\|_{C^{k-\left[{\frac {n}{p}}\right]-1,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)},}$

定数C はk、p、n、γ、およびUのみに依存します。特に、条件は連続性（および実際には正の指数を持つヘルダー連続性） を保証します。${\displaystyle k>n/p}$${\displaystyle u}$

ならば、uは有界平均振動の関数であり、 ${\displaystyle u\in W^{1,n}(\mathbf {R} ^{n})}$

${\displaystyle \|u\|_{BMO}\leq C\|Du\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})},}$

nのみに依存する定数Cに対して[ ^{5] ：§I.2}この推定値はポアンカレ不等式の系である。

ジョン・ナッシュ（1958）によって導入されたナッシュ不等式は、すべてのu ∈ L ¹ ( R ⁿ ) ∩ W ^1,2 ( R ⁿ )に対して、 定数C > 0が存在することを述べています。

${\displaystyle \|u\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}^{1+2/n}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbf {R} ^{n})}^{2/n}\|Du\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

この不等式はフーリエ変換の基本的な性質から導かれる。実際、半径ρの球の補集合上で積分すると、

なぜなら、一方では ${\displaystyle 1\leq |x|^{2}/\rho ^{2}}$

${\displaystyle |{\hat {u}}|\leq \|u\|_{L^{1}}}$

これを半径ρの球体上で積分すると、

ここでω _{n は}n球の体積である。ρを( 1 ) と ( 2 )の合計が最小になるように選択し、パーセバルの定理を適用すると、

${\displaystyle \|{\hat {u}}\|_{L^{2}}=\|u\|_{L^{2}}}$

不等式を与えます。

n = 1の特別なケースでは、ナッシュ不等式はL ^{p の}場合に拡張することができ、その場合、それはガリアルド-ニーレンバーグ-ソボレフ不等式の一般化である (Brezis 2011、第 8 章のコメント)。実際、I が有界区間である場合、すべての1 ≤ r < ∞およびすべての1 ≤ q ≤ p < ∞に対して、次の不等式が成立します 。

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(I)}\leq C\|u\|_{L^{q}(I)}^{1-a}\|u\|_{W^{1,r}(I)}^{a},}$

どこ：

${\displaystyle a\left({\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}+1\right)={\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}.}$

上で述べたソボレフの埋め込み定理の中で最も単純な定理は、の関数がに1つの導関数を持つ場合、それ自体は に存在し、ここで ${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{p^{*}}}$

${\displaystyle 1/p^{*}=1/p-1/n.}$

が無限大に近づくにつれて、はに近づくことがわかります。したがって、が定義されている空間の次元が大きい場合、での導関数を持つことによる の局所的動作の改善は小さいです（は よりわずかに大きいだけです）。特に、無限次元空間上の関数については、古典的なソボレフの埋め込み定理に直接類似するものは期待できません。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle p^{*}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p^{*}}$${\displaystyle p}$

しかし、レナード・グロス(Gross 1975) によって確立され、次元に依存しない定数を持つため無限次元の設定でも成立し続ける、対数ソボレフ不等式 と呼ばれるタイプのソボレフ不等式があります。対数ソボレフ不等式は、大まかに言えば、関数がガウス測度に関して にあり、 内にある 1 つの導関数を持つ場合、 は「-log 」にあり、つまり の積分は有限であることを意味します。この事実を表す不等式には、空間の次元を含まない定数があるため、無限次元空間上のガウス測度の設定で不等式が成立します。現在では、対数ソボレフ不等式はガウス測度だけでなく、さまざまなタイプの測度で成立することがわかっています。 ${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle |f|^{p}\log |f|}$

-log 条件は にある場合に比べて非常に小さな改善であるように思われるかもしれませんが、この改善は重要な結果、つまり関連するディリクレ形式演算子の超縮約性を導くのに十分です。この結果は、関数がディリクレ形式演算子の指数の範囲内にある場合、つまり関数が、ある意味で で無限に多くの導関数を持つ場合、関数はに対してに属することを意味します(Gross 1975 定理 6)。 ${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p^{*}}}$${\displaystyle p^{*}>p}$

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