ピーコン

積分可能システムの理論において、ピーコン（「ピークソリトン」）は不連続な第 1導関数を持つソリトンであり、波のプロファイルは関数のグラフのような形になります。 （複数の）ピーコン解を持つ非線形偏微分方程式の例には、カマッサ–ホルム浅水波動方程式、デガスペリス–プロセシ方程式、フォルンバーグ–ウィサム方程式などがあります。ピーコン解は区分的にしか微分できないため、適切な弱意味で解釈する必要があります。この概念は、1993 年にカマッサとホルムによって浅水方程式を導出した短いがよく引用される論文で導入されました。^[1]${\displaystyle e^{-|x|}}$

ピーコン解をサポートする偏微分方程式の主な例は

${\displaystyle u_{t}-u_{xxt}+(b+1)uu_{x}=bu_{x}u_{xx}+uu_{xxx},\,}$

ここで、は未知の関数であり、bはパラメータである。^[2]関係式によって定義される 補助関数の観点から、この式はより単純な形をとる。 ${\displaystyle u(x,t)}$${\displaystyle m(x,t)}$${\displaystyle m=u-u_{xx}}$

${\displaystyle m_{t}+m_{x}u+bmu_{x}=0.\,}$

この方程式は、ちょうど 2 つのbの値、つまりb = 2 ( Camassa–Holm 方程式) とb = 3 ( Degasperis–Procesi 方程式) に対して積分可能です。

上記の偏微分方程式は、振幅cと速度cを持つピークのある孤立波である進行波解を許容します。この解は、（単一）ピーコン解、または単にピーコンと呼ばれます。cが負の場合、波はピークが下を向いた状態で左に移動し、反ピーコンと呼ばれることもあります。 ${\displaystyle u(x,t)=c\,e^{-|x-ct|}}$

ピーコン解がどのような意味で PDE を満たすかはすぐには分かりません。導関数u _{x は}ピークでジャンプ不連続性を持つため、2 番目の導関数u _{xx は}分布の意味で取られる必要があり、ディラックのデルタ関数が含まれます。実際、 です。分布mは導関数u _xが定義されていないまさにその点でサポートされているため、PDE で発生する積は定義されていないようです。アドホックな解釈としては、その時点でのu _xの値を、その左極限と右極限の平均 (この場合はゼロ) に等しくすることです。解を理解するより満足のいく方法は、と書くことでuとmの関係を反転し、 と書き、これを使用して PDE を (非局所的)双曲的保存則として書き直すことです。 ${\displaystyle m=u-u_{xx}=c\,\delta (x-ct)}$${\displaystyle mu_{x}}$${\displaystyle m=(G/2)*u}$${\displaystyle G(x)=\exp(-|x|)}$

${\displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}\left[{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {G}{2}}*\left({\frac {bu^{2}}{2}}+{\frac {(3-b)u_{x}^{2}}{2}}\right)\right]=0.}$

（星印はxに関する畳み込みを表す。）この定式化では関数uは通常の意味での弱解として単純に解釈できる。 ^[3]

マルチピーコン解は、それぞれが時間依存の振幅と位置を持つ複数のピーコンの線形結合によって形成されます。（これは、コルテウェグ・ド・フリース方程式などの他のほとんどの積分可能な偏微分方程式のマルチソリトン解と比較すると非常に単純な構造です。）したがって、 nピーコン解は次の形式になります。

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(t)\,e^{-|x-x_{i}(t)|},}$

ここで、2 n関数は、u が偏微分方程式を満たす ように適切に選択されなければならない。上記の「b族」では、この仮説は、常微分方程式のシステム${\displaystyle x_{i}(t)}$${\displaystyle m_{i}(t)}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}e^{-|x_{k}-x_{i}|},\qquad {\dot {m}}_{k}=(b-1)\sum _{i=1}^{n}m_{k}m_{i}\operatorname {sgn}(x_{k}-x_{i})e^{-|x_{k}-x_{i}|}\qquad (k=1,\dots ,n)}$

が満たされます。（ここで sgn は符号関数を表します。） の式の右辺は、uの式にを代入することによって得られることに注意してください。同様に、 の式は、x = 0での の導関数がゼロであると解釈すれば、で表すことができます。これにより、このシステムの便利な省略表記が次のように得られます。 ${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle x=x_{k}}$${\displaystyle m_{k}}$${\displaystyle u_{x}}$${\displaystyle \exp(-|x|)}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=u(x_{k}),\qquad {\dot {m}}_{k}=-(b-1)m_{k}u_{x}(x_{k})\qquad (k=1,\dots ,n).}$

最初の方程式は、ピーコンのダイナミクスに関する有用な直感を提供します。つまり、各ピーコンの速度は、その地点での波の高度に等しくなります。

積分可能な場合b = 2およびb = 3では、ピークオンダイナミクスを記述する常微分方程式系は、逆スペクトル法を用いて任意のnについて初等関数で明示的に解くことができる。例えば、カマッサ・ホルムの場合b = 2でn = 3の解は^[4]で与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}(t)&=\log {\frac {(\lambda _{1}-\lambda _{2})^{2}(\lambda _{1}-\lambda _{3})^{2}(\lambda _{2}-\lambda _{3})^{2}a_{1}a_{2}a_{3}}{\sum _{j<k}\lambda _{j}^{2}\lambda _{k}^{2}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\x_{2}(t)&=\log {\frac {\sum _{j<k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\lambda _{1}^{2}a_{1}+\lambda _{2}^{2}a_{2}+\lambda _{3}^{2}a_{3}}}\\x_{3}(t)&=\log(a_{1}+a_{2}+a_{3})\\m_{1}(t)&={\frac {\sum _{j<k}\lambda _{j}^{2}\lambda _{k}^{2}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\sum _{j<k}\lambda _{j}\lambda _{k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\m_{2}(t)&={\frac {\left(\lambda _{1}^{2}a_{1}+\lambda _{2}^{2}a_{2}+\lambda _{3}^{2}a_{3}\right)\sum _{j<k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\left(\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\lambda _{3}a_{3}\right)\sum _{j<k}\lambda _{j}\lambda _{k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\m_{3}(t)&={\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}}{\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\lambda _{3}a_{3}}}\end{aligned}}}$

ここで、2 n個の定数と は初期条件から決定される。任意のnに対する一般解は、およびの対称関数で表すことができる。Degasperis –Procesi の場合のb = 3 の一般nピーク解は、フレーバーは似ているが、詳細な構造はより複雑である。^[5]${\displaystyle a_{k}(t)=a_{k}(0)e^{t/\lambda _{k}}}$${\displaystyle a_{k}(0)}$${\displaystyle \lambda_{k}}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle \lambda_{k}}$