計算解剖学におけるテンプレートのベイズ推定

計算解剖学(CA)における統計的形状解析と統計的形状理論はテンプレートに基づいて実行されるため、形状に関する統計の局所理論である。計算解剖学における観測集団からのテンプレート推定は、この分野に遍在する基本的な操作である。部分多様体^{[ 1 ] [ 2 ]および高密度画像ボリューム[ 3 ]}に対して、 CA のランダム軌道モデルにおけるベイズ確率と統計に基づくテンプレート推定のいくつかの手法が登場している。

線形代数は、現代工学における中心的なツールの1つです。線形代数の中心となるのは、ベクトルの軌道という概念であり、行列は群（逆行列と単位行列を持つ行列）を形成し、ベクトルに作用します。線形代数では、軌道要素であるベクトルを記述する方程式は、行列によって作用されるベクトルに関して線形です。計算解剖学では、あらゆる形状と形態の空間は、線形代数におけるベクトルと同様の軌道としてモデル化されますが、群は行列のように線形に作用せず、形状と形態は加算可能ではありません。計算解剖学では、加算は基本的に合成の法則に置き換えられます。

ボリューム上で定義された中央グループがCAとして動作しています $\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$微分同相写像は${\displaystyle {\mathcal {G}}\doteq Diff}$これらは3つの成分を持つマッピングです${\displaystyle \phi (\cdot )=(\phi _{1}(\cdot ),\phi _{2}(\cdot ),\phi _{3}(\cdot ))}$関数の合成法則${\displaystyle \phi \circ \phi ^{\prime }(\cdot )\doteq \phi (\phi ^{\prime }(\cdot ))}$逆数${\displaystyle \phi \circ \phi ^{-1}(\cdot )=\phi (\phi ^{-1}(\cdot ))=id}$。

グループとグループは、線形代数が基本モデルとして広く普及・標準化されたことで、工学コミュニティでは馴染み深いものとなっている。

人気のある グループ活動はスカラー画像に関するもので、${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$右側の作用は逆操作によって行われる。

${\displaystyle \phi \cdot I(x)=I\circ \phi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}.}$

部分多様体の場合${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$チャートまたはイマージョンによってパラメータ化される${\displaystyle m(u),u\in U}$微分同相作用、位置の流れ

${\displaystyle \phi \cdot m(u)\doteq \phi \circ m(u),u\in U.}$

計算解剖学におけるいくつかのグループ活動が定義されている。

コンピュータ解剖学における変形可能な形状の研究には、より一般的な微分同相群が用いられており、これは無限次元の類似物である。計算解剖学で使用される高次元微分同相群は、滑らかな流れによって生成される。${\displaystyle \phi _{t},t\in [0,1]}$常微分方程式を満たす流れ場のラグランジュおよびオイラー的仕様を満たすもの：

と${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$ベクトル場${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$位置における粒子のオイラー速度と呼ばれる${\displaystyle \phi }$流れの。ベクトル場は関数空間内の関数であり、ベクトル場が1連続微分を持つ滑らかなヒルベルト空間としてモデル化される。${\displaystyle v_{t}={\dot {\phi }}_{t}\circ \phi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$逆関数は、次の式で表される流れに対して成り立つ。

そして${\displaystyle 3\times 3}$流れのヤコビ行列${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ として与えられた${\displaystyle \ D\phi \doteq \left({\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

フローは、画像マッチングにおける大きな変形のために最初に導入されました^{[ 4 ] [ 5 ] 。}${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}(x)}$は粒子の瞬間速度である${\displaystyle x}$その時${\displaystyle t}$ベクトル場は、流れの位置における粒子のオイラー速度と呼ばれます。CAで使用されるモデリング手法は、ベクトル場の空間をモデル化することによって、ベクトル場に連続微分可能性条件を課します。${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$再生核ヒルベルト空間（RKHS）として、ノルムは1対1の微分作用素によって定義される。${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$グリーンの逆数${\displaystyle K=A^{-1}}$基準によれば${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot vdx,v\in V,}$どこで${\displaystyle \sigma (v)\doteq Av\in V^{*}}$一般化された関数または分布の場合、${\displaystyle (\sigma \mid w)\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\sum _{i}w_{i}(x)\sigma _{i}(dx)}$。 以来${\displaystyle A}$は微分作用素であり、ノルム二乗の有限性${\displaystyle \int _{X}Av\cdot vdx<\infty }$微分演算子からの導関数を含み、ベクトル場の滑らかさを意味する。

逆写像を持つ微分同相写像の滑らかな流れを保証するために、ベクトル場${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$空間において少なくとも1回連続微分可能でなければならない^{[ 6 ] [ 7 ]。}これらはヒルベルト空間の要素としてモデル化される。 ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ソボレフ埋め込み定理を用いて各要素${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$3乗可積分な導関数を持つ。したがって${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$1回連続微分可能な関数に滑らかに埋め込む。^{[ 6 ] [ 7 ]} 微分同相群は、ソボレフノルムで絶対積分可能なベクトル場を持つ流れである。

医用画像処理における計算解剖学の中心的な統計モデルは、シャノン理論のソースチャネルモデルである。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}ソースは画像の変形可能なテンプレートである。${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$チャネル出力は観測可能なイメージングセンサーです${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$解剖学的構造の変動は、コンピュータ断層撮影装置、MRI装置、PET装置などの医用画像診断装置とは別にモデル化されます。ベイズ理論は、画像のソースに関する事前確率をモデル化します。${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$の上${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$、そして観測可能な画像に対する条件付き密度${\displaystyle p(\cdot |I)\ {\text{on}}\ I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$条件付き${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$微分同相群作用を持つ画像の場合${\displaystyle I\doteq \phi \cdot I_{\mathrm {temp} },\phi \in Diff_{V}}$すると、そのグループの事前分布は${\displaystyle \pi _{Diff_{V}}(\cdot )}$画像に事前分布を誘導する${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$密度として記述すると、対数事後確率は次の形式になります。

${\displaystyle \log p(\phi \cdot I\mid I^{D})\simeq \log p(I^{D}\mid \phi \cdot I)+\log \pi _{\operatorname {Diff} _{V}}(\phi )\ .}$

最大事後確率推定（MAP）は、現代統計理論の中心をなす推定法である。${\displaystyle \theta \in \Theta }$（i）神経変性疾患や神経発達疾患などの疾患タイプ、（ii）画像のセグメンテーションに関連する問題における皮質構造や皮質下構造などの構造タイプ、（iii）集団からのテンプレート再構築など、多くの形態をとる。${\displaystyle I^{D}}$MAP推定は事後確率を最大化する：

${\displaystyle {\hat {\theta }}\doteq \arg \max _{\theta \in \Theta }\log p(\theta \mid I^{D}).}$

これには条件付き確率の計算が必要です${\displaystyle p(\theta \mid I^{D})={\frac {p(I^{D},\theta )}{p(I^{D})}}}$複数のアトラス軌道モデルは、可算集合のアトラスに対してランダム化を行う。${\displaystyle \{I_{a},a\in {\mathcal {A}}\}}$軌道上の画像に関するモデルは、多峰性混合分布の形をとる。

${\displaystyle p(I^{D},\theta )=\textstyle \sum _{a\in {\mathcal {A}}}p(I^{D},\theta \mid I_{a})\pi _{\mathcal {A}}(a)\ .}$

皮質下神経解剖学の研究は、多くの研究の焦点となってきた。Csernansky らが統合失調症^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}、アルツハイマー病^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}、うつ病 [ 21 ] [ 22 ] における海馬の変化について最初に発表して以来、^{うつ病[ 23 ]、アルツハイマー病}[ ^{11 ] [ 12 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]} 、双極性障害、ADHD [ 28 ]、^{自閉症[ 29 ]、ハンチントン}病^のすべての皮質下構造から構築されたテンプレートを使用して、^{多くの神経解剖学的形状統計研究が完了している}。^{[ 30 ] [ 31 ]}テンプレートは、Ma、Younes、Miller まで遡るベイズテンプレート推定データを使用して生成されました。^{[ 32 ]}

添付の図には、ADNI被験者集団におけるアルツハイマー病の研究のためにTangら^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}がT1強調磁気共鳴画像から生成した皮質下構造テンプレートの例が示されている。

心臓肥大と、心臓の機能的メカニズムにおける構造的統合の役割については、現在までに数多くの研究が行われています。Siamak Ardekani は、心臓解剖の集団に取り組み、集団からアトラス座標系を再構築しています。^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}右の図は、肥大型心筋症患者 (左) と高血圧性心疾患患者 (右) の間で、収縮期末期の半径方向の厚さの局所的な違いを特定するために使用されている計算心臓解剖法を示しています。共通の表面テンプレート (灰色のメッシュ) 上に配置されたカラーマップは、肥大型心筋症患者と高血圧性心疾患患者で平均的に半径方向の厚さが有意に大きい領域 (基底中隔と前心外膜壁) を表しています (下記参照)。^{[ 33 ]}

集団から経験的にテンプレートを生成することは、この分野に遍在する基本的な操作である。部分多様体や高密度画像ボリュームに対して、ベイズ統計に基づくいくつかの手法が登場している。高密度画像ボリュームの場合、観測可能な${\displaystyle I^{D_{1}},I^{D_{2}},\dots }$問題は、高密度画像の軌道におけるテンプレートを推定することである。${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$Maの手順は、初期ハイパーテンプレートを受け取ります。${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$出発点として、未知の微分同相写像の下で軌道上のテンプレートをモデル化する${\displaystyle I\doteq \phi _{0}\cdot I_{0}}$推定するパラメータは対数座標である。${\displaystyle \theta \doteq v_{0}}$ハイパーテンプレートの測地線マッピングを決定する${\displaystyle \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0}=I\in {\mathcal {I}}}$。

計算解剖学のベイズランダム軌道モデルでは、観測されたMRI画像${\displaystyle I^{D_{i}}}$平均場を持つ条件付きガウスランダム場としてモデル化される${\displaystyle \phi _{i}\cdot I}$、 と${\displaystyle \phi _{i}}$テンプレートのランダムな未知の変換。MAP推定問題は、未知のテンプレートを推定することです。${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$観察されたMRI画像を考慮すると。

Maの高密度イメージングの手順は、まずハイパーテンプレートから始まる。${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$出発点として、未知の微分同相写像の下で軌道上のテンプレートをモデル化する${\displaystyle I\doteq \phi _{0}\cdot I_{0}}$観測量は条件付き確率場としてモデル化され、${\displaystyle I^{D_{i}}}$平均場を持つ条件付きガウスランダム場${\displaystyle \phi _{i}\cdot I\doteq \phi _{i}\cdot \phi _{0}\cdot I_{0}}$MAPによって明示的に推定される未知の変数は、ハイパーテンプレートのマッピングである。${\displaystyle \phi _{0}}$他のマッピングは、ベイズ法によって統合除去される不要な変数または隠れ変数とみなされます。これは、期待値最大化（EM）アルゴリズムを使用して実現されます。

軌道モデルは、推定すべき未知の流量をそれらの対数座標に関連付けることによって利用される。${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$リーマン測地線ログと指数関数を介して計算解剖学のために接空間における初期ベクトル場を恒等関数で${\displaystyle \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i})\doteq \phi _{i}}$、 と${\displaystyle \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})}$ハイパーテンプレートのマッピング。MAP推定問題は次のようになる。

${\displaystyle \max _{v_{0}}p(I^{D},\theta =v_{0})=\int p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )\pi (v_{1},v_{2},\dots )\,dv}$

EMアルゴリズムは、マッピングをパラメータ化するベクトル場座標を完全なデータとして受け取ります。${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$そして条件付き期待値を反復的に計算する

${\displaystyle {\begin{matrix}Q(\theta =v_{0};\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})&=-E(\log p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )|I^{D},\theta ^{\text{old}})\\&=-\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}\end{matrix}}}$

• Q関数を最大化する新しいテンプレートを計算し、${\displaystyle \theta ^{\text{new}}\doteq v_{0}^{\text{new}}=\arg \max _{\theta =v_{0}}Q(\theta$ ;\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})=-\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}}
• 最頻値に対する期待値を更新して、期待値の最頻値近似を計算します。

${\displaystyle v_{i}^{\text{new}}=\arg \max _{v:{\dot {\phi }}=v\circ \phi }-\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}^{2}\,dt-\|I^{D_{i}}-I_{0}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0}^{\text{old}})^{-1}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v)^{-1}\|^{2}.i=1,2,\dots }$

${\displaystyle \beta ^{\text{new}}(x)=\sum _{i=1}^{n}|D\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|,{\text{ with }}{\bar {I}}^{\text{new}}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}I^{D_{i}}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})|D\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|}{\beta ^{\text{old}}(x)}}}$