ハミルトン行列

数学において、ハミルトン行列は、 $JA$ が対称である $2 n$ 行 $2 n$ 列の行列 $A$ であり、 $Jは$ 歪対称行列である。

J={\begin{bmatrix}0_{n}&I_{n}\\-I_{n}&0_{n}\\\end{bmatrix}}

そして、 $I n は$ $n$ 行 $n列の$ 単位行列です。言い換えると、 $A$ がハミルトン行列である場合、かつその場合のみ、 $(JA) T = JA と$ なります。ここで、 $() T は$ 転置行列を表します。^{[1] (}ハミルトン行列 (量子力学) と混同しないでください)

プロパティ

$2 n$ 行 $2 n$ 列の行列 $Aが$ ブロック行列として表されるとする。

A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}

ここで、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $dは$ $n$ 行 $n$ 列の行列である。Aがハミルトン行列であるという条件は、 $行列$ bとcが対称行列であり、a + d T = 0であることを要求するのと同等である $。$ [ $1$ ] $[2] もう 1$ つの^同等^の条件は、 $Aが$ $A = JSの$ 形式で $Sが$ 対称行列であることである。^[2]^{: 34}

定義から、ハミルトン行列の転置はハミルトン行列であることが容易にわかる。さらに、2 つのハミルトン行列の和 (および任意の線形結合) は、それらの交換子と同様に、やはりハミルトン行列である。したがって、すべてのハミルトン行列の空間はリー代数であり、 $sp(2 n)と表記される。$ $sp(2 n)$ の次元は $2 n 2 + n$ である。対応するリー群はシンプレクティック群 $Sp(2 n)$ である。この群は、 $A$ $T$ $JA$ $=$ $J$ を満たす行列 $Aである$ シンプレクティック行列で構成される。したがって、ハミルトン行列の行列指数はシンプレクティックである。ただし、リー代数から群への指数写像は全射ではないため、シンプレクティック行列の対数は必ずしもハミルトン行列ではない。^[2]^{: 34–36}^[3]

実ハミルトン行列の特性多項式は偶数である。したがって、ハミルトン行列が $λ を$ 固有値として持つ場合、 $-λ$ 、 $λ *$ 、 $-λ *$ も固有値である。^[2]^{: 45}したがって、ハミルトン行列のトレースはゼロになる。

ハミルトン行列の二乗は歪ハミルトン行列である（行列 $Aは$ $(JA) T = -JA$ のとき歪ハミルトン行列である）。逆に、すべての歪ハミルトン行列はハミルトン行列の二乗として生じる。^[4]

複素行列への拡張

シンプレクティック行列と同様に、ハミルトン行列の定義は2つの方法で複素行列に拡張できます。1つの可能性は、上記のように、 $($ $JA$ $)$ $T$ $=$ $JAの$ $ときに行列A$ がハミルトン行列であると言うことです。 ^[1]^[4]もう1つの可能性は、条件 $($ $JA$ $)$ $*$ $=$ $JAを$ 使用することです。ここで、上付きアスタリスク( $(\cdot)$ $*$ )は共役転置を表します。^[5]

ハミルトン演算子

$V をシンプレクティック形式$ $Ω$ を備えたベクトル空間とする。形式が対称である場合、線型写像は $Ω$ に関するハミルトン作用素と呼ばれる。同値に、次式を満たす。 $A:\;V\mapsto V$ $x,y\mapsto \Omega (A(x),y)$

\オメガ (A(x),y)=-\オメガ (x,A(y))

$V$ 内の基底 $e 1, \dots, e 2 n$ を選び、 $Ω が$ と表記されるようにする。線形演算子が $Ω$ に関してハミルトン的であるためには、この基底内のその行列がハミルトン的である必要がある。^[4] ${\textstyle \sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}}$

参考文献

^ abc Ikramov, Khakim D. (2001)、「歪ハミルトン行列のハミルトン平方根の再考」、線形代数とその応用、325 : 101–107、doi : 10.1016/S0024-3795(00)00304-9。
^ abcd マイヤー、KR; ホール、GR (1991)、ハミルトン力学系と $N$ 体問題入門、シュプリンガー、ISBN 0-387-97637-X。
^ Dragt, Alex J. (2005)、「シンプレクティック群と古典力学」、Annals of the New York Academy of Sciences、1045 (1): 291–307、doi :10.1196/annals.1350.025、PMID 15980319。
^ abc ウォーターハウス、ウィリアム C. (2005)、「交代ハミルトン行列の構造」、線形代数とその応用、396 : 385–390、doi : 10.1016/j.laa.2004.10.003。
^ ペイジ、クリス;ヴァン・ローン、チャールズ(1981)、「ハミルトン行列のシュール分解」、線形代数とその応用、41 : 11–32、doi : 10.1016/0024-3795(81)90086-0。

[ikramov-1] Ikramov, Khakim D. (2001)、「歪ハミルトン行列のハミルトン平方根の再考」、線形代数とその応用、325 : 101–107、doi : 10.1016/S0024-3795(00)00304-9。

[meyer-2] マイヤー、KR; ホール、GR (1991)、ハミルトン力学系と $N$ 体問題入門、シュプリンガー、ISBN 0-387-97637-X。

[dragt-3] Dragt, Alex J. (2005)、「シンプレクティック群と古典力学」、Annals of the New York Academy of Sciences、1045 (1): 291–307、doi :10.1196/annals.1350.025、PMID 15980319。

[waterhouse-4] ウォーターハウス、ウィリアム C. (2005)、「交代ハミルトン行列の構造」、線形代数とその応用、396 : 385–390、doi : 10.1016/j.laa.2004.10.003。

[paige-5] ペイジ、クリス;ヴァン・ローン、チャールズ(1981)、「ハミルトン行列のシュール分解」、線形代数とその応用、41 : 11–32、doi : 10.1016/0024-3795(81)90086-0。