パラモジュラーグループ

数学において、パラモジュラー群は、シンプレクティック群の特殊な種類の算術部分群です。これは、ジーゲル・モジュラー群の一般化であり、ジーゲル・モジュラー群が主として分極アーベル多様体に対して持つのと同じ関係を分極アーベル多様体に対して持ちます。これは、非退化の歪対称形式を保存するZ ^{2 n}の自己同型群です。「パラモジュラー群」という名前は、この群のいくつかの標準的な行列表現の 1 つを意味するためによく使用されます。実数上の対応する群は、パラシンプレクティック群と呼ばれ、(実) シンプレクティック群と共役です。パラモジュラー形式は、パラモジュラー群の ジーゲル・モジュラー形式です。

パラモジュラー群はConforto (1952) によって導入され、Shimura (1958、セクション8) によって命名されました。

パラモジュラー群を行列として記述するための規則が 2 つあります。最初の (古い) 規則では、行列の要素は整数ですが、群はシンプレクティック群のサブグループではありません。一方、2 番目の規則では、パラモジュラー群は通常のシンプレクティック群 (有理数上) のサブグループですが、その座標は必ずしも整数ではありません。シンプレクティック群のこれらの 2 つの形式は、一般線型群で共役です。

Z ^{2 n}上の任意の非特異対称形式は、行列によって与えられる形式と同値である。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&F\\-F&0\end{pmatrix}}}$

ここで、Fはn行n列の対角行列であり、その対角要素F _iiはそれぞれが次の要素を割り切る正の整数である。したがって、任意のパラモジュラー群は、上記の形式を保存する群と共役であり、言い換えれば、それは行列から構成される。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

GL _{2 n} ( Z ) の

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}0&F\\-F&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&F\\-F&0\end{pmatrix}}.}$

パラモジュラー群の行列共役

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&0\\0&F\end{pmatrix}}}$

（ここでIは単位行列）はシンプレクティック群Sp _{2 n} ( Q )に属する。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&0\\0&F\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&0\\0&F\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&F\\-F&0\end{pmatrix}}}$

ただし、その要素は一般に整数ではありません。この共役群は、しばしばパラモジュラー群とも呼ばれます。

n =2次パラモジュラー群はGL ₄ ( Q )のサブグループなので、4 バイ 4 行列として表すことができます。文献では、これを行う方法が少なくとも 3 つ使用されています。このセクションでは、必ずしも整数ではないエントリを持つ Sp ₄ ( Q ) のサブグループとしてそれを表す方法について説明します。

Z ⁴上の任意の非退化歪対称形式は、同型性およびスカラー倍数まで、上記の行列によって与えられたものと等価である。

${\displaystyle F={\begin{pmatrix}1&0\\0&N\end{pmatrix}}}$。

この場合、パラモジュラー群の1つの形式は、次の形式のシンプレクティック行列から構成される。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}*&*&*&*/N\\{}*&*&*&*/N\\{}*&*&*&*/N\\N*&N*&N*&*\end{pmatrix}}}$

ここで、各*は整数を表す。この行列がシンプレクティックであるという事実は、いくつかのさらなる合同条件を強制するため、実際にはパラモジュラー群は、次の形式のシンプレクティック行列から構成される。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}*&N*&*&*\\{}*&*&*&*/N\\{}*&N*&*&*\\N*&N*&N*&*\end{pmatrix}}}$

この場合のパラモジュラー群は、次の形式の行列によって生成される。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\{}0&1&0&0\\{}x&Ny&1&0\\Ny&Nz&0&1\end{pmatrix}}}$そして${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&x&y\\{}0&1&y&z/N\\{}0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

整数x、y、zの場合。

代わりに行列を使用する著者もいるが、これは行と列が入れ替わる以外は同様の結果をもたらす。例えば、パラモジュラー群は次のような形式のシンプレクティック行列から構成される。 ${\displaystyle F={\begin{pmatrix}N&0\\0&1\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&N\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}*&*&*/N&*\\{}N*&*&*&*\\{}N*&N*&*&N*\\N*&*&*&*\end{pmatrix}}}$

• Christian、Ulrich (1967)、「Einführung in die Theorie der paramodularen Gruppen」、Math。アン。、168 : 59–104、土井:10.1007/BF01361545、MR  0204373、S2CID  119562779
• Conforto、Fabio (1952)、Funzioni abeliane modulari。 Vol. 1. グループの予備段階。ジオメトリア・シンプレティカ。 , レツィオーニ・ラコルテ・ダル・ドット。マリオ・ロザティ。 Edizioni Universitarie "Docet" (イタリア語)、ローマ、MR  0054035{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Shimura, G. (1958)、モジュール・デ・バリエーション・アベリエンヌ極性と機能モジュール、Séminaire Henri Cartan 1957/58、vol.  18～ 20

• Schulze-Pillot, Rainer (2011)、パラモジュラーシータシリーズ(PDF)、講演スライド