シンプレクティック表現

数学の表現論の分野において、シンプレクティック表現は、シンプレクティック形式ωを保存するシンプレクティックベクトル空間( V、ω )上の群またはリー代数の表現である。ここでω は非退化の歪対称双線型形式である。

${\displaystyle \omega \colon V\times V\to \mathbb {F} }$

ここでFはスカラー体である。群Gの表現はωを保存する。

${\displaystyle \omega (g\cdot v,g\cdot w)=\omega (v,w)}$

任意のg がGに、vとw がVにそれぞれ属する場合、リー代数 gの表現はω を保存する。

${\displaystyle \omega (\xi \cdot v,w)+\omega (v,\xi \cdot w)=0}$

ξ がgに、v、wがVにそれぞれ属する場合。したがって、 Gまたはgの表現は、 Gまたはgからシンプレクティック群Sp( V , ω ) またはそのリー代数sp ( V , ω ) への群またはリー代数準同型写像と同値である。

Gがコンパクト群（たとえば有限群）で、F が複素数体である場合、（平均化の議論によって存在する）適合するユニタリ構造を導入することにより、任意の複素シンプレクティック表現が四元数表現であることを示すことができます。有限群またはコンパクト群の四元数表現は、しばしばシンプレクティック表現と呼ばれ、フロベニウス-シューア指示子 を使用して識別できます。

• フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー(1991)。表現論。最初のコース。数学の大学院テキスト、数学の読書。第 129 巻。ニューヨーク: Springer-Verlag。doi : 10.1007 /978-1-4612-0979-9。ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.。