決定的多様性

代数幾何学において、行列式多様体は、階数の上限が与えられた行列の空間である。その重要性は、2つの射影空間の積のセグレ埋め込みなど、代数幾何学における多くの例がこの形式であるという事実に由来する。

mおよびnかつr  < min( m ,  n )の場合、行列式多様体 Y _{r は}、階数 ≤  rであるすべてのm  ×  n行列 (体 k上)の集合です。行列が階数 ≤ r を持つ条件は、 そのすべての ( r  + 1) × ( r  + 1)小行列式が消えることで与えられるため、これは当然代数多様体です。要素が代数的に独立な変数x _{i , j}である一般的なm  ×  n行列を考えると、これらの小行列式は次数r + 1の多項式です。これらの多項式によって生成されるk [ x _{i , j} ] のイデアルは、行列式イデアルです。小行列式を定義する方程式は同次であるため、Y _{r を}mn次元アフィン空間のアフィン多様体、または( mn  − 1) 次元射影空間の射影多様体と見なすことができます。     

行列式多様体を定義する根基イデアルは、行列の(r+1)×(r+1)小行列式によって生成される( Bruns  -Vetter、定理 2.10  ) 。

Y _{r を}アフィン多様体と見なすと、その次元はr ( m  +  n  −  r ) です。これを確認する 1 つの方法は、次のようにすることです。上の積空間を形成します。ここでは はm次元ベクトル空間のr平面のグラスマン多様体です。そして、の特異点解除である部分空間 を考えます(階数がちょうどrである行列の開集合上では、この写像は同型です)。また は上のベクトル束で、 は と同型です。ここでははグラスマン多様体 上のトートロジー束です。したがって、これらは双有理的に同値であるため であり、のファイバーは次元nr を持つため です。  ${\displaystyle \mathbf {A} ^{mn}\times \mathbf {Gr} (r,m)}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{mn}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (r,m)}$${\displaystyle Z_{r}=\{(A,W)\mid A(k^{n})\subseteq W\}}$${\displaystyle Y_{r}}$${\displaystyle Z_{r}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (r,m)}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (k^{n},{\mathcal {R}})}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle \dim Y_{r}=\dim Z_{r}}$${\displaystyle \dim Z_{r}=\dim \mathbf {Gr} (r,m)+nr=r(mr)+nr}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (k^{n},{\mathcal {R}})}$

上記は、階数 < rの行列が の特異点軌跡を含み、実際に等式を持つことを示しています。この事実は、根基イデアルがマイナー行列と非特異性のヤコビアン基準によって与えられることを使用して検証できます。 ${\displaystyle Y_{r}}$

多様体Y _{r は、}一般線型群の積であるの作用を自然に持ちます。体の標数がゼロのときのの合同を決定する問題は、 Gの自然な作用を使用して、 アラン・ラスクーによって解決されました。  ${\displaystyle G=\mathbf {GL} (m)\times \mathbf {GL} (n)}$${\displaystyle Y_{r}}$

代数多様体上の 2 つのベクトル束間の線型写像の空間を考慮することによって、行列式多様体の概念を「グローバル化」することができます。すると、行列式多様体は退化軌跡の一般的な研究に該当します。これらの退化軌跡のコホモロジー類の表現は、トム-ポーティアスの公式によって与えられます。(Fulton-Pragacz) を参照してください。

• Bruns, Winfried; Vetter, Udo (1988)。行列式環。数学講義ノート。第1327巻。Springer-Verlag。doi : 10.1007 /BFb0080378。ISBN 978-3-540-39274-3。
• フルトン、ウィリアム; プラガツ、ピオトル (1998)。シューベルト多様体と退化遺伝子座。数学講義ノート。第 1689 巻。Springer-Verlag。doi : 10.1007 /BFb0096380。ISBN 978-3-540-69804-3。
• アラン・ラスクー (1978)。 「決定的な多様性の体系」。数学の進歩。30 (3): 202–237。土井：10.1016/0001-8708(78)90037-3。
• ミラー、エズラ。シュトゥルムフェルス、ベルント (2005)。組合せ可換代数。数学の大学院テキスト。 Vol. 227. スプリンガー。ISBN 978-0-387-23707-7。
• ウェイマン、ジェルジ (2003)。ベクトル束とシジギーのコホモロジー。ケンブリッジ数学論文集。第 149 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-62197-7。