コボルディズム

数学において、コボルディズムは、多様体の境界（フランス語のbord、コボルディズムを与える）の概念を使用して設定された、同じ次元のコンパクト多様体のクラス上の基本的な 同値関係です。同じ次元の 2 つの多様体は、それらの非交差和が1 次元高いコンパクト多様体の 境界である場合に、コボルダントです。

次元多様体の境界は、閉じた、つまり境界が空の次元多様体です。一般に、閉じた多様体は境界である必要はありません。コボルディズム理論は、すべての閉じた多様体と境界である多様体の違いを研究するものです。この理論はもともと、ルネ・トムによって滑らかな多様体（つまり、微分可能）向けに開発されましたが、現在では区分線形多様体や位相多様体向けのバージョンもあります 。 ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \partial W}$

多様体との間の共ボルディズムは、と の非交わりな和を境界とするコンパクト多様体です。${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle W}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \partial W=M\sqcup N}$

コボルディズムは、それが生成する同値関係と、それ自体の対象としての両方で研究されている。コボルディズムは、多様体の微分同相写像や同相写像よりもはるかに粗い同値関係であり、研究や計算がはるかに容易である。4以上の次元では、微分同相写像や同相写像まで多様体を分類することはできない (群に関する文章問題が解けないため) が、コボルディズムまで多様体を分類することは可能である。コボルディズムは、幾何学的位相幾何学と代数的位相幾何学における中心的な研究対象である。幾何学的位相幾何学では、コボルディズムはモース理論と密接に関連しており、h-コボルディズムは高次元多様体の研究、すなわち手術理論において基礎となる。代数的位相幾何学では、コボルディズム理論は基礎的な異常コホモロジー理論であり、コボルディズムのカテゴリは位相的量子場理論の領域である。

大まかに言えば、次元多様体は、ユークリッド空間の開集合に局所的に（つまり、各点の近くで）同相な位相空間である。境界を持つ多様体も同様であるが、 の点が半空間の開集合に同相な近傍を持つことができる点が異なる。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{n}\geqslant 0\}.}$

ユークリッド空間の開集合に同相な近傍を持たない点は の境界点であり 、 の境界は で表されます。最後に、閉多様体は定義により境界のないコンパクト多様体 ( ) です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle \partial M=\emptyset }$

次元コボルディズムは、境界を持つ次元コンパクト微分可能多様体、閉多様 体 、埋め込みから成り、互いに素な像を持ち 、${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle (W;M,N,i,j)}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i\colon M\hookrightarrow \partial W}$${\displaystyle j\colon N\hookrightarrow \partial W}$

${\displaystyle \partial W=i(M)\sqcup j(N)~.}$

この用語は通常 と略される。^[1]そして、そのような共形性が存在する場合、共形性と呼ばれる。与えられた固定された多様体と共形性を持つすべての多様体はの共形性クラスを形成する。 ${\displaystyle (W;M,N)}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

すべての閉多様体は非コンパクト多様体 の境界です。このため、コボルディズムの定義では がコンパクトである必要があります。ただし、 は接続されている必要はないことに注意してください。結果として、および の場合、と はコボルダントになります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M\times [0,1)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle M=\partial W_{1}}$${\displaystyle N=\部分 W_{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

コボルディズムの最も単純な例は、単位区間 です。これは、0 次元多様体 、 間の 1 次元コボルディズムです。より一般的には、任意の閉多様体 に対して、は からまでのコボルディズムです。 ${\displaystyle I=[0,1]}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (M\times I;M\times \{0\},M\times \{1\})}$${\displaystyle M\times \{0\}}$${\displaystyle M\times \{1\}}$

が円と2 つの円で構成され、と が一緒になってズボンの境界を構成している場合(右の図を参照)。したがって、ズボンはと の間の共境界です。 と の間のより単純な共境界は、3 つの円の互いに素な和集合によって与えられます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

ズボンは、より一般的なコボルディズムの例です。任意の 2次元多様体、に対して、非交わりの和は連結和と共形です。前の例は、連結和がと同型であるため、特殊なケースです。連結和は、へのの埋め込みに対する手術によって非交わりの和から得られ、コボルディズムはその手術の跡です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M'}$${\displaystyle M\sqcup M'}$ ${\displaystyle M\mathbin {\#} M'.}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\mathbin {\#} \mathbb {S} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}.}$${\displaystyle M\mathbin {\#} M'}$${\displaystyle M\sqcup M'}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{n}}$${\displaystyle M\sqcup M'}$

n多様体Mは、 Mと空の多様体との間に共境界がある場合、つまりM が( n + 1) 多様体の境界全体である場合、ヌル共境界と呼ばれます 。たとえば、円は円板を囲むためヌル共境界です。より一般的には、n球面は ( n + 1) 円板を囲むためヌル共境界です。また、すべての向き付け可能な表面はハンドル体 の境界であるためヌル共境界です。一方、2 n次元の実射影空間は、以下で説明するように、多様体の境界ではない (コンパクトな) 閉多様体です。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2n}(\mathbb {R} )}$

一般的なボルディズム問題は、さまざまな条件の下で多様体のコボルディズム類を計算することです。

ヌルコボルディズムに構造を追加したものをフィリングと呼ぶ。ボルディズムとコボルディズムは、同じ意味で使われる著者もいれば、区別する著者もいる。コボルディズムの類の研究と、コボルディズムそのものをオブジェクトとして研究するのを区別したい場合、同値性の問題を多様体のボルディズムと呼び、コボルディズムをオブジェクトとして研究することを多様体のコボルディズムと呼ぶ。^[要出典]

ボルディズムという用語は、境界を意味するフランス語のbordに由来します。したがって、ボルディズムは境界の研究です。コボルディズムは「共同で束縛」を意味するため、MとNが共同で多様体を束縛する場合、つまりそれらの非結合和が境界である場合、MとN は共同です。さらに、コボルディズム群は特別なコホモロジー理論を形成するため、co- と呼ばれます。

上記は定義の最も基本的な形式です。これは、非有向ボルディズムとも呼ばれます。多くの場合、問題の多様体は有向であるか、 G 構造と呼ばれる他の追加の構造を持っています。これにより、それぞれ「有向コボルディズム」と「G 構造を持つコボルディズム」が生じます。好ましい技術的条件下では、これらはコボルディズム環と呼ばれる次数付き環を形成し、次元による次数付け、分離和による加算、および直積による乗算を行います。コボルディズム群は、一般化されたホモロジー理論の係数群です。 ${\displaystyle \オメガ _{*}^{G}}$${\displaystyle \オメガ _{*}^{G}}$

追加の構造がある場合、コボルディズムの概念はより正確に定式化される必要がある。W上の G 構造は、MとN上のG構造に制限される。基本的な例としては、無向コボルディズムの場合はG = O、有向コボルディズムの場合はG = SO、安定複素多様体を使用した複素コボルディズムの場合はG = U がある。Robert E. Stongによって詳細に説明されている例が他にもたくさんある。^[2]

同様に、手術理論における標準的なツールは法線マップの手術です。このようなプロセスでは、法線マップを同じボルディズムクラス内の別の法線マップに変更します。

追加の構造を考慮する代わりに、多様体のさまざまな概念、特に区分線形 (PL) 多様体と位相多様体を考慮することも可能である。これにより、微分可能な変種よりも計算が難しいボルディズム群が生じる。 ^[要出典]${\displaystyle \Omega_{*}^{PL}(X),\Omega_{*}^{TOP}(X)}$

一般に、X、Yが境界を持つ多様体である場合、積多様体の境界は∂( X × Y ) = (∂ X × Y ) ∪ ( X × ∂ Y )であることを思い出してください。

さて、次元n = p + qの多様体Mと埋め込みが与えられ、 n多様体 を定義する。 ${\displaystyle \varphi :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,}$

${\displaystyle N:=(M-\operatorname {int~im} \varphi )\cup _{\varphi |_{\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}}}\left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right)}$

手術により内部を切り取り、境界に沿って 接着することで得られる${\displaystyle \mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}}$${\displaystyle \mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}}$

${\displaystyle \partial \left(\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\right)=\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}=\partial \left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right).}$

手術 の跡

${\displaystyle W:=(M\times I)\cup _{\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\times \{1\}}\left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {D} ^{q}\right)}$

は基本的な共形性 ( W ; M , N )を定義します。MはNから の手術によって得られることに注意してください。これは手術の逆転と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\subset N.}$

あらゆるコボルディズムは、マーストン・モース、ルネ・トム、ジョン・ミルナーの研究による、基本的なコボルディズムの統合です。

上記の定義によれば、円の手術は、コピーを切り取って貼り付けることから成ります。図1の写真は、これを行うと、(i)再度、または(ii)2つのコピーのいずれかになることを示しています。${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{0}.}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$

2次元球面の手術では、どちらか一方を切り取ることから始められるため、より多くの可能性があります。${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}.}$

f が( n + 1) 次元多様体上のモース関数であり、 c がその逆像にちょうど 1 つの臨界点を持つ臨界値であるとします。この臨界点のインデックスがp  + 1 の場合、レベル セットN  := f ⁻¹ ( c + ε) は、 p手術によってM  := f ⁻¹ ( c  − ε) から得られます。逆像W  := f ⁻¹ ([ c  − ε, c + ε]) は、この手術のトレースと同一視できる  コボルディズム ( W ; M、N ) を定義します。

コボルディズム ( W ; M、N ) が与えられたとき、 f ⁻¹ (0) = M、f ⁻¹ (1) = Nとなるような滑らかな関数f  : W → [0, 1] が存在する。一般的な立場から、 fはモース関数であり、すべての臨界点はWの内部で発生すると仮定できる。この設定では、f はコボルディズム上のモース関数と呼ばれる。コボルディズム ( W ; M、N ) は、 fの各臨界点につき 1 つずつ、M上の一連の手術のトレースの和集合である。多様体W は、 fの各臨界点に1 つのハンドルを取り付けることによって、 M × [0, 1]から得られる。

モース/スメール定理は、コボルディズム上のモース関数について、f ′ のフローラインが3 つの ( W ; M、N ) のハンドル表現を生み出すことを述べています。逆に、コボルディズムのハンドル分解が与えられた場合、それは適切なモース関数から生じます。適切に正規化された設定では、このプロセスは、ハンドル分解とコボルディズム上のモース関数との間の対応を与えます。

コボルディズムの起源は、1895 年にアンリ ポアンカレがホモロジーを純粋に多様体の観点から定義しようとした (失敗した) 試みにあります (Dieudonné 1989、p. 289)。ポアンカレはホモロジーとコボルディズムの両方を同時に定義しましたが、これらは一般に同じではありません。ボルディズムとホモロジーの関係については、コボルディズムを特別なコホモロジー理論として参照してください。

ボルディズムは、レフ・ポンチャギンによって多様体に関する幾何学の研究で明示的に導入されました。ルネ・トムが、トム複体構成を介してホモトピー理論によってコボルディズム群を計算できることを示したときに、ボルディズムが有名になりました。コボルディズム理論は、 K理論とともに、異常コホモロジー理論の装置の一部になりました。歴史的に言えば、1950年代から1960年代初頭の位相幾何学の発展、特にヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理や、アティヤ・シンガーの指数定理の最初の証明で重要な役割を果たしました。

1980年代には、コンパクト多様体を対象とし、それらの間のコボルディズムを射とするカテゴリーが、量子トポロジーの重要な部分である位相的量子場理論のアティヤ-シーガル公理において基本的な役割を果たしました。

コボルディズムは、コボルディズム類とは別に、それ自体が研究対象である。コボルディズムは、その対象が閉多様体であり、その射がコボルディズムであるようなカテゴリを形成する。大まかに言えば、合成はコボルディズムを端から端まで接着することによって与えられる。すなわち、( W ; M、N )と( W  ′; N、P )の合成は、最初の右端を2番目の左端に接着することによって定義され、( W  ′ ∪ _N W ; M、P )となる。コボルディズムは一種のコスパンである: ^[3] M → W ← N。カテゴリはダガーコンパクトカテゴリである。

位相量子場理論は、コボルディズムのカテゴリからベクトル空間のカテゴリへのモノイド関数です。つまり、多様体の互いに素な和集合上の値が、各構成多様体上の値のテンソル積に等しい 関数です。

低次元では、ボルディズムの問題は比較的簡単ですが、コボルディズムのカテゴリはそうではありません。たとえば、円を囲む円盤はゼロ項 (0 項) 演算に対応し、円筒は 1 項演算、ズボンは 2 項演算に対応します。

閉じた無向n次元多様体のコボルディズム類の集合は、通常(より体系的な ではなく) で表されます。これは、演算として非結合和を持つアーベル群です。より具体的には、[ M ] と [ N ] がそれぞれ多様体MとNのコボルディズム類を表す場合、 を定義します。これは、アーベル群になる明確に定義された演算です。この群の単位元は、境界であるすべての閉じたn多様体からなる類です。さらに、から任意のMに対して が成り立ちます。したがって、は 上のベクトル空間であり、2 つの元を持つ体です。多様体の直積は乗法を定義するので ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{n}}$${\displaystyle \Omega _{n}^{\text{O}}}$${\displaystyle [M]+[N]=[M\sqcup N]}$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{n}}$${\displaystyle [\emptyset ]}$${\displaystyle [M]+[M]=[\emptyset ]}$${\displaystyle M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])}$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$${\displaystyle [M][N]=[M\times N],}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{*}=\bigoplus _{n\geqslant 0}{\mathfrak {N}}_{n}}$

は次数付き代数であり、次数は次元によって与えられます。

閉じた無向n次元多様体Mのコボルディズム類は、Mのスティフェル・ホイットニー特性数によって決定され、それは接束の安定同型類に依存する。したがって、Mが安定自明な接束を持つ場合、となる。1954年にルネ・トムは次を証明した 。${\displaystyle [M]\in {\mathfrak {N}}_{n}}$${\displaystyle [M]=0\in {\mathfrak {N}}_{n}}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{*}=\mathbb {F} _{2}\left[x_{i}|i\geqslant 1,i\neq 2^{j}-1\right]}$

各次元に1つの生成元を持つ多項式代数。したがって、2つの無向閉n次元多様体M、Nが共形であるための必要十分条件は、各k組の整数の集合に対して、スティフェル・ホイットニー数が等しい 場合である。${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i\neq 2^{j}-1}$${\displaystyle [M]=[N]\in {\mathfrak {N}}_{n},}$${\displaystyle \left(i_{1},\cdots ,i_{k}\right)}$${\displaystyle i\geqslant 1,i\neq 2^{j}-1}$${\displaystyle i_{1}+\cdots +i_{k}=n}$

${\displaystyle \left\langle w_{i_{1}}(M)\cdots w_{i_{k}}(M),[M]\right\rangle =\left\langle w_{i_{1}}(N)\cdots w_{i_{k}}(N),[N]\right\rangle \in \mathbb {F} _{2}}$

i番目のStiefel-Whitney クラスと- 係数の基本クラスを持ちます。 ${\displaystyle w_{i}(M)\in H^{i}\left(M;\mathbb {F} _{2}\right)}$${\displaystyle [M]\in H_{n}\left(M;\mathbb {F} _{2}\right)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

iに対しても、 i次元実射影空間のコボルディズム類を選択することができます。 ${\displaystyle x_{i}=\left[\mathbb {P} ^{i}(\mathbb {R} )\right]}$

低次元非向きコボルディズム群は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{0}&=\mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{1}&=0,\\{\mathfrak {N}}_{2}&=\mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{3}&=0,\\{\mathfrak {N}}_{4}&=\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{5}&=\mathbb {Z} /2.\end{aligned}}}$

これは、たとえば、すべての 3 次元閉多様体が 4 次元多様体の境界 (境界付き) であることを示しています。

非向き多様体Mの2を法とするオイラー特性は 非向きコボルディズム不変量である。これは次の式で示される。 ${\displaystyle \chi (M)\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \chi _{\partial W}=\left(1-(-1)^{\dim W}\right)\chi _{W}}$

境界を持つ任意のコンパクト多様体に対して。 ${\displaystyle W}$

したがって、は明確に定義された群準同型である。例えば、任意の${\displaystyle \chi :{\mathfrak {N}}_{i}\to \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \chi \left(\mathbb {P} ^{2i_{1}}(\mathbb {R} )\times \cdots \times \mathbb {P} ^{2i_{k}}(\mathbb {R} )\right)=1.}$

特に、実射影空間の積は零同型ではない。mod 2オイラー特性写像はすべてのに対して全射影であり、群同型は${\displaystyle \chi :{\mathfrak {N}}_{2i}\to \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle i=1.}$

さらに、 のため、これらの群準同型は次数付き代数の準同型に組み立てられます。 ${\displaystyle \chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathfrak {N}}\to \mathbb {F} _{2}[x]\\[][M]\mapsto \chi (M)x^{\dim(M)}\end{cases}}}$

コボルディズムは、追加の構造、特に配向を持つ多様体に対しても定義できます。これは、X構造（またはG構造）の概念を使用して一般的な方法で形式化されます。^[4]簡単に言うと、十分に高次元のユークリッド空間へのMの浸漬の正規バンドルνは、 Mからグラスマン多様体への写像を生じ、グラスマン多様体は直交群の分類空間の部分空間です：ν：M → Gr（n、n  +  k）→ BO（k）。空間と写像のコレクションX _k → X _{k +1}が与えられ、写像X _k → BO ( k ) (包含BO ( k ) → BO ( k +1 ) と互換性がある) がある場合、X構造は ν を写像に持ち上げたものである。 X構造を持つ多様体とコボルディズムのみを考慮すると、より一般的なコボルディズムの概念が生じる。特に、X _{k は}BG ( k )によって与えられる可能性があり、ここでG ( k ) → O ( k ) は何らかの群準同型である。これはG 構造と呼ばれる。例としては、無向コボルディズムを返す直交群G = Oだけでなく、有向コボルディズムを生成する部分群SO( k )、スピン群、ユニタリ群U ( k )、フレーム付きコボルディズムを生成する自明群などがある。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}}$${\displaystyle {\tilde {\nu }}:M\to X_{k}}$

結果として得られるコボルディズム群は、無向の場合と同様に定義されます。これらは と表記されます。 ${\displaystyle \Omega _{*}^{G}}$

有向コボルディズムは、SO 構造を持つ多様体の 1 つです。同様に、すべての多様体は有向である必要があり、コボルディズム ( W、M、N ) (明確にするために有向コボルディズムとも呼ばれます) は、境界 (誘導された向きを持つ) が となるようなものです。ここで、 − N はNの向きが逆であることを示します。たとえば、円筒M  ×  Iの境界は です。両端の向きが逆になります。これは、異常コホモロジー理論の意味で正しい定義でもあります。 ${\displaystyle M\sqcup (-N)}$${\displaystyle M\sqcup (-M)}$

すべての要素が2次元捩れである非有向コボルディズム群とは異なり、2 Mは一般に有向境界ではない。つまり、2[ M ] ≠ 0である。${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}.}$

有向コボルディズム群は捩れを法として次のように与えられる。

${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {Q} =\mathbb {Q} \left[y_{4i}\mid i\geqslant 1\right],}$

有向コボルディズム類によって生成される多項式代数

${\displaystyle y_{4i}=\left[\mathbb {P} ^{2i}(\mathbb {C} )\right]\in \Omega _{4i}^{\text{SO}}}$

複素射影空間の(Thom, 1952)。有向コボルディズム群は、Stiefel–Whitney と Pontrjagin の特性数によって決定されます(Wall, 1960)。2 つの有向多様体は、それらの Stiefel–Whitney 数と Pontrjagin 数が等しい場合にのみ、有向コボルディズムとなります。 ${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}}$

低次元の有向コボルディズム群は以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{0}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} ,\\\Omega _{1}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{2}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{3}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{4}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} ,\\\Omega _{5}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} _{2}.\end{aligned}}}$

有向 4 i次元多様体Mの符号は、上の交差形式の符号として定義され、 と表記されます。これは有向コボルディズム不変量であり、ヒルツェブルッフの符号定理によってポントリャギン数で表されます。 ${\displaystyle H^{2i}(M)\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \sigma (M).}$

例えば、任意のi ₁ , ..., i _k ≥ 1

${\displaystyle \sigma \left(\mathbb {P} ^{2i_{1}}(\mathbb {C} )\times \cdots \times \mathbb {P} ^{2i_{k}}(\mathbb {C} )\right)=1.}$

署名写像はすべてのi ≥ 1に対して全射であり、i = 1 に対して同型です。 ${\displaystyle \sigma :\Omega _{4i}^{\text{SO}}\to \mathbb {Z} }$

すべてのベクトル束理論（実、複素など）には、K理論と呼ばれる特別なコホモロジー理論があります。同様に、すべてのコボルディズム理論 Ω ^Gには、任意の空間Xに対してホモロジー（「ボルディズム」）群とコホモロジー（「コボルディズム」）群を持つ特別なコホモロジー理論があります。一般化ホモロジー群はXで共変であり、一般化コホモロジー群はXで反変です。この観点から、上で定義したコボルディズム群は、点のホモロジー群です。すると、はペア（M、f）のボルディズム類の群であり、 M は閉じたn次元多様体M（G構造を持つ）であり、f  : M → X は写像です。このようなペア ( M、f )、 ( N、g ) は、 M上のfとN上のgに制限される写像h : W → X を持つG- コボルディズム( W ; M、N )が存在する場合にボルダントになります。 ${\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)}$${\displaystyle \Omega _{G}^{n}(X)}$${\displaystyle \Omega _{*}^{G}(X)}$${\displaystyle \Omega _{G}^{*}(X)}$${\displaystyle \Omega _{n}^{G}=\Omega _{n}^{G}({\text{pt}})}$${\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)}$

n次元多様体Mは基本ホモロジー類[ M ]∈Hn ( M )（一般に係数はHn、向き付けられた場合にはHn(M)）を持ち、自然_変換を定義する。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\begin{cases}\Omega _{n}^{G}(X)\to H_{n}(X)\\(M,f)\mapsto f_{*}[M]\end{cases}}}$

これは一般に同型とは程遠いものです。

空間のボルディズム理論とコボルディズム理論は、次元公理とは別に、アイレンバーグ・スティーンロッド公理を満たす。これは 、点のコボルディズム理論と空間Xのホモロジーがわかれば、群を効果的に計算できるということを意味するものではないが、アティヤ・ヒルツェブルッフのスペクトル列は計算の出発点となる。計算が容易になるのは、特定のコボルディズム理論が通常のホモロジー理論の積に簡約される場合のみであり、その場合、ボルディズム群は通常のホモロジー群である。 ${\displaystyle \Omega _{G}^{n}(X)}$

${\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)=\sum _{p+q=n}H_{p}(X;\Omega _{q}^{G}({\text{pt}})).}$

これは無向コボルディズムの場合に当てはまります。他のコボルディズム理論、特にフレーム付きコボルディズム、有向コボルディズム、複素コボルディズムは、このように通常のホモロジーには還元されません。特に最後の理論は、代数位相学者によって計算ツールとしてよく使用されます（たとえば、球面のホモトピー群など）。^[5]

コボルディズム理論は、トムスペクトル MGによって表されます。グループGが与えられた場合、トムスペクトルは、分類空間BG _n上の標準ベクトル束のトム空間 MG _nから構成されます。類似のグループであっても、トムスペクトルは非常に異なる場合があることに注意してください。MSOとMO は、有向コボルディズムと無向コボルディズムの違いを反映して、非常に異なります。

スペクトルの観点から見ると、無向コボルディズムはEilenberg–MacLane スペクトルの積– MO = H ( π _∗ ( MO )) – であるのに対し、有向コボルディズムは Eilenberg–MacLane スペクトルの有理的積であり、2 では奇数素数ではなく積です。有向コボルディズム スペクトルMSO はMOよりもかなり複雑です。

1959年、CTCウォールは、2つの多様体が共形であるためには、それらのポントリャギン数とシュティーフェル数が等しい必要があることを証明した。^[6]

• h-コボルディズム
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• コボルディズム仮説
• コボルディズムリング
• ボルディズムのタイムライン

• ジョン・フランク・アダムス、「安定ホモトピーと一般化ホモロジー」、シカゴ大学出版局（1974年）。
• アノソフ、ドミトリ V. ; ヴォイツェホフスキー、MI (2001) [1994]、「ボルディズム」、数学百科事典、EMS プレス
• アティヤ、MF ( 1961)。「ボルディズムとコボルディズム」。ケンブリッジ哲学協会紀要。57 :200-208。doi : 10.1017/S0305004100035064。
• ディウドネ、ジャン・アレクサンドル（1989年）。代数的および微分的位相幾何学の歴史、1900-1960年。ボストン：ビルクハウザー。ISBN 978-0-8176-3388-2。
• Kosinski, Antoni A. (2007 年 10 月 19 日)。「微分多様体」(文書)。Dover Publications。
• Madsen, Ib ; Milgram, R. James (1979).多様体の手術とコボルディズムのための分類空間。プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-08226-4。
• ジョン・ミルナー(1962)。 「コボルディズム理論の調査」。L'Enseignement Mathématique。8：16～23。ISSN  0013-8584。
• セルゲイ・ノビコフ、「コボルディズム理論の観点から見た代数的位相幾何学の方法」、Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 31 (1967)、855–951。
• レフ・ポンチャギン、「滑らかな多様体とホモトピー理論への応用」アメリカ数学会翻訳第2巻第11号、pp.1-114（1959年）。
• ダニエル・キレン、「無向複素コボルディズム理論の形式群法則について」 Bull. Amer. Math. Soc., 75 (1969) pp. 1293–1298。
• ダグラス・レイヴネル、「複素コボルディズムと球面の安定ホモトピー群」、アカデミー出版 (1986)。
• ユリ・B・ルディヤック（2001）[1994]、「コボルディズム」、数学百科事典、EMSプレス
• Yuli B. Rudyak、「トムスペクトル、配向性、および（共）ボルディズムについて」、Springer（2008年）。
• ロバート・E・ストング、「コボルディズム理論に関するノート」、プリンストン大学出版局（1968年）。
• Taimanov, Iskander A. (2007)。位相幾何学ライブラリ。パート 1: コボルディズムとその応用。結び目とあらゆるものに関するシリーズ。第 39 巻。S. Novikov (編)。World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.、ハッケンサック、ニュージャージー州。ISBN 978-981-270-559-4。
• René Thom、Quelques propriétés globales des variétés différentiables、Commentarii Mathematici Helvetici 28、17-86 (1954)。
• Wall, CTC (1960)。「コボルディズム環の決定」。Annals  of Mathematics。第2シリーズ。72 ( 2): 292–311。doi : 10.2307 /1970136。ISSN 0003-486X。JSTOR 1970136  。

• 多様体アトラス上のボルディズム。
• 多様体アトラス上の B-ボルディズム。