狭いクラスグループ

代数的整数論において、数体Kの狭域類群は、実数体へのKの埋め込みに関する情報を考慮したKの類群の改良である。

K がQの有限拡大であると仮定する。K の通常類群は商として定義されることを思い出すと、

${\displaystyle C_{K}=I_{K}/P_{K},\,\!}$

ここで、I _{K は}Kの分数イデアルの群であり、P _KはKの主分数イデアルの部分群、つまりaがKの元であるaO _Kの形式のイデアルです。

狭域クラス群は商として定義される

${\displaystyle C_{K}^{+}=I_{K}/P_{K}^{+},}$

ここでP _K ^{+ は}Kの完全に正の主分数イデアルの群である。つまり、aO _{K の}形のイデアルであり、ここでa はKの元であり、σ( a ) は任意の埋め込みに対して 正である。

${\displaystyle \sigma :K\to \mathbb {R} .}$

狭域類群は、整数を二次形式で表現する理論において重要な役割を果たします。一例は次の結果です (Fröhlich と Taylor、第 5 章、定理 1.25)。

定理。dが平方数でない整数で、Kの狭域類群が自明であるとする。 ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,),}$

${\displaystyle \{\omega _{1},\omega _{2}\}\,\!}$

はKの整数環の基底である。二次形式を定義する

${\displaystyle q_{K}(x,y)=N_{K/\mathbb {Q} }(\omega _{1}x+\omega _{2}y)}$、

ここでN _{K / Qは}ノルムである。素数pは次の 形式をとる。

${\displaystyle p=q_{K}(x,y)\,\!}$

ある整数xとy に対して 、

${\displaystyle p\mid d_{K}\,\!,}$

または

${\displaystyle p=2\quad {\mbox{ および }}\quad d_{K}\equiv 1{\pmod {8}},}$

または

${\displaystyle p>2\quad {\mbox{ および}}\quad \left({\frac {d_{K}}{p}}\right)=1,}$

ここでd _{K は}Kの判別式であり、

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)}$

ルジャンドル記号を表します。

たとえば、2次体Q ( √ −1 )、Q ( √2 )、Q ( √ −3 )はすべて自明な狭域類群を持つことを証明できます。次に、これらの各体の整数に適切な基数を選択すると、上記の定理から次のことが分かります。

• 素数pは整数xとyに対してp = x ² + y ²の形をとり、その場合のみ

${\displaystyle p=2\quad {\mbox{or}}\quad p\equiv 1{\pmod {4}}.}$

(これは2 つの平方数の和に関するフェルマーの定理として知られています。)

• 素数pは整数xとyに対してp = x ² − 2 y ²の形をとり、その場合のみ

${\displaystyle p=2\quad {\mbox{or}}\quad p\equiv 1,7{\pmod {8}}.}$

• 素数pは整数xとyに対してp = x ² − xy + y ²の形をとり、その場合のみ

${\displaystyle p=3\quad {\mbox{or}}\quad p\equiv 1{\pmod {3}}.}$（アイゼンシュタイン素数参照）

狭域類群と通常の類群の違いを示す例として、 Q ( √6 )が挙げられます。この類群は自明ですが、狭域類群の位数は2 です。類群は自明なので、次の文は真です。

• 素数pまたはその逆数−pは、整数xとyに対して± p = x ² − 6 y ²の形をとり、かつ次の場合に限ります。

${\displaystyle p=2\quad {\mbox{or}}\quad p=3\quad {\mbox{or}}\quad \left({\frac {6}{p}}\right)=1.}$

しかし、 pのみに注目し、− pに注目しない場合は、この記述は誤りです(実際、p = 2 の場合でも誤りです)。これは、狭いクラス グループが自明ではないためです。正のpを分類する記述は次のとおりです。

• 素数pは整数xとyに対してp = x ² − 6 y ²の形をとり、p = 3または

${\displaystyle \left({\frac {6}{p}}\right)=1\quad {\mbox{and}}\quad \left({\frac {-2}{p}}\right)=1.}$

(最初の文では素数が許可されますが、2 番目の文では素数のみが許可されます。) ${\displaystyle p\equiv 1,5,19,23{\pmod {24}}}$${\displaystyle p\equiv 1,19{\pmod {24}}}$

• クラスグループ
• 二次形式

• A. Fröhlich と MJ Taylor、「代数的数論」 (p. 180)、ケンブリッジ大学出版局、1991 年。