クリストッフェルのシンボル

数学と物理学 において、クリストッフェル記号は計量接続を記述する数値の配列である。^[1] 計量接続は、計量を備えた面またはその他の多様体へのアフィン接続の特殊化であり、その面上で距離を測定できる。微分幾何学では、アフィン接続は計量を参照せずに定義でき、多くの追加概念が続く。平行移動、共変微分、測地線なども計量の概念を必要としない。^{[2] [3]}ただし、計量が利用できる場合、これらの概念は多様体自体の「形状」に直接結び付けられる。その形状は、接空間が計量テンソルによって余接空間にどのように接続されるかによって決まる。^{[4]抽象的には、多様体には関連する（}正規直交）フレームバンドルがあり、各「フレーム」は座標フレームの可能な選択肢であると言える。不変計量は、フレームバンドルの構造群が直交群O( p , q )であることを意味します。結果として、そのような多様体は必然的に (擬似)リーマン多様体です。^{[5] [6]クリストッフェル記号は、多様体上の座標に関して ( 擬似 )}リーマン幾何学の接続の具体的な表現を提供します。平行移動、測地線などの追加の概念は、クリストッフェル記号で表現できます。

一般に、与えられた計量テンソルには無限の数の計量接続が存在する。しかし、ねじれのない唯一の接続が、レヴィ-チヴィタ接続である。物理学や一般相対論では、ねじれが消える座標系（ホロノミック座標と呼ばれる）で作業することにより、レヴィ-チヴィタ接続のみをほぼ独占的に扱うのが一般的である。たとえば、ユークリッド空間では、クリストッフェル記号は、局所座標基底が点から点へと どのように変化するかを表す。

基礎となるn次元多様体の各点において、その点の周りの任意の局所座標系に対して、クリストッフェル記号はΓ ⁱ _jk（i、j、k = 1、2、...、n ）で表されます。このn × n × n 配列の各要素は実数です。多様体上の線形 座標変換では、クリストッフェル記号はテンソルの成分のように変換されますが、一般座標変換（微分同相写像）では変換されません。クリストッフェル記号の代数的性質のほとんどは、アフィン接続との関係から生じます。構造群が直交群O( m、n )（または一般相対性理論ではローレンツ群 O(3、1)）であるという事実から生じるものはごくわずかです。

クリストッフェル記号は実用的な計算を行うために使用されます。たとえば、リーマン曲率テンソルは、クリストッフェル記号とその第 1偏導関数で完全に表現できます。一般相対性理論では、接続は重力場の役割を果たし、対応する重力ポテンシャルは計量テンソルです。座標系と計量テンソルが何らかの対称性を共有する場合、Γ ⁱ _jkの多くはゼロになります。

クリストッフェルシンボルはエルヴィン・ブルーノ・クリストッフェル（1829-1900）にちなんで名付けられました。^[7]

以下に示す定義は、リーマン多様体と、一般相対論のような擬リーマン多様体の両方に有効であり、上限インデックスと下限インデックス（反変インデックスと共変インデックス）を慎重に区別しています。特に断りがない限り、 式はどちらの符号規則でも有効です。

この記事ではアインシュタインの総和規則が使用され、ベクトルは太字で示されています。座標基底で表現されるレヴィ-チヴィタ接続(または擬似リーマン接続)の接続係数は、クリストッフェル記号と呼ばれます。

多様体 が与えられると、アトラスは各開被覆のチャートの集合から構成されます。このようなチャートにより、上の標準ベクトル基底をの接空間上のベクトル基底に戻すことができます。これは次のように行われます。任意の実関数 が与えられると、チャートにより勾配を定義できます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle ({\vec {e}}_{1},\cdots ,{\vec {e}}_{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \partial _{i}f\equiv {\frac {\partial \left(f\circ \varphi ^{-1}\right)}{\partial x^{i}}}\quad {\mbox{for }}i=1,\,2,\,\dots ,\,n}$

この勾配は、 上の勾配を上の勾配に「引き戻す」ため、一般にプルバックと呼ばれます。プルバックは、チャート とは無関係です。このように、上の標準ベクトル基底は、 上の標準 (「座標」) ベクトル基底に引き戻されます。これは、 上の座標に明示的に依存するため、「座標基底」と呼ばれます。これは、「ローカル基底」と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle ({\vec {e}}_{1},\cdots ,{\vec {e}}_{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (\partial _{1},\cdots ,\partial _{n})}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

この定義では、という表記法が乱用されることがよくあります。は、上の基底ベクトルと 1 対 1 で対応するように定義されています。 この表記法は、接空間上の基底ベクトルが勾配構成から得られたことを思い出させるものです。 それにもかかわらず、この構成を「忘れて」、となる 上のベクトルを単に書く (または定義する) のが一般的です。 よく使用される表記法のすべてには、ベクトルを表すために矢印や太字を使用することが含まれます。 ${\displaystyle \partial_{i}}$${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \partial_{i}}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle e_{i}\equiv \partial _{i}}$

${\displaystyle \partial _{i}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\equiv e_{i}\equiv {\vec {e}}_{i}\equiv \mathbf {e} _{i}\equiv {\boldsymbol {\partial }}_{i}}$

ここで、 は、これらが同じ概念を表す同等の表記法として定義されていることを思い出させるために使用されます。表記法の選択はスタイルと好みによって決まり、テキストによって異なります。 ${\displaystyle \equiv}$

座標基底は、上のベクトル場のベクトル基底を提供します。 上のベクトル場の一般的な表記法には、 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle X={\vec {X}}=X^{i}\partial _{i}=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

ベクトル矢印のない大文字の は、煩雑さを最小限に抑えるとともに、結果が選択された基底に依存しないこと、この場合はアトラスに依存しないことを思い出させるため、インデックスフリー表記法で特に人気があります。 ${\displaystyle X}$

同じ表記法の乱用が、 から への 1 形式を推し進めるのに使われます。これは、 またはまたは と書くことで行われます。すると、 1 形式は になります。これは、 として基底ベクトルに結合されます。反変ベクトルと共変ベクトルを区別するために、上限インデックスと下限インデックスを注意深く使用していることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})=(x^{1},\ldots ,x^{n})}$${\displaystyle x=\varphi}$${\displaystyle x^{i}=\varphi ^{i}}$${\displaystyle dx^{i}=d\varphi^{i}}$${\displaystyle dx^{i}(\partial _{j})=\delta _{j}^{i}}$

プルバックは、上に計量テンソルを誘導（定義）します。一般的に使用される表記法には、いくつかのスタイル があります。 ここで、センタードットと山括弧は両方ともスカラー積 を表します。最後の形式は、テンソルを使用します。これは、「平坦空間」計量テンソルであると理解されています。リーマン多様体の場合、これはクロネッカーのデルタです。擬似リーマン多様体の場合、これはシグネチャ を持つ対角行列です。この表記法は、プルバックが実際には線形変換であり、上記の勾配 として与えられることを思い出させるものです。インデックス文字はに存在し、インデックス文字は接線多様体に存在します。 ${\displaystyle M}$$${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\langle {\vec {e}}_{i},{\vec {e}} _{j}\rangle =e_{i}^{a}e_{j}^{b}\,\eta _{ab}}$$${\displaystyle \langle ,\rangle }$ ${\displaystyle \eta_{ab}}$ ${\displaystyle \eta _{ab}=\delta _{ab}}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle e_{i}^{a}}$${\displaystyle a,b,c,\cdots }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle i,j,k,\cdots }$

計量テンソルの逆行列は 次のように与えられます。 これは双対基底を定義するために使用されます。 ${\displaystyle g^{ij}}$${\displaystyle g_{ij}}$$${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}}$$$${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\mathbf {e} _{j}g^{ji},\quad i=1,\,2,\,\dots ,\,n}$$

いくつかのテキストでは を と書き、計量テンソルが特に魅力的な形 を取ることがあります。これは、記号がvierbeinに対して明確に使用できるようにするためによく行われます。 ${\displaystyle \mathbf {g} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j}}$${\displaystyle e_{i}}$

ユークリッド空間では、第二種クリストッフェル記号に対する以下の一般的な定義は次と同等であることが証明できます。 $${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} ^ {k}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot g^{km}\mathbf {e} _{m}}$$

第一種のクリストッフェル記号は指数を下げることによって見つけられる。 $${\displaystyle \Gamma _{kij}={\Gamma ^{m}}_{ij}g_{mk}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j }}}\cdot \mathbf {e} ^{m}g_{mk}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} _{k}}$$

整理すると、次のようになります（偏微分が接空間に属すると仮定しますが、これは非ユークリッド曲面空間では発生しません）。 $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k}=\Gamma _{kij}\mathbf {e} ^{k}}$$

言葉で言えば、クリストッフェル記号によって表される配列は、基底が点から点へとどのように変化するかを追跡します。導関数が接空間上にない場合、正しい表現は、導関数の接空間への射影です (以下の共変導関数を参照)。第 2 種の記号は変化を基底に関して分解し、第 1 種の記号は変化を双対基底に関して分解します。この形式では、下側または最後の 2 つのインデックスの対称性を簡単に確認できます。および の定義と、偏導関数が交換可能であるという事実 (多様体と座標系が適切に動作している限り) からわかります。 $${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}}$$${\displaystyle \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji},}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

第二種クリストッフェル記号の同じ数値は、次の式に見られるように、双対基底の導関数にも関連しています。 これは次のように変形できます。 $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}=-{\Gamma ^{i}}_{jk}\mathbf {e} ^{k},}$$$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}=-{\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} _{k}.}$$

クリストッフェル記号には、第 1 種と第 2 種の 2 つの形式があります。第 2 種の定義はより基本的なため、最初に示します。

第二種クリストッフェル記号は、座標基底におけるレヴィ・チヴィタ接続の接続係数である。言い換えれば、第二種クリストッフェル記号^{[8] [9]} Γ ^k _ij（時にはΓ^キイジ
_​または{^キイジ
_​} ) ^{[7] [8] は、}次の式で表される唯一の係数として定義されます。 ここで、 ∇ _{i は}、座標方向e _iでとられたM上のLevi-Civita 接続(つまり、 ∇ _i ≡ ∇ _{e i} ) であり、 e _i = ∂ _{i は}ローカル座標 (ホロノミック)基底です。この接続にはゼロのねじれがあり、ホロノミック ベクトル場は可換 (つまり) であるため、次の式が得られます この基底では接続係数は対称です^{。 [8]} このため、ねじれのない接続は対称 と呼ばれることがよくあります。 $${\displaystyle \nabla _{i}\mathrm {e} _{j}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathrm {e} _{k},}$$${\displaystyle [e_{i},e_{j}]=[\partial _{i},\partial _{j}]=0}$$${\displaystyle \nabla _{i}\mathrm {e} _{j}=\nabla _{j}\mathrm {e} _{i}.}$$ $${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}.}$$

クリストッフェル記号は計量テンソルg _ikの共変微分の消失から導くことができる。 $${\displaystyle 0=\nabla _{l}g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-2g_{m(k}{\Gamma ^{m}}_{i)l}.}$$

簡略表記では、ナブラ記号と偏微分記号は省略されることが多く、代わりにセミコロンとカンマが微分に使用されているインデックスを区切るために使用されます。したがって、上記の式は次のように記述されることがあります。 $${\displaystyle 0=\,g_{ik;l}=g_{ik,l}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.}$$

記号が下2つのインデックスで対称であることを利用して、インデックスを並べ替えて合計し直すことで、クリストッフェル記号を計量テンソルの関数として明示的に解くことができます。^[10] $${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}\right),}$$

ここで、( g ^jk )は行列 ( g _jk )の逆行列であり、(クロネッカーのデルタとアインシュタインの表記法を使用して) g ^ji g _ik = δ  ^j _kと定義されます。クリストッフェル記号は、インデックス表記のテンソルと同じ表記法で記述されますが、座標の変更によってテンソルのように変換されることはありません。

上位のインデックスを下位のインデックス（対称的なもの）のいずれかと縮約すると、 となり 、 は計量テンソルの行列式です。 この恒等式は、ベクトルの発散を評価するために使用できます。 $${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{ki}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\ln {\sqrt {|g|}}}$$${\displaystyle g=\det g_{ik}}$

第一種クリストッフェル記号は、第二種クリストッフェル記号と計量から導かれる。^[11] $${\displaystyle \Gamma _{cab}=g_{cd}{\Gamma ^{d}}_{ab}\,,}$$

あるいは、メトリックのみから、^[11] $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{cab}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ca}}{\partial x^{b}}}+{\frac {\partial g_{cb}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\left(g_{ca,b}+g_{cb,a}-g_{ab,c}\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\left(\partial _{b}g_{ca}+\partial _{a}g_{cb}-\partial _{c}g_{ab}\right)\,.\\\end{aligned}}}$$

代替表記としては^{[7] [12] [13]もある。}

$${\displaystyle \Gamma _{cab}=[ab,c].}$$[ ab , c ] = [ ba , c ] であることは注目に値する。^[10]

クリストッフェル記号は、最も一般的には座標基底で定義され、ここでもその慣例に従っています。言い換えれば、クリストッフェル記号という名前は、座標（つまり、ホロノミック）フレームに対してのみ予約されています。ただし、接続係数は、接ベクトルu _iの任意の（つまり、非ホロノミック）基底で次のよう に定義することもできます。$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} _{i}}\mathbf {u} _{j}={\omega ^{k}}_{ij}\mathbf {u} _{k}.}$$

計量テンソルの観点から明確に言えば、これは^[9] $${\displaystyle {\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}+c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right),}$$

ここでc _klm = g _mp c _kl ^{p は}基底の交換係数である。つまり、 $${\displaystyle [\mathbf {u} _{k},\,\mathbf {u} _{l}]={c_{kl}}^{m}\mathbf {u} _{m}}$$

ここで、u _kは基底ベクトル、[ , ]はリー括弧です。球面座標と円筒座標の標準単位ベクトルは、ゼロでない交換係数を持つ基底の例を提供します。このようなフレームの接続とレヴィ-チヴィタ接続の違いは、ねじれテンソルとして知られています。

基底X _i ≡ u _{i を}正規直交基底として選ぶと、g _ab ≡ η _ab = ⟨ X _a , X _b ⟩となり、g _mk,l ≡ η _mk,l = 0となる。これは 、接続係数が最初の2つのインデックスで反対称になることを意味している。 ここで $${\displaystyle {\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}\eta ^{im}\left(c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right)}$$$${\displaystyle \omega _{abc}=-\omega _{bac}\,,}$$$${\displaystyle \omega _{abc}=\eta _{ad}{\omega ^{d}}_{bc}\,.}$$

この場合、接続係数ωabc^は_リッチ回転係数と呼ばれる。^{[14] [15]}

同様に、リッチ回転係数を次のように定義することができます。^[9] ここで、u _{i は}正規直交非ホロノミック基底であり、u ^k = η ^kl u _{l は}その共基底です。 $${\displaystyle {\omega ^{k}}_{ij}:=\mathbf {u} ^{k}\cdot \left(\nabla _{j}\mathbf {u} _{i}\right)\,,}$$

変数をからに変更すると、クリストッフェル記号は次のように変換されます。 ${\displaystyle \left(x^{1},\,\ldots ,\,x^{n}\right)}$${\displaystyle \left({\bar {x}}^{1},\,\ldots ,\,{\bar {x}}^{n}\right)}$

$${\displaystyle {{\bar {\Gamma }}^{i}}_{kl}={\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}\,{\frac {\partial x^{n}}{\partial {\bar {x}}^{k}}}\,{\frac {\partial x^{p}}{\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\Gamma ^{m}}_{np}+{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{k}\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}}$$

ここで、上線は座標系におけるクリストッフェル記号を表します。クリストッフェル記号はテンソルとして変換されるのではなく、ジェットバンドル内のオブジェクトとして変換されます。より正確には、クリストッフェル記号は、局所座標系とは無関係に、 Mのフレームバンドルのジェットバンドル上の関数として考えることができます。局所座標系を選択すると、このバンドルの局所断面が決定され、これを使用してクリストッフェル記号をM上の関数に引き戻すことができますが、もちろんこれらの関数は局所座標系の選択に依存します。 ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}}$

各点には、その点でクリストッフェル記号が消える座標系が存在します。^{[16]これらは（測地）}正規座標 と呼ばれ、リーマン幾何学でよく使用されます。

変換法則から直接導き出せる興味深い特性がいくつかあります。

• 線形変換の場合、変換の不同次部分 (右辺の 2 番目の項) は同様に消滅し、テンソルのように動作します。${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$
• 2 つの接続フィールド、たとえばと がある場合、それらの差はテンソルになります。これは、不同次項が互いに打ち消し合うためです。不同次項は、座標がどのように変更されるかにのみ依存し、クリストッフェル記号自体には依存しません。${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$${\displaystyle {{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}}$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}-{{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}}$
• クリストッフェル記号が1つの座標系、すなわち でその下位のインデックスに関して非対称である場合、それらはどのような座標変更に対しても非対称のままである。この特性の帰結として、下位のインデックスが対称でない限り、ある点でクリストッフェル記号のすべての要素がゼロになる座標系を見つけることは不可能である。この特性は、アルバート・アインシュタイン^[17]とエルヴィン・シュレーディンガー^[18]によって独立に指摘された。${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}\neq {\Gamma ^{i}}_{kj}}$

ベクトルがリーマン多様体上の何らかのパラメータでパラメータ化された曲線上を平行に移動する場合、ベクトルの成分の変化率は次のように表される。 ${\displaystyle \xi ^{i}}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\frac {d\xi ^{i}}{ds}}=-{\Gamma ^{i}}_{mj}{\frac {dx^{m}}{ds}}\xi ^{j}.}$$

2つの任意のベクトルのスカラー積が変化しないという条件を使うだけで、クリストッフェル記号を導くのに十分である。条件は、 積の規則によって次のように展開される。 ${\displaystyle g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}}$${\displaystyle \xi ^{i}}$${\displaystyle \eta ^{k}}$$${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left(g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}\right)=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}{\frac {dx^{l}}{ds}}\xi ^{i}\eta ^{k}+g_{ik}{\frac {d\xi ^{i}}{ds}}\eta ^{k}+g_{ik}\xi ^{i}{\frac {d\eta ^{k}}{ds}}=0.}$$

2つの任意のベクトルに平行移動規則を適用し、ダミーインデックスを再ラベル付けして（任意の） の係数を集めると、次の式が得られます。${\displaystyle \xi ^{i}\eta ^{k}dx^{l}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}=g_{rk}{\Gamma ^{r}}_{il}+g_{ir}{\Gamma ^{r}}_{lk}.}$$

これは、一般定義のセクションで計量テンソルの共変微分がゼロになることを要求して得られる方程式と同じです。ここからの導出は簡単です。上記の方程式のインデックスを循環的に並べ替えると、さらに 2 つの方程式が得られ、次にこれら 3 つの方程式を線形結合すると、計量テンソルで表現できます。 ${\displaystyle ikl}$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$

XとYを、X ⁱとY ^{k の}成分を持つベクトル場とします。すると、YのXに関する共変微分のk番目の成分は次のように表されます。 $${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}(\nabla _{i}Y)^{k}=X^{i}\left({\frac {\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+{\Gamma ^{k}}_{im}Y^{m}\right).}$$

ここではアインシュタイン表記法が使用されているため、繰り返されるインデックスはインデックスの合計を示し、計量テンソルによる収縮はインデックスを上げたり下げたりする役割を果たします。 $${\displaystyle g(X,Y)=X^{i}Y_{i}=g_{ik}X^{i}Y^{k}=g^{ik}X_{i}Y_{k}.}$$

g _ik ≠ g ^ikであり、g ⁱ _k = δ  ⁱ _k、クロネッカーのデルタであることに留意してください。慣例的に、計量テンソルはより低い指数を持つテンソルです。 g _ikからg ^ikを取得する正しい方法は、線形方程式g ^ij g _jk = δ  ⁱ _kを解くことです。

接続はねじれフリーであるという声明、すなわち $${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,\,Y]}$$

は、座標基底において、クリストッフェル記号が下2つのインデックスで対称であるという主張と同等である。 $${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}={\Gamma ^{i}}_{kj}.}$$

テンソルのインデックスなしの変換特性は、共変インデックスの場合はプルバック、反変インデックスの場合はプッシュフォワードによって与えられます。共変微分に関する記事では、インデックスなし表記とインデックス表記の対応についてさらに詳しく説明しています。

成分V ^mを持つベクトル場の共変微分は $${\displaystyle \nabla _{l}V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{m}}_{kl}V^{k}.}$$

系により、ベクトルの発散は次のように得られる。 $${\displaystyle \nabla _{i}V^{i}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}\,V^{i}\right)}{\partial x^{i}}}.}$$

共変 ベクトル場ωmの共変微分_は$${\displaystyle \nabla _{l}\omega _{m}={\frac {\partial \omega _{m}}{\partial x^{l}}}-{\Gamma ^{k}}_{ml}\omega _{k}.}$$

クリストッフェル記号の対称性は、 任意のスカラー場に対して成り立ちますが、一般に高次テンソル場の共変微分は交換しません (曲率テンソルを参照)。 $${\displaystyle \nabla _{i}\nabla _{j}\varphi =\nabla _{j}\nabla _{i}\varphi }$$

(2, 0) 型テンソル場A ^ikの共変微分は 、 $${\displaystyle \nabla _{l}A^{ik}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{i}}_{ml}A^{mk}+{\Gamma ^{k}}_{ml}A^{im},}$$$${\displaystyle {A^{ik}}_{;l}={A^{ik}}_{,l}+A^{mk}{\Gamma ^{i}}_{ml}+A^{im}{\Gamma ^{k}}_{ml}.}$$

テンソル場が混合型の場合、その共変微分は 、テンソル場が(0, 2)型の場合、その共変微分は、 $${\displaystyle {A^{i}}_{k;l}={A^{i}}_{k,l}+{A^{m}}_{k}{\Gamma ^{i}}_{ml}-{A^{i}}_{m}{\Gamma ^{m}}_{kl},}$$$${\displaystyle A_{ik;l}=A_{ik,l}-A_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-A_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.}$$

ベクトル場の反変微分を求めるには、まず計量テンソルを使って共変微分に変換する必要がある。 $${\displaystyle \nabla ^{l}V^{m}=g^{il}\nabla _{i}V^{m}=g^{il}\partial _{i}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}=\partial ^{l}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}}$$

クリストッフェル記号は、アインシュタインの一般相対性理論で頻繁に使用されます。この理論では、時空は、レヴィ-チヴィタ接続を持つ湾曲した 4 次元ローレンツ多様体によって表されます。物質が存在する場合の時空の幾何学を決定するアインシュタイン場の方程式には、リッチテンソルが含まれているため、クリストッフェル記号を計算することが不可欠です。幾何学が決定されると、粒子と光線の経路は、クリストッフェル記号が明示的に現れる 測地線方程式を解くことによって計算されます。

一般化座標を 、一般化速度を とすると、単位質量の運動エネルギーは で与えられ、ここで は計量テンソルです。ポテンシャル関数 が存在する場合、単位質量あたりの一般化力の反変成分は です。計量 (ここでは純粋に空間的な領域) は線要素 から取得できます。ラグランジアン をオイラー-ラグランジュ方程式に代入すると、^{[19]が得られます。}${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle {\dot {x}}^{i}}$${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}g_{ik}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{k}}$${\displaystyle g_{ik}}$${\displaystyle V\left(x^{i}\right)}$${\displaystyle F_{i}=\partial V/\partial x^{i}}$${\displaystyle ds^{2}=2Tdt^{2}}$${\displaystyle L=T-V}$

$${\displaystyle g_{ik}{\ddot {x}}^{k}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{il}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{lk}}{\partial x^{i}}}\right){\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F_{i}.}$$

これを で乗じると、 ${\displaystyle g^{ij}}$$${\displaystyle {\ddot {x}}^{j}+{\Gamma ^{j}}_{lk}{\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F^{j}.}$$

デカルト座標を採用できる場合（慣性座標系の場合など）、ユークリッド計量が得られ、クリストッフェル記号は消え、方程式はニュートンの運動の第二法則に簡約されます。曲線座標系^[20]（計量が非ユークリッドで平坦ではない非慣性座標系では強制的に）では、遠心力やコリオリの力などの架空の力はクリストッフェル記号、つまり純粋に空間的な曲線座標に由来します。

地球表面上の点を表す 球面座標系（理想的な球として近似）が与えられます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(R,\theta ,\varphi )&={\begin{pmatrix}R\cos \theta \cos \varphi &R\cos \theta \sin \varphi &R\sin \theta \end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

点 x について、R は地球の中心核までの距離です (通常は地球の半径とほぼ同じです)。θとφは緯度と経度です。θ が正であれば北半球です。導関数を簡略化するために、角度はラジアンで表されます(d sin(x)/dx = cos(x) の場合、度数値によって 360 / 2 pi という係数が追加されます)。

どの場所でも、接線方向は(上)、(北)、(東) です。インデックス 1、2、3 を使用することもできます。 ${\displaystyle e_{R}}$${\displaystyle e_{\theta }}$${\displaystyle e_{\varphi }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\e_{\theta }&=R\cdot {\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \varphi &-\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \end{pmatrix}}\\e_{\varphi }&=R\cos \theta \cdot {\begin{pmatrix}-\sin \varphi &\cos \varphi &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

関連する計量テンソルには対角要素（ベクトルの長さの二乗）のみがあります。これは座標系の利点であり、一般的には当てはまりません。

^[21]$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{RR}=1\qquad &g_{\theta \theta }=R^{2}\qquad &g_{\varphi \varphi }=R^{2}\cos ^{2}\theta \qquad &g_{ij}=0\quad \mathrm {else} \\g^{RR}=1\qquad &g^{\theta \theta }=1/R^{2}\qquad &g^{\varphi \varphi }=1/(R^{2}\cos ^{2}\theta )\qquad &g^{ij}=0\quad \mathrm {else} \\\end{aligned}}}$$

これで必要な数量を計算できます。例:

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{R}=e_{R}g^{RR}=1\cdot e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }=e^{R}\cdot {\frac {\partial }{\partial \varphi }}e_{\varphi }&=e^{R}\cdot {\begin{pmatrix}-R\cos \theta \cos \varphi &-R\cos \theta \sin \varphi &0\end{pmatrix}}=-R\cos ^{2}\theta \\\end{aligned}}}$$

結果として得られる第 2 種のクリストッフェル記号は、次のようになります (行列内の 「導関数」インデックスiによって整理されます)。${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}\cdot {\frac {\partial e_{j}}{\partial x^{i}}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{RR}&{\Gamma ^{R}}_{\theta R}&{\Gamma ^{R}}_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\theta }}_{RR}&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\varphi }}_{RR}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi R}\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1/R&0\\0&0&1/R\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\theta }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \theta }\\\end{pmatrix}}\quad &={\begin{pmatrix}0&-R&0\\1/R&0&0\\0&0&-\tan \theta \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&-R\cos ^{2}\theta \\0&0&\cos \theta \sin \theta \\1/R&-\tan \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

これらの値は、外部の視点（たとえば宇宙）から見た場合の接線方向（列：、、 ）の変化を示しますが、実際の位置の接線方向（行： R、θ、φ）で示されます。 ${\displaystyle e_{R}}$${\displaystyle e_{\theta }}$${\displaystyle e_{\varphi }}$

例として、北（正のdθ）への動きに対応する、 θによる非ゼロ導関数を取ります。${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{j\ \theta }}$