ラジアン

ラジアン
円の半径と同じ長さの円弧は、1 ラジアンの角度を成します。円周は、2 πラジアンの角度を成します。
一般情報
単位系	SI
単位	角度
シンボル	ラド、  R [1]
コンバージョン
1 radで ...	...は...に等しい
ミリラジアン	1000ミリラド
ターン	⁠1/2π​⁠ターン
度	⁠180/π⁠ ° ≈ 57.296°
グラジアン	⁠200/π⁠ グラインド ≈ 63.662 g

ラジアンは、記号radで表され、国際単位系(SI)における角度の単位で、数学の多くの分野で使用される角度測定の標準単位です。1 ラジアンは、半径に等しい長さの弧が円の中心で囲む角度と定義されています。^[2]この単位は以前はSI 補助単位でしたが、現在は無次元のSI 組立単位です。 [2 ^] SI では 1 rad = 1 と定義され^{[3] 、} SI 基本単位のメートル(m)ではrad = m/mと表されます。^[4]単位が明示的に指定されていない角度は、通常、特に数学的な記述ではラジアンで測定されているものとみなされます。^[5]

1ラジアンは、円の中心からその円の半径に等しい長さの円弧を切る角度として定義されます。^[6]より一般的には、ラジアンで表した角度の大きさは、円弧の長さと円の半径の比に等しくなります。つまり、で、θはラジアンで表した角度、sは円弧の長さ、rは半径です。直角は正確にラジアンです。^[7]${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}}$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

1回転は、角度をラジアンで表すと、円周の長さを半径で割った値、つまり2 πになります。したがって、2 πラジアンは 360 度に等しくなります。2 π rad = 360°という 関係は、円弧の長さの公式を使用して導くことができます。ラジアンは、円の半径に等しい長さの円弧によって囲まれる角度の尺度であるため、これはさらに と簡略化できます。両辺に360°を掛けると、 360° = 2 π radとなります。 ${\displaystyle {\frac {2\pi r}{r}}}$${\textstyle \ell _{\text{arc}}=2\pi r\left({\tfrac {\theta }{360^{\circ }}}\right)}$${\textstyle 1=2\pi \left({\tfrac {1{\text{ rad}}}{360^{\circ }}}\right)}$${\textstyle 1={\tfrac {2\pi {\text{ rad}}}{360^{\circ }}}}$

国際度量衡局^[7]と国際標準化機構^[8]は、ラジアンの記号としてradを指定しています。1909年に使用されていた代替記号は^c（上付き文字c、"円測定"）、文字r、または上付き文字R ^{[ 1]でしたが、これらの変形は}度記号（°）または半径（r）と間違われる可能性があるため、あまり使用されていません。したがって、1.2ラジアンの角度は今日では1.2 radと表記されますが、古い表記法には1.2 r、1.2 ^rad、1.2 ^c、または1.2 ^Rなどがあります。

数学的な記述では、記号「rad」は省略されることがよくあります。記号がない場合に角度を数値化する場合はラジアンが想定され、度を意味する場合は度記号 °が使用されます。

平面角はθ = s / rと定義されます。ここでθはラジアンで表した角度、sは円弧の長さ、rは半径です。1 SI ラジアンは、 s = r となるラジアンで表した角度に対応するため、1 SI ラジアン = 1 m/m = 1 となります。 ^[9]ただし、rad は角度を表すためにのみ使用され、一般に長さの比を表すために使用されることはありません。^[7]円扇形の面積 θ = 2 A / r ^{2 を}使用した同様の計算では、 1 SI ラジアンは 1 m ² /m ² = 1となります。 ^{[10]重要な事実は、 SI ラジアンは}1に等しい無次元単位であるということです。SI 2019 では、 SI ラジアンはそれに応じて1 rad = 1と定義されています。^[11]数学や科学のあらゆる分野でrad = 1を利用することは古くから行われている慣習である。^{[4] [12]}

ジャコモ・プランドは「現状では、物理方程式の次元解析においてラジアンが幽霊のように現れたり消えたりする」と書いている。^[13]たとえば、滑車から紐で吊るされた物体は、y = rθセンチメートル上昇または下降する。ここで、rは滑車の半径（センチメートル）、θ は滑車が回転する角度（ラジアン）である。r に θ を掛けても、結果に単位ラジアンは現れない。同様に、転がる車輪の角速度の式ω = v / rでは、ラジアンはωの単位で現れるが、右辺には現れない。^[14]アンソニー・フレンチはこの現象を「力学の教育における永遠の問題」と呼んでいる。 [ ^15]オーバーホファーは、次元解析中にラジアンを無視し、慣習と文脈的知識に従って単位でラジアンを追加または削除するという典型的なアドバイスは「教育的に満足のいくものではない」と述べています。^[16]

1993年にアメリカ物理教師協会のメートル法委員会は、角度（rad）、角速度（rad/s）、角加速度（rad/ s ²）、ねじり剛性（N⋅m/rad）などの他の角度の測定単位を使用した場合に異なる数値が得られる場合にのみ、ラジアンを明示的に量に使用し、トルク（N⋅m）や角運動量（kg⋅m ² /s）などの量には使用しないことを規定しました。^[17]

1936年から2022年の間に少なくとも12人の科学者が、ラジアンを「平面角」の基本量（および次元）の測定の基本単位として扱う提案を行った。 ^{[18] [19] [20]}クインシーの提案のレビューでは、2種類の提案が概説されている。最初の選択肢は、半径の単位をメートル/ラジアンに変更するが、これは円の面積π r 2^の次元解析と互換性がない。もう1つの選択肢は、次元定数を導入することである。クインシーによると、このアプローチはSIに比べて「論理的に厳密」だが、「多くのよく知られた数学的および物理的方程式の修正」を必要とする。^[21]角度の次元定数は「かなり奇妙」であり、次元定数を追加するために方程式を修正する難しさは、広範囲にわたる使用を妨げる可能性が高い。^[20]

特に、クインシーは、定数ε ₀の導入に似た方法で、1 逆ラジアン (1 rad ^{−1 ) に等しい定数}ηを導入するというトーレンスの提案を特定しています。^{[21] [a]}この変更により、円の中心を囲む角度の式s = rθはs = ηrθに修正され、角度θの正弦のテイラー級数は次のようになります。^{[20] [22]} ここで、はラジアン単位の角度です。大文字の関数Sinは、角度の次元を持つ引数を取り、表現される単位に依存しない「完全な」関数です。^[22]一方、sinは、引数がラジアン単位の無次元数であると想定する、純粋数に対する従来の関数です。^[23]完全な形式を意味することが明らかな場合は、大文字の記号で表記できます。 ^{[20] [24]} $${\displaystyle \operatorname {Sin} \theta =\sin \ x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\eta \theta -{\frac {(\eta \theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(\eta \theta )^{5}}{5!}}-{\frac {(\eta \theta )^{7}}{7!}}+\cdots ,}$$${\displaystyle x=\eta \theta =\theta /{\text{rad}}}$${\displaystyle \operatorname {Sin} }$${\displaystyle \sin}$

現在のSIは、この枠組みに相対的に、 η = 1、または同様に1 rad = 1が成り立つと仮定される自然単位系として考えることができます。このラジアンの慣習により、数式でηを省略することができます。 ^[25]

ラジアンを基本単位として定義することは、方程式が長くなるというデメリットが最小限であるソフトウェアには有用である。^[26]例えば、Boost単位ライブラリは角度の単位を次元で定義しておりplane_angle、^[27] Mathematicaの単位系も同様に角度を角度次元を持つものとみなしている。^{[28] [29]}

前述のとおり、1 ラジアンは に等しいです。したがって、ラジアンを度に変換するには を掛けます。 ${\displaystyle {180^{\circ}}/{\pi}}$${\displaystyle {180^{\circ}}/{\pi}}$

${\displaystyle {\text{度単位の角度}}={\text{ラジアン単位の角度}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}}$

例えば：

${\displaystyle 1{\text{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.2958^{\circ }}$

${\displaystyle 2.5{\text{ rad}}=2.5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143.2394^{\circ }}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}{\text{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }}$

逆に、度をラジアンに変換するには、 を掛けます。 ${\displaystyle {\pi }/{180}{\text{ rad}}}$

${\displaystyle {\text{angle in radians}}={\text{angle in degrees}}\cdot {\frac {\pi }{180}}{\text{ rad}}}$

例えば：

${\displaystyle 1^{\circ }=1\cdot {\frac {\pi }{180}}{\text{ rad}}\approx 0.0175{\text{ rad}}}$

${\displaystyle 23^{\circ }=23\cdot {\frac {\pi }{180}}{\text{ rad}}\approx 0.4014{\text{ rad}}}$

ラジアンを回転数に変換するには、ラジアンの数を 2 πで割ります (1 回転は 1 回転に相当する角度です) 。

1回転はラジアンで、1回転に相当し、定義により400グラジアン（400ゴンまたは400 ^g）です。ラジアンからグラジアンに変換するには を掛け、グラジアンからラジアンに変換するには を掛けます。たとえば、 ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 200^{\text{g}}/\pi }$${\displaystyle \pi /200{\text{ rad}}}$

${\displaystyle 1.2{\text{ rad}}=1.2\cdot {\frac {200^{\text{g}}}{\pi }}\approx 76.3944^{\text{g}}}$

${\displaystyle 50^{\text{g}}=50\cdot {\frac {\pi }{200}}{\text{ rad}}\approx 0.7854{\text{ rad}}}$

微積分学や、実用幾何学以外のほとんどの数学の分野では、角度はラジアンで測定されます。これは、ラジアンが数学的に自然であり、いくつかの重要な結果をよりエレガントに定式化できるためです。

三角関数の解析結果は、関数の引数をラジアンで表すと簡潔に表すことができます。たとえば、ラジアンを使用すると、次のような簡単な極限式 が得られます。

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1,}$

これは数学における他の多くの恒等式の基礎であり、

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x=-\sin x.}$

これらの特性やその他の特性のため、三角関数は、関数の幾何学的意味とは明らかに関連しない数学の問題の解（たとえば、微分方程式 の解、積分の評価など）に現れます。このようなすべての場合において、関数の引数は角度を参照せずに（無次元の）数として扱うのが適切です。 ${\displaystyle {\tfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-y}$${\displaystyle \textstyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}},}$

角度の三角関数も、ラジアンを使用すると、単純でエレガントな級数展開ができます。たとえば、x がラジアンで表された角度の場合、sin  xのテイラー級数は次のようになります。

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

y が角度xだが度数で表されている場合、つまりy = π x / 180の場合、その級数にはπ /180 の累乗を含む厄介な因数が含まれることになります。

${\displaystyle \sin y={\frac {\pi }{180}}x-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{3}\ {\frac {x^{3}}{3!}}+\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{5}\ {\frac {x^{5}}{5!}}-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{7}\ {\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

同様の考え方で、角度が関係する場合、正弦関数と余弦関数および指数関数（たとえば、オイラーの公式を参照）の間の数学的に重要な関係は、関数の引数がラジアンで表された角度である場合に簡潔に記述できます（そうでない場合は複雑になります）。より一般的には、複素数論では、これらの関数の引数は（次元のない、場合によっては複素数の）数であり、物理的な角度とはまったく関係がありません。

ラジアンは、角度測定が必要な物理学で広く使用されています。たとえば、角速度は通常、ラジアン/秒(rad/s)の単位で表されます。1 秒あたり 1 回転は、2 πラジアン/秒 に相当します。

同様に、角加速度に使用される単位は、多くの場合、ラジアン毎秒/秒 (rad/s ² ) です。

次元解析の目的で、角速度と角加速度の単位はそれぞれ s ⁻¹と s ⁻²です。

同様に、2 つの波の位相角の差もラジアンを単位として表すことができます。たとえば、2 つの波の位相角の差が ( n ⋅2 π ) ラジアン(nは整数) の場合、それらは同位相であると見なされます。一方、2 つの波の位相角の差が ( n ⋅2 π + π ) ラジアン( nは整数) の場合、それらは逆位相であると見なされます。

^{逆ラジアンまたは逆ラジアン (rad -1} )の単位は、メートル/ラジアン (角波長の場合) やニュートンメートル/ラジアン (ねじり剛性の場合) などの派生単位に使用されます。

ラジアンには、分数を表すメートル法の接頭辞が使われます。ミリラジアン(mrad) は、ラジアン (0.001 rad) の 1000 分の 1 です。つまり、1 rad = 10 ³ mradです。円には 2 π × 1000 ミリラジアン (≈ 6283.185 mrad)があります。したがって、ミリラジアンは⁠のちょうど下です。1/6283⁠完全な円によって囲まれる角度。この円の角度測定単位は、レチクルで（測距）距離測定を使用する望遠鏡の照準器メーカーによって一般的に使用されています。レーザー光線の発散も通常ミリラジアンで測定されます。

角度ミルは、NATOやその他の軍事組織が砲撃や照準に使用しているミリラジアンの近似値です。1角度ミルは、⁠1/6400⁠ 円であり、⁠15/8⁠ % またはミリラジアンより 1.875% 小さい。標的を定める作業でよく見られる小さな角度の場合、計算に 6400 という数字を使うことの利便性は、それがもたらす小さな数学的誤差を上回ります。過去には、他の砲術システムでは、異なる近似値を使用していました。1/2000 π⁠ ; 例えばスウェーデンでは、⁠1/6300⁠ ストレックとソ連は使用した⁠1/6000⁠。 NATO ミルはミリラジアンを基準としており、1000 メートルの範囲でおよそ 1 メートルの範囲をカバーします (このような小さな角度では、曲率は無視できます)。

ミリより小さい接頭辞は、非常に小さな角度を測定するときに便利です。マイクロラジアン（μrad、10 ⁻⁶  rad）およびナノラジアン（nrad、10 ⁻⁹  rad）は天文学で使用され、超低発散のレーザーのビーム品質を測定するためにも使用できます。より一般的なのは弧秒で、これは⁠π/648,000⁠  rad（約4.8481マイクロラジアン）。

円弧の長さで角度を測るという考え方は、数学者によってかなり早い時期から使われていました。例えば、アル・カーシー（1400年頃）は、直径部分を単位として使いました。直径部分は⁠1/60⁠ラジアン。直径部分の60進法のサブユニットも使用しました。^[30]ニュートンは1672年に「物体の円運動の角度量」について語りましたが、それは天文学的なアルゴリズムを開発するための相対的な尺度としてのみ使用されました。^[31]

ラジアンの概念は、1716年に亡くなったロジャー・コーツに帰せられることが多い。 1722年までに、彼の従兄弟のロバート・スミスがコーツの数学的著作を集め、 Harmonia mensurarumという本にまとめた。^[32]編集者コメントの章で、スミスは、残っていないコーツのメモを引用して、おそらく1ラジアンを度で表した最初の計算法を示した。スミスはラジアンを名前以外すべて説明し、「この数字は、円の半径から半円周までの180度に等しい。これは1から3.141592653589である」と述べ、角度測定の単位としてラジアンが自然であることを認めた。^{[33] [34]}

1765年、レオンハルト・オイラーは暗黙のうちに角度の単位としてラジアンを採用した。^[31]具体的には、オイラーは角速度を「回転運動における角速度は、回転軸からの距離が1で表される点の速度である」と定義した。^[35]オイラーはおそらくこの慣例を採用した最初の人物であり、ラジアン慣例と呼ばれ、角速度の簡単な式ω = v / rを与える。§次元解析で説明したように、ラジアン慣例は広く採用されているが、次元的に一貫した定式化では、たとえばω = v /( ηr )などの次元定数を挿入する必要がある。^[25]

ラジアンという用語が普及する前、この単位は一般に角度の円周測定と呼ばれていました。 ^[36]ラジアンという用語が初めて印刷物に登場したのは、1873年6月5日、ベルファストのクイーンズ・カレッジのジェームズ・トムソン（ケルビン卿の弟）が出した試験問題でした。彼は1871年には早くもこの用語を使用していましたが、1869年には、当時セント・アンドリュース大学のトーマス・ミュアが、ラド、ラジアル、ラジアンという用語の間で揺れ動いていました。1874年、ジェームズ・トムソンと相談した後、ミュアはラジアンを採用しました。^{[37] [38] [39]}ラジアンという名前は、その後しばらくの間、広く採用されることはありませんでした。ロングマンズ・スクールの三角法では、1890年に出版されたときも、まだラジアンを円周測定と呼んでいました。 ^[40]

1893年、アレクサンダー・マクファーレンは「円周率の真の分析的議論は、円弧と半径の比ではなく、扇形の面積の2倍と半径上の正方形の比である」と書いた。^{[41]何らかの理由で、この論文はシカゴ}万国博覧会に関連して開催された数学会議の議事録から取り下げられ（167ページで謝辞）、1894年に彼の『空間分析に関する論文』として私的に出版された。マクファーレンは、同様に定義される双曲角の基礎を考慮しながら、このアイデアまたは面積比に到達した。 ^[42]

ポール・クインシーらは、「国際単位系（SI）における角度の地位は、長い間論争と混乱の原因となってきた」と書いている。^[43] 1960年にCGPMはSIを確立し、ラジアンはステラジアンとともに「補助単位」に分類された。この特別なクラスは、ラジアンが基本単位か派生単位かに関してCGPMが決定できなかったため、公式には「基本単位または派生単位のいずれか」と見なされた。^[44]リチャード・ネルソンは、「[補助単位の分類における]この曖昧さは、それらの適切な解釈に関する活発な議論を促した」と書いている。^[45] 1980年5月、単位諮問委員会（CCU）は、定数α ₀ = 1 radを使用してラジアンをSI基本単位にする提案を検討したが、^{[46] [25]}現在の慣行への混乱を避けるために却下した。^[25]

1980年10月、CGPMは、補助単位は無次元の組立単位であり、CGPMはSI組立単位の表現で使用するか使用しないかを自由に許可すると決定した。^[45]その根拠は、「平面角と立体角の量を基本量と見なすことができる、一貫性と利便性を兼ね備えた形式論は存在しない」ことと、「ラジアンとステラジアンをSI基本単位として扱う可能性は、7つの基本単位のみに基づくSIの内部一貫性を損なう」ことであった。^[47] 1995年、CGPMは補助単位のクラスを廃止し、ラジアンとステラジアンを「無次元の組立単位であり、その名前と記号は、他のSI組立単位の表現で都合に応じて使用できるが、必ずしも使用する必要はない」と定義した。^[48]ミハイル・カリニンは2019年に執筆した記事で、1980年のCGPMの決定は「根拠がない」と批判し、1995年のCGPMの決定は矛盾した議論を用いており、「SIの文言に多数の矛盾、不一致、および矛盾」をもたらしたと述べています。^[49]

2013年のCCU会議で、ピーター・モーアは、ラジアンを基本単位ではなく無次元単位として定義することから生じるとされる矛盾についてプレゼンテーションを行った。CCU会長のイアン・M・ミルズはこれを「手ごわい問題」と宣言し、SIにおける角度と無次元量に関するCCUワーキンググループが設立された。^[50] CCUは2021年に会合したが、合意には至らなかった。少数の会員はラジアンを基本単位にすべきだと強く主張したが、大多数は現状のままでよい、または変更によって解決するよりも多くの問題が発生すると感じていた。「SI補助単位の歴史的使用を見直し、再導入が有益かどうかを検討する」などの活動を行うタスクグループが設立された。^{[51] [52]}

• 角周波数
• 分と秒
• ステラジアンは、立体角を測定するラジアンの高次元アナログである。
• 三角法

Wikibooks には三角法/ラジアンと度数の測定に関する本があります

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• ウィキメディア・コモンズの Radian に関連するメディア