円筒座標と球座標のベクトル場

注: このページでは球面座標の一般的な物理表記法を使用しています。これは、原点と問題の点を結ぶ半径ベクトルとZ軸の間の角度であり、半径ベクトルのxy平面への投影とx軸の間の角度です。他にもいくつかの定義が使用されているため、異なるソースを比較する際には注意が必要です。^[1]${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \phi}$

ベクトルは円筒座標で（ρ、φ、z）で定義され、ここで

• ρはxy平面に投影されたベクトルの長さであり、
• φ はベクトルのxy平面への投影（すなわちρ）と正のx軸（0 ≤ φ < 2 π）との間の角度である。
• z は通常のz座標です。

( ρ , φ , z ) は、直交座標では次のように表されます。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho \\\phi \\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\ \operatorname {arctan} (y/x)\\z\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,}$$

または逆に： $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho \cos \phi \\\rho \sin \phi \\z\end{bmatrix }}.}$$

任意のベクトル場は、単位ベクトルで次のように表すことができます。 円筒単位ベクトルは、直交座標単位ベクトルと次のように関連しています。 $${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{\rho }\mathbf {\hat {\rho }} +A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}} }$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {\rho }} \\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}} ={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{ b行列}}}$$

注意: 行列は直交行列です。つまり、その逆行列は単純に転置行列です。

ベクトル場A が時間とともにどのように変化するかを調べるには、時間微分を計算する必要があります。この目的のために、時間微分にはニュートンの表記法( ) を使用します。直交座標では、これは単純に次のようになります。 ${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}}$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {A}}_{y}{ \hat {\mathbf {y} }}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$$

しかし、円筒座標では次のようになります。 $${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{\rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+A_{\rho }{\dot {\hat {\boldsymbol {\rho }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\hat {\boldsymbol {\phi }}}+A_{\phi }{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}+A_{z}{\dot {\hat {\boldsymbol {z}}}}$$

単位ベクトルの時間微分が必要です。これは次のように与えられます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {\rho } }}}&={\dot {\phi }}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\\{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}&=-{\dot {\phi }}{\hat {\mathbf {\rho } }}\\{\dot {\hat {\mathbf {z} }}}&=0\end{aligned}}}$$

したがって、時間微分は次のように簡略化されます。 $${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\hat {\boldsymbol {\rho }}}\left({\dot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\dot {\phi }}\right)+{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\left({\dot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\dot {\phi }}\right)+{\hat {\mathbf {z} }}{\dot {A}}_{z}}$$

2 次時間微分は、古典的な機械システムの運動方程式に見られるため、物理学では興味深いものです。円筒座標系におけるベクトル場の 2 次時間微分は次のように表されます。 $${\displaystyle \mathbf {\ddot {A}} =\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\ddot {\phi }}-2{\dot {A}}_{\phi }{\dot {\phi }}-A_{\rho }{\dot {\phi }}^{2}\right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left({\ddot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\ddot {\phi } }+2{\dot {A}}_{\rho }{\dot {\phi }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}^{2}\right)+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {A}}_{z}}$$

この式を理解するには、PをAに置き換えます。ここで、Pはベクトル ( ρ、φ、z ) です。

これは、次のことを意味します。 ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {P} =\rho \mathbf {\hat {\rho }} +z\mathbf {\hat {z}} }$

代入すると、次の結果が得られます。 $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {P} }}=\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\phi }}^{2}\right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left(\rho {\ddot {\phi }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}\right)+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {z}}}$$

力学では、この式の項は次のように呼ばれます。

ベクトルは球面座標で（r、θ、φ ）で定義され、ここで

• rはベクトルの長さ、
• θは正のZ軸と問題のベクトルの間の角度（0 ≤ θ ≤ π）であり、
• φはベクトルのxy平面への投影と正のX軸との間の角度です（0 ≤ φ < 2 π）。

( r , θ , φ ) は、直交座標では次のように表されます。 または、逆に次のように表されます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}r\\\theta \\\phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\arccos(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})\\\arctan(y/x)\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \theta \leq \pi ,\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r\sin \theta \cos \phi \\r\sin \theta \sin \phi \\r\cos \theta \end{bmatrix}}.}$$

任意のベクトル場は、単位ベクトルを使って次のように表すことができます。 $${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$$

球面基底ベクトルは、ヤコビ行列によって直交基底ベクトルと関連付けられます。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial z}{\partial r}}\\{\frac {\partial x}{\partial \theta }}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}&{\frac {\partial z}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial x}{\partial \phi }}&{\frac {\partial y}{\partial \phi }}&{\frac {\partial z}{\partial \phi }}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}$$

球面基底ベクトルが単位長さになるようにヤコビ行列を正規化すると、次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}$$

注意: 行列は直交行列です。つまり、その逆行列は単純に転置行列です。

したがって、直交座標単位ベクトルは球面座標単位ベクトルと次のように関係します。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\cos \theta \cos \phi &-\sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \sin \phi &\cos \phi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}}$$

ベクトル場 A が時間とともにどのように変化するかを調べるには、時間微分を計算する必要があります。直交座標では、これは単純に次のようになります。 ただし、球面座標では次のようになります。 単位ベクトルの時間微分が必要です。これは次のように与えられます。 したがって、時間微分は次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{x}\mathbf {\hat {x}} +{\dot {A}}_{y}\mathbf {\hat {y}} +{\dot {A}}_{z}\mathbf {\hat {z}} }$$$${\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{r}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}+{\dot {A}}_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}&={\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}&=-{\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {r}}}-{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {r}}}\left({\dot {A}}_{r}-A_{\theta }{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\sin \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\left({\dot {A}}_{\theta }+A_{r}{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left({\dot {A}}_{\phi }+A_{r}{\dot {\phi }}\sin \theta +A_{\theta }{\dot {\phi }}\cos \theta \right)}$$

• さまざまな座標系での勾配、発散、回転、ラプラシアンの指定のための円筒座標と球座標の Del 。