二乗三角数

数論では、最初のn 個の三角数の合計はn番目の三角数の2 乗です。つまり、

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(1+2+3+\cdots +n\right)^{2}.}$

同じ式は、和の数学的表記法を使用してより簡潔に記述することができます。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.}$

この等式は、ゲラサのニコマコス(西暦 60年頃-  120 年頃)にちなんで、ニコマコスの定理と呼ばれることもあります。

ニコマコスは、算術入門の第20章の終わりで、奇数のリストを書くと、最初の数は1の3乗、次の2つの合計は2の3乗、次の3つの合計は3の3乗、などとなると指摘しました。彼はそれ以上は述べていませんが、このことから、最初のn個の3乗の合計は最初のn個の3乗の合計に等しいことがわかります。ｎ（ｎ＋１）/2⁠奇数、つまり 1 からn ( n + 1) − 1までの奇数。これらの数の平均は明らかに⁠ｎ（ｎ＋１）/2⁠、そして⁠がありますｎ（ｎ＋１）/2⁠なので、それらの合計は( ⁠ｎ（ｎ＋１）/2⁠ ）² .

ニコマコスの定理については、多くの初期の数学者が研究し、証明してきた。Stroeker (1995) は、「数論を学ぶ者なら誰でも、この驚くべき事実に驚嘆したに違いない」と主張している。Pengelley (2002) は、この等式への言及を、西暦 1 世紀の現在のヨルダンにおけるニコマコスの著作だけでなく、 5 世紀のインドのAryabhataの著作や、  1000年頃のペルシャのAl-Karajiの著作にも見いだしている。Bressoud (2004) は、この公式に関するいくつかの初期の数学的著作、Al-Qabisi (10 世紀アラビア)、Gersonides (  1300年頃、フランス)、Nilakantha Somayaji (  1500 年頃、インド) について言及し、Nilakantha の視覚的証明を再現している。

三角数の二乗の列は^{[1]である。}

これらの数は、三角数と四角錐数を 4 次元超錐に一般化した図形数として見ることができます。

スタイン (1971) が指摘しているように、これらの数はn × n のグリッドに形成される水平および垂直の辺を持つ長方形の数も数えます。たとえば、 4 × 4 のグリッド (または 1 辺に 3 つの小さな正方形がある正方形)の点は、36 個の異なる長方形を形成できます。正方形のグリッド内の正方形の数も同様に、正方錐の数で数えられます。

この恒等式は、次のように自然な確率的解釈も許します。X、Y、Z、W を、 1からnまでの間で独立かつ一様にランダムに選ばれた 4 つの整数とします。このとき、Wが 4 つの数の中で最大となる確率は、Yが少なくともXと同じ大きさであり、かつWが少なくともZと同じ大きさである確率に等しくなります。つまり、P [max( X、Y、Z ) ≤ W ] = P [ X ≤ Y ∧ Z ≤ W ]です。 Wの特定の値に対して、 Wを最大にする X 、 Y 、 Z の組み合わせは、1 ≤ X、Y、Z  ≤ nの立方体を形成するため、 (この立方体のサイズをWのすべての選択肢に加えると) Wが最大となるX、Y、Z、Wの組み合わせの数は、立方体の合計、つまりニコマコス恒等式の左辺になります。X ≤ Yであるペア( X , Y )の集合とZ ≤ Wであるペア( Z , W )の集合は直角二等辺三角形を形成し、確率の式の右辺で数えられる集合はこれら 2 つの三角形の直積であるため、その大きさはニコマコス恒等式の右辺にある三角数の平方になります。確率自体はそれぞれニコマコス恒等式の左辺と右辺であり、両辺を n ⁴で割って確率になるように正規化されます。^{[出典が必要]}

チャールズ・ホイートストン (1854) は、和の各立方を連続する奇数の集合に展開することで、特に簡単な導出を行っています。彼はまず、次の恒等式を与えます。この恒等式は、 三角数T _nと次のように 関連しています。したがって、 n ^{3 を} 形成する加数は、1 ³から( n − 1) ³までのすべての先行する値を形成する加数の直後から始まります。この特性を別のよく知られた恒等式と共に適用すると、 次の導出が得られます。 $${\displaystyle n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ 連続する奇数}}}.}$$ $${\displaystyle n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),}$$$${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

Row (1893) は、 2つの異なる方法で平方乗算表の数字を合計することによって別の証明を得ています。i番目の行の合計は三角数のi倍であり、このことからすべての行の合計は三角数の平方であることがわかります。あるいは、表をネストされたグノモンのシーケンスに分解することもできます。各グノモンは、2 つの項のうち大きい方が何らかの固定値である積で構成されます。各グノモン内の合計は立方体であるため、表全体の合計は立方体の和です。

より最近の数学文献では、エドモンズ (1957) が部分和を使った証明を提供している。スタイン (1971) はこれらの数の長方形カウント解釈を使用して恒等式の幾何学的証明を行っている (ベンジャミン、クイン & ワーツ 2006 も参照)。スタインは、帰納法でも簡単に (ただし情報量は少ないが) 証明できることを指摘し、トゥープリッツ (1963) が「興味深い古いアラビア語の証明」を提供していると述べている。カニム (2004) は純粋に視覚的な証明を提供し、ベンジャミン & オリソン (2002) は 2 つの追加証明を提供し、ネルセン (1993) は 7 つの幾何学的証明を提供している。

ニコマコスの定理と同様の結果は、すべてのべき乗和に対して成り立ちます。つまり、奇数べき乗和（奇数べき乗の和）は三角数の多項式です。これらはファウルハーバー多項式と呼ばれ、その中で三乗和は最も単純でエレガントな例です。しかし、他の場合には、あるべき乗和が別のべき乗和の二乗になることはありません。^[2]

Stroeker (1995) は、連続する立方数列の合計が平方数を形成するより一般的な条件を研究しています。Garrett & Hummel (2004) および Warnaar (2004) は、多項式の系列が別の多項式の平方に加算される、平方三角数の公式の多項式類似物を研究しています。

• ワイスシュタイン、エリック W.、「ニコマコスの定理」、MathWorld
• ニコマコスの定理の視覚的証明 2019-10-19 にWayback Machineでアーカイブ