アローの不可能性定理

コンドルセの例だけでも、アローの定理が想定するよりも厳しい公平性の条件の下では、公平な順位付け投票システムが不可能であることがわかる。^{[ 30 ]} 3人の候補者がいると仮定する（${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、 そして${\displaystyle C}$）と、以下の選好を持つ3名の有権者：

もし${\displaystyle C}$勝者として選ばれた場合、公平な投票システムであれば次のように主張できるだろう。${\displaystyle B}$代わりに勝つべきである、なぜなら2人の投票者（1と2）は${\displaystyle B}$に${\displaystyle C}$そして、投票者のうち1人（3）だけが${\displaystyle C}$に${\displaystyle B}$しかし、同じ議論によって${\displaystyle A}$より好ましい${\displaystyle B}$、 そして${\displaystyle C}$より好ましい${\displaystyle A}$いずれの場合も2対1の差で勝利している。したがって、個々の有権者は一貫した選好を持っているにもかかわらず、社会全体の選好は矛盾している。${\displaystyle A}$より好ましい${\displaystyle B}$これは、${\displaystyle C}$これは、${\displaystyle A}$。

この例から、一部の著者はコンドルセがアローの定理の核心を示す直感的な議論を行ったと評価している。^{[ 30 ]}しかし、アローの定理は実際にはもっと一般的で、一人一票の選挙以外の意思決定方法、例えば市場や順位付け投票に基づく加重投票などにも適用される。

させて${\displaystyle A}$選択肢の集合である。有権者の好みは${\displaystyle A}$は完全かつ推移的な 二項関係である。${\displaystyle A}$（全順序とも呼ばれる）つまり部分集合${\displaystyle R}$の${\displaystyle A\times A}$満足：

1. （推移律）もし${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$は${\displaystyle R}$そして${\displaystyle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$は${\displaystyle R}$、 それから${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$は${\displaystyle R}$、
2. （完全性）少なくとも以下のいずれか${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$または${\displaystyle (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}$必ず${\displaystyle R}$。

要素${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$にいる${\displaystyle R}$代替案は${\displaystyle \mathbf {a} }$代替案よりも好ましい、または代替案に無関心である${\displaystyle \mathbf {b} }$この状況はしばしば次のように表現されます。${\displaystyle \mathbf {a} \succsim \mathbf {b} }$または${\displaystyle \mathbf {a} R\mathbf {b} }$対称部分${\displaystyle R}$無差別関係が得られる${\displaystyle I}$これは次のように書かれています。${\displaystyle \mathbf {a} \sim \mathbf {b} }$または${\displaystyle \mathbf {a} I\mathbf {b} }$かつその場合に限り ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$そして${\displaystyle (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}$両方とも${\displaystyle R}$非対称部分${\displaystyle R}$（厳密な）選好関係が得られる${\displaystyle P}$これは次のように書かれています。 ${\displaystyle \mathbf {a} \succ \mathbf {b} }$または${\displaystyle \mathbf {a} P\mathbf {b} }$かつその場合に限り ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$は${\displaystyle R}$そして${\displaystyle (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}$は${\displaystyle R}$以下では、ある選択肢を別の選択肢よりも優先する場合、それは厳密な選好を意味します。

すべての選好の集合をで表す${\displaystyle A}$による${\displaystyle \Pi (A)}$同等に、${\displaystyle \Pi (A)}$は、選択肢の順位の集合です。${\displaystyle A}$上から下へ、同伴可。${\displaystyle N}$は正の整数である。順序（ランク付けされた）社会福祉関数は関数である^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mathrm {F}$ \Pi (A)^{N}\to \Pi (A)}

これは、有権者の好みを単一の好みに集約します。${\displaystyle A}$. アン${\displaystyle N}$-タプル${\displaystyle (R_{1},\ldots ,R_{N})\in \Pi (A)^{N}}$有権者の好みの分布は、選好プロファイルと呼ばれます。

アローの不可能性定理：少なくとも３つの選択肢がある場合、以下の３つの条件すべてを満たす社会厚生関数は存在しない。^{[ 31 ]}

パレート効率性

代替案${\displaystyle \mathbf {a} }$より好ましい${\displaystyle \mathbf {b} }$すべての注文について${\displaystyle R_{1},\ldots ,R_{N}}$、 それから${\displaystyle \mathbf {a} }$より好ましい${\displaystyle \mathbf {b} }$による${\displaystyle F(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{N})}$[ ^{2 ]​}

非独裁

個人は存在しない${\displaystyle i}$常にその好みが優先される。つまり、${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,N\}}$すべての${\displaystyle (R_{1},\ldots ,R_{N})\in \Pi (A)^{N}}$そしてすべて${\displaystyle \mathbf {a} }$そして${\displaystyle \mathbf {b} }$、 いつ${\displaystyle \mathbf {a} }$より好ましい${\displaystyle \mathbf {b} }$による${\displaystyle R_{i}}$それから${\displaystyle \mathbf {a} }$より好ましい${\displaystyle \mathbf {b} }$による${\displaystyle F(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{N})}$[ ^{2 ]​}

無関係な選択肢からの独立性

2つの嗜好プロファイルについて${\displaystyle (R_{1},\ldots ,R_{N})}$そして${\displaystyle (S_{1},\ldots ,S_{N})}$すべての個人に対して${\displaystyle i}$代替案${\displaystyle \mathbf {a} }$そして${\displaystyle \mathbf {b} }$同じ順序で${\displaystyle R_{i}}$例えば${\displaystyle S_{i}}$代替案${\displaystyle \mathbf {a} }$そして${\displaystyle \mathbf {b} }$同じ順序で${\displaystyle F(R_{1},\ldots ,R_{N})}$例えば${\displaystyle F(S_{1},\ldots ,S_{N})}$[ ^{2 ]​}

パレート効率が次の条件に弱められた場合でも、アローの不可能性定理は依然として成り立つ。^{[ 4 ]}

非強制

任意の2つの選択肢aとbに対して、 F ( R ₁ , R ₂ , …, R _N )によってaがbよりも好まれるような選好プロファイルR ₁ , …, R _Nが存在する。

経済学者が最初に研究した方法は、多数決ルール、またはコンドルセ法です。これらのルールは、多数決ルールが自己矛盾する状況（コンドルセサイクルと呼ばれる）にスポイラーを制限し、結果として、順位付けルール間のスポイラー効果の可能性を独自に最小限に抑えます。（実際、多くの異なる社会厚生関数は、このような領域の制約の下でアローの条件を満たすことができます。しかし、そのような制約の下で、アローの基準に準拠する社会厚生関数が存在する場合、コンドルセ法はアローの基準に準拠することが証明されています。 ^{[ 12 ]}）コンドルセは、投票ルールは無関係な選択肢からの独立性と多数決の原則の両方を満たすべきだと考えました。つまり、ほとんどの投票者がアリスをボブより上位にランク付けした場合、アリスは選挙でボブに勝つべきです。 ^{[ 30 ]}

残念ながら、コンドルセが証明したように、この規則は一部の選好プロファイルでは非推移的になる可能性がある。^{[ 38 ]}したがって、コンドルセは、2人の候補者の場合の投票システムが単純多数決と一致するというより強い仮定の下で、アローの不可能性定理の弱い形式をアローよりずっと前に証明した。^{[ 30 ]}

即時決選投票や多数決投票などの複数主義的なルールとは異なり、^{[ 9 ]}コンドルセ方式は、候補者が多数決で選ばれる非周期的な選挙におけるスポイラー効果を回避します。政治学者は、このような周期的な選挙はかなりまれであることを発見しており、実際的な懸念は限定的である可能性を示唆しています。^{[ 14 ]}空間投票モデルもまた、このようなパラドックスはまれである可能性が高いことを示唆しています^{[ 39 ] [ 13 ]}、あるいは存在しない可能性さえあります。^{[ 15 ]}

上記のように、アローの定理の証明は順位付け投票の仮定に大きく依存しており、評価投票システムには適用できません。これらのシステムでは、投票者に候補者を数値尺度（例えば0～10）で評価させ、その後、最も高い平均値（スコア投票の場合）または中央値（段階的多数決判断の場合）を持つ候補者を選出します。^{[ 44 ]： 4～5}これにより、無関係な選択肢の独立性を満たす別の社会的選択手続きを見つける可能性が開かれます。^{[ 45 ]}したがって、アローの定理は、合理的な行動には一貫した基数効用が必要であることを示すハルサニーの功利主義定理やVNM定理などの他の効用表現定理の特殊なケースと考えることができます。^{[ 46 ] [ 47 ]}

アローの定理は段階制システムには適用されないが、ギバードの定理は依然として適用される。投票ゲームは単純明快（つまり、常に最善の単一の明確な戦略を持つ）にはなり得ない。^{[ 48 ]}

上記の実際的な解決策に加えて、アローのIIA要件を満たすことができる、通常とは異なる（実際的ではない）状況も存在する。