コンドルセ法

コンドルセ方式（コンドルセほうしゃ、英: / k ɒ n d ɔːr ˈ s eɪ / ;仏: [kɔ̃dɔʁsɛ]）は、他の候補者と直接対決する選挙で、そのような候補者がいる場合は常に、過半数の票を獲得した候補者を選出する選挙方法である。この特性を持つ候補者、ペアワイズチャンピオンまたは全員勝利者（ beats-all winner）は、正式にはコンドルセ勝者^[1]またはペアワイズ多数決勝者（PMRW）と呼ばれる。^{[2] [3]}直接対決の選挙は別々に行う必要はなく、特定のペア内での投票者の選択はランキングから決定できる。^{[4] [5]}

選挙によっては、有権者の選好が循環的である可能性があるため、コンドルセ勝者が出ないことがある。つまり、2人の候補者による選挙では、どの候補者にも負ける対立候補がいる可能性がある。^[6]このような循環的選好の可能性は、コンドルセのパラドックスとして知られている。しかし、スミス集合と呼ばれる、そのグループに属さないすべての候補者に勝つ候補者の最小グループは常に存在する。スミス集合には、コンドルセ勝者が存在する場合、必ずその候補者が含まれる。多くのコンドルセ方式では、コンドルセ勝者がいない場合にスミス集合に属する候補者が選出されるため、「スミス効率的」であると言われている。^[7]

コンドルセ投票法は、この投票方式を提唱した18世紀フランスの数学者で哲学者のマリー・ジャン・アントワーヌ・ニコラ・カリタ（コンドルセ侯爵）にちなんで名付けられました。しかし、最も古いコンドルセ法は1299年にラモン・リュイによって考案されました。 ^[8]これは、一対一の同点がない場合にはコープランド法と同等でした。^[9]

コンドルセ方式では、優先順位付けされた投票用紙、評価投票用紙、またはすべての候補者ペア間の明示的な投票を使用できます。ほとんどのコンドルセ方式では、1 回の優先順位投票を採用し、各投票者が候補者を最も好む (番号 1 としてマーク) から最も好まない (番号が大きい) まで順位付けします。投票者の順位は、多くの場合、優先順位と呼ばれます。勝者を見つけるために、さまざまな方法で投票を集計できます。すべてのコンドルセ方式では、コンドルセ勝者がいる場合はそのコンドルセ勝者を選択します。コンドルセ勝者がいない場合は、サイクルの場合に、コンドルセ準拠の異なる方法で異なる勝者を選択することができます。コンドルセ方式は、満たす他の基準によって異なります。

ロバーツ議事規則で動議や修正案の投票について示されている手順も、投票者が優先順位を表明して投票しないにもかかわらず、コンドルセ方式である。^[10]投票は複数ラウンド行われ、各ラウンドでは2つの選択肢の間で投票が行われます。ペアリングの敗者（多数決による）は脱落し、ペアリングの勝者は生き残り、後のラウンドで別の選択肢とペアリングされます。最終的に、1つの選択肢だけが残り、それが勝者となります。これは、単独勝者または総当たり戦のトーナメントに似ています。ペアリングの合計数は、選択肢の数より1つ少ないです。コンドルセの勝者は、各ペアリングで多数決により勝つため、ロバーツ規則によって脱落することはありません。しかし、この方法では、コンドルセの勝者が存在せず、多数派が初期の敗者を最終的な勝者よりも好む（ただし、スミス集合の誰かが常に選出される）という投票パラドックスを明らかにすることはできません。社会選択理論に関する文献のかなりの部分は、この方法の特性に関するものです。なぜなら、この方法は広く使用されており、重要な組織 (議会、評議会、委員会など) で使用されているからです。しかし、複数回の投票は有権者、候補者、および政府の管理に多大な費用がかかるため、公選での使用は現実的ではありません。

コンドルセ方式の優先投票形式を使用した候補者 A、B、C 間の競争では、各候補者ペア間で直接対決が行われます。A と B、B と C、C と A です。1 人の候補者が他のすべての候補者よりも優先された場合、その候補者はコンドルセ勝者となり、選挙の勝者となります。

コンドルセのパラドックスの可能性のため、特定の選挙でコンドルセの勝者が存在しない可能性は低いですが、あり得ません^{[11] 。これは}コンドルセサイクルまたは単にサイクルと呼ばれることもあり、石がハサミに勝つ、ハサミが紙に勝つ、紙が石に勝つと考えることができます。さまざまなコンドルセ方式は、このようなサイクルを解決する方法が異なります。（ほとんどの選挙にはサイクルがありません。推定についてはコンドルセのパラドックス#パラドックスの可能性を参照してください。）サイクルがない場合、すべてのコンドルセ方式は同じ候補者を選出し、操作上同等です。

• 各投票者は候補者を優先順位（上から下、または最良から最悪、または1位、2位、3位など）でランク付けします。投票者は候補者を同等としてランク付けしたり、候補者間に無関心（好みではない）を表明したりすることができます。投票者が省略した候補者は、投票者が最下位にランク付けしたものとして扱われる場合があります。^[12]
• 候補者の各ペア（総当たり戦トーナメントなど）について、各候補者が他の候補者より何票多いかを数えます。したがって、各ペアには、多数派の数と少数派の数の2つの合計があります^{[要出典] [13]}（または同点になります）。

ほとんどのコンドルセ方式では、これらのカウントは通常、完全な順位 (つまり、誰が優勝したか、誰が 2 位になったかなど) を決定するのに十分です。これらは常に、コンドルセ優勝者がいるかどうかを判断するのに十分です。

同点の場合は、追加情報が必要になる場合があります。同点とは、過半数を持たない組み合わせの場合もあれば、過半数が同じサイズの場合もあります。投票者が多い場合は、このような同点はほとんどありません。コンドルセ方式の中には、他の種類の同点が発生するものもあります。たとえば、コープランド方式では、コンドルセ勝者がいない場合に、2 人以上の候補者が同じ数のペアを勝ち取ることは珍しくありません。^[要出典]

コンドルセ方式は、常にコンドルセ勝者（存在する場合）を選出する投票システムです。コンドルセ勝者とは、投票者が一度に 1 人の候補者と比較したときに、他の各候補者よりも好む候補者です。この候補者は、他のすべての候補者に勝つ候補者がいるかどうかを確認することで見つけることができます（存在する場合、次の段落を参照）。これは、コープランド方式を使用して、コープランド勝者が可能な限り最高のコープランド スコアを持っているかどうかを確認することで実行できます。また、上記のロバートの議事規則に示されている手順を使用して、一連のペアワイズ比較を実行することでも見つけることができます。N 人の候補者の場合、これにはN − 1 回のペアワイズ仮想選挙が必要です。たとえば、候補者が 5 人いる場合は、比較ごとに候補者が 1 人排除されるため、4 回のペアワイズ比較を行う必要があります。4 回の排除の後、元の 5 人の候補者のうち 1 人だけが残ります。

特定の選挙でコンドルセの勝者が存在することを確認するには、まずロバーツ議事規則の手順を実行し、最後に残った候補者を手順の勝者として宣言し、次に手順の勝者とまだ比較されていない候補者（以前に排除されたすべての候補者を含む）との間で最大N − 2 回の追加ペア比較を実行します。手順の勝者がすべてのペア対戦で勝てない場合、選挙にはコンドルセの勝者は存在しません（したがって、スミス セットには複数の候補者が含まれます）。

すべてのペア比較を計算するには、N人の候補者に対して ½ N ( N −1) のペア比較が必要です。候補者が 10 人の場合、これは 0.5*10*9=45 回の比較を意味し、候補者が多い選挙では投票を数えるのが難しくなる可能性があります。^{[引用が必要]}

コンドルセ法のファミリーは、総称してコンドルセ法とも呼ばれます。コンドルセ勝者がいる場合は常にその勝者を選ぶ投票システムは、選挙学者によってコンドルセ基準を満たすシステムと説明されています。^[14]さらに、投票システムがコンドルセ勝者を選出する場合、その投票システムはコンドルセ一貫性がある、またはコンドルセ一貫性があると考えられます。^[15]

特定の状況では、選挙でコンドルセ勝者が出ないことがある。これは、コンドルセのパラドックスで説明される多数決サイクルと呼ばれる一種の同点の結果として起こる。その後勝者を選ぶ方法は、コンドルセ方式ごとに異なる。コンドルセ方式の中には、以下に説明する基本手順に、コンドルセ補完法を組み合わせたものがあり、コンドルセ勝者がいない場合に勝者を見つけるのにこの方法を使用する。他のコンドルセ方式では、全く異なる集計システムを使用するが、コンドルセ勝者がいる場合はそれでもコンドルセ勝者を選ぶため、コンドルセ方式、またはコンドルセ整合法として分類される。^[15]

全ての単独勝者、順位付け投票システムはコンドルセ方式ではない。例えば、即時決選投票やボルダカウントはコンドルセ方式ではない。^{[15] [16]}

コンドルセ選挙では、投票者は候補者のリストを優先順位に従って順位付けする。順位付け投票が使用される場合、投票者は第一希望に「1」、第二希望に「2」というように付与する。コンドルセ方式の中には、投票者が複数の候補者を同数で順位付けできるものもあり、投票者は第一希望を1人だけではなく2人表明することもある。^[17]採点投票が使用される場合、投票者は、例えばスコア投票で使用されるような尺度で候補者を評価または採点し、評価が高いほど高い選好を示す。^[18]投票者が選好リストをすべて示さない場合、通常、投票者は順位付けした候補者を順位付けしなかったすべての候補者よりも好んでいるものとみなされ、順位付けされなかった候補者間には選好がないものとみなされる。コンドルセ選挙の中には、記名投票が認められているものもある。

カウントは、一連の仮想的な一対一のコンテストで、すべての候補者を他のすべての候補者と対戦させることによって行われます。各ペアの勝者は、投票者の過半数に支持された候補者です。同点にならない限り、選択肢が 2 つしかない場合は常に過半数が存在します。各投票者が支持する候補者は、投票者が投票用紙でペアの中で上位にランク付け (または評価) した候補者とされます。たとえば、アリスがボブとペアになっている場合、アリスをボブより上位にランク付けした投票者の数と、ボブをアリスより上位にランク付けした投票者の数の両方を数える必要があります。アリスの方が多くの投票者に支持されている場合、アリスがそのペアの勝者です。すべての可能な候補者の組み合わせを考慮したとき、これらのコンテストで 1 人の候補者が他のすべての候補者に勝った場合、その候補者はコンドルセの勝者と宣言されます。前述のように、コンドルセの勝者がいない場合は、選挙の勝者を見つけるために別の方法を使用する必要があります。このメカニズムは、コンドルセの一貫した方法ごとに異なります。^[15]スミス優位の選択肢の独立性を満たすコンドルセ法では、そのコンドルセ法の手順を実行する前に、スミス集合を直接の対戦から識別し、その集合に含まれないすべての候補を除外すると役立つ場合があります。

コンドルセ法では、ペアワイズ カウントを使用します。各候補者ペアについて、1 つのペアワイズ カウントは、ペアになっている候補者の一方を他方の候補者よりも好む投票者の数を示し、もう 1 つのペアワイズ カウントは、反対の好みを持つ投票者の数を示します。すべての候補者ペアのカウントは、すべての投票者のペアワイズ プリファレンスをすべてまとめたものです。

ペアワイズカウントは、ペアワイズ比較マトリックス[ ^19]やアウトランキングマトリックス^[20]に表示されることが多く、例えば以下のようになります。これらのマトリックスでは、各行は各候補者を「ランナー」として表し、各列は各候補者を「対戦相手」として表します。行と列の交差点のセルには、それぞれ特定のペアワイズ比較の結果が表示されます。候補者同士を比較するセルは空白のままです。^{[21] [22]}

4人の候補者A、B、C、Dによる選挙があると想像してください。下の最初のマトリックスは、1枚の投票用紙に示された優先順位を記録しており、投票者の優先順位は（B、C、A、D）です。つまり、投票者はBを1位、Cを2位、Aを3位、Dを4位にランク付けしています。マトリックスで「1」は、その候補者が「対立候補」よりも好まれていることを示し、「0」は、その候補者が敗北したことを示します。^{[21] [19]}

上記のような行列を使用すると、選挙の全体的な結果を求めることができます。各投票用紙をこの形式の行列に変換し、行列の加算を使用して他のすべての投票用紙行列に追加することができます。選挙のすべての投票用紙の合計は、合計行列と呼ばれます。架空の選挙で他に 2 人の投票者がいるとします。彼らの好みは (D、A、C、B) と (A、C、B、D) です。最初の投票者に追加すると、これらの投票用紙は次の合計行列になります。

合計マトリックスが見つかると、各候補者ペア間の競争が考慮されます。ランナーの対戦相手に対する投票数 (ランナー、対戦相手) と対戦相手に対するランナー (対戦相手、ランナー) の投票数を比較して、コンドルセ勝者を見つけます。上記の合計マトリックスでは、A が他のすべての候補者に勝っているため、A がコンドルセ勝者です。コンドルセ勝者がいない場合、ランク付けペアやシュルツェ法などのコンドルセ補完法では、合計マトリックスに含まれる情報を使用して勝者を選択します。

上記のマトリックスで「—」とマークされたセルの数値は「0」ですが、候補者が自分自身より優先されることはないため、ダッシュが使用されています。1 票を表す最初のマトリックスは、逆対称です。つまり、(ランナー、対立候補) は ¬(対立候補、ランナー) です。または、(ランナー、対立候補) + (対立候補、ランナー) = 1 です。合計マトリックスには、N 人の投票者に対して、(ランナー、対立候補) + (対立候補、ランナー) = N という特性があります (すべてのランナーが各投票者によって完全にランク付けされている場合)。

テネシー州が州都の場所を決める選挙を行っているとします。人口は 4 つの主要都市に集中しています。すべての有権者は州都ができるだけ近くにあることを望んでいます。選択肢は次のとおりです。

• メンフィスは最大の都市だが、他の都市からは遠い（投票者の42％）
• 州の中心に近いナッシュビル（有権者の26%）
• チャタヌーガ、やや東（有権者の15％）
• ノックスビル、はるか北東（投票者の17％）

各地域の有権者の好みは次のとおりです。

コンドルセの勝者を見つけるには、一連の架空の一対一の対決で、すべての候補者を他のすべての候補者と対戦させる必要があります。各対決で、勝者は投票者の過半数に支持された候補者です。すべての可能な対決の結果が判明すると、次のようになります。

結果はマトリックス形式で表示することもできます。

上記の両方の表からわかるように、ナッシュビルは他のすべての候補者に勝っています。これは、ナッシュビルがコンドルセ方式の勝者になることを意味します。したがって、ナッシュビルは、どのようなコンドルセ方式で行われた選挙でも勝利するでしょう。

どのようなコンドルセ方式でもナッシュビルが勝者となるが、同じ投票に基づく選挙を小選挙区制または決選投票方式で実施した場合、これらの方式ではそれぞれメンフィス^{[脚注 1]}とノックスビル^{[脚注 2]}が選ばれる。ほとんどの人がこれらの「勝者」のどちらよりもナッシュビルを好んだにもかかわらず、このような結果になる。コンドルセ方式では、これらの好みを無視したり捨てたりするのではなく、明確にする。

一方、この例では、チャタヌーガはノックスビルとメンフィスと対決した際にもこれらの都市に勝利しています。優先順位を定義する基準を変更し、メンフィスの有権者がチャタヌーガを第 3 の選択肢ではなく第 2 の選択肢として好んだと判断すると、チャタヌーガは小選挙区制で最下位になったとしてもコンドルセの勝者となります。

この例について別の考え方をすると、ISDA を通過するスミス効率的コンドルセ法を使用して勝者を決定する場合、投票者の 58%、相互多数がメンフィスを最下位にランク付けし (メンフィスが多数決で敗者になる)、ナッシュビル、チャタヌーガ、ノックスビルがメンフィスより上位にランク付けされ、メンフィスが除外されることになります。その時点で、メンフィスを第 1 希望として選んだ投票者は、ナッシュビル、チャタヌーガ、ノックスビルの中から勝者を選ぶことしかできず、彼ら全員がこの 3 つの中でナッシュビルを第 1 希望として選んだため、ナッシュビルは残りの候補の中で第 1 希望の 68% の過半数を獲得し、多数決で第 1 希望として勝利したことになります。

上で述べたように、選挙でコンドルセ勝者が出ない場合があります。これは、他のすべての候補者よりも投票者に好まれる候補者がいないためです。このような状況は、「コンドルセ サイクル」、「多数決サイクル」、「循環的曖昧性」、「循環的同点」、「コンドルセ パラドックス」、または単に「サイクル」と呼ばれます。この状況は、すべての投票が集計された後、一部の候補者に関する投票者の好みが、すべての候補者が少なくとも 1 人の他の候補者に負けるという循環を形成するときに発生します (非推移性)。

たとえば、候補者グー、候補者チョキ、候補者パーの3 人の候補者がいる場合、投票者が候補者グーを候補者チョキより、チョキをパーより好み、かつ候補者パーをグーより好むなら、コンドルセ法の勝者はいない。選挙が行われる状況によって、循環的曖昧性は一般的である場合もそうでない場合もあるが、順位付け投票による政府選挙で、順位付け投票の記録から循環的曖昧性が明らかになった例は知られていない。とはいえ、循環は常に起こり得るため、すべてのコンドルセ法は、この偶発性が発生した場合に勝者を決定できるはずである。曖昧さを解決するメカニズムは、曖昧さ解決、循環解決法、またはコンドルセ補完法として知られている。

循環的曖昧性は、投票パラドックスの結果として生じます。つまり、すべての個々の投票者が推移的な選好を表明したにもかかわらず、選挙の結果が非推移的 (循環を形成する) になる可能性があるということです。コンドルセ選挙では、投票者はすべての候補者を最上位から最下位まで順番にランク付けする必要があり、各候補者を 1 回しかランク付けできないため、1 人の投票者の選好が循環的になることは不可能ですが、投票のパラドックスにより、投票者の集計に循環的曖昧性が生じる可能性が依然としてあります。

政治的スペクトルの理想的な概念は、政治候補者や政策を説明する際によく使用されます。この種のスペクトルが存在し、有権者がスペクトル上の自分の立場に最も近い候補者を好む場合、コンドルセ勝者が存在します (ブラックの単一ピーク性定理)。

コンドルセ方式では、ほとんどの選挙制度と同様に、通常の同点の可能性もあります。これは、2 人以上の候補者が同点になり、他のすべての候補者に勝った場合に発生します。他の制度と同様に、くじ引きなどのランダムな方法で解決できます。同点の場合は、同点の勝者のうちどの候補者が第一候補票を最も多く獲得したかを確認するなどの他の方法でも解決できますが、この方法や他のランダムでない方法では、特に選挙戦が接戦になることが有権者にわかっている場合は、ある程度の戦略的投票が再び導入される可能性があります。

循環的な曖昧さを解決するために使用される方法は、さまざまなコンドルセ法の主な違いです。これを行う方法は無数にありますが、すべてのコンドルセ法では、少なくともいくつかのペアワイズマッチングで投票者が表明した多数派を無視します。一部のサイクル解決方法はスミス効率的であり、つまりスミス基準を満たしています。これにより、サイクルがある場合（ペアワイズタイがない場合）、サイクル内の候補者のみが勝つことができ、相互多数派がある場合は、彼らが推奨する候補者の1人が勝つことが保証されます。

コンドルセ法は次の 2 つのカテゴリに分類されます。

• 2つの方法のシステムでは、コンドルセ勝者がいないケースを別の方法で処理します。
• 単一メソッドシステムでは、特別な処理を必要とせず、常にコンドルセ勝者を勝者として特定する単一のメソッドを使用します。

多くの 1 手法システムと一部の 2 手法システムでは、同順位の候補者が 4 人未満で、すべての投票者がそれらの候補者のうち少なくとも 2 人を個別にランク付けした場合、互いに同じ結果になります。これには、スミス ミニマックス (ミニマックスですが、スミス セットに含まれないすべての候補者が排除された後にのみ行われます)、ランク付けペア、およびシュルツが含まれます。たとえば、コンドルセ サイクルでスミス セットに 3 人の候補者がいる場合、シュルツとランク付けペアはISDA を通過するため、スミス セットに含まれないすべての候補者を最初に排除でき、次にシュルツの場合、3 人のうち最も弱い敗北を削除することで、その最も弱い敗北をした候補者だけが他のすべての候補者に勝つか同点にできる候補者になります。一方、ランク付けペアでは、最初の 2 つの最も強い敗北が確定すると、最も弱い敗北は確定できません。これは、サイクルが作成されるためであり、最も弱い敗北をした候補者には、その候補者に対する敗北が確定しないためです。

コンドルセ法の 1 つのファミリーは、最初に一連のペアワイズ比較を実行し、コンドルセ勝者がいない場合は、まったく異なる非コンドルセ法にフォールバックして勝者を決定するシステムで構成されています。最も単純なフォールバック法では、ペアワイズ比較の結果を完全に無視します。たとえば、ブラック法では、コンドルセ勝者が存在する場合はそれを選択しますが、サイクルがある場合は代わりにボルダカウントを使用します(この方法は、ダンカン ブラックにちなんで名付けられました)。

より洗練された2段階のプロセスは、サイクルが発生した場合に、勝者を見つけるために別の投票システムを使用するが、この2番目の段階を、ペアワイズ比較の結果を精査して見つかった候補者の特定のサブセットに制限することです。この目的で使用されるセットは、コンドルセ勝者がいる場合は常にその勝者のみを含み、いずれの場合も少なくとも1人の候補者を含むように定義されます。このようなセットには、

• スミス集合: 特定の選挙における候補者の最小の空でない集合で、集合内のすべての候補者が集合外のすべての候補者に勝つことができるもの。各選挙に対してスミス集合は 1 つしか存在しないことは簡単に示されます。
• シュワルツ集合: これは最も内側の無敗集合であり、通常はスミス集合と同じです。これは、すべての可能な候補集合の和集合として定義され、すべての集合に対して次のようになります。
  1. セット内のすべての候補者は、セット外の他のどの候補者からもペアで負けません (つまり、同点が許可されます)。
  2. 集合の適切な（より小さい）部分集合は、最初の特性を満たしません。
• ランドー集合、非被覆集合、またはフィッシュバーン集合: 各メンバーが、他のすべての候補者 (集合内の候補者を含む) に対して、この候補者に勝つか、メンバーに負けていない候補者に勝つ 3 番目の候補者に勝つかのいずれかになる候補者の集合。

1 つの方法としては、即時決選投票をさまざまな方法で適用すること (スミス セットの候補者など) があります。この方法の 1 つのバリエーションは「スミス/IRV」と呼ばれ、もう 1 つはタイドマンの代替方法です。また、「スミス/承認」を行うことも可能で、投票者が候補者をランク付けし、どの候補者を承認するかを示すことで、スミス セットで最も多くの投票者が承認した候補者が勝利します。これは、承認しきい値を使用して行われることが多いです (つまり、投票者が 3 番目の選択肢を承認した場合、それらの投票者は自動的に 1 番目と 2 番目の選択肢も承認したと見なされます)。スミス/スコアでは、スミス セットで最も高い合計スコアを持つ候補者が勝利し、どの候補者が他の候補者よりも高いスコアを獲得したかに基づいてペアワイズ比較が行われます。

一部のコンドルセ法では、コンドルセ基準を本質的に満たす単一の手順を使用し、追加の手順なしで、循環的な曖昧さが発生した場合にも解決します。言い換えると、これらの方法では、異なる状況に対して別々の手順を使用することはありません。通常、これらの方法は、ペアワイズ カウントに基づいて計算を行います。これらの方法には、次のものがあります。

• コープランド法: この単純な方法では、最も多くのペアワイズマッチングに勝った候補者を選出します。ただし、同点になることがよくあります。
• Kemeny–Young 法: この方法では、すべての選択肢を最も人気のあるものから 2 番目に人気のあるものまで、最も人気のないものまでランク付けします。
• ミニマックス:シンプソン法、シンプソン・クレイマー法、シンプル・コンドルセ法とも呼ばれるこの方法では、最悪のペアワイズ敗北が他のすべての候補者の敗北よりも優れている候補者を選択します。この方法の改良版では、スミス集合の中から勝者を選択するように制限します。これは、スミス/ミニマックス法と呼ばれています。
• ナンソン法とボールドウィン法は、ボルダカウントとインスタントランオフ手順を組み合わせたものです。
• ドジソン法は、コンドルセ勝者が見つかるまで候補を入れ替えることによりコンドルセ法を拡張します。勝者とは、交換回数が最小となる候補です。
• ランク付けペアは、ペアワイズ選好グラフの各サイクルを、サイクル内の最も弱い多数派を削除することによって分割し、候補者の完全なランキングを生成します。この方法は、発明者であるニコラウス・タイドマンにちなんで、タイドマンとも呼ばれています。
• Schulze 法は、勝者が明確に定義されるまで、ペアワイズ選好グラフ内の最も弱い多数派を繰り返しドロップします。この方法は、Schwartz 順次ドロップ(SSD)、クローンプルーフ Schwartz 順次ドロップ(CSSD)、ビートパス法、ビートパス勝者、パス投票、パス勝者とも呼ばれます。
• スミス スコアは、スミス セットからスコア投票の勝者を選出する評価投票方法です。

ランク付けペアとシュルツェは、ある意味では手順的に反対のアプローチです (ただし、非常に頻繁に同じ結果が得られます)。

• ランク付けされたペア（およびそのバリエーション）は、最も強い敗北から始まり、曖昧さを生じさせずにできるだけ多くの情報を使用します。
• シュルツェは曖昧さがなくなるまで、最も弱い敗北を繰り返し排除します。

ミニマックスは、敗北を除外する代わりに、最も強い敗北を見て候補者を即座に除外すると考えられるため、これらのアプローチのどちらよりも「率直」であると考えられます (ただし、その後の候補者の除外では、それらの勝利は考慮されます)。敗北の除外という観点から考える 1 つの方法は、ミニマックスが各候補者の最も弱い敗北を除外し、ペアワイズ同点の候補者のグループに敗北がなくなるまで、その時点でグループが勝利するということです。^{[引用が必要]}

Kemeny-Young 法では、どの選択肢が最も人気があるか、どの選択肢が 2 番目に人気があるか、そしてどの選択肢が最も人気がないかについて、あらゆる選択肢のシーケンスを検討します。各シーケンスには、指定されたシーケンスに適用されるペアワイズ カウントの合計に等しい Kemeny スコアが関連付けられます。最高スコアのシーケンスは、最も人気のあるものから最も人気のないものまでの全体的なランキングとして識別されます。

ペアワイズカウントが、選択肢が最も人気があるもの (上部と左側) から最も人気がないもの (下部と右側) の順に並ぶマトリックスに配置される場合、勝利した Kemeny スコアは、マトリックスの右上の三角形の半分 (ここでは緑色の背景に太字で表示) のカウントの合計に等しくなります。

この例では、ナッシュビル > チャタヌーガ > ノックスビル > メンフィスのシーケンスの Kemeny スコアは 393 になります。

選択肢がいくつかある場合、すべての Kemeny スコアを計算するにはかなりの計算時間が必要です。ただし、整数計画法に基づく高速計算方法を使用すると、選択肢が 40 個もある場合でも数秒で計算できます。

順位は、（ペアごとの）多数派を一度に 1 つずつ、最大の多数派から最小の多数派まで考慮して、一度に 1 つずつ構築されます。各多数派について、下位の候補者が上位の候補者よりも既に上位の候補者よりも上に配置されている場合を除き、上位の候補者が（部分的に構築された）順位で下位の候補者よりも上に配置されます。

たとえば、投票者の優先順位が、75% が B を C より上に、65% が A を B より上に、60% が C を A より上にランク付けしているとします (3 つの多数派はじゃんけんのサイクルです)。ランク付けされたペアは、B を C より上にランク付けする最大の多数派から始まり、B を C より上にランク付けします。次に、A を B より上にランク付けする 2 番目に大きい多数派を考慮し、A を B より上にランク付けします。この時点で、A は B より前に、B は C より前にランク付けされることが確定しており、これは A も C より前にランク付けされることを意味します。したがって、ランク付けされたペアが C を A より上にランク付けする 3 番目に大きい多数派を考慮すると、下位の候補者 A は上位の候補者 C より前に既にランク付けされているため、C は A より前にランク付けされません。ランク付けは「A、B、C」となり、A が勝者となります。

同等の定義は、最大の逆転多数決のサイズを最小にする順位を見つけることです。(「辞書式順序」の意味で。2 つの順位で逆転した最大の多数決が同じ場合、2 つの順位は 2 番目に大きい逆転多数決で比較されます。辞書式順序の記事の「動機と使用法」セクションの MinMax、MinLexMax、および Ranked Pairs の説明を参照してください。) (例では、順位「A、B、C」は、C を A より上位にランク付けする 60% を逆転します。その他の順位では、より大きな多数決が逆転します。) この定義は、Ranked Pairs の特性の証明の一部を簡略化するために役立ちますが、「構成的」定義の方がはるかに高速に実行されます (小さな多項式時間)。

シュルツェ法では、次のように投票を解決します。

各段階では、次のように進めます。

1. ドロップされていない候補 X と Y の各ペアについて: 候補 X から候補 Y へのドロップされていないリンクの有向パスがある場合は、「X → Y」と記述します。それ以外の場合は、「X → Y ではない」と記述します。
2. 削除されていない候補 V と W の各ペアについて: 「V → W」かつ「W → V ではない」場合、候補 W は削除され、候補 W で始まるまたは候補 W で終わるすべてのリンクが削除されます。
3. 最も弱い未ドロップのリンクがドロップされます。複数の未ドロップのリンクが最も弱いと同数になった場合は、それらすべてがドロップされます。

すべてのリンクが削除されると手順は終了し、削除されなかった候補が勝者となります。

言い換えれば、この手順では、残った票数によって明確な決定が下されるまで、上位セット内の最も弱いペアワイズ敗北を繰り返し破棄します。

ミニマックス法、ランク付けペア法、シュルツェ法などのペアワイズ法では、敗北の相対的な強さに基づいて循環的な曖昧さを解決します。各敗北の強さを測定する方法はいくつかあり、その中には「勝利票」と「マージン」を考慮する方法が含まれます。

• 勝利票: 敗北したチームの勝利側の票数。
• 得票差：敗北した側の勝利票数から敗北した側の勝利票数を引いた数。^[23]

有権者がすべての候補者に対する好みを順位付けしない場合、これら 2 つのアプローチは異なる結果をもたらす可能性があります。たとえば、次の選挙を考えてみましょう。

ペアごとの敗北は次のとおりです。

• B が A に 55 対 45 で勝利 (55 票が勝利、10 票の差)
• A が C に 45 対 44 で勝利 (勝利票 45 票、差 1 票)
• C が B に 29 対 26 で勝利 (29 票獲得、3 票差)

勝利票による敗北の強さの定義を使用すると、C による B の敗北が最も弱く、B による A の敗北が最も強くなります。マージンによる敗北の強さの定義を使用すると、A による C の敗北が最も弱く、B による A の敗北が最も強くなります。

敗北の強さの定義として勝利票数を使用すると、候補者 B はミニマックス法、ランク付けペア法、およびシュルツ法で勝利しますが、敗北の強さの定義としてマージンを使用すると、同じ方法で候補者 C が勝利します。

すべての投票者が候補者の順位付けを完全に行うと、得票数と得票差は常に同じ結果になります。両者の違いが影響するのは、一部の投票者が候補者間で同等の好みを宣言した場合のみです。これは、上記の例のように、すべての候補者を順位付けしない場合に暗黙的に発生します。

マージンと勝利票の選択は、学術的な議論の対象です。すべてのコンドルセ方式では、コンドルセ勝者が存在する場合は常にその勝者を選択するため、方法の違いは循環的曖昧性の解決が必要な場合にのみ現れます。勝利票を使用するという議論は、次のことから生じます。循環的曖昧性の解決には、選択した票の権利剥奪が含まれるため、選択によって権利剥奪される票数は最小限に抑える必要があります。マージンを使用すると、2 人の候補者の票数の差は小さいかもしれませんが、票数は非常に大きくなるか、または小さくなる可能性があります。勝利票を使用する方法のみが、ウッドオールの多数決基準を満たします。

マージンの使用を支持する議論は、一対比較の結果は、一方の側が他方の側よりも多くの票を持っているかどうかで決まるため、勝者のこの「余剰」によって比較の強さを評価するのが自然であるという事実です。そうでなければ、勝者から敗者にほんの数票変更するだけで、一方の側の大きなスコアからもう一方の側の大きなスコアに突然大きな変化が生じる可能性があります。言い換えれば、勝者票による曖昧さの解決に関しては、敗者票は実際には権利を剥奪されていると考えることができます。また、勝者票を使用すると、同点を含む票 (不完全なランク付けの投票の場合は暗黙的に) は、マージンとは異なり、合計重みが 1 票に等しい均等に重み付けされた票の数と同じ効果はありません。これにより、同点はあらゆる方法で破られます (Woodall の対称的完全性基準に違反)。

勝利投票では、さらに 2 人の「B」投票者が「BC」に投票することに決めた場合、サイクルの A->C アームが覆され、コンドルセは B ではなく C を選択します。これは、「Unburying」または「Later does harm」の例です。マージン方式では、いずれにしても C を選択します。

マージン方式では、さらに 3 人の「BC」投票者が「B」に投票するだけで C を「埋める」ことを決定した場合、サイクルの A->C アームが強化され、解決戦略によって最終的に C->B アームが破壊され、B が勝利することになります。これは「埋める」の例です。勝利投票方式では、いずれにしても B が選択されます。

コンドルセ法に関連するその他の用語は次のとおりです。

コンドルセの敗者

^[要出典]ペアワイズ対決において他のどの候補者よりも支持率が低い候補者（他のどの候補者よりも支持率が低い候補者）。

弱いコンドルセ勝者

^[要出典]ペアワイズ対決で他のすべての候補者に勝つか同点の候補者（他のどの候補者よりも少なくとも同数の有権者に支持されている候補者）。弱いコンドルセ勝者は複数存在する可能性がある。^[24]

弱いコンドルセの敗者

^[要出典]ペアごとの対戦で他のすべての候補者に負けるか同点になる候補者。同様に、弱いコンドルセ敗者も複数存在する可能性がある。

改良されたコンドルセ優勝者

^[要出典]改良コンドルセ法では、候補者が同点の投票を処理するためのペア比較の追加ルールが導入されているため、ペアの勝利は、同点の投票が特定の優先順位に切り替わることで変更されることはありません。改良コンドルセ法における強力な改良コンドルセ勝者は、強力なコンドルセ勝者でもありますが、その逆は成り立ちません。上位同点法では、候補者が投票用紙の上位で同点となった投票の数が、2 人の候補者間の勝利マージンから差し引かれます。これにより、ペア比較グラフに同点が多くなりますが、この方法では本命裏切り基準を満たすことができます。

一部のコンドルセ法では、勝者 1 人だけではなく、1 位から最下位までのすべての候補者のランキングが作成されます。コンドルセ ランキングは、コンドルセ勝者 (存在する場合) が最初になり、コンドルセ敗者 (存在する場合) が最後になるという特性を持つ候補者のリストであり、この特性は、その間にランク付けされている候補者にも再帰的に当てはまります。

この特性を満たす単一勝者法には次のものがあります:

• コープランド法
• ケメニー・ヤング法
• ランク付けされたペア
• シュルツェ法

この特性を満たす比例形式には以下のものがあります。

• CPO-STV
• シュルツェSTV

コンドルセの勝者や敗者は必ず存在するわけではないが、スミス集合と「スミス敗者集合」（直接対決で集合に含まれないすべての候補者に負ける候補者の最小グループ）は常に存在する。投票方法によっては、スミス集合のすべての候補者を他のすべての候補者より上に、スミス敗者集合のすべての候補者を他のすべての候補者より下に並べるランキングを生成するものがあり、このことはそれらの中間にランク付けされたすべての候補者に再帰的に当てはまる。本質的には、候補者を2つのグループに分けることができ、第1グループのすべての候補者が第2グループのすべての候補者を直接対決で打ち負かす場合、第1グループのすべての候補者が第2グループのすべての候補者より上位にランク付けされることが保証される。^[25]スミス集合とスミス敗者集合は、存在する場合コンドルセの勝者とコンドルセの敗者と同等であるため、スミス集合のランキングを常に生成する方法は、コンドルセのランキングも常に生成する。

即時決選投票（IRV）の支持者の多くは、第一候補が勝てなければ第二候補に票が渡り、第二候補が勝てなければ第三候補に票が渡される、などという考えに惹かれています。これは完璧に聞こえますが、IRVのすべての投票者に当てはまるわけではありません。誰かが有力な候補者に投票し、第一候補が敗退する前に第二候補と第三候補が敗退した場合、IRVでは第二候補ではなく第四候補に票が渡ります。コンドルセ投票ではすべての順位が同時に考慮されますが、後になっても害がないという基準と後になっても役に立たないという基準に違反することになります。IRVでは、第二候補を示しても第一候補に影響することはありません。コンドルセ投票では、第二候補を示すと第一候補が敗退する可能性があります。

多数決は単純で、理論的には、有権者が勝てない候補者に票を投じるのではなく、中道派の候補者に妥協する動機となる。多数決に反対する人々は、有権者がニュースでその2人だけが勝つ可能性があると聞いたため、よりましな候補者に投票することが多いと指摘する。必ずしもその2人が自然な妥協点だからというわけではない。これはメディアに大きな選挙権を与える。そして、有権者がメディアに従って妥協した場合、選挙後の集計は次回メディアが正しかったことを証明するだろう。コンドルセは各候補者を他の候補者と直接対決させ、有権者が投票しなければならないと思っていた候補者ではなく、最も誠実な決選投票で勝つ候補者を選ぶようにする。

上記の例のように、即時決選投票と「小選挙区制」の両方でコンドルセ勝者を選出できない状況があります。(実際、FPTP ではコンドルセの敗者を選出でき、IRV では 2 番目に悪い候補者を選出できますが、その候補者はコンドルセの敗者以外のすべての候補者に負けます。^[26] ) コンドルセ勝者がいて、IRV がそれを選ばない場合、定義上、多数派は IRV 勝者よりもコンドルセ勝者を好むでしょう。コンドルセ基準の支持者は、これを選挙制度を選択する際の主要な問題と見なしています。彼らは、コンドルセ基準を多数決の自然な延長と見なしています。コンドルセ方式は、中間層の有権者にアピールする中道派の候補者の選出を促す傾向があります。以下は、コンドルセを犠牲にして IRV をサポートするように設計された例です。

B は、501 対 499 の多数決で A より、502 対 498 の多数決で C より支持されています。したがって、コンドルセ基準によれば、B を 1 位に挙げる投票者はほとんどいないにもかかわらず、B が勝つはずです。対照的に、IRV は C を選択し、多数決は A を選択します。順位付け投票システムの目標は、投票者が誠実に投票し、システムが自分の意思を守ると信頼できるようにすることです。多数決投票では、投票者は投票前にすべての戦術を実行することを強いられるため、システムは投票者の意思を把握する必要がありません。

2 つの政党が強い支持を得て、弱い支持を得た政党がコンドルセ選挙で勝利するというこのシナリオの重要性は、多数決投票システムでは一般的なモードであるため誤解を招く可能性があります (デュヴェルジェの法則を参照)。しかし、多数決投票とは異なり、多数の有権者を遠ざける候補者を罰するコンドルセ選挙や IRV 選挙で発生する可能性ははるかに低くなります。

以下は、IRV を犠牲にして Condorcet をサポートするように設計された例です。

一対一の選挙では、B は A または C に対して 65 対 35 以上の差で勝利するが、IRV はまず B を排除し、より「極端な」候補者である A と C の間の争いを残す。多数決投票の支持者は、このシステムは他のどのシステムよりも単純で、理解しやすいと主張している。

これら 3 つのシステムはすべて戦略的投票の影響を受けますが、使用される戦術の種類と戦略的インセンティブの頻度は各方法で異なります。

他の投票方法と同様に、^{[27]コンドルセ方式は}妥協に対して脆弱である。つまり、有権者は、より好ましい候補者の投票順位を不誠実に上げることで、あまり好ましくない候補者の当選を避けることができる。しかし、コンドルセ方式が妥協に対して脆弱なのは、多数決サイクルが存在する場合、またはそれを作り出すことができる場合のみである。^[28]

コンドルセ方式は、埋没に対して脆弱です。選挙によっては、投票者は、自分の投票用紙であまり好まれていない候補者の順位を不誠実に下げることで、より好まれている候補者を助けてしまうことがあります。たとえば、候補者が 3 人いる選挙では、投票者は 2 番目に選んだ候補者を偽って、自分の好む候補者が勝てるようにできる場合があります。

シュルツェ法の例:

• B は誠実なコンドルセの勝者です。しかし、A は最多票を獲得し、ほぼ過半数を占め、A と B で投票者の 90% の相互過半数を形成しているため、A は、B を C で埋めるように A の有権者に公に指示することで (下記 * を参照)、B 上位の有権者の第 2 候補の支持を利用して選挙に勝つことができます。B が公の指示を聞いた後、A を C で埋めることでお返しをすれば、C が選出され、この脅しは A が自分の戦術を推し進めるのを阻止するのに十分かもしれません。B が取れる他の手段は、A がその戦術を提案した倫理を攻撃し、すべての有権者に誠実に投票するよう呼びかけることです。これはチキン ジレンマの例です。

• B は前と同じように A に 8 勝っており、A は前と同じように C に 82 勝っていますが、今度はC が B に 12 勝っており、1 より大きいスミス集合を形成しています。シュルツ法でも A が選択されます。A が B に勝つパスの強さは 82 と 12 の小さい方、つまり 12 です。B が A に勝つパスの強さは 8 のみで、12 より小さいため、A が勝ちます。B 投票者は A の公示に対して何もできず、C 投票者は B がそれに応えてくれることを期待するか、A が十分に気に入らない場合は B への妥協投票を検討するだけです。

この潜在的な問題を示すコンドルセ方式の支持者は、選挙前の世論調査は多数決投票で最も必要であり、優先順位投票を武器にした有権者は選挙前の世論調査員に嘘をつく可能性があり、候補者Aが埋葬するかどうか、またどのように埋葬するかを知ることは不可能であると指摘して、この懸念に反論することができる。また、Aの支持者の何人が実際に指示に従うのか、そしてシステムを操作しようとするこのような明らかな試みによって何人が疎外されるのかを事前に予測することはほぼ不可能である。

• 上記の例では、C の有権者が A とともに B を埋葬すると、B ではなく A が選出されます。C の有権者は A よりも B を好むため、埋葬を試みることで損害を受けるのは C の有権者だけです。1 人の候補者が最多票を獲得し、過半数に近い票数を獲得している最初の例を除いて、シュルツ方式は埋葬に対して非常に耐性があります。

選挙制度の研究者は、数学的に定義された投票制度基準を使用して選挙制度を比較することがよくあります。コンドルセ方式が満たす基準は、コンドルセ方式ごとに異なります。ただし、コンドルセ基準は多数決基準を意味するため、無関係な選択肢の独立性とは両立しません（ただし、基準のより弱い類似形式を意味します。コンドルセ勝者がいる場合、負けた候補者は結果を変えることなく選挙から脱落できます）、^[29] 後で害がない、参加基準、および一貫性基準。

コンドルセ方式は現在、世界中の政府選挙で使用されているとは知られていないが、ナンソン方式として知られるコンドルセ方式は、1920年代に米国ミシガン州マルケット市の市議会選挙で使用され、 ^[30]今日では多くの政党や民間団体でコンドルセ方式が使用されている。

バーモント州では、法案 H.424 ^[31]により、町、市、村が町会議での多数決により、小選挙区選挙にコンドルセ方式の投票システムを採用できるようになります。このシステムでは、まず第一候補の多数決勝者がいるかどうかを確認します。多数決勝者がいない場合は、コンドルセのペア比較がカウントされ、コンドルセ勝者が選出されます。多数決勝者がいない場合は、小選挙区制のタイブレーカーに頼ります。このシステムは、一度採用されると、コミュニティがその後の町会議の投票で以前の方法または別のシステムに戻すことを決定するまで有効です。

現在コンドルセ方式の何らかのバリエーションを使用している組織は次のとおりです。

• ウィキメディア財団は、 2013年までシュルツ方式を使用して理事会を選出していましたが、その後、支持/中立/反対の投票による評価投票に切り替えました。 ^[32]
• スウェーデン海賊党は予備選挙にシュルツ方式を採用している
• ワシントンのリバタリアン党は、他のシステムに加えてコンドルセ方式を認めている^[33]
• Debianプロジェクトは、内部の国民投票とリーダーの選出にシュルツ方式を採用している。
• 公益法人ソフトウェアは、内部投票と取締役会の選出にシュルツ方式を採用している。
• Gentoo財団は、内部の国民投票や理事会と評議会の選出にシュルツェ方式を採用している。
• フリーステートプロジェクトは、目標状態の選択にミニマックスを使用した。
• Usenetのuk .*階層
• 緩やかな連携を持つ学生住宅協同組合であるキングマンホールとヒレガスパーカーハウスは、それぞれシュルツ方式を使用して管理チームを選出しています。
• Kubernetesコミュニティは、Elekto によるSchulze メソッドの実装を使用しています。
• ボールドウィンの方法は1864年頃にトリニティ・カレッジ弁証法協会で使用されていました。^[34]

Schulzeメソッドの記事には、そのメソッドを使用するユーザーのリストがさらに詳しく記載されています。

• コンドルセ敗者基準
• コンドルセの陪審定理
• ラモン・リュイ（1232年 - 1315年）は、2001年に失われた写本『アルス・ノタンディ』、『アルス・エレクシオニス』 、『アリア・アルス・エレクシオニス』が発見され、13世紀にボルダ伯爵とコンドルセ基準（リュイ勝者）を発見した人物として評価された。
• 複数勝者投票- コンドルセ法の複数の勝者変種に関する情報が含まれています。

• ブラック、ダンカン（1958年）。委員会と選挙の理論。ケンブリッジ大学出版局。
• ファーカーソン、ロビン（1969）。投票理論。オックスフォード。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• セン、アマルティア・クマール（1970）。集団選択と社会福祉。ホールデン・デイ。ISBN 978-0-8162-7765-0。

• ジョンソン、ポール E、投票システム(PDF)、無料教員、 2015 年 6 月 27 日取得。
• ランフィア、ロバート「ロブ」、コンドルセの方法。
• ロリング、ロバート・「ロブ」、正確な民主主義、2004年10月30日にオリジナルからアーカイブ、2004年11月2日に取得。
• マッキノン、ロン、コンドルセ・カナダ・イニシアティブ、CA 、 2019-01-08取得カナダの観点から見たコンドルセ法とランク付けペアの複数ページにわたる説明。
• Perez, Joaquin、「強い無断欠席のパラドックスはコンドルセ投票対応における一般的な欠陥である」(PDF) 、ES: UAH、 2016-03-03 にオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2015-06-27 に取得。
• プラバカール、アーネスト (2010-06-28)、最大多数決（コンドルセ方式）、急進的中道主義、 2015-06-27取得。
• シュルツェ、マルクス、新しい単調、クローン独立、反転対称、コンドルセ整合の単一勝者選挙法(PDF)。

• BipartiVox (超党派/範囲方式を使用した無料かつシンプルなオンラインコンドルセ投票)。
• CIVS、コンドルセ法を使った無料のウェブ投票サービス、コーネル。
• Condorcet PHP (複数の Condorcet メソッドなどを計算するためのオープンソースのコマンドライン アプリケーションとPHP ライブラリ)、2021 年 10 月 22 日。
• 優先順位投票（ Moodle用オープンソースプラグイン）、Odei Alba、2023 年 6 月 2 日
• Condorcet.Vote (オリジナルの Condorcet メソッドや Schulze メソッドなどの他のメソッドを使用する無料の Web 投票アプリケーション)
• DEbian VOTe EnginE (Schulze メソッドを使用したフリー ソフトウェア投票エンジン)
• ゴア、エリック、コンドルセ投票計算機。
• Hivemind (コンドルセ方式を使用する順位選択投票用の無料モバイル アプリ)。
• STV (コンドルセ法と STV を計算するためのソフトウェア)、Sourceforge。
• VoteFair調査（コンドルセ・ケメニーの結果を計算する無料のランキングサービス）、VoteFair
• VoteFair ランキング (コンドルセ・ケメニーの結果を計算するオープンソースの C++ 選挙ソフトウェア)、VoteFair、2021 年 9 月 25 日
• wcs (投票アルゴリズムに OpenSTV を使用した無料の Web 投票アプリケーション)、Entr'ouvert