信念の集約

信念集約[ ^1]はリスク集約^{[2] 、} 意見集約^[3]、確率的意見プーリング^[4]とも呼ばれ、異なる専門家によって生成された異なる確率分布を組み合わせて単一の確率分布を生成するプロセスです。

専門家の意見は不確実な場合が多い。例えば「明日は雨が降る」と言う代わりに、天気予報の専門家は「70% の確率で雨が降り、30% の確率で晴れる」と言うかもしれない。このような発言は信念と呼ばれる。専門家によって信念は異なる。例えば、天気予報の専門家は「60% の確率で雨が降り、40% の確率で晴れる」と言うかもしれない。言い換えれば、各専門家は与えられた一連の結果に対して主観的な確率分布を持っている。

信念集約ルールは、同じ結果セット上の 2 つ以上の確率分布を入力として受け取り、同じ空間上の単一の確率分布を返す関数です。

信念集約の文書化されたアプリケーションには次のものがあります。

• 火山活動の予測。^{[5] [6]}
• 急激な気候変動の可能性を予測する。^[7]
• 将来のホッキョクグマの個体数を予測する。^[8]

COVID-19の流行中、欧州神経学アカデミーは専門家の意見を集約し合意に達するために、特別に3ラウンドの投票方式を開発した。^[9]

一般的な信念集約ルールには次のものがあります。

• 線形集計(平均投票ルールとも呼ばれる) -専門家のレポートの加重算術平均または加重なし算術平均を選択します。
• 幾何集計-レポートの加重幾何平均または加重なし幾何平均を選択します。
• 乗法集計- 確率の積を選択します。

ディートリッヒとリスト^[4]は、各クラスのルールの公理的な特徴付けを提示しています。彼らは、線形集約は「手続き的に」正当化できるが「認識論的に」正当化できないと主張していますが、他の2つのルールは認識論的に正当化できます。幾何集約は、専門家の信念が同じ情報に基づいている場合に正当化され、乗法集約は、専門家の信念が個人情報に基づいている場合に正当化されます。

信念集約ルールは、おそらくいくつかの望ましい特性、つまり公理を満たす必要があります。

• ゼロ保存^[3]とは、すべての専門家があるイベントの確率がゼロであることに同意する場合、集約分布でも同じことが当てはまることを意味します。同等の公理はコンセンサス保存^[10]または確実性保存^[1]で、これはすべての専門家があるイベントの確率が1であることに同意する場合、集約分布でも同じことが当てはまることを意味します。これは、線形、幾何、乗法の集約、およびその他多くの集約によって満たされる基本的な公理です。
• 妥当性の維持とは、すべての専門家がイベントの確率が正であることに同意する場合、集約された分布でも同じことが当てはまることを意味します。この公理は線形集約によって満たされます。
• 比例性とは、各専門家が単一の結果に確率 1 を割り当てる場合、集約された分布は専門家の信念の平均 (または加重平均) になることを意味します。この公理は線形集約によって満たされます。
• 多様性は比例性よりも強い。つまり、集約された分布のサポートには、すべての専門家の信念のサポートが含まれているということです。言い換えれば、あるイベントが少なくとも 1 人の専門家にとって正の確率を持つ場合、そのイベントは社会にとっても正の確率を持つということです。この公理は線形集約によって満たされます。

信念集約に関する文献のほとんどは、専門家が信念を正直に報告することを前提としています。専門家の主な目的は、意思決定者が真実に到達するのを助けることです。実際には、専門家には戦略的なインセンティブがある場合があります。たとえば、FDAは諮問委員会を使用していますが、これらの委員会内での利益相反による論争がありました。^[11]したがって、信念集約のための 真実のメカニズムは有用である可能性があります。

状況によっては、専門家の表明した信念と実現された結果の両方に応じて、専門家に一定の金額を支払うことも可能です。支払い関数（「スコアリングルール」と呼ばれることが多い）を慎重に設計することで、真実のメカニズムを実現できます。真実のスコアリングルールは様々に存在します。^{[12] [13] [14] [15]}

状況によっては、金銭の送金が不可能な場合があります。たとえば、実現される結果が遠い将来に起こる場合や、誤った決定が悲惨な結果をもたらす場合などです。

真実のメカニズムを開発するには、受け入れられた確率分布の集合に対する専門家の選好について仮定を立てる必要があります。可能な選好の空間が広すぎる場合、強い不可能性の結果は、唯一の真実のメカニズムは独裁メカニズムであることを意味します(ギバード-サッタースウェイト定理を参照)。

有用なドメイン制約は、専門家が単一ピークの好みを持つというものである。すべての専門家が単一ピークの好みを持ち、そのピークを集約ルールに提出する場合、どの専門家も偽のピークを報告することで厳密に優れた集約分布を課すことができないとき、集約ルールは1次元戦略的証明（1D-SP）と呼ばれる。同等の特性は 妥協性と呼ばれる：^{[16]これは、専門家}iの信念が集約分布よりも小さく、iが報告を変更した場合、集約分布は弱く大きくなること、およびその逆であることを意味する。

ムーラン^[17]は、すべての1D-SP規則の特徴付けと、次の2つの特徴付けを証明した。

• ルールは、最大でn +1 個の「ファントム」を持つ中央値投票ルールと同等である場合に限り、すべての単一ピークの好みに対して匿名かつ 1D-SP です。
• ルールがすべての単一ピークの選好に対して匿名、1D-SP、パレート効率的であるのは、それが最大でn -1 個のファントムを持つ中央値投票ルールと同等である場合に限ります。

ジェニングス、ララキ、プッペ、ヴァルルート^[18]は、単峰性の選好を持つ戦略不可能なメカニズムの新しい特徴付けを提示している。

単峰性ドメインのさらなる制約は、エージェントが確率密度関数のL1 メトリックを持つ単峰性の選好を持つことです。つまり、各エージェントiには「理想的な」確率分布p _iがあり、選択された確率分布p *からの効用はp _iとp*の間の L1 距離のマイナスになります。すべての専門家が L1メトリックを持つ単峰性の選好を持ち、そのピークを集約ルールに提出する場合、どの専門家も誤ったピークを報告して厳密に優れた集約分布を課すことができない場合、集約ルールは L1 メトリック戦略証明 (L1メトリック SP)と呼ばれます。予算案集約のコンテキストでは、いくつかの L1 メトリック SP 集約ルールが提案されました。

• Goel、Krishnaswamy、Sakshuwong ^[19]は、 L1メトリックSPであるパレート最適集約ルールの存在を証明した。
• フリーマン、ペノック、ピーターズ、ヴォーン^{[20]は、 L1メトリックSPであり公平性を満たす（ただしパレート最適ではない）}ムービングファントムと呼ばれるルールを提示した。彼らはまた、中央値ルールに基づくL1メトリックSPルールのファミリーも提示した。

ただし、このような好みは中立的であり、異なる結果を区別しないため、信念の集約には適さない可能性があります。たとえば、結果が 3 つあり、専門家の信念p _{i が}結果 1 に 100% を割り当てるとします。この場合、p _iと「100% 結果 2」の間の L1 メトリックは 2 になり、 p _iと「100% 結果 3」の間の L1 メトリックも 2 になります。同じことは、中立的なメトリックにも当てはまります。これは、1、2、3 が予算項目である場合に意味をなします。ただし、これらの結果がリヒター スケールで地震の潜在的な強さを表している場合、p _iと「100% 結果 2」の間の距離は、「100% 結果 3」までの距離よりもはるかに小さくなるはずです。

Varloot と Laraki ^[1]は、結果が線形に順序付けられ、累積分布関数 (cdf)の空間で選好が単峰性である、異なる選好領域を研究しています。つまり、各エージェントi は理想的な累積分布関数c _{i を}持ち、その効用はc _iと受け入れられた分布c*の間の距離に負に依存します。彼らは、レベル戦略耐性 (Level-SP)と呼ばれる新しい概念を定義しています。これは、社会の決定が、あるイベントの確率が特定のしきい値を超えているか下回っているかという問題に基づいている場合に関連します。Level-SP は、cdf 単峰性の選好の豊富なクラスに対して戦略耐性を証明できることを意味します。彼らは 2 つの新しい集約ルールを特徴付けています。

• 順序累積規則は、レベル SP、匿名性、確実性保存、および妥当性保存を満たす唯一の集約規則です。このファミリーの特殊なケースは、中央値に基づく順序累積である最中間 累積です。
  • ただし、これらのルールは多様ではありません。たとえば、3 人の専門家が「99% 結果 1」を報告し、1 人の専門家が「99% 結果 2」を報告した場合、すべての順序累積ルールは「99% 結果 1」または「99% 結果 2」のいずれかを選択します。ただし、「75% 結果 1 と 25% 結果 2」などの結果の方が合理的です。
• 比例累積ルールは、Level-SP と比例性を満たす唯一の集約ルールです。また、支配のあるプロファイル (各エージェントiの cdfが他のエージェントjの cdf より完全に上または完全に下) も自然に処理します。ただし、妥当性の保持には違反します。

その他の結果は次のとおりです。

• 多様性、Level-SP、全会一致を満たす集約ルールは存在しません。
• 結果が少なくとも 4 つある場合、レベル SP、L1 メトリック SP、および確実性保存を満たす唯一のルールは独裁制です(レベル SP と L1 メトリック SP を満たすルールはありますが、確実性保存は満たしていません。結果が 3 つある場合、すべてのレベル SP ルールは L1 メトリック SP でもあります)。
• ほとんどの結果は、異なる専門家（専門知識のレベルを表す）に異なる重みを割り当てるように拡張できます。
• 新しい投票方法：不確実性を伴う多数決（MJU）。これは多数決の一種で、投票者が各候補者の資質について不確実性を表明することができます。

ANDURIL ^[21]は信念集約のためのMATLABツールボックスである。

• アンサンブル予報- 最も可能性の高い天気を 1 つだけ予報するのではなく、一連の予報 (またはアンサンブル) が作成され、将来の大気の状態の範囲を示すことを目的としています。
• 集約的偶発推定プログラム- 2010 年から 2015 年まで実行された Office of Incisive Analysis のプログラム。
• データ同化- 理論 (通常は数値モデルの形式) と観測結果を最適に組み合わせることを目指す数学の分野。
• スコアリング ルール- 真実の信念の集約を奨励するために使用できます。
• センサーフュージョン- 異なるソースからのセンサーデータを組み合わせます。
• 予算提案の集約- 各専門家が理想的な予算配分を報告し、その報告を共通の予算配分に集約することが目標となる同様の問題。
• 信念のマージ- 信念が確率分布ではなく論理式によって与えられる点を除いて、信念の集約に似ています。

関連するテーマに関する書籍がいくつか出版されている。^{[22] [23] [3]}