中央値投票者定理

政治学や社会選択論において、ブラックの中央値投票者定理は、有権者と候補者が一次元政治スペクトルに沿って分布している場合、コンドルセに整合する投票方法であれば、中央値投票者が好む候補者が選出されると述べている。^{[ 1 ] [ 2 ]}したがって、中央値投票者定理は、有権者の行動の現実的なモデルの下では、アローの定理は適用されず、社会において合理的な選択が可能であることを示す。この定理は、1948年にダンカン・ブラックによって初めて導出され、^{[ 3 ]}ケネス・アローによって独立に導出された。

同様の中央値投票者定理は、投票者が戦略的かつ情報に通じている場合、または候補者に対する投票者の評価がイデオロギー的距離に比例して低下する場合、スコア投票や承認投票など^のルールにも存在^します[ 4 ^{] [ 5 ]}。

ブラックの定理（ホテリング＝ダウンズの中央値投票者定理とも呼ばれる）の直接的な帰結として、ブラックの定理の条件が満たされる場合、選挙に勝つことだけを気にする政治家は中央値投票者と同じ立場を取ることになる。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}しかし、この戦略的な収束は、実際に中央値投票者特性を満たす投票制度でのみ発生する（下記参照）。これは、現在国政選挙で使用されているすべての規則（党内予備選挙、2回投票制、第一優先多数決、即時決選投票）を排除することになる。 ^{[ 5 ] [ 9 ] [ 10 ]}

中央値委任説は、中央値の有権者の選好が政治的正当性を与えると考える。^{[ 11 ]}

候補者と有権者の意見が一次元的な政治スペクトルに沿って分布している選挙があるとします。有権者は候補者を近さでランク付けします。つまり、最も近い候補者が第一希望、次に近い候補者が第二希望、といった具合です。すると、中央値投票者定理によれば、中央値投票者に最も近い候補者が多数派支持候補（またはコンドルセ候補）となります。言い換えれば、この候補者は、他のどの対立候補よりも多くの有権者から支持されているということです。候補者が2人しかいない場合は単純多数決でこの条件を満たしますが、複数の候補者がいる場合は、どの多数決（コンドルセ）方式でもこの条件を満たします。

証明の概略：中央値投票者をマーリーンとする。彼女に最も近い候補者が彼女の第一優先投票を得る。この候補者がチャールズで、彼女の左側にいると仮定する。マーリーンと彼女の左側にいるすべての投票者（定義により有権者の過半数）は、チャールズを彼の右側にいるすべての候補者よりも優先し、マーリーンと彼女の右側にいるすべての投票者（こちらも過半数）は、チャールズを彼の左側にいるすべての候補者よりも優先する。∎

• 選好が近接性の順序で形成されるという仮定は、単に単峰性であると言うだけで緩和できる。^{[ 12 ]}
• 意見が実数直線上に存在するという仮定は、より一般的なトポロジーを許容するように緩和することができる。^{[ 13 ]}
• 空間 / 魅力モデル:各候補者は空間上の位置に加えて魅力（魅力度）を持っていると仮定し、投票者i が候補者j をv _j  – d _ijの降順でここで、 v _jはjの魅力度、 d _ijはiからjまでの距離です。この場合、中央値投票者定理は依然として適用されます。コンドルセ方式では、中央値投票者が投票した候補者が選出されます。  

高次元空間では、中央値は幾何中央値に一般化できます。^{[ 15 ]}空間モデルの場合、マッケルビー・スコフィールドのカオス定理は、コンドルセ勝者が存在しない可能性があることを示しています。^{[ 16 ]}しかし、いくつかの限定された条件下では、同様の定理を示すことは依然として可能です。

この表は、ボルダ数に問題があると結論付けたコンドルセ侯爵による選挙の例を示しています。^{[ 17 ] : 90} 左側のコンドルセの勝者はAで、Bより41:40、Cより60:21で支持されています。ボルダの勝者はBです。しかし、ドナルド・サーリは、ボルダ数（コンドルセの勝者ではない）が（幾何中央値によって決定される）中心に最も近い候補者を正しく識別する2次元の例を構築しています。^{[ 18 ]}

この図は、投票用紙と整合性のある、投票者と候補者の配置例を示しており、投票者は単位円の円周上に配置されている。この場合、Aの平均絶対偏差は1.15であるのに対し、Bは1.09（Cは1.70）であり、空間的な勝者はBとなる。

したがって、この選挙は、2つの異なる空間表現が2つの異なる最適な勝者を意味するという点で曖昧である。これは、空間モデルに中央値メトリックを採用することで先に回避しようとした曖昧さであるが、中央値メトリックは単一次元では目的を達成するものの、その特性はより高次元には完全には一般化されない。

全方向中央分離帯

この結果にもかかわらず、中央値投票者定理は、回転対称な分布、例えばガウス分布など、すべての方向で同じ単一の中央値を持つ分布に適用できます。投票者の分布がすべての方向で一意の中央値を持ち、投票者が候補者を近接性の順にランク付けする場合、中央値投票者定理が適用されます。中央値に最も近い候補者は、すべてのライバルよりも多数派の支持を得て、1次元で中央値投票者特性を満たす任意の投票方法によって選出されます。^{[ 19 ]}

したがって、全方向中央値を持つ投票者分布の場合、すべての中央値投票法は、任意の次元の空間において同じ性質を満たすことになる。

あらゆる方向に中央値を持たない投票分布を構築するのは容易である。最も単純な例は、2番目の図の1、2、3のように、一直線上にない3点に限定された分布である。各投票者の位置は、特定の1次元投影の下で中央値と一致する。A、B、Cが候補者である場合、「1」はABCに投票し、「2」はBCAに投票し、「3」はCABに投票し、コンドルセサイクルが得られる。これがマッケルビー・スコフィールドの定理の主題である。

証明。図を参照してください。灰色の円盤は、円周上に均一に分布する投票者の分布を表し、Mはあらゆる方向の中央値です。AとBを2人の候補者とし、Aが中央値に近いとします。すると、AをBより上位にランク付けする投票者は、実線の赤い線の左側（つまり「A側」）にいる投票者と正確に一致します。また、AはBよりもMに近いので、中央値もこの線の左側にあります。

さて、Mはあらゆる方向において中央値であるため、青い矢印で示された方向（実線の赤い線に垂直）の特定の場合において、一次元中央値と一致します。したがって、Mを通って青い矢印に垂直な破線の赤い線を引くと、投票者の半数がこの線の左側に位置すると言えます。しかし、この線自体が実線の赤い線の左側にあるため、投票者の半数以上がAをBより上位にランク付けすることになります。

全方向の中央値と幾何中央値の関係

唯一無二の全方向中央値が存在する場合、それはコンドルセ投票方式の結果を決定する。同時に、幾何中央値は、順位付け投票における理想的な勝者とみなすことができる。したがって、両者の関係を知ることは重要である。実際、あらゆる方向の中央値が存在する場合（少なくとも離散分布の場合）、それは幾何中央値と一致する。

補題。離散分布がすべての方向に中央値Mを持つ場合、 M に位置しないデータ点は、 Mの両側にバランスの取れたペア( A、 A 'で存在し、 A - M - A '_は直線である(つまり、図のA0 _- M - A2のようなものではない)。               

証明。この結果は、1967 年に Charles Plott によって代数的に証明されました。 ^{[ 20 ]}ここでは、2 次元での背理法による単純な幾何学的証明を示します。

逆に、Mをあらゆる方向の中央値とする点の集合A _iが存在するが、 Mと一致しない点がバランスの取れたペアにならないと仮定する。この場合、この集合からM上の点、およびMを中心とするバランスの取れたペアをすべて取り除いても、 M はどの方向においても中央値ではなくなるわけではない。したがって、 M は全方向の中央値のままである。    

残りの点の数が奇数の場合、M を通る線を簡単に引くことができ、点の大部分がその線の片側に位置するため、Mの中央値の性質に矛盾します。

数が偶数、例えば 2 nの場合、任意の点から始めて、点A  ₀、A _{1 、... を}M の周り時計回りにラベル付けできます (図を参照)。M – A _0からM – A _nまで の弧がなす角度を θ とします。すると、図のように θ < 180° の場合、 Mを通る破線の赤い線に似た線を引くことができ、その線の大部分のデータ点がその片側に集中し、Mの中央値の性質に再び矛盾します。一方、θ > 180°の場合、同様に点の大部分が反対側に集中します。また、θ = 180° の場合、A ₀とA _{n は}バランスの取れたペアを形成し、別の仮定に矛盾します。               

定理。離散分布がすべての方向において中央値M を持つ場合、それは幾何中央値と一致する。

証明。任意の点Pからバランスのとれたペア ( A、 A ' のデータ点の集合までの距離の合計は、 A – P – A 'の長さの合計です。この形式の各長さは、直線が直線である場合、つまりP がMと一致する場合に、 Pに関して最小になります。同様に、 PからMに位置する任意のデータ点までの距離の合計は、 PとM が一致する場合に最小になります。したがって、データ点からPまでの距離の合計は、 P がMと一致する場合に最小になります。          

ダウンズモデル[ ^{21 ] [ 22 ] [ 23 ] （}ホテリング・ダウンズモデルとも呼ばれる）は、ハロルド・ホテリングの最小分化原理（ホテリングの法則としても知られる）に基づいている。アンソニー・ダウンズは1957年にホテリングの空間競争の枠組みを政治に適用し^{[ 8 ] [ 24 ]}、政治家が4つの条件下で中央値投票者の立場に収束すると予測するモデルを作成した。

1. 候補者は、何の不利益も被ることなくイデオロギー的な立場を選択できる。
2. 候補者は選挙に勝つことだけを気にしている（実際の信念は気にしていない）、
3. 中央値投票者定理のその他の基準はすべて満たされている（つまり、有権者は候補者をイデオロギー的距離でランク付けする）、
4. この投票制度は、中央値投票者の基準を満たしている。

特別なケースとして、この法律は、選挙に候補者がちょうど2人しかいない状況に適用されます。これは、それ以上の候補者が選挙に加わることが不可能またはあり得ない場合です。なぜなら、2つの選択肢の間で単純多数決を行うことでコンドルセ基準が満たされるからです。

ホテリングの本来の原理は、1929年にビジネス競争に関して初めて説明されましたが、^{[ 7 ]}ダウンズは後にこの枠組みを選挙政治に適用しました。二大政党制におけるデュヴェルジェの法則の場合、ダウンズのモデルは、2つの政党が中位投票者に向かって動くインセンティブがあると予測します。^{[ 25 ]}

予備選挙の場合、政治家は予備選挙と本選挙で中間有権者に訴えることの間で妥協しなければならず、そのため、一部の選挙制度の下では候補者が中間有権者に収束しない可能性がある。^{[ 5 ] [ 26 ]}

この定理は、特定の投票システムの最適性（および最適性の限界）を明らかにする上で価値がある。

ヴァレリオ・ドッティは、より幅広い応用分野を指摘している。

中位投票者定理は、政治経済学の文献で非常に人気が高いことが証明されています。主な理由は、政治プロセスの他の特徴を抽象化して、投票人口のいくつかの特徴と政策結果との関係について検証可能な含意を導き出すために採用できるからです。^{[ 19 ]}

彼はさらにこう付け加えた。

中央値投票者の結果は、信じられないほど多様な問題に適用されてきました。例としては、所得格差と再分配政策における政府介入の規模との関係の分析（Meltzer and Richard、1981）^{[ 27 ]} 、移民政策の決定要因の研究（Razin and Sadka、1999）^{[ 28 ]} 、さまざまな種類の所得に対する課税の程度（Bassetto and Benhabib、2006）^{[ 29 ]}など、その他多数があります。

中位投票者定理は、政治家の政治的対応力を評価するために使用できる。^{[ 30 ]}

アメリカ合衆国上院では、各州に2議席が割り当てられています。レビット（1996）は、同じ州選出の上院議員2名について、一方が民主党、もう一方が共和党に所属する場合の投票パターンを調査しました。中央値投票者定理によれば、同じ州を代表する2名の上院議員の投票パターンは、党派に関係なく同一であるはずです。しかし、現実は異なります。さらに、レビットは、彼らの投票パターンの類似性は、ランダムにペアになった上院議員の類似性よりもわずかに高いだけであることを発見しました。この発見は、上院議員のイデオロギー的傾向が、有権者の好みよりも彼らの決定に強い影響を与えていることを示唆しており、中央値投票者定理の予測と矛盾しています。^{[ 31 ]}

パンデ（2003）は、 1960年から1992年の間にインドで起こった、疎外されたグループの政治的代表性を高めた政治的変化を研究した。彼女が収集したデータによると、これらの変化の結果、これらのグループを含む有権者全体は変化しなかったにもかかわらず、これらの人々への移転支払いが増加した。この発見は、このような政治的変化が政治的均衡を変化させないはずだとモデルが予測する中位投票者定理と矛盾する。^{[ 32 ]}

ChattopadhyayとDuflo（2004）は、インドにおける別の政治的変化、すなわち村議会の3分の1を女性が率いることを義務付ける政策を検証した。これらの議会は、農村地域に様々な公共財を提供する責任を負っている。中央値投票者定理によれば、女性候補者は依然として多数決で選出される必要があるため、この政策は地方自治体によって提供される公共財の構成に影響を与えないはずである。中央値投票者の選好が変わらない限り、公共財の配分は安定しているはずである。しかし、実証データによると、女性が選出された村では、公共財の配分は女性が好む方向にシフトした。さらに、女性が2期目に選出された地区では、公共財の配分は引き続き女性の選好を反映していた。しかし、女性が村議会を率いると公共財の構成は変化するが、これは必ずしも社会福祉全体の向上または低下を意味するものではない。^{[ 33 ]}

同様の調査結果は、1920年に米国全土で女性に投票権が与えられたことの影響を分析したミラー（2008）によっても報告されている。ミラーは、女性が男性よりも児童福祉を優先するという先行研究に基づき、女性に投票権を拡大すると連邦政策が即座に変化することを示した。この変化により医療費が大幅に増加し、その結果、乳幼児死亡率が8%～15%減少した。しかし、これまでの事例とは異なり、ミラーの調査結果は実際には中位投票者定理を支持している。これは、女性に参政権を与えることで有権者の構成が変化し、中位投票者の立場が新たな女性有権者の好みに近づいたためである。^{[ 34 ]}

Lee、Moretti、Butler（2004）は、有権者が政治家の立場に影響を与えるのか、それとも既存の政策スタンスから選択するだけなのかを調査した。彼らは、有権者基盤の外生的変化が候補者の立場を変えないことを発見した。例えば、ある地域で民主党支持者が増加しても、共和党候補者の立場が左派に傾くことはなく、その逆もまた然りである。この発見は、有権者が政治家の立場を形成するのではなく、すでに保持している立場から選択していることを示唆しており、候補者がイデオロギー的に中立であると仮定する中位投票者定理の予測と矛盾する。^{[ 35 ]}

ガーバーとルイス（2015）は、カリフォルニア州で行われた一連の住民投票の投票データを分析し、中央値投票者の選好を推定した。彼らは、選出された公職者は均質な地域では中央値投票者の選好に制約されるが、異質な地域ではそれほど制約されないことを発見した。^{[ 36 ]}

対照的に、カリフォルニア州の2つの住民投票の投票者データを調査したブルナーとロス（2010）は、公共支出に関する投票で決定的な役割を果たしたのは中央値の投票者ではなく、所得が第4十分位の投票者であったことを発見した。この発見は、低所得の投票者が公共支出の増加に反対するために高所得の投票者と連合を形成することが多いことを示唆する他の研究と一致している。^{[ 37 ]}

Stadelmann、Portmann、およびEichenberger（2012）は、スイスの国民投票データを使用して、議員の投票が選挙区の中央値投票者の選好とどの程度一致しているかを調査しました。彼らの研究によると、中央値投票者モデルは、代替のランダム投票仮説よりも立法府の投票行動をよりよく説明しましたが、その差はわずか17.6%でした。さらに、上院議員の選挙区の中央値投票者からの支持は、上院議員が議会で特定の提案を支持する可能性を8.4%高めることを発見しました。^{[ 38 ]}

ミラノヴィッチ（2000）は、79か国のデータを用いて、税引き前所得の分配における不平等が大きいほど、勝利した政府の再分配政策はより積極的になると結論付けた。この発見は、中央値投票者定理を支持するものである。^{[ 39 ]}

• アローの不可能性定理
• 効率的市場仮説
• 最高中央値投票ルール
• 二つの悪のうち、よりましな方を選ぶ原則
• 順位付け投票
• 中央所得
• 中央値投票ルール
• 確率的投票モデル
• スイングボート

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