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厚生経済学や社会選択理論において、社会厚生関数（社会秩序、ランキング、効用、選択関数とも呼ばれる）は、一連の社会状態をその望ましさによってランク付けする関数である。各人の選好は、社会全体としてどの結果がより良いと考えられるかを決定するために何らかの方法で組み合わされる。[ 1 ]これは、ルソーの一般意志の考え方を数学的に形式化したものと考えることができる。
社会厚生関数は、社会的に最適な決定を特定する方法として経済学者によって研究されており、2 つの結果のうちどちらが社会全体にとってより良いと考えられるかを厳密に定義する手順を提供します (たとえば、2 つの異なる所得分配を比較する場合)。[ 2 ]また、民主主義政府は、有権者の選好に基づいて選挙で複数の選択肢の中から選択するためにこれらを使用します。この文脈では、社会選択関数は通常、選挙制度と呼ばれます。
社会的効用の概念は、消費者選択における効用関数の概念と類似している。しかし、社会厚生関数は、社会の全員の判断を考慮した形で、個々の効用関数を単一の出力にマッピングするという点で異なる。社会的効用関数は、連邦制、分離主義、地域統合などの社会の行政区分によって変化する可能性がある。[ 3 ]
経済学者が用いる社会福祉の概念には、大きく分けて2種類ある。
アローの不可能性定理は社会厚生関数の重要な結果であり、社会的選択と消費者選択の重要な違いを示しています。消費者の場合は順序選好のみに基づいて合理的（自己矛盾のない）意思決定手順を構築することが可能ですが、社会的選択の設定では同じことは不可能であり、そのような順序意思決定手順は次善の策となります。
一部の著者は、密接に関連する3つの概念を区別している。
最も高い順位の結果のみを考慮することで、あらゆる社会的順序付けを選択関数にすることができる。しかし、あまり明白ではないが、あらゆる社会的選択関数は順序付け関数でもある。最良の結果を削除し、新しい勝者を見つけると、次点者が2位に与えられる。このプロセスを繰り返すと、すべての候補者の完全な順位付けが得られる。[ 4 ]
このような密接な関係性から、これら3種類の機能は用語の誤用によってしばしば混同される。
トップ、センター、ボトムの間で行われる即時決選投票を考えてみましょう。トップは第一希望票が最も多く、ボトムは2番目に多く、センター（両者の中間に位置する）は第一希望票が最も少ないとします。
即時決選投票方式では、トップが勝者となる。センターは第1ラウンドで脱落し、彼らの第2希望票はトップとボトムに均等に分配されるため、トップが勝利する。
2位を見つけるには、トップ候補が出馬しなかった場合の1位候補を探します。この場合、選挙はセンター候補とボトム候補の間で行われます。
（なお、最終順位は逐次淘汰方式における淘汰順位とは異なります。センター党は最初に淘汰されましたが、今回の選挙では次点となります。）
1938年の論文で、アブラム・ベルクソンは「最大の経済的福祉の条件を導き出すために必要な価値判断を正確な形で示す」ことを目的として、社会厚生関数という用語を導入した。この関数は実数値で微分可能であり、社会全体を記述するように規定されていた。関数の引数には、生産・消費される様々な商品の量、および労働力を含む様々な商品の生産に使用される資源の量が含まれていた。
必要な一般条件は、関数の最大値において次のようになることです。
ベルクソンは、福祉経済学は個人間で比較可能な基数効用を排除しながらも経済効率の基準を記述してきたと主張した。そして、基数効用を仮定することは、単に価値判断、しかも純粋に主観的な判断を隠蔽するに過ぎないかもしれないと述べた。
ベンサムの古典的功利主義を受け継ぐ初期の新古典派福祉理論では、限界効用逓減の法則は、個人間で効用が比較可能であることを意味すると解釈されることが多かった。このような比較可能性とは関係なく、所得や富は測定可能であり、富裕層から貧困層への所得の再分配は、社会全体の効用（どのように測定しても）を増加させる傾向があると一般的に推論されていた。しかし、ライオネル・ロビンスは（ 1935年、第6章）で、精神的な出来事としての効用がどのように、あるいはいくつ互いに変化するかは、いかなる経験的テストによっても測定できないため、反証不可能であると主張した。そのため、彼はそのような主張を自身の哲学的行動主義と相容れないものとして拒否した。
補助的な仕様により、社会の各構成員が異なる社会状態を選好満足度において比較することが可能になります。これらはパレート効率性を定義するのに役立ちます。パレート効率性とは、すべての選択肢が尽くされたとき、少なくとも1人がより好ましい立場に置かれ、誰も好ましくない立場に置かれないようにすることです。ベルクソンは、「経済的厚生の増加」（後にパレート改善と呼ばれる）を、少なくとも1人がより好ましい立場に移り、他の全員が無関心な状態になることと説明しました。社会厚生関数は、実質的に個人主義的な意味で指定され、パレート効率性（最適性）を導き出すことができます。
ポール・サミュエルソン（2004年、26ページ ）は、ベルクソンの関数は「対人規範的公平性を定義するために必要ではあるが十分ではないパレート最適条件を導き出すことができる」と指摘した。しかし、パレート効率性は、特定の社会厚生関数の1つの側面を特徴づけることができ、個人間の財の分配は別の側面を特徴づけることができる。ベルクソンが指摘したように、社会厚生関数からの厚生の改善は、「一部の個人の立場」が他者を犠牲にして改善することによって生じる可能性がある。その場合、その社会厚生関数は公平性の側面を特徴づけるものとして説明できる。
サミュエルソン（1947年、221ページ ）自身も、社会福祉関数の柔軟性を強調し、パレート制約の有無にかかわらず、以下の点に合致するあらゆる倫理的信念を特徴づけることができると述べている。
サムエルソン（1983年、p. xxii）が指摘したように、ベルクソンは生産と消費の効率性の条件が社会福祉関数の対人倫理的価値とどのように異なるかを明確にした。
サムエルソンは、厚生関数と可能性関数を具体的に示すことで、この区別をさらに明確にした（1947年、243～249頁 ）。それぞれは、社会のすべての人々の効用関数の集合を引数とする。それぞれはパレート効率性を組み込むことができ、実際によく組み込まれている。可能性関数は、技術と資源の制約にも依存する。それは暗黙の形で記述され、制約によって課せられ、パレート効率性によって許容される効用の組み合わせの実現可能な軌跡を反映している。可能性関数上の特定の点において、1人を除くすべての人々の効用が決定されれば、残りの1人の効用も決定される。厚生関数は、社会のすべての人々のさまざまな仮想的な効用集合を、倫理的に最も低いものから最も高いものへと順位付けする（同順位も許容される）。つまり、効用の個人間比較を行う。厚生の最大化は、可能性関数を制約条件として厚生関数を最大化することによって行われる。厚生の最大化条件は、ベルクソンの分析と同じである。
ケネス・アローの1963年の著書は、そのようなアプローチの問題点を明らかにしたが、彼自身はすぐにはそれに気づかなかった。それ以前の考え方に沿って、アローの社会福祉関数（「憲法」とも呼ばれる）は、社会のすべての人々の個々の順序付け（順序効用関数）を社会的な順序付けに対応付け、複数の候補者のうち誰が選出されるべきかといった代替的な社会状態をランク付けする。
アローは、ライオネル・ロビンスや他の行動主義者の主張に反して、実数値（したがって基数）の社会的順序付けの要件を撤廃すると、社会レベルでの合理的または首尾一貫した行動が不可能になることを発見した。この結果は現在、アローの不可能性定理として知られている。アローの定理は、順序社会厚生関数が、無関係な選択肢からの独立性と呼ばれる合理的行動の標準的な公理を満たすことは不可能であることを示している。この公理によれば、ある結果の値を変更しても、その結果に関係しない選択には影響しないはずである。たとえば、顧客がブルーベリーよりもリンゴを好むためリンゴを購入する場合、サクランボがセールになっていると伝えても、リンゴの代わりにブルーベリーを購入するようにはならない。
ジョン・ハーサニーは後に、社会が不確実性の下で意思決定を行わなければならない場合、一貫性とパレート効率性を満たす唯一の社会厚生関数は功利主義ルールであることを示すことで、この結果をさらに強化した。
基数的社会福祉関数とは、個人の効用（基数効用とも呼ばれる）の数値表現を入力として受け取り、集団全体の福祉の数値表現を出力する関数である。その根底にある前提は、個人の効用を共通の尺度で表し、比較できるということである。こうした尺度の例としては、平均寿命や一人当たりの所得などが挙げられる。
本項においては、効用の尺度として所得を採用する。
社会福祉関数の形式は、社会の目的を表明することを意図している。
功利主義的、あるいはベンサム主義的な社会福祉関数は、社会福祉を個々の効用の総和として測定する。
どこ社会福祉と個人の所得の間で社会における個人。この場合、社会福祉を最大化するとは、社会における所得の分配方法に関係なく、社会全体の人々の総所得を最大化することを意味します。富裕層から貧困層への所得移転と、その逆の所得移転を区別しません。貧困層から富裕層への所得移転によって、貧困層の効用減少よりも富裕層の効用増加の方が大きい場合、社会全体の効用が増加したため、社会はそのような移転を受け入れると予想されます。あるいは、この関数の下では、社会の福祉は、個人の所得の平均値を取ることによっても測定できます。
対照的に、最大最小社会厚生関数（ジョン・ロールズの哲学的業績に基づく）は、社会の中で最も恵まれない個人の厚生に基づいて社会全体の厚生を測定する。
ここでいう社会福祉の最大化とは、他の個人の所得を考慮せずに、社会で最も貧しい人の所得を最大化することを意味する。
これら二つの社会福祉関数は、社会の福祉を最大化するために社会がどのように組織されるべきかについて、全く異なる見解を示している。前者は総所得を重視し、後者は最も恵まれない人々のニーズを重視している。最大最小福祉関数は、社会の構成員が直面する可能性のある最悪の状況のみを考慮するため、社会全体としての極端な不確実性回避を反映していると言える。
アマルティア・センは1973年に福祉関数を提唱した。
測定対象グループ（例えば、国）の一人当たり平均所得に、どこジニ係数は、相対的な不平等度合いを示す指標です。
ジェームズ・E・フォスター（1996）は、エントロピー尺度であるアトキンソンの指数の一つを用いることを提案した。アトキンソンのエントロピー尺度とタイル指数の関係から、フォスターの福祉関数はタイルL指数を用いて直接計算することもできる。
この関数によって得られる値には具体的な意味があります。所得分布が不均等な集団から無作為に選ばれた人が得る可能性のある所得は複数あります。この福祉関数は、無作為に選ばれた人が最も得る可能性の高い所得を示します。中央値と同様に、この所得は一人当たりの平均所得よりも小さくなります。
ここでは、タイルT指数が適用されます。この関数によって得られる逆数にも具体的な意味があります。ユーロは、不均等に分配されたすべての所得の合計からランダムに選ばれた、いくつかの所得区分に属する可能性があります。この福祉関数は、ランダムに選ばれたユーロが最も属する可能性の高い所得区分を示します。この関数の逆数は、一人当たりの平均所得よりも大きくなります。
効用プロファイルに関する選好関係Rが与えられたと仮定します。Rは効用プロファイルに関する弱い全順序であり、任意の2つの効用プロファイルが与えられた場合、それらが無差別であるか、一方が他方よりも優れているかを判断できます。妥当な選好順序は、いくつかの公理を満たす必要があります。[ 5 ]： 66-69
特性1～4を持つすべての選好関係は関数として表現できる。これは、次の形式の合計です。
どここれは連続的に増加する関数です。
もう一つの公理、すなわちオランダの書籍が存在しない、あるいは同等に社会的選択が合理的選択の公理に従って行動するという公理を導入すると、社会的選択関数は功利主義的ルール、つまり重み付け関数でなければならないことが示唆される。は各個人の効用関数と等しくなければならない。この結果はハルサニーの功利主義定理として知られている。ハルサニーの定理によれば、非功利主義的な社会的選択関数は矛盾している。言い換えれば、社会のすべての構成員が満場一致で反対するような賭けにも同意することになる。しかし、そのような関数の特性を確立することは依然として可能である。
社会的効用関数に合理的な行動を課す代わりに、共通尺度の独立性というより緩やかな基準を課すことができる。これは、2つの効用プロファイルを同じ定数で乗算しても、両者の関係は変化しないというものである。例えば、効用関数は、所得をセントで測定するかドルで測定するかによって左右されるべきではない。
選好関係が特性1～5を満たす場合、関数wは等弾性関数でなければならない。
この家族には、見覚えのあるメンバーが何人かいます。
ピグー・ダルトン原理（不平等は積極的な善ではないという原理）を要求するならば、上記のファミリーでは、最大で1つでなければなりません。
