効用表現定理

経済学において、効用表現定理は、ある条件下では、選択肢 A の効用が選択肢 B の効用より大きい場合にのみ選択肢 A が選択肢 B よりも好まれるという、選好順序が実数値の効用関数によって表現できることを示しています。効用表現定理の最も有名な例はフォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの効用定理で、これは、あらゆる合理的な主体が宝くじに対する選好を測定する効用関数を持つことを示しています。

ある人物に「A と B のどちらが好みですか?」という形式の質問が投げかけられたとします (A と B はオプション、実行するアクション、世界の状態、消費バンドルなどです)。エージェントが B よりも A を好む場合は、 と書きます。このようなすべての好みのペアの集合が、その人の好みの関係を形成します。${\displaystyle A\succ B}$

すべてのオプションのペア間での人の好みを記録する代わりに、単一の効用関数、つまり、 の場合に限り、各オプションに実数を割り当てる関数u を使用する方がはるかに便利です。 ${\displaystyle u(A)>u(B)}$${\displaystyle A\succ B}$

すべての選好関係に効用関数表現があるわけではありません。たとえば、関係が推移的でない場合（エージェントが B より A を、C より B を、A より C を好む場合）、そのような効用関数は を満たす必要があるため、効用表現はありません。これは不可能です。 ${\displaystyle u(A)>u(B)>u(C)>u(A)}$

効用表現定理は、効用表現の存在に 十分な選好関係の条件を与えます。

多くの場合、表現関数u が連続性などの追加条件を満たすことが望まれます。これには、優先関係に関する追加条件が必要です。

選択肢の集合は、Xで表される位相空間です。場合によっては、X も距離空間であると想定します。特に、X はユークリッド空間R ^mのサブセットであり、{1,..., m} の各座標は商品を表し、Xの各mベクトルは可能な消費バンドルを表します。

選好関係はのサブセットです。またはで表されます。 ${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle \succ}$${\displaystyle \succeq}$

• 表記法は、関係が厳密な場合、つまりオプション A がオプション B よりも確実に優れている場合に使用されます。この場合、関係は非反射的、つまり は成立しません。また、関係は非対称的、つまり ではないことを意味します。${\displaystyle \succ}$${\displaystyle A\succ B}$${\displaystyle A\succ A}$${\displaystyle A\succ B}$ ${\displaystyle B\succ A}$
• 表記法は、関係が弱い場合、つまり、オプション A がオプション B と少なくとも同等に優れている (A は B と同等か、B よりも優れている) 場合に使用されます。この場合、関係は反射的、つまり常に成り立ちます。${\displaystyle \succeq}$${\displaystyle A\succeq B}$${\displaystyle A\succeq A}$

弱い選好関係が与えられた場合、その「厳密な部分」と「無関心な部分」を次のように定義できます。 ${\displaystyle \succeq}$${\displaystyle \succ}$${\displaystyle \simeq}$

• ${\displaystyle A\succ B}$かつでない場合に限ります。${\displaystyle A\succeq B}$ ${\displaystyle B\succeq A}$
• ${\displaystyle A\simeq B}$かつの場合に限ります。${\displaystyle A\succeq B}$${\displaystyle B\succeq A}$

厳密な選好関係が与えられた場合、その「弱い部分」と「無関心部分」を次のように定義できます。 ${\displaystyle \succ}$${\displaystyle \succeq}$${\displaystyle \simeq}$

• ${\displaystyle A\succeq B}$そうでない 場合に限り;${\displaystyle B\succ A}$
• ${\displaystyle A\simeq B}$かつでない 場合に限ります。${\displaystyle B\succ A}$ ${\displaystyle A\succ B}$

すべてのオプションに対して、Aにおける等高線セットを定義します。 ${\displaystyle A\in X}$

• 弱い選好関係が与えられた場合、A における弱い上側輪郭集合は、少なくともAと同じぐらい良いすべてのオプションの集合です。A における弱い下側輪郭集合は、最大 でもAと同じぐらい良いすべてのオプションの集合です。 ${\displaystyle \succeq}$${\displaystyle \{B\in X:B\succeq A\}}$${\displaystyle \{B\in X:A\succeq B\}}$
  • 弱い選好関係は、その等高線集合が位相的に閉じている場合に連続的と呼ばれます。
• 同様に、厳密な選好関係が与えられている場合、A における厳密な上限の等高線はAよりも良いすべての選択肢の集合 : であり、A における厳密な下限の等高線はAよりも悪いすべての選択肢の集合: です。 ${\displaystyle \succ}$${\displaystyle \{B\in X:B\succ A\}}$${\displaystyle \{B\in X:A\succ B\}}$
  • 厳密な選好関係は、その等高線集合が位相的に開いている場合、連続的であると呼ばれます。

上記の連続性の概念は半連続と呼ばれることもあり、aが の閉部分集合である場合は連続と呼ばれることもあります。^[1]${\displaystyle \succeq}$${\displaystyle X\times X}$

優先関係は次のように呼ばれます。

• 可算-無差別関係の同値類の集合が可算である場合。${\displaystyle \simeq}$
• 分離可能-すべてのペアに対して、それらを分離する要素が存在するような可算な部分集合が存在する場合、つまり、(弱い関係についても同様の定義が存在します)。${\displaystyle Z\subseteq X}$${\displaystyle A\succ B}$${\displaystyle z_{i}\in Z}$${\displaystyle A\succ z_{i}\succ B}$

たとえば、実数の厳密な順序「>」は分離可能ですが、可算ではありません。

効用関数は関数です。 ${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$

• 効用関数u が厳密な選好関係を表すと言われるのは、次の場合です。${\displaystyle \succ}$${\displaystyle u(A)>u(B)\iff A\succ B}$
• 効用関数u が弱い選好関係を表すと言われるのは、次の場合です。${\displaystyle \succeq}$${\displaystyle u(A)\geq u(B)\iff A\succeq B}$

デブリュー^{[2] [3]}は、以下の条件を満たす 弱い選好関係の連続表現の存在を証明した。${\displaystyle \succeq}$

1. 再帰的および推移的;
2. 完了、つまり、X の2 つのオプションA、Bごとに、いずれかまたは両方を実行します。${\displaystyle A\succeq B}$${\displaystyle B\succeq A}$
3. すべての に対して、上側と下側の両方の弱輪郭集合は位相的に閉じています。${\displaystyle A\in X}$
4. 空間X は第二可算である。これは、開集合の可算集合 Sが存在し、 X内のすべての開集合がクラスSの集合の和集合であることを意味する。^[4]第二可算性は、以下の性質によって暗示される（弱いものから強いものの順）。
   • 空間Xは分離可能かつ連結されている。
   • 関係は 分離可能です。${\displaystyle \succeq}$
   • この関係は 可算です。${\displaystyle \succeq}$

ジャフレーは連続効用関数の存在の初歩的な証明を与えている。^[5]

いくつかのオプションが比較不可能な場合、つまり も も成り立た ない場合、選好は不完全であると呼ばれます。このケースは で表されます。実数は常に比較可能なので、で表される関数uを持つことは不可能です。この問題に対処するにはいくつかの方法があります。 ${\displaystyle A\succeq B}$${\displaystyle B\succeq A}$${\displaystyle A\bowtie B}$${\displaystyle u(A)\geq u(B)\iff A\succeq B}$

ペレグは、厳密な半順序の効用関数表現を、つまり含意の方向が1つだけとなるような関数として定義した。[ 6 ^]ペレグは、以下の条件を満たす厳密な選好関係の1次元連続効用表現の存在を証明した。 ${\displaystyle \succ}$${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\succ B\implies u(A)>u(B)}$${\displaystyle \succ}$

1. 非反射的かつ推移的（これは非対称的、つまり厳密な半順序であることを意味する）
2. 分離可能;
3. すべてに対して、 Aにおける下側の厳密な輪郭線は位相的に開いている。${\displaystyle A\in X}$
4. 広範: の場合、 Aにおける下側の厳密な輪郭線集合はBにおける下側の厳密な輪郭線集合の閉包を含みます。 ${\displaystyle A\succ B}$
   • この条件は不完全な選好関係に必要です。完全な選好関係の場合、すべての下側および上側の厳密な輪郭集合が開いている関係はすべて、空間的でもあります。

弱い選好関係が与えられている場合、厳密な選好関係を定義することでペレグの定理を適用することができます。でありではない場合のみ です。^[6]${\displaystyle \succeq}$${\displaystyle A\succ B}$${\displaystyle A\succeq B}$ ${\displaystyle B\succeq A}$

2 番目の条件 (は分離可能) は、次の 3 つの条件によって暗黙的に示されます。 ${\displaystyle \succ}$

• 空間Xは分離可能である。
• すべてに対して、 Aにおける下側と上側の厳密な経路集合は両方とも位相的に開いている。${\displaystyle A\in X}$
• Aの下の等高線集合が空でない場合、A はその閉包にあります。

同様のアプローチはリヒターによっても採用されました。^[7]そのため、この一方向表現はリヒター-ペレグ効用表現とも呼ばれます。^[8]

ジャフレーは、厳密な半順序の効用関数表現を、、およびが成り立つ関数として定義します。ここで、関係は、すべての C、およびに対して次のように定義されます(つまり、AとBの下部輪郭集合と上部輪郭集合は同一です)。^[9]彼は、完全に分離可能なすべての半順序空間に対して、上位位相よりも強い任意の位相で上部半連続である効用関数が存在することを証明しました。^{[9] : Sec.4}同様のステートメントは、下位位相 よりも強い任意の位相で下部半連続である効用関数の存在を述べています。 ${\displaystyle \succ}$${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\succ B\implies u(A)>u(B)}$${\displaystyle A\approx B\implies u(A)=u(B)}$${\displaystyle A\approx B}$${\displaystyle A\succ C\iff B\succ C}$${\displaystyle C\succ A\iff C\succ B}$${\displaystyle (X,\succ )}$

ゾンダーマンはジャフレーと同様に効用関数表現を定義している。彼は、順序位相において上半連続または下半連続である確率空間上の効用関数表現の存在条件を与えている。 ^[10]

ハーデンは、弱い前順序の効用関数表現を、となる同調関数として定義している。ハーデン^{[11] ：Thm.4.1は}、 X上の弱い前順序が連続効用関数を持つための必要十分条件は、 X上の可分系の可算族Eが存在し、すべてのペア に対して、E内に可分系Fが存在し、BがF内のすべての集合に含まれ、AがFのどの集合にも含まれない場合であることを証明した。彼は、この定理がペレグの表現定理を意味することを示している。フォローアップ論文^[12]では、この定理と完全順序に関する古典的な効用表現定理との関係を明らかにしている。 ${\displaystyle \succeq}$ ${\displaystyle u:(X,\succeq )\to (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle A\succ B\implies u(A)>u(B)}$${\displaystyle \succeq}$${\displaystyle A\succ B}$

関係の多重効用表現（MUR）は、効用関数の集合Uであり、 となる。言い換えれば、集合U内のすべての効用関数が満場一致でこの選好を保持する場合のみ、 AはBよりも好まれる。この概念はEfe Okによって導入された。^[13]${\displaystyle \succeq}$${\displaystyle A\succeq B\iff \forall u\in U:u(A)\geq u(B)}$

すべての前順序（反射的および推移的関係）には自明な MUR があります。^{[1] : 命題 1}さらに、閉じた上部輪郭集合を持つすべての前順序には上部半連続MUR があり、閉じた下部輪郭集合を持つすべての前順序には下部半連続MUR があります。^{[1] : 命題 2}ただし、閉じた上部輪郭集合と下部輪郭集合を持つすべての前順序に連続MUR があるわけではありません。^{[1] : 例 1} Ok と Evren は連続 MUR の存在に関するいくつかの条件を示しています。

• ${\displaystyle \succeq}$が連続MURを持つための必要十分条件は、( X , )が半正規順序位相空間である場合である。^{[1] : Thm 0}${\displaystyle \succeq}$
• X が局所コンパクトかつシグマコンパクトな ハウスドルフ空間であり、の閉部分集合である場合、 は連続 MUR を持ちます。^{: Thm 1}これは特に、X がユークリッド空間の空でない閉部分集合である場合に当てはまります。${\displaystyle \succeq}$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle \succeq}$
• X が任意の位相空間であり、閉じた上側および下側の輪郭集合を持つ前順序であり、強い局所的不飽和とナイスネスと呼ばれる追加の性質を満たす場合、連続 MUR を持つ。^{[1] : Thm 2}${\displaystyle \succeq}$${\displaystyle \succeq}$

上記の定理によって保証されるすべての表現には、無限の数の効用、さらには数え切れないほどの数の効用が含まれる可能性があります。実際には、有限のMUR、つまり有限の数の効用を持つ MUR を持つことがしばしば重要です。Evren と Ok は、次の条件を満たす任意の弱い選好関係に対して、すべての効用が上半連続[下半連続]となる有限の MUR が存在することを証明しています: ^{[1] : Thm 3}${\displaystyle \succeq}$

1. 再帰的かつ推移的（つまり、弱い前順序である）${\displaystyle \succeq}$
2. すべての上側[下側]輪郭集合は位相的に閉じている。
3. 空間Xは第二可算、つまり可算な基底を持ちます。
4. （すべての要素が比較不可能な集合の最大サイズ） の幅は有限です。${\displaystyle \succeq}$
   • 表現内のユーティリティ関数の数は最大で の幅です。${\displaystyle \succeq}$

保証された関数は半連続であるが、すべての上部および下部の等高線集合が閉じている場合でも、必ずしも連続であるとは限らないことに注意してください。^{[13] ：例}2 EvrenとOkは、「少なくとも、この論文で採用されている方法を使用して、連続有限多効用表現定理を導く自然な方法はないように思われる」と述べています。

• フォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの効用定理
• ハルサニーの功利定理
• アローの不可能性定理
• 顕示選好理論は、エージェントの需要関数を選好関係、または効用関数によって表現することを扱っています。 ^[7]