コンドルセのパラドックス

カクタス郡の有権者は、現職の郡長 である農民党のアレックス氏を、対立候補である太陽光パネル党のベアトリス氏よりも約2対1の割合で支持している。今年は3人目の候補者であるチャーリー氏が無所属で立候補している。チャーリー氏は裕福で率直な実業家であり、有権者の間では彼に対する評価が二分されている。

有権者は3つのグループに分かれる。

• グループ1は、高校のアメフトチームを救ったチャーリーを尊敬している。彼らはいつものようにチャーリーを1位に、次にアレックスをベアトリスより上位にランク付けしている（CAB）。
• グループ2は、チャーリーのずる賢い商売のやり方を嫌っている。彼らはチャーリーを最下位にランク付けし、いつものようにアレックスをベアトリスより上位にランク付けしている（ABC）。
• グループ3はベアトリスの主要な支持者です。彼らは農民党を政権から引きずり下ろし、太陽光パネル党を政権に就かせたいと考えており、チャーリーの立候補は余興とみなしています。彼らはいつものようにベアトリスを1位、アレックスを最下位にランク付けし、チャーリーは自動的に2位となります（BCA）。

したがって、これまでと同様に、大多数の有権者はベアトリスよりもアレックスを好む（A > B）。大多数の有権者はベアトリス好きかチャーリー嫌いのどちらかであり、チャーリーよりもベアトリスを好む（B > C）。そして、大多数の有権者はチャーリー好きかアレックス嫌いのどちらかであり、アレックスよりもチャーリーを好む（C > A）。これら3つの選好を組み合わせると、A > B > C > Aというコンドルセサイクルが得られる。

候補者間で有権者の選好が均等に分布している特殊なケースについて、パラドックスが発生する確率を計算することができます。（これは「公平な文化」モデルであり、「最悪のシナリオ」として知られています^{[ 4 ] [ 5 ]： 40 [ 6 ]： 320 [ 7 ]} ―ほとんどのモデルでは、コンドルセサイクルが発生する確率は大幅に低いことが示されています。）

のために${\displaystyle n}$有権者が3人の候補者A、B、Cの優先順位リストを提出した場合、${\displaystyle X_{n}}$(それぞれ)${\displaystyle Y_{n}}$、${\displaystyle Z_{n}}$）AをBより前に置いた（またはBをCより前に、CをAより前に置いた）有権者の数に等しい確率変数。求める確率は${\displaystyle p_{n}=2P(X_{n}>n/2,Y_{n}>n/2,Z_{n}>n/2)}$（対称的な場合 A> C> B> A もあるので、2 倍にします。）奇数の場合、${\displaystyle n}$、${\displaystyle p_{n}=3q_{n}-1/2}$どこ${\displaystyle q_{n}=P(X_{n}>n/2,Y_{n}>n/2)}$これにより、次の同時分布を知るだけでよくなります。${\displaystyle X_{n}}$そして${\displaystyle Y_{n}}$。

もし私たちが${\displaystyle p_{n,i,j}=P(X_{n}=i,Y_{n}=j)}$そこで、この分布を漸化式で計算することを可能にする関係式を示します。

$${\displaystyle p_{n+1,i,j}={1 \over 6}p_{n,i,j}+{1 \over 3}p_{n,i-1,j}+{1 \over 3}p_{n,i,j-1}+{1 \over 6}p_{n,i-1,j-1}.}$$

すると、以下の結果が得られます。

この数列は有限の極限値に向かって収束しているように見える。

中心極限定理を用いると、$q_n$傾向${\displaystyle q={\frac {1}{4}}P\left(|T|>{\frac {\sqrt {2}}{4}}\right),}$どこ${\displaystyle T}$はコーシー分布に従う変数であり、

$${\displaystyle q={\dfrac {1}{2\pi }}\int _{{\sqrt {2}}/4}^{+\infty }{\frac {dt}{1+t^{2}}}={\dfrac {\arctan 2{\sqrt {2}}}{2\pi }}={\dfrac {\arccos {\frac {1}{3}}}{2\pi }}}$$（OEISに記載されている定数）。

したがって、コンドルセのパラドックスに遭遇する漸近確率は次のようになる。${\displaystyle {{3\arccos {1 \over 3}} \over {2\pi }}-{1 \over 2}={\arcsin {{\sqrt {6}} \over 9} \over \pi }}$これにより、8.77%という値が得られます。^{[ 8 ] [ 9 ]}

3人以上の候補者がいる場合の結果がいくつか計算され^{[ 10 ] 、シミュレーションも行われている[ 11 ]}。25 人の有権者がいる公平な文化モデルのシミュレーションされた尤度は、候補者の数とともに増加する^{[ 11 ]：28}

関連モデルにおけるコンドルセサイクルの可能性は、有権者数の多い3人の候補者による選挙の場合、これらの値に近づきます。^{[ 9 ]}

• 公平な匿名文化（IAC）：6.25%
• 均一文化（UC）：6.25%
• 最大培養条件（MC）：9.17%

これらのモデルはすべて非現実的ですが、サイクルが発生する可能性の上限を確立するために調査することができます。^{[ 9 ]}

より現実的な有権者の選好をモデル化すると、候補者数が少なく有権者数が多い選挙におけるコンドルセのパラドックスは非常にまれになる。^{[ 5 ]： 78}

3人の候補者による選挙の研究では、12種類の有権者行動モデルを分析し、投票の空間モデルが現実世界の順位投票選挙データに最も正確であることがわかりました。この空間モデルを分析すると、投票者数が増えるにつれてサイクルが発生する可能性がゼロに減少し、100人の投票者では5%、1000人の投票者では0.5%、10,000人の投票者では0.06%になることがわかりました。^{[ 12 ]}

別の空間モデルでは、201人の有権者と5人の候補者を対象としたすべてのシミュレーションにおいて、2次元でも4次元でも、次元間の相関の有無や候補者の2つの異なる分布の有無に関わらず、2%以下の確率で2%以下の確率が得られた。^{[ 11 ]：31}

このパラドックスの経験的例を見つけようとする試みが数多く行われてきた。^{[ 13 ]}コンドルセのパラドックスを経験的に特定するには、意思決定者がすべての選択肢に対してどのような選好を持っているかに関する広範なデータが必要となるが、そのようなデータはめったに入手できない。

パラドックスの例は小規模な環境（議会など）では時折見られるようだが、大規模な集団（選挙区など）ではほとんど例が見つかっていない。ただし、いくつかは確認されている。^{[ 14 ]}

大小合わせて合計265件の実際の選挙を対象とした37件の個別研究の要約では、コンドルセのパラドックスが25件見つかり、その発生確率は9.4%でした^{[ 6 ]： 325}（パラドックスの事例はそうでない事例よりも報告される可能性が高いため、これは高い推定値かもしれません）。^{[ 5 ]： 47}

選挙改革協会による、現実世界の84の順位付け投票選挙から抽出された883の3候補選挙の分析では、コンドルセサイクルの可能性は0.7%であることが判明した。これらの派生選挙には、350人から1,957人の有権者がいた。^{[ 12 ]} 1970年から2004年のアメリカ全国選挙研究の温度計スケール調査のデータに対する同様の分析では、コンドルセサイクルの可能性は0.4%であることが判明した。これらの派生選挙には、759人から2,521人の「有権者」がいた。^{[ 12 ]}

コンドルセ・インターネット投票サービスを運営するアンドリュー・マイヤーズは、10,354件の非政治的なCIVS選挙を分析し、少なくとも10票の選挙の17%でサイクルを発見した。この数字は、少なくとも100票の選挙では2.1%に、300票以上の選挙では1.2%に低下した。^{[ 15 ]}

2004年から2022年までの米国選挙189件の順位付けデータベースには、コンドルセサイクルが1つだけ含まれていた。それは、2021年のミネアポリス市議会選挙の第2区で、緑の党（カム・ゴードン）、ミネソタ民主農民労働党（ユスラ・アラブ）、独立系民主社会主義者（ロビン・ウォンズリー）の候補者が僅差で同数となった選挙である。^{[ 16 ]}有権者の選好は推移的ではなく、アラブがゴードンより好まれ、ゴードンがウォンズリーより好まれ、ウォンズリーがアラブより好まれ、明確な勝者がいない循環的なパターンが形成された。さらに、この選挙は下降単調性のパラドックスと、シンプソンのパラドックスに似たパラドックスを示した。

コンドルセ・サイクルの2例目は、カリフォルニア州オークランドの2022年第4学区教育長選挙で確認された。マニゴはハッチンソンより支持され、ハッチンソンはレスニックより支持され、レスニックはマニゴより支持された。ミネアポリスと同様、票差は非常に僅差で、例えば、11370人の有権者がハッチンソンよりマニゴを支持し、11322人がハッチンソンよりマニゴを支持した。^{[ 17 ]}

コンドルセ・サイクルのもう一つの例は、2014年のビクトリア州議会選挙のプララン選挙区で、緑の党、自由党、労働党の候補者が僅差で同数票を獲得したケースである。当初、一次投票で3位だった緑の党の候補者は、自由党の候補者を300票弱の差で破った。しかし、もし選挙が労働党と自由党の間で行われていたら、自由党の候補者が25票差で勝利していたはずだ。緑の党と労働党の票の集計は行われなかったが、他のケース（同じ選挙のリッチモンド選挙区を含む）では、自由党の優先順位は緑の党よりも労働党に傾く傾向があるため、労働党が緑の党よりも優先された可能性が非常に高い。つまり、緑の党が自由党よりも優先され、自由党が労働党よりも優先され、労働党が緑の党よりも優先されるという循環的なパターンが生じたことになる。

投票のパラドックスが実際の状況で存在する可能性が示唆する重要な点の1つは、標準的な議会手続きのような対投票プロセスでは、最終的な勝者は多数決の順序によって決まるということです。例えば、人気のある法案が可決されようとしているところに、別のグループが修正案を提出し、それが多数決で可決されたとします。その結果、議会の過半数が法案全体を否決する可能性があり、パラドックス（人気のある法案に対する人気のある修正案が、法案を不人気にしてしまう）が生じます。この論理的な矛盾が、意図的に偽のコンドルセサイクルを作り出して法案を葬り去る、いわゆる「毒薬修正案」の起源です。同様に、議会における投票の順序は、投票を並べ替える人が自分の望む結果が確実に勝つように操作される可能性があります。

社会選択理論家たちは、このような手続きの結果が論理的に矛盾していることや、法案の複数のバージョンから選択するためのより良い代替手段が存在することについて頻繁に異議を唱えているにもかかわらず、ペアワイズ多数決の手続きは広く使用されており、ほぼすべての種類の審議機関の規則や議事手続きに成文化されている。

コンドルセのパラドックスは、多数決方式が無関係な選択肢から独立していないことを示唆している。レースに参加する3人の候補者をそれぞれグー、ペーパー、シザーズとしよう。1対1のレースでは、グーはペーパーに負け、ペーパーはシザーズに負け、シザーズはグーに負ける。

一般性を失うことなく、ロックが特定の方法で選挙に勝利したと仮定します。すると、シザーズはペーパーにとっての妨害候補となります。もしシザーズが撤退すれば、ペーパーは唯一の1対1の選挙に勝利することになります（ペーパーがロックに勝利）。勝者が誰であれ、同じ理屈が当てはまります。

この例は、コンドルセ選挙が滅多に（あるいは全く）無効になることがない理由も示しています。無効になるのは、コンドルセ勝者がいない場合のみです。コンドルセサイクルは大規模な選挙ではまれであり、^{[ 19 ] [ 20 ]}中央値投票者定理は、候補者が左右のスペクトル上に配置されている場合はサイクルは不可能であることを示しています。