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承認投票は、投票用紙に記載された複数の候補者の中から有権者が承認する候補者を選出する単一勝者投票システムであり、最も多くの票を獲得した候補者が勝利する。この方式は、各候補者に1つのスコアのみを付与することで、選挙管理を簡素化し、集計を容易にしながら、票の分散を排除するように設計されている。承認投票の支持者は、このシステムが主要政党に属さない候補者をより正確に反映していると主張している。[ 1 ]
承認投票は主に1人の当選者を選ぶ状況で検討されますが、複数の当選者を選ぶ状況にも適用可能です。たとえば、10議席を埋める必要がある場合、最も多くの票を獲得した10人の候補者が選ばれます。[ 2 ]当選者は1回の承認投票で選出できますが、予備的な「絞り込み」ラウンドを含めることもできます。
承認投票は、代表性の向上と有権者の満足度を高めるために、組織選挙と政治選挙の両方で用いられてきた。有権者が承認できる候補者の数に制限がないため、承認投票は過剰投票の影響を受けにくい。
承認投票の批判者たちは、単純な投票形式が欠点だと主張している。なぜなら、他の評価投票方式のように候補者ごとに評価点をつけるのではなく、各候補者に対して二者択一を迫られるからだ。一方、承認投票の支持者たちは、評価点をつけることで戦略的な投票が必要となり、投票者の負担が軽減されると考えている。
社会選択理論家のスティーブン・ブラムスとダドリー・R・ハーシュバックによる研究では、承認投票は有権者の参加を増やし、少数政党の候補者が票を奪うのを防ぎ、ネガティブキャンペーンを減らすことがわかった。[ 3 ]ブラムスの研究は、承認投票は実際の選挙シナリオで多数派が好む候補者を選出し、順位選択投票や予備選挙によく見られる中道派の圧迫を回避できると結論付けた。[ 4 ] [ 5 ]
ある研究によると、2002年のフランス大統領選挙の第1回投票では、承認投票方式を採用した場合、多数決投票方式と同じ2人の勝者（ジャック・シラクとジャン＝マリー・ルペン）は選ばれなかっただろう。代わりに、シラクとリオネル・ジョスパンが上位2名として選ばれ、決選投票に進んだだろうという。
実際の選挙では、決選投票でルペンは82.2%対17.8%という圧倒的な差で敗北し、真のトップ2候補が見つからなかったことを示している。支持率調査の予備選挙では、シラクが36.7%で1位、ジョスパンは32.9%だった。この調査では、ルペンは25.1%しか得票しておらず、第2ラウンドに進出できなかった。実際の予備選挙では、上位3名はシラクが19.9%、ルペンが16.9%、ジョスパンが16.2%だった。[ 6 ] 2012年のフランス大統領選挙におけるさまざまな評価投票方法（支持率と得点投票）の調査では、多数決投票と比較して、「統一的」な候補者はより良い結果を残し、二極化させる候補者はより悪い結果を残す傾向があることが示された。[ 7 ]
ラトビア議会は、比例代表制における修正版の承認投票制度を採用しており、有権者は任意の数の候補者に対して、賛成票、反対票、またはどちらでもない票を投じることができる。[ 8 ]
2020年11月、ミズーリ州セントルイス市は、市役所の選挙に承認方式（統一予備選挙）を導入する提案Dを70%の賛成で可決した。 [ 9 ] 2021年、承認投票方式による初の市長選挙では、ティシャウラ・ジョーンズ氏とカーラ・スペンサー氏がそれぞれ57%と46%の支持を得て本選に進出した。ルイス・リード氏とアンドリュー・ジョーンズ氏はそれぞれ39%と14%の支持で敗退し、4人の候補者による選挙で、有権者1人あたり平均1.6人の候補者が支持された。[ 10 ]
2018年、ノースダコタ州ファーゴ市は、市の地方選挙の承認を採択する住民投票案を可決し、承認を採択した米国初の都市および管轄区域となった。[ 11 ] [ 12 ] 2015年には、ファーゴ市の市議会議員選挙で6人の候補者が票を分け合う事態が発生し、22%の得票率で当選した候補者がいた。 [ 13 ]
最初の選挙は2020年6月9日に行われ、投票用紙に記載された7人の候補者から2人の市委員が選出された。[ 14 ]当選者2人はいずれも50%以上の支持を得ており、投票用紙1枚あたりの平均支持数は2.3票で、投票者の62%が世論調査で承認制への変更を支持した。[ 15 ]承認制反対派による世論調査は、有権者が実際にバーのジレンマに従って戦略的に投票したかどうかを検証するために実施された。[ 16 ]彼らの調査によると、箇条書きで投票した有権者の30%は戦略的な理由でそうしたのに対し、57%はそれが彼らの誠実な意見だったことがわかった。[ 17 ] [ 18 ]ファーゴの2回目の承認制選挙は、市長と市委員を対象に2022年6月に行われた。現職の市長は7人の候補者の中から再選され、支持率は推定65％、投票者1人あたり1.6票の支持を得た。また、2人の委員は15人の候補者の中から選出され、投票者1人あたり3.1票の支持を得た。[ 19 ]
2023年、ノースダコタ州議会は承認投票を禁止する法案を可決した。この法案はダグ・バーガム知事によって拒否され、「自治」の重要性と市民が地方自治体をコントロールできることを理由に挙げた。議会は拒否権を覆そうとしたが失敗した。[ 20 ] 2025年4月、ケリー・アームストロング知事は州内での優先順位投票と承認投票を禁止する法案に署名し、ファーゴでのこの慣行を終了させた。 [ 21 ]
承認は、2011 年、2012 年、2014 年、2016 年にオレゴン独立党が非公開で運営する指名選挙で使用されました。オレゴン州はフュージョン投票州であり、同党はこの方法を使用して議員や州全体の公職者を相互に指名してきました。2016 年の大統領優先予備選挙では、どの候補者も 32% を超える支持を得られなかったため、潜在的な候補者を特定できませんでした。[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]同党は2020 年にSTAR 投票に切り替えました。[ 25 ] [ 26 ]
また、アメリカ連帯党[ 27 ]、テキサス州[ 28 ] [ 29 ]とオハイオ州の緑の党[ 30 ]、リバタリアン全国委員会[31] 、テキサス州[ 32 ]、コロラド州[ 33][ 34 ]、アリゾナ州[ 35 ]、ニューヨーク州[ 36 ]のリバタリアン党、ドイツのアライアンス90/緑の党[ 37 ] 、チェコ[ 38 ]とドイツ海賊党[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]の内部選挙でも使用されている。
社会選択と福祉学会（1992年）[ 42 ] 、アメリカ数学協会（1986年）[ 43 ]、アメリカ数学会[44]、経営科学研究所（1987年）（現在はオペレーションズ・リサーチと経営科学研究所） [ 45 ]、アメリカ統計協会（1987年）[ 46 ] 、電気電子学会（1987年）など、いくつかの学会が承認している。
スティーブン・ブラムスによる1987年の米国数学協会会長選挙（候補者5名）の分析によると、投票者の79%が1名に、16%が2名に、5%が3名に、1%が4名に投票し、当選者は3,924名の投票者のうち1,267名（32%）の支持を得た。[ 5 ] [ 47 ] IEEE理事会は2002年に承認制度の使用を撤回した。IEEE事務局長ダニエル・J・セネーゼは、承認制度を廃止した理由として「会員のほとんどが使用しておらず、もはや必要ないと考えられたため」と述べている。[ 5 ]
承認投票は、ダートマス大学同窓会による大学理事会の議席選挙で使用されていましたが、論争の後[ 48 ]、2009年に同窓生の投票で82%対18%の伝統的な決選投票に置き換えられました[ 49 ]。ダートマスの学生は、2011年に学生自治会会長を選出するために承認投票を使用し始めました。最初の選挙では、当選者は複数の記入候補者に対して41%の支持を得ました[ 50 ] 。 2012年には、スリル・カンタリアが32%の支持を得て当選しました[ 51 ] 。 2013年、2014年、2016年の当選者も40%未満の支持を得ました。[ 52 ] [ 53 ] [ 54 ]ダートマス大学で報告された結果によると、2014年と2016年の選挙では、80%以上の有権者が1人の候補者のみを支持した。[ 53 ] [ 54 ]学生は2017年の選挙前に、承認投票を多数決投票に置き換えた。[ 55 ]
ロバート・J・ウェーバーは1971年に「承認投票」という用語を作り出した。[ 56 ]この用語は1978年に政治学者のスティーブン・ブラムスと数学者のピーター・フィッシュバーンによってより詳細に発表された。[ 57 ]
歴史的に、承認の要素を取り入れたいくつかの投票方法が用いられてきた。
承認の概念は、2003年にX. HuとLloyd Shapleyによって組織における権限配分の研究に採用された。[ 65 ]
承認投票制度では、有権者は妥当だと考えるすべての候補者を選ぶことができる。
戦略的承認は、一般的に有権者が2つの選択肢の優先順位を逆転させる必要がある順位投票（優先順位投票とも呼ばれる）とは異なります。順位投票が大規模に行われると、人気のない候補者が当選してしまう可能性があります。3つ以上の選択肢がある戦略的承認では、有権者は承認の基準値を変更します。有権者は、たとえ優先順位があったとしても、どの選択肢に同じ評価を与えるかを決定します。そのため、3人以上の候補者がいる場合、有権者は2番目に好きな候補者を承認するかどうかという戦術的な懸念を抱くことになります。2番目に好きな候補者を承認すると、有権者は最も好きな候補者の当選の可能性を損なうことになります。一方、2番目に好きな候補者を承認しないと、有権者は最も望まない候補者が2番目に好きな候補者を破り、当選する可能性を高めてしまうことになります。
承認は技術的には可能だが、戦略的には押し倒したり埋めたりできないようになっている。
投票者が候補者「a」のみに投票する場合、投票者は「a」と「b」の両方に投票するのではなく、「a」のみに投票します。これは、「b」に投票すると「a」が落選する可能性があるためです。投票者は「a」または「b」のどちらが当選しても満足しますが、「a」をやや好んでいます。仮に「b」が当選したとしても、この架空の投票者は満足するでしょう。「a」と「b」の両方の支持者がこのように投票すると、候補者「c」が当選する可能性があります。これは「チキン・ジレンマ」を生み出します。「a」と「b」の支持者は、どちらの候補者が落選する前に、どちらが先に戦略的投票をやめるかというチキンゲームをしているのです。
妥協とは、有権者が、本来であれば受け入れられない候補者を、さらに悪い候補者が当選するのを防ぐために、追加で承認することを指す。
承認の専門家は、誠実な投票を「投票者の真の好みを直接反映する、つまり好みを『偽って』報告しない」投票と説明しています。[66] また、投票者の順序的好みの観点から、誠実な承認投票を、ある候補者に投票した場合、より好ましい候補者にも投票する投票として具体的に定義しています。この定義により、誠実な投票は厳密に好ましい候補者を同じように扱うことができ、すべての投票者が少なくとも1つの誠実な投票を持つことが保証されます。この定義により、誠実な投票は同等に好ましい候補者を異なるように扱うこともできます。候補者が2人以上いる場合、すべての投票者は少なくとも3つの誠実な承認投票から選択できます。これらの誠実な承認投票のうち2つは、どの候補者も区別しません。つまり、どの候補者にも投票せず、すべての候補者に投票します。候補者が3人以上いる場合、すべての投票者は、候補者を区別する誠実な承認投票を複数持っています。
上記の定義に基づくと、候補者がA、B、C、Dの4名おり、投票者がA、B、C、Dの順に優先順位を厳密に定めている場合、投票者が心から賛成票を投じる可能性のある選択肢は以下のとおりです。
もし投票者がBとCを同等に好み、Aが最も好ましい候補者であり、Dが最も好ましくない候補者である場合、上記のすべての投票は誠実なものであり、以下の組み合わせも誠実な投票である。
上記の投票結果に基づく決定は、恣意的な「承認基準値」を設定することに等しい。基準値よりも支持率の高い候補者はすべて承認され、基準値よりも支持率の低い候補者はすべて不承認となり、基準値と同数の候補者については、承認されるか否かは恣意的に決定される。
誠実な投票を行うための複数の選択肢がある誠実な投票者は、どの誠実な投票を行うかを選択しなければなりません。投票戦略はその選択を行う方法であり、その場合、戦略的承認は誠実な投票の代替手段ではなく、誠実な投票を含みます。[ 67 ]これは、通常、投票者に対して一意の誠実な投票を行う他の投票システムとは異なります。
候補者が3人以上いる場合、どの真摯な票が使われるかによって、承認選挙の勝者が変わる可能性があります。場合によっては、投票者の選好が変わることなく、承認によってコンドルセ勝者とコンドルセ敗者を含む候補者のいずれかが真摯に選出されることがあります。投票システムにおいて、コンドルセ勝者を選出し、コンドルセ敗者を選出しないことが望ましい結果とみなされる限り、承認は真摯な戦略的投票に対して脆弱であると考えられます。[ 68 ]ある意味では、このようなことが起こり得る状況は安定しており、孤立したケースではありません。[ 69 ]一方で、結果の多様性は承認の美徳として描かれており、投票者の順序選好だけでなく基数効用にも柔軟かつ対応できる承認の姿勢を表しています。[ 70 ]
承認は、投票者が二者択一的な選好を持つ特別なケースで、複数の真摯な投票の問題を回避します。二者択一的な選好を持つ投票者にとって、承認は戦略耐性があります。[ 71 ]すべての投票者が二者択一的な選好を持ち、真摯で戦略耐性のある投票をする場合、承認はコンドルセ勝者を選出することを保証します。[ 72 ]ただし、3人以上の候補者がいる場合に二者択一的な選好を持つことは一般的ではありません。投票者が数人以上いる場合にすべての投票者が二者択一的な選好を持つことはありそうもない状況です。[ 67 ]
二分選好とは、有権者が候補者に対して二段階の選好を持っていることを意味します。すべての候補者は2つのグループに分けられ、有権者は同じグループ内のどの2人の候補者に対しても無関心であり、最上位グループのどの候補者も最下位グループのどの候補者よりも好まれます。[ 73 ] 3人の候補者の間で厳密な選好を持つ有権者（AをBより、BをCより好む）は、二分選好を持っていません。
有権者にとって戦略に左右されない投票とは、他の有権者の投票方法に関わらず、その有権者にとって戦略的に最善の投票方法が存在することを意味する。承認においては、戦略に左右されない投票が存在するならば、それは誠実な投票である。[ 66 ]
複数の真摯な投票に対処するもう1つの方法は、順序選好モデルに承認または受容の閾値を追加することです。承認閾値は、すべての候補者を、投票者が承認する候補者と承認しない候補者の2つのグループに分けます。投票者は複数の候補者を承認することができ、承認した候補者のうち1人を別の承認した候補者よりも優先することができます。受容閾値も同様です。このような閾値では、投票者は閾値を満たすか超えるすべての候補者に投票します。[ 67 ]
閾値投票では、コンドルセ勝者とコンドルセ敗者の両方が存在する場合、コンドルセ勝者を選ばずにコンドルセ敗者を選ばざるを得ない場合もある。しかし、スティーブン・ブラムスによれば、これは承認の弱点ではなく強みである。彼は具体的な説明はせずに、どの候補者が受け入れられるかについての有権者の実際的な判断が、コンドルセ基準やその他の社会的選択基準よりも優先されるべきだと主張している。[ 74 ]
承認制度における投票戦略は、承認制度の二つの相反する特徴によって左右される。一方では、承認制度は「後々の不利益」基準を満たさないため、ある候補者に投票すると、その候補者が、投票者がより好む候補者ではなく当選してしまう可能性がある。他方では、承認制度は「単調性」基準を満たすため、ある候補者に投票しないことは、その候補者の当選を助けることは決してないが、より好まない候補者に敗北させる可能性がある。いずれにせよ、投票者は、より好まない候補者が当選するリスクを負うことになる。投票者は、自身の基数効用、特にフォン・ノイマン＝モルゲンシュテルンの効用定理、そして他者の投票行動の確率を考慮することで、リスクと利益のトレードオフのバランスを取ることができる。
マイヤーソンとウェーバーによって記述された合理的な投票者モデルは、肯定的な将来評価を持つ候補者に投票するという承認戦略を規定している。[ 75 ]この戦略は、モデルの制約の下で、かつ他の投票者の数が十分に多い場合に、投票者の期待効用を最大化するという意味で最適である。
最適な承認投票は常に最も好ましい候補者に投票し、最も好ましくない候補者には投票しない。これは支配戦略である。最適な投票では、候補者が4人以上いる場合、例えば3番目と4番目の選択肢が決定的な票を一緒に獲得または失うことに相関している場合、1人の候補者を支持し、より好ましい候補者に投票しないことが必要になる場合がある。しかし、このような状況は本質的に不安定であるため、このような戦略はまれであるべきである。[ 76 ]
他にも様々な戦略があり、特定の状況においては最適な戦略と一致する場合もある。例えば：
ここで説明する選挙の例では、各派閥の有権者は、0から100までの区間に適合させた以下のフォン・ノイマン＝モルゲンシュテルン効用を共有していると仮定します。これらの効用は、先に示した順位付けと一致しており、各派閥が他の都市までの距離などの他の要素に対する選好よりも、自らの都市を選択することに対する強い選好を反映しています。
これらのユーティリティを用いて、有権者は、ペアワイズ同票の場合の様々なピボット確率に基づいて、最適な戦略的投票を選択します。以下に要約する各シナリオにおいて、すべての有権者は共通のピボット確率セットを共有します。
最初のシナリオでは、有権者は全員、同票になる確率が等しいという前提に基づいて投票先を選択します。その結果、平均以上の効用を持つ候補者に投票します。ほとんどの有権者は第一希望の候補者にのみ投票します。ノックスビル派だけが第二希望のチャタヌーガにも投票します。結果として、コンドルセの敗者であるメンフィスが勝者となり、チャタヌーガが2位となります。このシナリオでは、勝者は少数派の支持（支持よりも不支持の方が多い）を得ており、他の候補者はさらに支持が少なく、どの選択肢も大多数の有権者に平均以上の効用をもたらさなかったという状況を反映しています。
2番目のシナリオでは、すべての有権者がメンフィスが優勝候補、チャタヌーガが次点候補と予想し、メンフィスとチャタヌーガが同点となる確率は、他のどのペアの同点よりも高いと予想します。そのため、各有権者は、最有力候補よりも好ましい候補者に投票し、また、予想される次点候補よりも好ましい候補者が最有力候補であれば、その候補者にも投票します。残りのシナリオも、同様の予想と投票戦略のパターンに従います。
2つ目のシナリオでは、1位が3都市で同率となる。これは、予想されていた優勝都市であるメンフィスがコンドルセの敗者であり、かつ1位にランク付けしなかった投票者からは最下位にランク付けされたためである。
最後のシナリオにおいてのみ、実際の勝者と次点者が予想された勝者と次点者と一致する。結果として、これは安定した戦略的投票シナリオとみなすことができる。ゲーム理論の言葉で言えば、これは「均衡」である。このシナリオでは、勝者はコンドルセ勝者でもある。
「二分法的なカットオフ」を持つ有権者モデルでは、有権者は意味のある基数的選好を持ちつつ、不変の支持率のカットオフを持っていると想定します。つまり、上位3人の候補者、あるいは平均支持率以上のすべての候補者に投票するのではなく、有権者は自らが設定した特定の支持率の「カットオフ」以上のすべての候補者に投票するということです。このカットオフは、候補者の数や種類に関係なく変化しないため、利用可能なすべての選択肢がカットオフを上回るか下回るかのいずれかの場合、有権者は一部の候補者を他の候補者よりも好む場合でも、すべての候補者に投票するか、あるいはどの候補者にも投票しないかのどちらかになります。これは、多くの有権者が支持する候補者がいない場合に、投票権を剥奪され、無関心になるケースを反映していると考えられます。このような場合、多くの有権者は内部的なカットオフを持っている可能性があり、単に上位3人、あるいは平均以上の候補者に投票するとは限りません。
例えば、このシナリオでは、有権者は支持率が50%を超える候補者に投票しています（太字は、有権者がその候補者に投票したことを示します）。
Cは有権者の65％の支持を得て勝利し、Bの60％、Dの40％、Aの35％を上回った。
有権者が投票を受けるための基準が、候補者の支持率が平均以上であること、または支持率が最も高い上位2名の候補者に投票することである場合、これは二分法的な基準ではありません。なぜなら、候補者が撤退するとこの基準が変わる可能性があるからです。一方、投票を受けるための基準が固定されている場合（例えば50%）、これは二分法的な基準であり、以下に示すようにIIAを満たします。
Bが60％で勝利し、Cの55％、Dの40％を上回った。
二者択一の基準を用いると、Cが依然として勝利する。
Bが70％で勝利し、CとAは65％で勝利した。
二者択一の基準を用いると、Cが依然として勝利する。
投票制度を比較する際に用いられる数学的基準のほとんどは、順序尺度で選好する有権者を想定して策定されたものです。一方、承認投票では、有権者は承認の基準値をどこに設定するかという追加的な決定を行う必要があります（上記の例を参照）。この決定方法によって、承認が満たす基準は異なります。
どの基準を考慮すべきかについての絶対的な権威はないが、以下は多くの投票理論家が受け入れ、望ましいと考えている基準である。
承認投票のいくつかのバリエーションと一般化は以下のとおりです。
トリトン・ポーリングはファーゴの有権者に電話をかけ、専門家が予想した通り、かなりの数の有権者が一括投票によってこの投票方法を悪用していたことを発見した。
私たちは、承認投票などの優先順位投票方式への移行を支持します。
共同議長、会計、書記の役職は承認投票によって選出される。
オハイオ州緑の党の大統領候補選出にあたり、「即時決選投票」ではなく「承認投票」を採用することに合意しました。
投票方法：OpaVoteによる承認投票。希望する候補者に何人でも投票できます。
また、すべての選挙は承認投票によって決定されるべきだと考えています。
党員の役職については、大会代議員は承認投票によって投票するものとする。
すべての候補者は、起立投票による承認投票で選出された。
残りの代議員は、割り当てられた議席数よりも多くの代議員候補者がいる場合、承認投票によって選出される。
すべての選挙は承認投票で行われる。
Delegierte für Bundes, Landes- und Bezirksversammlungen werden per Zustimmungsblockwahl gewählt. Jede*r Stimmberechtigte hat so viele Stimmen, wie Bewerber*innen zur Wahl stehen, und kann jeder*m Bewerber*in eine oder keine Stimme geben.
Die Akzeptanzwahl ist aktuell das Standard-Wahlverfahren beim Großteil aller Parteitage in der Piratenpartei.[現在、海賊党のほとんどの党大会では承認投票が標準的な投票方法となっています。】