段階的多数決

段階的多数決（GMJ）は、通常の判断^[1]または連続バックリン投票^[2]とも呼ばれ、中央値が最も高い候補者を選択する単一勝者評価投票ルールです。^[1]これは、2010年にアンドリュー・ジェニングスによって多数決の改良として初めて提案されました。^[3]

GMJ は、まず第一候補の投票をすべて数えます。どの候補者も過半数を獲得しなかった場合、それ以降の候補 (第二、第三など) が徐々に追加され、いずれかの候補者が 50% の支持を得るまで続きます。投票で過半数に達した最初の候補者が勝者となります。

最高中央値

投票は、以下のように各候補者に個別の等級を付ける、カーディナル（等級付け）投票用紙を使用して行う必要があります。

投票を数える際、各投票に対する各等級のシェアを計算します。これが候補者の「メリットプロファイル」です。

各候補者について、私たちは、投票者の過半数がその候補者に高い評価を与えることに反対し、また過半数が低い評価を与えることにも反対する評価として、中間評価または多数評価を決定します。 ^[4]このルールは、選挙人の絶対多数が候補者が少なくともその中間評価に値すると判断し、選挙人の半数がその候補者が最大でもその中間評価に値すると判断することを意味します。^[5]

最も高い中央値評価を持つ候補者が 1 人だけの場合は、その候補者が選出されます (すべての最高中央値投票ルールと同様)。それ以外の場合は、同点決着の手順で選挙が行われます。

同点決着

段階的多数決では、単純な線引き法を使用して同点を決着させます。^{[1]このルールは}多数決などの他のルールよりも説明が容易で、継続性も保証されます。

これをグラフで表すには、与えられたスコアよりも低い支持率を与えた有権者の割合を示すプロットを描き、このグラフ上の点を結ぶ線を引きます。このプロットが 50% と交差する場所が各候補者の最終スコアです。

例

前回と同じ選挙を考えてみましょう。ただし、口頭での評価を 0 から 6 までの数字で再ラベル付けします。

候補者 A と B は両方とも 2 または 3 の間の 50% のしきい値を超えているため、タイブレーク手順を実行する必要があります。実行すると、候補者 A、B、C の平均成績はそれぞれ 3.4、3.1、2.0 であることがわかります。したがって、候補者 A が勝者と宣言されます。

人種の類推

同点決着ルールは、すべての候補者が競争しているという例えで説明できます。各候補者は、1 つの学年から次の学年まで走るのに 1 分かかり、1 つの学年から次の学年まで移動するときには一定の速度で走ります。勝者は、投票の 50% を獲得して最初にゴールラインを越えた候補者です。

数式

ある候補者の中央値がであるとする（同点の場合は、中央値を隣接する値の中間値と定義する）。（賛成者の割合）は、中央値よりも確実に良いスコアを出した選挙人の割合を指すものとする。の反対者の割合（と表記）は、中央値を下回るスコアの割合である。すると、GMJ の完全なスコアは次の式で与えられる：^[1] $c$ $\alpha _{c}$ $p_{c}$ $c$ $c$ $q_{c}$ $n_{c}=\alpha _{c}+{\frac {1}{2}}{\frac {p_{c}-q_{c}}{1-p_{c}-q_{c}}}$

追加のタイブレーク

上記の式で勝者が 1 人に絞られない異例の同点の場合 (複数の受験者のスコアがまったく同じ場合)、中央値に最も近い 3 つの評価をまとめて、同点判定の手順を繰り返すことで同点を解消できます。^[1]上記の例では、「良好」、「普通」、「合格」の評価をすべてまとめて、新しい「合格から良好」の評価を作成し、以前と同じ同点判定の式を適用します。このプロセスは、勝者が見つかるまで複数回繰り返すことができます (より多くの評価をまとめて)。

特性と利点

最高中央値ルールに共通する利点と欠点

選挙制度として、段階的多数決は、戦略的投票への抵抗を含め、多数決のような他の最高中央値投票ルールとほとんどの利点を共有しています。また、ほとんどの欠点も共有しています（たとえば、参加基準を満たしておらず、多数決基準を任意に大きく満たさない可能性があります）。

段階的多数決の具体的な利点

段階的多数決による同票決方式は、他の最高中央値投票ルールに比べて特定の利点があります。

連続

段階的多数決同点決着式によって定義される関数は連続関数（ほぼどこでも微分可能）であるのに対し、多数決と典型的判断の関数は不連続である。^[1]言い換えれば、各候補者の得票数がわずかに変化しても選挙の勝者が変わる可能性は低い。なぜなら、得票率のわずかな変化は全体の評価のわずかな変化しかもたらさないからである。

この特性により、段階的多数決は不正の告発や全票の再集計の要求に直面した場合でも、より堅牢な投票方法となります。わずかな票の差が選挙結果を変える可能性は低いため、候補者が結果に異議を唱える可能性は低くなります。^[1]

参照

参考文献

^ abcdefg Fabre, Adrien (2021). 「最高中央値の同点決着：多数決に代わる選択肢」. Social Choice and Welfare . 56 : 101–124 . doi :10.1007/s00355-020-01269-9. S2CID 226196615 – Springer Link経由。
^ Smith, Warren D. 「BalinskiとLarakiの「多数決」による中央値ベースの範囲型投票制度について」。RangeVoting.org 。範囲投票センター。2024年1月2日閲覧。
^ ジェニングス、アンドリュー（2010）。順序および基数的社会選択関数の単調性と操作可能性（PDF）。アリゾナ州立大学。pp. 25– 30。{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
^ “多数派裁判”. lechoixcommun.fr (フランス語) 。2021年2月8日閲覧。
^ マージョレーヌ・レレイ;ホッグ、キャロル。「もう少し民主主義を? 多数決をテーマにしたマルジョレーヌ・ルレーの漫画」(PDF)。ル・ショワ・コミューン。

[:0222222-1] Fabre, Adrien (2021). 「最高中央値の同点決着：多数決に代わる選択肢」. Social Choice and Welfare . 56 : 101–124 . doi :10.1007/s00355-020-01269-9. S2CID 226196615 – Springer Link経由。

[:022-2] Smith, Warren D. 「BalinskiとLarakiの「多数決」による中央値ベースの範囲型投票制度について」。RangeVoting.org 。範囲投票センター。2024年1月2日閲覧。

[3] ジェニングス、アンドリュー（2010）。順序および基数的社会選択関数の単調性と操作可能性（PDF）。アリゾナ州立大学。pp. 25– 30。{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)

[4] “多数派裁判”. lechoixcommun.fr (フランス語) 。2021年2月8日閲覧。

[:122222-5] マージョレーヌ・レレイ;ホッグ、キャロル。「もう少し民主主義を? 多数決をテーマにしたマルジョレーヌ・ルレーの漫画」(PDF)。ル・ショワ・コミューン。