功利主義のルール

社会選択とオペレーションズリサーチにおいて、功利主義ルール（最大和ルールとも呼ばれる）は、考えられるすべての選択肢の中で、社会は社会のすべての個人の効用の合計を最大化する選択肢を選ぶべきであるというルールである。^{[ 1 ]： sub.2.5}これは功利主義哲学の形式的な数学的表現であり、ハルサニーの功利主義定理またはフォン・ノイマン＝モルゲンシュテルンの定理を参照して正当化されることが多い。

させて${\displaystyle X}$は、起こりうる「世界の状態」または「選択肢」の集合である。社会は、その中から単一の状態を選択したいと考えている。${\displaystyle X}$例えば、単記選挙では、${\displaystyle X}$は候補の集合を表す場合があります。リソース割り当て設定では、${\displaystyle X}$これは、資源のあらゆる可能な割り当てを表している可能性がある。

させて${\displaystyle I}$は有限集合であり、個体の集合を表す。各について${\displaystyle i\in I}$、 させて${\displaystyle u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$は効用関数であり、個人iが各可能な状態から得る幸福の量を記述する。

社会的選択ルールはデータを使用するメカニズムです${\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}$要素を選択する${\displaystyle X}$社会にとって「最善」となるものは何か（「最善」とは何を意味するのかという問題は、社会選択理論の基本的な問題である）。

功利主義ルールは要素を選択する${\displaystyle x\in X}$功利主義的総和を最大化する

${\displaystyle U(x):=\sum _{i\in I}u_{i}(x).}$

功利主義のルールは、関数u _iが何らかの具体的で測定可能な効用を表す場合、解釈と実装が容易です。例えば、^{[ 1 ] : 44}

• 建設業者間で木材を分配する問題を考えてみましょう。効用関数は、彼らの生産力を表す可能性があります。${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$エージェントが所有する建物の数${\displaystyle i}$構築に使用できます${\displaystyle y_{i}}$木材の単位。そして、功利主義的なルールは、建物の数を最大化するように木材を配分します。
• 希少な薬剤を患者間で分配する問題を考えてみましょう。効用関数は、患者の回復の可能性を表すかもしれません。${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$エージェントの確率は${\displaystyle i}$回復するために${\displaystyle y_{i}}$薬の投与量を決定する。そして、功利主義的なルールは、生存者の期待数を最大化するように薬を配分する。

関数u _{i が}何らかの抽象的な「幸福」を表す場合、功利主義のルールは解釈が難しくなる。上記の式が意味を成すためには、効用関数が${\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}$基数的レベルにおいて、基数的かつ対人的に比較可能である。

個人が基数効用関数を持つという考え方は、それほど問題ではありません。基数効用は、ダニエル・ベルヌーイによるサンクトペテルブルクのパラドックスの分析以来、意思決定理論において暗黙のうちに仮定されてきました。基数効用に関する厳密な数学理論（リスクを伴う意思決定への応用を含む）は、フランク・P・ラムジー、ブルーノ・デ・フィネッティ、フォン・ノイマンとモルゲンシュテルン、そしてレナード・サベージによって開発されました。しかし、これらの理論では、個人の効用関数は「アフィン変換」を除いてのみ明確に定義されます。したがって、効用関数が${\displaystyle u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$彼女の好みの妥当な説明であり、もし${\displaystyle r_{i},s_{i}\in \mathbb {R} }$は 2 つの定数で${\displaystyle s_{i}>0}$すると、「再スケーリングされた」ユーティリティ関数${\displaystyle v_{i}(x):=s_{i}\,u_{i}(x)+r_{i}}$これは彼女の好みを表すのに同様に有効な説明です。新しい効用関数のパッケージを定義すると、${\displaystyle (v_{i})_{i\in I}}$異なるものを使用する${\displaystyle r_{i}\in \mathbb {R} }$そして${\displaystyle s_{i}>0}$すべての人々のために${\displaystyle i\in I}$そして次に、功利主義的な合計について考察する。

${\displaystyle V(x):=\sum _{i\in I}v_{i}(x),}$

すると一般的に、最大化者は${\displaystyle V}$最大化者と同じにはならない${\displaystyle U}$したがって、ある意味では、意思決定理論で用いられる基数効用の標準モデルでは、古典的な功利主義的社会選択は明確に定義されない。ただし、異なる個人の効用関数を「調整」するメカニズムが規定されている場合は別である。

相対的功利主義は自然な調整メカニズムを提案する。${\displaystyle i\in I}$値が

${\displaystyle m_{i}\$ :=\ \min _{x\in X}\,u_{i}(x)\quad {\text{および}}\quad M_{i}\  :=\ \max _{x\in X}\,u_{i}(x)}

は明確に定義されています。（例えば、これは常に次の場合に真となります。）${\displaystyle X}$有限である場合、または${\displaystyle X}$コンパクトな空間で${\displaystyle u_{i}}$（は連続関数です。）次に、

${\displaystyle w_{i}(x)\$ :=\ {\frac {u_{i}(x)-m_{i}}{M_{i}-m_{i}}}}

すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$。 したがって、${\displaystyle w_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$は、最小値が 0、最大値が 1 の「再スケーリングされた」効用関数です。相対的功利主義の社会的選択ルールは、要素を選択します。${\displaystyle X}$功利主義的総和を最大化する

${\displaystyle W(x):=\sum _{i\in I}w_{i}(x).}$

抽象的な社会的選択関数としての相対的功利主義は、Cao (1982) ^{[ 2 ]} 、 Dhillon (1998) ^{[ 3 ]} 、 Karni (1998) ^{[ 4 ]} 、 Dhillon and Mertens (1999) ^{[ 5 ] 、Segal (2000) [ 6} ] 、Sobel (2001) ^{[ 7 ]}、およびPivato (2008) ^{[ 8 ]によって分析されてきた}（Cao (1982)はこれを「修正トムソン解」と呼んでいる）。

パレート効率的な社会選択関数は必ず功利主義的な選択関数であり、これはハルサニーの功利主義定理として知られる結果である。具体的には、パレート効率的な社会選択関数は、個々の効用関数の効用関数の線形結合（重みは厳密に正）でなければならない。

投票という文脈において、功利主義の原則はいくつかの投票方法につながる。

• 範囲投票（スコア投票または功利主義投票とも呼ばれる）は、投票者が共通の正規化された尺度上で各選択肢に対する効用を明確に表明できるようにすることで、相対的功利主義のルールを実現する。
• 暗黙の功利主義投票は、有権者が候補者に対して順序的な順位付けのみを表明できるようにしながら、功利主義的なルールに近似しようとするものである。

資源配分の文脈において、功利主義のルールは以下につながる。

• 単一の均質な資源を分割するための特定の規則。
• 実用主義的なケーキカット（異質な資源を分割する）のためのいくつかのルールとアルゴリズム。
• 公平なアイテム配分のための特定のルール。^{[ 9 ]}
• 福祉最大化問題。
• 功利主義的安定マッチング

• 平等主義的な統治
• 比例公平ルール
• 効用最大化問題