物理学の慣例 r θ φ ) : ( ISO 80000-2:2019 ): 半径距離r (原点からの斜距離 )、極角θ (シータ ) (正の極軸に対する角度)、および方位角φ (ファイ ) (初期子午線面からの回転角)。この記事ではこの慣例に従います。 数学 では、球面座標系は、 距離と2つの角度を3つの座標として使用して、 3次元空間 内の特定の点を指定します。これらは
原点 と呼ばれる固定点と点を結ぶ線に沿った半径方向の 距離r この放射状線と特定の極軸との間 の 角 θ a ] 方位角 φは 回転角 である。 [ b ] （「物理学の慣例」に関する図を参照してください。）
半径が固定されると、3つの座標（r 、θ 、φ ）からなる3タプルによって、 球面 上の座標系（一般に球面極座標 と呼ばれる）が定義されます。原点を通り極軸に垂直な 平面 （極角が直角 となる平面）を基準平面 基本平面
用語 原点からの半径方向の距離は、半径 、放射線 、または放射座標 とも呼ばれます。極角は、傾斜角 天頂角 法線角 余緯度 補角である 仰角 高度角 。 俯角は仰角 の負の値です。（「物理学の慣例」に関する図を参照してください。「数学の慣例」ではありません。）
記号の使用方法とタプル座標の命名順序は、さまざまな情報源や分野によって異なります。この記事では、物理学 でよく見られるISO 規約[ 1 ] （ r 、 θ 、 φ ） {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} （ ρ 、 θ 、 φ ） {\displaystyle (\rho ,\theta ,\varphi )} （ r 、 θ 、 φ ） {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} これ は、記号θとφの用途と意味を入れ替えるものです。原点からではなくz 軸からの半径を表すrなど、他の表記法も使用できます。
数学の慣例 ( r 、θ 、φ )は、半径距離 r 、方位角θ 、極角φ を 表します。+物理学の慣例 と比較すると、 θ と φ の意味が 入れ替わっ ています 。「南」方向の x 軸は示されていますが、「北」方向の x 軸は示されていません。（物理学と同様に、円筒座標や 2 次元極座標におけるr の値との混同を避けるため、rの代わりに ρ (ロー ) がよく使用されます。） 地理座標系 の慣例によれば、位置は緯度、経度、および高さ（高度）で測定されます。天体座標系には、異なる 基本平面 に基づき、さまざまな座標を表す用語が異なるものが数多く存在します。数学で使用される球面座標系では、通常、度 ではなくラジアン が使用されます（注：90度はπ / 2 数学の慣例 に基づくこれらのシステムでは、水平座標系のように時計回り（ つまり、北方向のx軸（0°）から東方向の y 軸（+90°）に向かって） ではなく、反時計 回り（つまり、南方向のx軸（180°）から東方向のy軸（+90°）に向かって）に方位角を 測定する場合があります。[ 2 ] （「数学の慣例」に関する図を参照）。
物理学 における球面座標系は、3次元空間 における極座標系 の一般化と見なすことができる。さらに高次元空間に拡張することも可能であり、その場合は超球面座標系
意味 球面座標系を定義するには、空間内の原点O と 天頂基準 方向と方位基準 方向を指定する必要があります。これらの選択によって基準面が決定され、通常は原点と x 軸および y 軸を含む平面として定義されます。 これらの軸 のいずれかを 方位基準 方向として指定できます。基準面は天頂方向に対して垂直（直交）であり、通常は天頂方向の「垂直」に対して「水平」に指定されます。点P の球面座標は次のように定義されます。
半径または半径距離 は、原点O から点 P ユークリッド距離 です。 傾斜角 （または極角 ）とは、天頂基準方向から線分OP までの符号付き角度のことです。（傾斜角 の代わりに仰角を 極角として使用することもできます。下記参照。）方位角 方位基準角）とは、 方位基準方向から基準平面上の放射状線分 OP の直交投影までの距離を表す符号付き角度のことです。方位角の符号は、天頂を中心とした回転の正の方向を指定することによって決定されます。この選択は任意であり、座標系の定義の一部です。（傾斜角が0度または180度（＝ π ラジアン）の場合、方位角は任意です。半径が0の場合、方位角と傾斜角の両方が任意です。）
仰角は OP までの符号付き角度であり、正の角度は上向き、つまり天頂方向を指します。仰角は 90度（= π/2ラジアン）から傾斜角を引いた値です。 したがって 、 傾斜 角 60 度（= π/3ラジアン）の場合、 仰角 は 30 度 π / 6 ラジアン） と
線形代数 では、原点O から点Pへの ベクトルは 、しばしばP の位置ベクトル
慣例 球面座標の表現方法や記号の命名順序については、いくつかの異なる慣例が存在する。3タプル数セット（ r 、 θ 、 φ ） {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} （ 「傾斜角」または「仰角」）、および方位角を表します。これは、 ISO 規格80000-2:2019 、およびそれ以前のISO 31-11 （1992）で規定されているように、物理学の慣例における一般的な方法です。
上記のとおり、特に断りのない限り、この記事ではISOの「物理規約」について説明します。
しかし、一部の著者（数学者を含む）は、半径または半径距離にρ （ロー）、傾斜角（または仰角）にφ 、方位角にθ という記号を使用する一方、半径にr を使い続ける著者もいます。 これらはすべて「通常の極座標表記の論理的な拡張」です。[ 3 ] 前に 記載する著者もいます。これらの選択肢の組み合わせによっては、左手 座標系になります。標準的な「物理学の慣例」である3つ組のセット（ r 、 θ 、 φ ） {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} 極座標 と3次元円筒座標 の通常の表記法と矛盾する。これらの表記法では、θは 方位角を表すためによく使われる。[ 3 ]
角度は通常、度（°）またはラジアン（rad）で測定され、 360 ° = 2π rad です 。 度は地理学、天文学、工学で最もよく使用され、ラジアンは数学や理論物理学 でよく使用されます。半径方向の距離の単位は通常、文脈によって決定され、「単位球」の応用例で発生します（応用例を 参照）。
物理的な3次元空間を表すためにこのシステムを使用する場合、基準面上の基準方向から反時計回りに測定した方位角に正の値を割り当てるのが慣例です。 これ は、基準面の「天頂」側から見た場合です。この慣例は特に地理座標系で用いられ、天頂方向は北 であり、正の方位角（経度）は本初子午線 から東向きに測定されます。
注： 東方向（E ）、北方向（N ） 、上方向（U ）。 （U 、S 、E ） の場合、ローカル方位角は S からE に向かって反時計回りに 測定されます。
固有の座標 任意の球面座標の三つ組（またはタプル）（ r 、 θ 、 φ ） {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} （ − r 、 θ 、 φ ） {\displaystyle (-r,\theta ,\varphi )} （ r 、 θ + 180 ∘ 、 φ ） {\displaystyle (r,\theta {+}180^{\circ },\varphi )} （ r 、 180 ∘ − θ 、 φ + 180 ∘ ） {\displaystyle (r,180^{\circ }{-}\theta ,\varphi {+}180^{\circ })} 任意のr 、θ 、φ に対して。さらに、（ r 、 − θ 、 φ ） {\displaystyle (r,-\theta ,\varphi )} （ r 、 θ 、 φ + 180 ∘ ） {\displaystyle (r,\theta ,\varphi {+}180^{\circ })}
各点に対して一意の球面座標系を定義する必要がある場合は、ユーザーは各座標の範囲（区間とも呼ばれる ）を制限する必要があります。一般的な選択肢は次のとおりです。
半径方向距離: r ≥ 0、 極角: 0° ≤ θ ≤ 180° 、または0 rad ≤ θ ≤ π rad 、 方位角 : 0° ≤ φ < 360° 、または0 rad ≤ φ < 2 π rad 。 方位角φは 、区間[ 0°, 360°)ではなく、 半開区間 (−180°, +180° ] 、または(−π , + π ] ラジアンに制限されることがあります。これは、地理的経度の標準的な慣例です。
極角θ の場合、傾斜角の範囲（区間）は[ 0°, 180° ]であり、これは標高の範囲（区間） [ −90°, +90° ]
これらの制約があっても、極角（傾斜角）が0°または180° （ 仰角が-90°または+90° ） の場合、方位角は任意になります。また、 r がゼロの場合、方位角と極角の両方が任意になります。座標を一意に定義するために、ユーザーは（これらの場合）任意の座標をゼロに設定するという慣例を宣言できます。
プロット 任意の点をその球面座標( r 、θ 、φ ) からプロットするには、θ は傾斜角です。ユーザーは、天頂基準方向 (z 軸) で原点からr 単位移動し、次に指定された方位角基準 方向 (つまり、x 軸または y 軸、上記の定義を参照) から 原点を中心に 方位角 ( φ ) だけ回転させ、最後にz 軸から θ 角だけ回転させます。
アプリケーション 数学の慣例 単位球 を示す地球儀。点P (赤) の座標は、半径方向距離r (赤 、ラベルなし)、方位角θ (ラベルなし)、および極 傾斜 角φ (ラベルなし) の 3 組で表されます。原点から球面までの天頂軸に沿った半径方向距離は、1 とします。+ この画像では、r は 4/6、つまり 0.67 (1 の 1) に等しいように見えます。つまり、6 つの「入れ子状の殻」のうち 4 つが球面まで達しています。 方位 角 θは 、方位 基準の x 軸から反 時計回りに回転させた正の 90° に等しいように見えます。傾斜角 φ は、天頂 軸から 回転 させた 30° に等しいように見えます。(天頂軸から y 軸への「完全な」回転、つまり傾斜は90° であることに注意してください)。平面上では2次元直交座標系が 有用であり、 幅広い用途があるのと同様に、 球面上では2次元球面座標系が有用です。例えば、直交座標系で x² + y² + z² = c² 、 球面座標系では r = c という 、 数学の慣例に従って 、 球は単位球として扱われ、半径 は 1
この（単位球による）簡略化は、回転行列 などのオブジェクトを扱う際にも役立ちます。球面座標は、球内部の体積積分 、集中した質量または電荷を取り囲む位置エネルギー場、惑星の大気における全球気象シミュレーションなど、ある点に関してある程度の対称性を持つシステムを解析する際にも役立ちます。
ここに示した工業用スピーカー の出力パターンは、6つの周波数で取得した球面極座標プロットを使用しています。スピーカー の出力パターンを3次元でモデル化することで、その性能を予測できます。周波数によってパターンが大きく変化するため、幅広い周波数で多数の極座標プロットを作成する必要があります。極座標プロットは、多くのスピーカーが低周波数域で無指向性を示す傾向があることを示すのに役立ちます。
球面座標の重要な応用例の一つは、多くの物理問題で発生するラプラス方程式とヘルムホルツ方程式という2つの偏微分方程式の変数分離を可能にすることです。 この ような方程式 の 解の 角度部分は 球面調和関数 の形をとります。もう一つの応用例は人間工学設計 で、rは静止した人の腕の長さ、角度は腕を伸ばす方向を表します。球面座標系は、3D ゲーム開発 でプレイヤーの位置を中心にカメラを回転させるためにもよく使われます[ 4 ]。
地理学において 地理座標系 では、傾斜角の代わりに仰角（または緯度 ドメイン ）は−90° ≤ φ ≤ 90°で、 赤道 面から北に回転します。緯度（つまり緯度の角度 ）は、地球の中心から測定（回転）された地心緯度 ψ 、 q 、 φ ′、 φc 、 φg など 。 極角 （傾斜 角 は 、 余緯度
地球上の特定の位置の方位角（または経度 ）は、一般的にλ で表され、慣習的な基準子午線 （最も一般的にはIERS基準子午線 ）から東または西に度数で測定されます。したがって、その範囲（またはレンジ）は-180° ≤ λ ≤ 180° であり、特定の読み取り値は通常「東」または「西」と指定されます。地球 またはその他の固体天体上の位置の場合、基準面は通常 、回転軸 に垂直な面とみなされます。
地理学者は、半径距離rの代わりに、 平均海面 などの局所的な基準面 (垂直基準面 高度 または下方高度を一般的に使用します。必要に応じて、地球の半径 (約6,360 ± 11 km (3,952 ± 7 マイル)) を加えることで、高度から半径距離を計算できます。
しかし、現代の地理座標系は非常に複雑であり、これらの単純な公式から導き出される位置は数キロメートルもの誤差が生じる可能性があります。緯度、経度 、高度の正確な標準値は、現在、 世界測地系 （WGS）によって定義されており、極地における地球の扁平率（約21km または13マイル ）やその他の多くの詳細を考慮に入れています。
惑星座標系は、 地理座標系と同様の定式化を用いる。
座標系の変換 球面座標系は数ある三次元座標系の一つに過ぎないため、球面座標系と他の座標系との間で座標を変換するための式が存在する。
デカルト座標 ISO規約における点の球面座標（物理学では半径 r 、傾斜角 θ 、方位角 φ ）は、その デカルト座標 （x 、y 、z ） から以下の式で求めることができる。
r = x 2 + y 2 + z 2 θ = アルコス z x 2 + y 2 + z 2 = アルコス z r = { アークタン x 2 + y 2 z もし z > 0 π + アークタン x 2 + y 2 z もし z < 0 + π 2 もし z = 0 そして x 2 + y 2 ≠ 0 未定義 もし x = y = z = 0 φ = サイン （ y ） アルコス x x 2 + y 2 = { アークタン （ y x ） もし x > 0 、 アークタン （ y x ） + π もし x < 0 そして y ≥ 0 、 アークタン （ y x ） − π もし x < 0 そして y < 0 、 + π 2 もし x = 0 そして y > 0 、 − π 2 もし x = 0 そして y < 0 、 未定義 もし x = 0 そして y = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\arccos {\frac {z}{r}}={\begin{cases}\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z>0\\\pi +\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}z=0{\text{ そして}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\neq 0\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=y=z=0\\\end{cases}}\\\varphi &=\operatorname {sgn}(y)\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{if }}x>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}\end{aligned}}} sgn(0) = 1 です。φ = arctan y / x 逆正接は、上記の式で行ったように、 ( x , y ) の正しい象限を考慮して適切に定義する必要があります。atan2 に関する記事を参照してください。
あるいは、この変換は、直交座標から極座標への2つの連続した変換 として考えることができます。1つ目は、デカルト座標系xy 平面における( x , y )から ( R , φ ) への変換で、Rは rの xy 平面への投影です。2つ目は、デカルト座標系zR 平面における( z , R )から ( r , θ ) への変換です。φとθ の正しい象限は、平面 直交座標から極座標への変換が正しいことによって示されます。
これらの式は、2 つのシステムが同じ原点を持ち、球面基準面がデカルト座標系のxy 平面であり、θが z 方向からの傾斜角であり、方位角がデカルト座標系のx 軸から測定される(したがってy軸は φ = +90°が 天頂からの傾斜角ではなく基準面からの仰角を測定する場合、上記の arccos は arcsin になり、下記のcos θ とsin θ は入れ替わります。
逆に、デカルト座標は球面座標（半径 r 、傾斜角 θ 、方位角 φ ）から取得できます。ここで、 r ∈ [ 0, ∞)θ ∈ [ 0, π ] φ ∈ [ 0, 2 π )x = r 罪 θ コス φ 、 y = r 罪 θ 罪 φ 、 z = r コス θ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&=r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}}
円筒座標 円筒座標 （軸 半径 ρ 、方位角 φ 、仰角 z ）は、次の式によって球面座標（中心半径 r 、傾斜角 θ 、方位角 φ ）に変換できます。
r = ρ 2 + z 2 、 θ = アークタン ρ z = アルコス z ρ 2 + z 2 、 φ = φ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta &=\arctan {\frac {\rho }{z}}=\arccos {\frac {z}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\varphi &=\varphi .\end{aligned}}}
逆に、球面座標は次の式によって円筒座標に変換できます。
ρ = r 罪 θ 、 φ = φ 、 z = r コス θ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=r\sin \theta ,\\\varphi &=\varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}}
これらの式は、2つのシステムが同一の原点および同一の基準面を持ち、方位角φ を同一の軸から同一の方向で測定し、球面角θが 円筒z 軸からの傾斜角であることを前提としています。
楕円体座標 球面座標系の修正版を用いることで、デカルト座標系における楕円体を扱うことも可能である。
P をレベルセットによって指定される楕円体とする
1 x 2 + b y 2 + c z 2 = d 。 {\displaystyle axe^{2}+by^{2}+cz^{2}=d.}
ISO規約における点Pの修正球面座標（物理学では半径 r 、傾斜角 θ 、方位角 φ ）は、その デカルト座標 （x 、y 、z ） から以下の式で得られる。
x = 1 1 r 罪 θ コス φ 、 y = 1 b r 罪 θ 罪 φ 、 z = 1 c r コス θ 、 r 2 = 1 x 2 + b y 2 + c z 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{\sqrt {a}}}r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&={\frac {1}{\sqrt {b}}}r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&={\frac {1}{\sqrt {c}}}r\cos \theta ,\\r^{2}&=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}.\end{aligned}}}
微小体積要素は次のように与えられる。
d V = | ∂ （ x 、 y 、 z ） ∂ （ r 、 θ 、 φ ） | d r d θ d φ = 1 1 b c r 2 罪 θ d r d θ d φ = 1 1 b c r 2 d r d Ω 。 {\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,dr\,d\theta \,d\varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega .}
平方根の因数は、行列式 の性質、つまり定数を列から引き出すことができるという性質に由来します。
| k 1 b c k d e f k g h 私 | = k | 1 b c d e f g h 私 | 。 {\displaystyle {\begin{vmatrix}ka&b&c\\kd&e&f\\kg&h&i\end{vmatrix}}=k{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}.}
球面座標における積分と微分 球面座標における単位ベクトル 以下の式（Iyanaga 1977）は、物理学の慣例 に従って、余緯度θが 正のz 軸からの傾斜角であると仮定しています。
( r , θ , φ )から ( r + dr , θ + d θ , φ + d φ ) への微小変位に対する線要素 は d r = d r r ^ + r d θ θ ^ + r 罪 θ d φ φ ^ 、 {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\hat {\mathbf {r} }}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} ,} r ^ = 罪 θ コス φ x ^ + 罪 θ 罪 φ y ^ + コス θ z ^ 、 θ ^ = コス θ コス φ x ^ + コス θ 罪 φ y ^ − 罪 θ z ^ 、 φ ^ = − 罪 φ x ^ + コス φ y ^ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\sin \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=\cos \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}&=-\sin \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}} r 、θ 、φ の増加方向における 局所直交単位ベクトルであり、 x̂ ŷ ẑ 回転行列 である。 R = （ 罪 θ コス φ 罪 θ 罪 φ − コス θ コス θ コス φ コス θ 罪 φ − 罪 θ − 罪 φ コス φ − 0 ） 。 {\displaystyle R={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \theta \\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}}.}
これはデカルト座標から球面座標への変換を表し、逆方向の変換はその逆行列によって表されます。注：この行列は直交行列 であり、その逆行列は単に転置行列 です。
したがって、デカルト座標系の単位ベクトルは、球面座標系の単位ベクトルと次のような関係にある。 [ x ^ y ^ z ^ ] = [ 罪 θ コス φ コス θ コス φ − 罪 φ 罪 θ 罪 φ コス θ 罪 φ − コス φ コス θ − 罪 θ − 0 ] [ r ^ θ ^ φ ^ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\end{bmatrix}}}
微分線素を証明する公式の一般形は[ 5 ]である。 d r = ∑ 私 ∂ r ∂ x 私 d x 私 = ∑ 私 | ∂ r ∂ x 私 | ∂ r ∂ x 私 | ∂ r ∂ x 私 | d x 私 = ∑ 私 | ∂ r ∂ x 私 | d x 私 x ^ 私 、 {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|{\frac {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}{\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|\,\mathrm {d} x_{i}\,{\hat {\boldsymbol {x}}}_{i},} r {\displaystyle \mathbf {r} }
これを今回のケースに適用するには、どのように計算するかr {\displaystyle \mathbf {r} } r = [ r 罪 θ コス φ r 罪 θ 罪 φ r コス θ ] 、 x 1 = r 、 x 2 = θ 、 x 3 = φ 。 {\displaystyle \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}r\sin \theta \,\cos \varphi \\r\sin \theta \,\sin \varphi \\r\cos \theta \end{bmatrix}},x_{1}=r,x_{2}=\theta ,x_{3}=\varphi .}
したがって、 ∂ r ∂ r = [ 罪 θ コス φ 罪 θ 罪 φ コス θ ] = r ^ 、 ∂ r ∂ θ = [ r コス θ コス φ r コス θ 罪 φ − r 罪 θ ] = r θ ^ 、 ∂ r ∂ φ = [ − r 罪 θ 罪 φ − r 罪 θ コス φ 0 ] = r 罪 θ φ ^ 。 {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi \\\cos \theta \end{bmatrix}}=\mathbf {\hat {r}} ,\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}={\begin{bmatrix}r\cos \theta \,\cos \varphi \\r\cos \theta \,\sin \varphi \\-r\sin \theta \end{bmatrix}}=r\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}={\begin{bmatrix}-r\sin \theta \,\sin \varphi \\{\hphantom {-}}r\sin \theta \,\cos \varphi \\0\end{bmatrix}}=r\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} 。}
必要な係数は、これらのベクトルの大きさです。[ 5 ] | ∂ r ∂ r | = 1 、 | ∂ r ∂ θ | = r 、 | ∂ r ∂ φ | = r 罪 θ 。 \displaystyle \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\right|=1,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right|=r,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\right|=r\sin \theta .}
半径r （一定）の球面上のθ からθ +dθ 、 φから φ +dφ まで 要素 は、 d S r = ‖ ∂ r ∂ θ × ∂ r ∂ φ ‖ d θ d φ = | r θ ^ × r 罪 θ φ ^ | d θ d φ = r 2 罪 θ d θ d φ 。 {\displaystyle \mathrm {d} S_{r}=\left\|{\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \varphi }}\right\|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left|r{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\times r\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\right|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}
したがって、微分立体角 は d Ω = d S r r 2 = 罪 θ d θ d φ 。 {\displaystyle \mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathrm {d} S_{r}}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}
極角θ が一定の曲面（原点に頂点を持つ円錐）の表面要素は d S θ = r 罪 θ d φ d r 。 {\displaystyle \mathrm {d} S_{\theta }=r\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} r.}
方位角φ が一定の表面（垂直半平面）の表面要素は d S φ = r d r d θ 。 {\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta .}
r からr + dr θ からθ + d θ φ からφ + d φ 体積要素 は、偏微分 のヤコビ行列 の行列式 によって指定されます。 J = ∂ （ x 、 y 、 z ） ∂ （ r 、 θ 、 φ ） = （ 罪 θ コス φ r コス θ コス φ − r 罪 θ 罪 φ 罪 θ 罪 φ r コス θ 罪 φ − r 罪 θ コス φ コス θ − r 罪 θ − 0 ） 、 {\displaystyle J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}},} d V = | ∂ （ x 、 y 、 z ） ∂ （ r 、 θ 、 φ ） | d r d θ d φ = r 2 罪 θ d r d θ d φ = r 2 d r d Ω 。 {\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega ~.}
したがって、例えば、関数f ( r , θ , φ )は、三重積分 によってR 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 ∞ f （ r 、 θ 、 φ ） r 2 罪 θ d r d θ d φ 。 {\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{\infty }f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}
このシステムにおけるdel 演算子は、スカラー場の勾配 とラプラシアン について以下の式をもたらします。 ∇ f = ∂ f ∂ r r ^ + 1 r ∂ f ∂ θ θ ^ + 1 r 罪 θ ∂ f ∂ φ φ ^ 、 ∇ 2 f = 1 r 2 ∂ ∂ r （ r 2 ∂ f ∂ r ） + 1 r 2 罪 θ ∂ ∂ θ （ 罪 θ ∂ f ∂ θ ） + 1 r 2 罪 2 θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = （ ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r ） f + 1 r 2 罪 θ ∂ ∂ θ （ 罪 θ ∂ ∂ θ ） f + 1 r 2 罪 2 θ ∂ 2 ∂ φ 2 f 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla ^{2}f&={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]&=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~,\\[8pt]\end{aligned}}} そして、ベクトル場 の発散 と回転 について、以下の式が得られる。
∇ ⋅ A = 1 r 2 ∂ ∂ r （ r 2 A r ） + 1 r 罪 θ ∂ ∂ θ （ 罪 θ A θ ） + 1 r 罪 θ ∂ A φ ∂ φ 、 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },} ∇ × A = 1 r 罪 θ [ ∂ ∂ θ （ A φ 罪 θ ） − ∂ A θ ∂ φ ] r ^ + 1 r [ 1 罪 θ ∂ A r ∂ φ − ∂ ∂ r （ r A φ ） ] θ ^ + 1 r [ ∂ ∂ r （ r A θ ） − ∂ A r ∂ θ ] φ ^ 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[{\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right]{\hat {\mathbf {r} }}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right]{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\end{aligned}}}
さらに、デカルト座標系における逆ヤコビアンは次のようになる。 J − 1 = （ x r y r z r x z r 2 x 2 + y 2 y z r 2 x 2 + y 2 − （ x 2 + y 2 ） r 2 x 2 + y 2 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0 ） 。 {\displaystyle J^{-1}={\begin{pmatrix}{\dfrac {x}{r}}&{\dfrac {y}{r}}&{\dfrac {z}{r}}\\\\{\dfrac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {-\left(x^{2}+y^{2}\right)}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.} テンソルは g = J T J {\displaystyle g=J^{T}J}
運動学 球面座標では、点または粒子の位置は（ただし、3 組として記述する方が適切） （ r 、 θ 、 φ ） {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} ) は[ 8 ] r = r r ^ 。 {\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {\hat {r}} .} [ 8 ] v = d r d t = r ˙ r ^ + r θ ˙ θ ^ + r φ ˙ 罪 θ φ ^ {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r\,{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\,{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} } [ 8 ] 1 = d v d t = + （ r ¨ − r θ ˙ 2 − r φ ˙ 2 罪 2 θ ） r ^ + （ r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ − r φ ˙ 2 罪 θ コス θ ） θ ^ + （ r φ ¨ 罪 θ + 2 r ˙ φ ˙ 罪 θ + 2 r θ ˙ φ ˙ コス θ ） φ ^ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} ={}&{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\[1ex]={}&{\hphantom {+}}\;\left({\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {r}} \\&{}+\left(r\,{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&{}+\left(r{\ddot {\varphi }}\,\sin \theta +2{\dot {r}}\,{\dot {\varphi }}\,\sin \theta +2r\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{整列}}}
角運動量 は L = r × p = r × m v = m r 2 （ − φ ˙ 罪 θ θ ^ + θ ˙ φ ^ ） {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} =mr^{2}\left(-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} +{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\right)} m {\displaystyle m} は質量です。定数φ またはθ = π / 2 の し ます 。
対応する角運動量演算子は 、上記の位相空間再定式化から導かれる。 L = − 私 ℏ r × ∇ = 私 ℏ （ θ ^ 罪 （ θ ） ∂ ∂ ϕ − ϕ ^ ∂ ∂ θ ） 。 {\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar ~\mathbf {r} \times \nabla =i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right).}
トルクは[ 8 ]で与えられる。 τ = d L d t = r × F = − m （ 2 r r ˙ φ ˙ 罪 θ + r 2 φ ¨ 罪 θ + 2 r 2 θ ˙ φ ˙ コス θ ） θ ^ + m （ r 2 θ ¨ + 2 r r ˙ θ ˙ − r 2 φ ˙ 2 罪 θ コス θ ） φ ^ {\displaystyle \mathbf {\tau } ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =-m\left(2r{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\sin \theta +r^{2}{\ddot {\varphi }}\sin {\theta }+2r^{2}{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos {\theta }\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}+m\left(r^{2}{\ddot {\theta }}+2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}-r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}
運動エネルギー は次のように与えられる[ 8 ] E k = 1 2 m [ （ r ˙ ） 2 + （ r θ ˙ ） 2 + （ r φ ˙ 罪 θ ） 2 ] {\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {r}}\right)^{2}+\left(r{\dot {\theta }}\right)^{2}+\left(r{\dot {\varphi }}\sin \theta \right)^{2}\right]}
参考文献 ↑ 「ISO 80000-2:2019 数量及び単位－第2部：数学」。ISO 。 2020年5月19日。pp. 20–21 。項目番号2-17.3 。 2020年8月12日 取得 。 ↑ Duffett-Smith、P および Zwart、J、p. 34. 1 2 エリック・W・ワイススタイン （2005年10月26日）。 「球面座標」 。MathWorld 。 2010 年1月15日 取得。 ↑ 「ビデオゲームの数学：極座標と球面座標表記」 。 アカデミー・オブ・インタラクティブ・エンターテイメント（AIE） 。 2022年2月16日 取得 。 1 2 "球面座標における線要素 (dl) の導出/図" . Stack Exchange . 2011 年 10 月 21 日。 ↑ 「球面座標における2点間の距離」 。 ↑ 「球面座標における内積と外積を計算するための一般的な公式は何ですか？ 」 1 2 3 4 5 リード、ブルース・キャメロン (2019)。 ケプラー楕円 ：重力二体問題の物理学 。モーガン＆クレイプール出版社、物理学会。サンラファエル[カリフォルニア州]（40 Oak Drive, San Rafael, CA, 94903, US） 。ISBN 978-1-64327-470-6 OCLC 1104053368。 {{cite book}}: CS1 maint: location (リンク) CS1 maint: location 発行元が見つかりません (リンク)
参考文献 彌永章吉；川田幸義（1977）。数学百科事典 ISBN 978-0262090162 。 Morse PM 、Feshbach H (1953).理論物理学の方法、第 1 部 . ニューヨーク: McGraw-Hill. p. 658. ISBN 0-07-043316-X 。LCCN 52011515。 Margenau H 、Murphy GM (1956)。物理学と化学の数学 . 177–178。LCCN 55010911。 Korn GA 、Korn TM (1961)。『科学者と技術者のための数学ハンドブック』 。ニューヨーク：マグロウヒル。pp. 174–175。LCCN 59014456。ASIN B0000CKZX7。 ザウアー R、ザボー I (1967)。Ingenieurs の数学 。ニューヨーク: Springer Verlag。95 ～ 96ページ。LCCN 67025285。 Moon P、Spencer DE (1988)「球面座標 (r, θ, ψ)」『場の理論ハンドブック：座標系、微分方程式、およびその解法』 （第2版、第3版改訂 版）。ニューヨーク：Springer-Verlag。pp. 24–27（表1.05）。ISBN 978-0-387-18430-2 。 Duffett-Smith P 、 Zwart J (2011).電卓またはスプレッドシートを使った実践天文学、第4版 。ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。p. 34。ISBN 978-0521146548 。
外部リンク 「球面座標」、数学百科事典 EMS Press 、2001年 [1994年] MathWorldにおける球面座標の説明 座標変換ツール – 極座標、直交座標、球面座標間の変換を行います
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla ^{2}f&={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]&=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~,\\[8pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c085b5d702755a656ad961a224d007f50c7dfe76)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[{\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right]{\hat {\mathbf {r} }}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right]{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2477820afa14dd84fdaba95b49d463fba1ee65)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} ={}&{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\[1ex]={}&{\hphantom {+}}\;\left({\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {r}} \\&{}+\left(r\,{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&{}+\left(r{\ddot {\varphi }}\,\sin \theta +2{\dot {r}}\,{\dot {\varphi }}\,\sin \theta +2r\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb548d3f8b0f22d189e8bca1bd0c6e4815908bb0)
![{\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {r}}\right)^{2}+\left(r{\dot {\theta }}\right)^{2}+\left(r{\dot {\varphi }}\sin \theta \right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635f4dc13b75d1e1b4fe939530265e5408b97921)