二重フーリエ球面法

数学において、二重フーリエ球面法( DFS )は、経度方向と緯度方向の両方で周期性を維持しながら、球面上で定義された関数を長方形領域上で定義された関数に変換する手法です。

まず、球面上の関数は球面座標を使って次のように表される。 ${\displaystyle f(x,y,z)}$${\displaystyle f(\lambda ,\theta )}$

${\displaystyle f(\lambda ,\theta )=f(\cos \lambda \sin \theta ,\sin \lambda \sin \theta ,\cos \theta ),(\lambda ,\theta )\in [-\ pi ,\pi ]\times [0,\pi ].}$

関数はでは -周期的であるが、 では周期的ではない。緯度方向の周期性は失われている。これを回復するには、関数を「2倍にして」、 上の関連関数を次のように定義する。 ${\displaystyle f(\lambda ,\theta )}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}$

${\displaystyle {\tilde {f}}(\lambda ,\theta )={\begin{cases}g(\lambda +\pi ,\theta ),&(\lambda ,\theta )\in [-\pi ,0]\times [0,\pi ],\\h(\lambda ,\theta ),&(\lambda ,\theta )\in [0,\pi ]\times [0,\pi ],\\g(\lambda ,-\theta ),&(\lambda ,\theta )\in [0,\pi ]\times [-\pi ,0],\\h(\lambda +\pi ,-\theta ),&(\lambda ,\theta )\in [-\pi ,0]\times [-\pi ,0],\\\end{cases}}}$

ここで、 に対しておよびです。新しい関数はおよびにおいて -周期的であり、極に対応する 線 およびに沿って一定です。${\displaystyle g(\lambda,\theta)=f(\lambda -\pi,\theta)}$${\displaystyle h(\lambda,\theta)=f(\lambda,\theta)}$${\displaystyle (\lambda ,\theta )\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$${\displaystyle {\tilde {f}}}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta =0}$${\displaystyle \theta =\pm \pi }$

この関数は二重フーリエ級数に展開できる。 ${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle {\チルダ {f}}\おおよそ \sum _{j=-n}^{n}\sum _{k=-n}^{n}a_{jk}e^{ij\theta }e ^{ik\lambda }}$

^{DFS法はメリリーズ[1]}によって提案され、スティーブン・オルザグ^[2]によってさらに発展させられました。DFS法はそれ以来比較的研究が進んでいません（注目すべき例外はフォルンバーグの研究です）^{[3] 。これはおそらく}球面調和関数展開が優勢だったためです。過去15年間で、ブラックホール近くの重力場の計算^[4]や新しい時空 スペクトル解析に使用され始めました。^[5]