63 (数字)

63（六十三）は62 の次で64 の前の自然数である。

63 は2の最初の 6 つの累乗の合計です(2 ⁰ + 2 ¹ + ... 2 ⁵ )。これは 8 番目の高次係数数であり、^[1] 7と25に次ぐ4 番目の中心八面体数です。^{[2]ラベルのない 5 つの要素に対して、63 個の半}集合が存在します。^[3]

63 は、形式 の7 番目の平方素数であり、形式 の 2 番目の平方素数です。これには、13 番目のインデックス付き素数である41の素因数和と、 41因数ツリー内の因数シーケンス (63, 41, 1 , 0 )の一部が含まれています。 ${\displaystyle \,p^{2}\times q}$${\displaystyle 3^{2}\times q}$

ジグモンディの定理は、任意の整数 に対してが互いに素な整数である場合、任意の正の整数 を割り切れる原始素因数が存在するが、次の場合を除く、 ${\displaystyle a>b>0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle a^{n}-b^{n}}$${\displaystyle a^{k}-b^{k}}$${\displaystyle k<n}$

• ${\displaystyle n=1}$、素因数が存在しない、${\displaystyle a-b=1;\;}$${\displaystyle a^{n}-b^{n}=1}$
• ${\displaystyle n=2}$、2 のべき乗。ただし、の奇数の素因数はいずれもに含まれ、 は偶数である。${\displaystyle a+b\;}$${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a^{1}-b^{1})}$${\displaystyle a^{1}-b^{1}}$

および の特別なケースでは となり、となる。^[4]${\displaystyle n=6}$${\displaystyle a=2}$${\displaystyle b=1}$${\displaystyle a^{6}-b^{6}=2^{6}-1^{6}=63=3^{2}\times 7=(a^{2}-b^{2})^{2}(a^{3}-b^{3})}$

63 は の形のメルセンヌ数である[ 5 ]が、^これはメルセンヌ素数 を生じない。63 は 44 番目の合成数だからである。^[6]これは、メルセンヌ数列の中で、その素因数が数列の少なくとも 1 つの前の要素 (それぞれ3と7、最初のメルセンヌ素数と 2 番目のメルセンヌ素数) の因数である唯一の数である。^[7]メルセンヌ数の一覧では、63 はメルセンヌ素数31と127の間にあり、127 は 31 番目の素数である。^[5]最も単純な形 の31番目の奇数は 63 である。^[8]これはの形の4 番目のウッドオール数でもあり、前の要素は 1、7、23 である (これらを足すと 31 となり、3 番目のメルセンヌ素数となる)。^[9]${\displaystyle 2^{n}-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle 2n+1}$${\displaystyle n\cdot 2^{n}-1}$${\displaystyle n=4}$

すべての整数（偶数と奇数）を表す正定値2次行列^{[10] [11]}では、 9つの項すべての合計は63に等しくなります。 ${\displaystyle \{1,2,3,5,6,7,10,14,15\}}$

63は3番目のデラノワ数であり、南西の角から北東の角まで、北、東、北東方向に1歩ずつ進むだけでグリッド内の経路の数を表します。 ^[12]${\displaystyle 3\times 3}$

63 には、それ自身と（および まで）互いに素である 36 個の整数があり、これはそのオイラートーティエントと同値である。^[13]リー型の有限単純群の分類では、63 と36 はどちらも、リー型 の3 つの例外群の位数に含まれる指数である。これらの群の位数は、（素数と正の整数）の商と の最大公約数（GCD）との積と、（大文字の円周率記法では、一連の項の積）と同値である。^[14]${\displaystyle q=p^{n}}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle \textstyle \prod }$${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\frac {q^{63}}{(2,q-1)}}\prod _{i\in \{2,6,8,10,12,14,18\}}\left(q^{i}-1\right),}$例外的なリー型のシュヴァレー有限単純群の順序、${\displaystyle E_{7}(q).}$

${\displaystyle {\frac {q^{36}}{(3,q-1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-1\right),}$例外的なリー型のシュヴァレー有限単純群の順序、${\displaystyle E_{6}(q).}$

${\displaystyle {\frac {q^{36}}{(3,q+1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-(-1)^{i}\right),}$2つの例外的なスタインベルク群のうちの1つの順序、${\displaystyle ^{2}E_{6}(q^{2}).}$

リー代数は6次元空間に36個の正の根を持ち、 7次元空間には63個の正の根ベクトルを持つ（根ベクトルの総数は126個で、63の2倍）。^{[15] 37個の全}複素反射群のうち36番目に大きいのはで、その位数は である。ここで、前の群は である。これらはそれぞれ およびと関連付けられている。^[16]${\displaystyle E_{6}}$${\displaystyle E_{7}}$${\displaystyle W(E_{7})}$${\displaystyle 2^{63}}$${\displaystyle W(E_{6})}$${\displaystyle 2^{36}}$${\displaystyle E_{7}}$${\displaystyle E_{6}.}$

6次元には、抽象的な超立方体コクセター群（時には、半立方体もこの族に含まれる）から生成される63個の一様多面体があり、 ^[17]直交群とそれに対応する特殊直交リー代数（順序なしおよび順序付きディンキン図の間で共有される対称性により）を介して古典的なシュヴァレー・リー代数に関連付けられています。また、正則6単体の自己双対構成を個別に数えると、単体コクセター群 から生成される一様6次元多面体は36個あります。^[17]同様に、特殊線型群とそれに対応する特殊線型リー代数を介して古典的なシュヴァレー・リー代数に関連付けられています。 ${\displaystyle \mathrm {B_{6}} }$ ${\displaystyle B_{6}}$${\displaystyle \mathrm {A_{6}} }$ ${\displaystyle \mathrm {A_{6}} }$${\displaystyle A_{6}}$

3 次元目には、ミラーの規則を使用して、イコサヘドロン対称性で生成される星型図形が合計 63 個あります。このうち59 個は正イコサヘドロンによって生成され、4 個は正十二面体によって生成されます (正図形のゼロ番目にインデックスが付けられた星型図形として)。^[18]正四面体と立方体からは星型図形は生成されませんが、正八面体の星型図形としての唯一の星型図形は、頂点配置を共有するため、立方体を面取りする2 つの自己双対四面体の複合体です。全体として、次数120には合計 31 本の対称軸が含まれます。^[19]特に、例外リー代数に関連付けられている格子には、イコシアンを介して正イコサヘドロンに遡ることができる対称性が含まれます。^[20]イコサヘドロンとドデカヘドロンには、他の3つのプラトン立体を内接させることができ、これらを合わせると、最大36個の多面体が生成されます。これらの多面体は、正多面体（プラトン）、半正多面体（アルキメデス）、または正頂点図形を含む半正多面体の双対（カタロニア）のいずれかです。これには、 2つの半正角錐多面体とその双対から得られる4つのエナンチオモルフと、四面体の自己双対形式が含まれます。^[21] ${\displaystyle \mathrm {I_{h}} }$${\displaystyle \mathrm {I_{h}} }$${\displaystyle \mathbb {E_{8}} }$${\displaystyle {E_{8}}}$

それ以外の場合、63 の約数の和, ^{[22] は、}フレンドリージャイアントに次いで 2 番目に大きい散在群の主モジュラー関数(マッケイ–トムソン級数)に属する定数項に等しくなります。^{[23]この値は、}ティッツ群, ^[24]の最小忠実次元表現の値でもあります。ティッツ群 は、非厳密なリー型、または緩く散在的として分類できる唯一の有限単純群です。また、52 次元の 例外リー代数の忠実次元表現の 2 倍でもあります。${\displaystyle \sigma (63)=104}$${\displaystyle a(0)=104}$${\displaystyle T_{2A}(\tau )}$ ${\displaystyle \mathrm {B} }$ ${\displaystyle \mathrm {F} _{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {T} }$ ${\displaystyle F_{4}}$