6シンプレックス

幾何学において、6単体は自己双対 正 6 次元多面体です。7 つの頂点、21の辺、35 の三角形面、35 の四面 体セル、21 の5 セル4 面、および 7 つの5 単体5 面を持ちます。その二面角はcos ⁻¹ (1/6)、つまり約 80.41° です。

6次元の7面体多面体として、ヘプタペトン、またはヘプタ6トープとも呼ばれる。ヘプタペトンという名前は、ギリシャ語で7面体を意味するheptaと、5次元の面を持つことを意味する-peta 、そして-onに由来する。ジョナサン・バワーズはヘプタペトンにホップという頭字語を与えた。^[2]

この配置行列は6単体を表す。行と列は頂点、辺、面、セル、4面、5面に対応する。対角の数字は6単体全体で各要素がいくつ出現するかを示す。非対角の数字は列の要素が行の要素内または行の要素でいくつ出現するかを示す。この自己双対単体の行列は180度回転したものと同じである。^{[3] [4]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}7&6&15&20&15&6\\2&21&5&10&10&5\\3&3&35&4&6&4\\4&6&4&35&3&3\\5&10&10&5&21&2\\6&15&20&15&6&7\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

辺の長さが 2 である原点中心の正七面体の 直交座標は次のようになります。

${\displaystyle \left({\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\​​ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\​​ 0,\​​ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\​​ 0,\​​ 0,\​​ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {12/7}},\ 0,\​​ 0,\​​ 0,\​​ 0,\​​ 0\right)}$

6 次元単体の頂点は、次の順列として 7 次元空間に簡単に配置できます。

(0,0,0,0,0,0,1)

この構成は、7-オルソプレックスのファセットに基づいています。

正6次元単体は、 [3,3,3,3,3]コクセター群に基づく35個の均一6次元多面体のうちの1つであり、ここではすべてが₆コクセター平面正投影図で示されています。

• コクセター、HSM :
  • — (1973)。「表 I (iii): 正多面体、n 次元の 3 つの正多面体 (n≥5)」。正多面体(第 3 版)。ドーバー。p. 296。ISBN 0-486-61480-8。
  • シャーク、F. アーサー; マクマレン、ピーター; トンプソン、アンソニー C.; ワイス、アジア アイビック編 (1995)。万華鏡: HSM コクセター選集。ワイリー。ISBN 978-0-471-01003-6。
    • (論文 22) — (1940). 「正則多面体と半正則多面体 I」. Math. Zeit . 46 :380–407. doi :10.1007/BF01181449. S2CID  186237114.
    • (論文23) — (1985). 「正則多面体と半正則多面体 II」. Math. Zeit . 188 (4): 559–591. doi :10.1007/BF01161657. S2CID  120429557.
    • (論文 24) — (1988). 「正則および半正則多面体 III」. Math. Zeit . 200 : 3–45. doi :10.1007/BF01161745. S2CID  186237142.
• Conway, John H. ; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008)。「26. 半立方体: 1 _n1」。物事の対称性。p. 409。ISBN 978-1-56881-220-5。
• ジョンソン、ノーマン(1991)。「均一多面体」(原稿)。ノーマン・ジョンソン (数学者)。
  • ジョンソン、NW (1966)。均一多面体とハニカムの理論 (PhD)。トロント大学。OCLC 258527038  。

• Olshevsky, George. 「Simplex」. Hyperspace の用語集。2007 年 2 月 4 日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• さまざまな次元の多面体
• 多次元用語集