2Dコンピュータグラフィックス

2D コンピュータ グラフィックスは、主に 2 次元モデル ( 2D ジオメトリ モデル、テキスト、デジタル画像など) から、それらに固有の技術を使用して、コンピュータ ベースでデジタル画像を生成することです。このような技術を含むコンピュータ サイエンスの分野を指す場合もあれば、モデル自体を指す場合もあります。

2D コンピュータ グラフィックスは、主に、タイポグラフィ、地図作成、製図、広告など、従来の印刷および描画テクノロジに基づいて開発されたアプリケーションで使用されます。これらのアプリケーションでは、2 次元画像は現実世界のオブジェクトの単なる表現ではなく、意味的な価値が追加された独立した成果物です。そのため、2 次元モデルの方が好まれます。3Dコンピュータ グラフィックス(タイポグラフィよりも写真に近いアプローチ) よりも画像を直接制御できるためです。

デスクトップ パブリッシング、エンジニアリング、ビジネスなど、多くの分野では、2D コンピュータ グラフィックス技術に基づくドキュメントの記述は、対応するデジタル画像よりもはるかに小さく、1/1000 以上のサイズになることがよくあります。この表現は、さまざまな出力デバイスに合わせてさまざまな解像度でレンダリングできるため、より柔軟でもあります。これらの理由から、ドキュメントやイラストは、多くの場合、 2D グラフィック ファイルとして保存または送信されます。

2D コンピュータ グラフィックスは、ベクター グラフィックス デバイスをベースに 1950 年代に始まりました。これらは、その後数十年でラスター ベースのデバイスに大きく取って代わられました。PostScript言語とX ウィンドウ システムプロトコルは、この分野における画期的な開発でした。

2D グラフィックス モデルは、幾何学モデル(ベクター グラフィックスとも呼ばれる)、デジタル画像 (ラスター グラフィックスとも呼ばれる)、タイプセットするテキスト(内容、フォントスタイルとサイズ、色、位置、方向で定義)、数学関数と方程式などを組み合わせることができます。これらのコンポーネントは、平行移動、回転、拡大縮小などの2 次元幾何学変換によって変更および操作できます。オブジェクト指向グラフィックスでは、自己レンダリングメソッド(任意のアルゴリズムによって画像ピクセルに色を割り当てる手順)を備えたオブジェクトによって、間接的に画像が記述されます。オブジェクト指向プログラミングのパラダイムでは、より単純なオブジェクトを組み合わせることで、複雑なモデルを構築できます。

ユークリッド幾何学では、平行移動（幾何学）は、すべての点を指定された方向に一定距離移動します。平行移動は、剛体運動として記述できます。他の剛体運動には、回転と反射があります。平行移動は、すべての点に一定のベクトルを追加すること、または座標系の原点をシフトすることとして解釈することもできます。平行移動演算子は、次のような演算子です。 ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).}$

vが固定ベクトルの場合、変換T _vはT _v ( p ) = p + vとして機能します。

T が平行移動である場合、関数Tによる部分集合Aの像は、 TによるAの平行移動です。 T _vによるAの平行移動は、多くの場合、 A + vと表記されます。

ユークリッド空間では、任意の平行移動は等長変換である。すべての平行移動の集合は、空間自体に同型で、ユークリッド群 E ( n ) の正規部分群である平行移動群 T を形成する。E ( n )のTによる商群は、直交群O ( n )に同型である。

E ( n ) /T≅O ( n )です。

平行移動はアフィン変換ではあるが線形変換ではないため、平行移動演算子を行列で表し線形にするためには通常同次座標が使用されます。したがって、4つの同次座標を使用して3次元ベクトルw = ( w _x , w _y , w _z )をw = ( w _x , w _y , w _z , 1)と書きます。^[1]

オブジェクトをベクトル vで変換するには、各同次ベクトルp (同次座標で記述) に次の変換行列を掛ける必要があります。

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

以下に示すように、乗算により期待どおりの結果が得られます。

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

変換行列の逆行列は、ベクトルの方向を反転することで得られます。

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!}$

同様に、変換行列の積はベクトルを加算することによって与えられます。

${\displaystyle T_{\mathbf {u} }T_{\mathbf {v} }=T_{\mathbf {u} +\mathbf {v} }.\!}$

ベクトルの加算は可換であるため、変換行列の乗算も可換です（任意の行列の乗算とは異なります）。

線形代数において、回転行列はユークリッド空間で回転を実行するために使用される行列です。

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

は、 xy -デカルト平面上の点を、デカルト座標系の原点を中心に角度θで反時計回りに回転させます。回転行列R を使用して回転を実行するには、各点の位置を、点の座標を含む列ベクトルvで表す必要があります。回転ベクトルは、行列乗算R v を使用して取得されます。行列乗算はゼロベクトル (つまり、原点の座標) には影響しないため、回転行列は座標系の原点を中心とした回転を記述するためにのみ使用できます。

回転行列は、このような回転の簡単な代数的記述を提供し、幾何学、物理学、コンピュータグラフィックスの計算に広く使用されています。 2 次元空間では、回転は回転角θで簡単に記述できますが、2 行 2 列の回転行列の 4 つの要素で表すこともできます。 3 次元空間では、すべての回転は、1 つの固定された回転軸の周りの指定された角度による回転として解釈できるため (オイラーの回転定理を参照)、角度と 3 つの要素を持つベクトルで簡単に記述できます。 ただし、3 行 3 列の回転行列の 9 つの要素で表すこともできます。 回転の概念は、3 次元よりも高い次元では一般的に使用されません。回転変位の概念は、行列で表すことができますが、関連する単一の軸や角度はありません。

回転行列は実数要素を持つ正方行列です。より具体的には、行列式が 1である直交行列として特徴付けることができます 。

${\displaystyle R^{T}=R^{-1},\det R=1\,}$。

このようなサイズnの行列すべての集合は、特殊直交群SO( n )と呼ばれる群を形成します。

2 次元では、すべての回転行列は次の形式になります。

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$。

これは、次の行列乗算によって列ベクトルを回転します。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}}$。

したがって、回転後の点 (x,y) の座標 (x',y') は次のようになります。

${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta \,}$、

${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta \,}$。

ベクトルの回転方向は、θ が正 (例: 90°) の場合は反時計回り、θ が負 (例: -90°) の場合は時計回りになります。

${\displaystyle R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}\,}$。

標準的な右手 直交座標系（x軸が右、y軸が上）を使用する場合、回転 R( θ ) は反時計回りになります。左手直交座標系（x軸が右、y軸が下）を使用する場合、R( θ ) は時計回りになります。このような非標準的な方向は数学ではほとんど使用されませんが、2Dコンピュータグラフィックスではよく使用されます。2Dコンピュータグラフィックスでは、原点が左上隅にあり、y軸が画面またはページの下になることがよくあります。^[2]

回転行列によって生成される回転の感覚を変更する可能性のある他の代替規則については、以下を参照してください。

特に便利なのは、90° 回転と 180° 回転のマトリックスです。

${\displaystyle R(90^{\circ })={\begin{bmatrix}0&-1\\[3pt]1&0\\\end{bmatrix}}}$（反時計回りに90°回転）

${\displaystyle R(180^{\circ })={\begin{bmatrix}-1&0\\[3pt]0&-1\\\end{bmatrix}}}$（どちらの方向にも180°回転 - 半回転）

${\displaystyle R(270^{\circ })={\begin{bmatrix}0&1\\[3pt]-1&0\\\end{bmatrix}}}$（反時計回りに270°回転、時計回りに90°回転と同じ）

ユークリッド幾何学において、均一なスケーリング（等方性スケーリング、^[3] 同次膨張、相似性）は、すべての方向に同じスケール係数でオブジェクトを拡大（増加）または縮小（減少）する線形変換です。均一なスケーリングの結果は、（幾何学的な意味で）元のものと相似です。スケール係数1は通常許可されているため、合同な形状も相似として分類されます。（一部の教科書では、正方形が長方形ではない、または円が楕円ではないと明確に分類されているのと同様に、この可能性を明確に除外しています。）

より一般的なのは、各軸方向に別々のスケール係数を使用したスケーリングです。非均一スケーリング(異方性スケーリング、不均一な膨張) は、少なくとも 1 つのスケーリング係数が他のものと異なる場合に得られます。特殊なケースは、方向性スケーリングまたはストレッチ(1 方向) です。非均一スケーリングはオブジェクトの形状を変更します。たとえば、正方形は長方形に変わることがあり、正方形の辺がスケーリング軸に平行でない場合は平行四辺形に変わることがあります (軸に平行な線の間の角度は保持されますが、すべての角度が保持されるわけではありません)。

スケーリングはスケーリング行列で表すことができます。ベクトル v = ( v _x , v _y , v _z ) でオブジェクトをスケーリングするには、各ポイントp = ( p _x , p _y , p _z ) にこのスケーリング行列を掛ける必要があります。

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.}$

以下に示すように、乗算により期待どおりの結果が得られます。

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\end{bmatrix}}.}$

このようなスケーリングにより、オブジェクトの直径はスケール係数の間の係数によって変化し、面積は2つのスケール係数の最小値と最大値の積の間の係数によって変化し、体積は 3 つすべての積によって変化します。

スケーリング係数が等しい場合 ( v _x = v _y = v _z )に限り、スケーリングは均一になります。 1 つを除くすべてのスケール係数が 1 に等しい場合は、方向性のあるスケーリングになります。

v _x = v _y = v _z = kの場合、スケーリングは係数 k による拡大または膨張とも呼ばれ、面積は係数 k ²で増加し、体積は係数 k ³で増加します。

最も一般的な意味でのスケーリングとは、対角化可能な行列を持つアフィン変換のことです。スケーリングの 3 つの方向が垂直でない場合も含まれます。また、1 つ以上のスケール係数がゼロ (投影) に等しい場合や、1 つ以上のスケール係数が負の場合も含まれます。後者は、スケーリング自体と一種の反射の組み合わせに対応します。つまり、特定の方向の線に沿って、垂直である必要のない平面との交点で反射を行います。そのため、平面での通常の反射よりも一般的です。

コンピュータグラフィックスでよく使用される射影幾何学では、点は同次座標を使用して表されます。ベクトルv = ( v _x , v _y , v _z )でオブジェクトを拡大縮小するには、各同次座標ベクトルp = ( p _x , p _y , p _z , 1) に次の射影変換行列を掛ける必要があります。

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

以下に示すように、乗算により期待どおりの結果が得られます。

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

同次座標の最後の要素は他の 3 つの要素の分母と見なすことができるため、共通因子sによる均一なスケーリング(均一スケーリング) は、次のスケーリング マトリックスを使用して実現できます。

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}.}$

各ベクトルp = ( p _x , p _y , p _z , 1)について、

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}}$

均質化されて

${\displaystyle {\begin{bmatrix}sp_{x}\\sp_{y}\\sp_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

複雑な画像を作成する便利な方法は、均一な背景色で塗りつぶされた空白の「キャンバス」ラスター マップ(ピクセルの配列、ビットマップとも呼ばれる) から始めて、適切な順序で単純な色のパッチを「描画」、「ペイント」、または「貼り付け」することです。特に、キャンバスはコンピューター ディスプレイのフレーム バッファーである場合があります。

一部のプログラムはピクセルの色を直接設定しますが、ほとんどのプログラムは 2Dグラフィック ライブラリまたはマシンのグラフィック カードに依存しており、通常は次の操作を実装します。

• 指定されたオフセットで指定された画像をキャンバスに貼り付けます。
• 指定されたフォント、指定された位置、角度で文字列を書き込む。
• 3 つの角で定義される三角形や、中心と半径が指定された円などの単純な幾何学的図形を描画します。
• 指定された幅の仮想ペンを使用して、線分、円弧、または単純な曲線を描きます。

テキスト、図形、線は、クライアントが指定した色でレンダリングされます。多くのライブラリやカードは、滑らかに変化する背景や影の効果などを生成するのに便利な色のグラデーションを提供しています (グーロー シェーディングも参照)。ピクセルの色は、デジタル画像などのテクスチャから取得することもできます(これにより、かつては漫画でしか利用できなかった、擦り付け式のスクリーントーンや有名なチェッカー ペイントをエミュレートできます)。

ピクセルを指定の色でペイントすると、通常は前の色が置き換えられます。ただし、多くのシステムでは、前のピクセル値のみを変更する透明色と半透明色でのペイントをサポートしています。2 つの色は、ビットごとの 排他的論理和を計算するなど、より複雑な方法で組み合わせることもできます。この手法は色の反転または色反転と呼ばれ、グラフィカル ユーザー インターフェイスで強調表示、ラバーバンド描画、その他の揮発性ペイントによく使用されます。同じ形状を同じ色で再ペイントすると、元のピクセル値が復元されるためです。

2D コンピュータ グラフィックスで使用されるモデルは、通常、3 次元の形状や、照明、影、反射、屈折などの 3 次元の光学現象に対応していません。ただし、通常は複数のレイヤー(概念的にはインク、紙、フィルム、不透明、半透明、透明)を特定の順序で積み重ねてモデル化できます。順序は通常、単一の数値 (レイヤーの 深度、つまり視聴者からの距離) によって定義されます。

レイヤー モデルは、「2 1⁄2 次元コンピュータ グラフィックス」と呼ばれることもあります。レイヤーモデルを使用すると、切り取りや貼り付けなど、フィルムや紙に基づく従来の製図および印刷技術を模倣でき、ユーザーは他のレイヤーに影響を与えずに任意のレイヤーを編集できます。これらの理由から、ほとんどのグラフィック エディターでレイヤー モデルが使用されています。レイヤー モデルを使用すると、複雑な描画の空間アンチエイリアシングが向上し、斜め継ぎや偶奇ルールなどの特定の技術に適したモデルが提供されます。

レイヤー モデルは、ドキュメントを表示または印刷するときに、地図から道路や鉄道、集積回路図から特定のプロセス レイヤー、ビジネス レターから手書きの注釈など、不要な情報をユーザーが非表示にできるようにするためにも使用されます。

レイヤーベースのモデルでは、仮想キャンバス上で各レイヤーを深度の降順で「ペイント」または「貼り付け」することによって、ターゲット イメージが生成されます。概念的には、各レイヤーは最初に単独でレンダリングされ、必要な解像度のデジタル イメージが生成され、次にキャンバス上にピクセルごとにペイントされます。もちろん、レイヤーの完全に透明な部分はレンダリングする必要はありません。レンダリングとペイントは並行して実行できます。つまり、各レイヤー ピクセルは、レンダリング手順によって生成されるとすぐにキャンバス上にペイントされます。

複雑な幾何学的オブジェクト (テキストやポリラインなど) で構成されるレイヤーは、より単純な要素 (それぞれ文字または線分)に分割され、その後、ある順序で個別のレイヤーとしてペイントされます。ただし、このソリューションでは、 2 つの要素が同じピクセルに重なる場所に、 望ましくないエイリアシングアーティファクトが発生する可能性があります。

Portable Document Format#Layersも参照してください。

現代のコンピュータグラフィックス カードのディスプレイでは、ラスター ベースのビデオ ハードウェアがベクター グラフィックス ハードウェアに比べて比較的低コストであるため、画面をピクセルの長方形グリッドに分割するラスター手法が圧倒的に多く使用されています。ほとんどのグラフィック ハードウェアには、ブリット操作またはスプライト描画に対する内部サポートがあります。ブリット専用のコプロセッサは、ブリッターチップと呼ばれます。

1970 年代後半から 1980 年代にかけての8 ビットから16 ビット初期のアーケード ゲーム、ビデオ ゲーム コンソール、家庭用コンピューターで使用されていた古典的な 2Dグラフィックチップとグラフィック処理ユニットには、次のものがあります。

• Atari, Inc.のTIA、ANTIC、CTIA、GTIA
• カプコンのCPS-AとCPS-B
• コモドールのOCS
• MOSテクノロジーのVICとVIC-II
• ハドソンソフトのシンシアとHuC6270
• NECのμPD7220とμPD72120
• リコーのPPUとS-PPU
• セガのVDP、スーパースケーラー、315-5011/315-5012、315-5196 / 315-5197
• テキサスインスツルメンツのTMS9918
• ヤマハのV9938、V9958、YM7101 VDP

macOS、Microsoft Windows、X Window Systemなどの多くのグラフィカル ユーザー インターフェイス(GUI) は、主に 2D グラフィカル コンセプトに基づいています。このようなソフトウェアは、コンピューターを操作するための視覚的な環境を提供し、通常、ユーザーがさまざまなアプリケーションを概念的に区別できるように、何らかのウィンドウ マネージャーが含まれています。個々のソフトウェア アプリケーション内のユーザー インターフェイスも、マウスなどの一般的な入力デバイスのほとんどが 2 次元の動きに制限されている ことから、通常は本質的に 2D です。

2D グラフィックスは、プリンタ、プロッタ、シート切断機などの周辺機器の制御において非常に重要です。また、ほとんどの初期のビデオ ゲームでも使用されており、ソリティア、チェス、麻雀などのカード ゲームやボード ゲームでも現在でも使用されています。

2D グラフィック エディターまたは描画プログラムは、2D コンピューター グラフィック プリミティブを直接操作 (マウス、グラフィック タブレット、または同様のデバイスを使用) して、画像、図、イラストを作成するためのアプリケーション レベルのソフトウェアです。これらのエディターは一般に、デジタル画像だけでなく幾何学的プリミティブも提供し、手続き型モデルをサポートするものもあります。イラストは通常​​、内部的にはレイヤー モデルとして表現され、編集を便利にするために階層構造になっていることがよくあります。これらのエディターは一般に、レイヤーとプリミティブが元の形式で別々に保存されたグラフィック ファイルを出力するものです。1984年にMacintoshシリーズのコンピューターとともに導入されたMacDrawは、このクラスの初期の例です。最近の例としては、市販製品のAdob​​e IllustratorやCorelDRAW、無料のエディターであるxfigやInkscapeなどがあります。電気、電子、VLSI の図、地形図、コンピューター フォントなど、特定の種類の描画に特化した 2D グラフィック エディターも数多くあります。

画像エディタは、主にフリーハンドの描画/ペイントと信号処理操作によるデジタル画像の操作に特化しています。通常、直接ペイントパラダイムを使用し、ユーザーは仮想ペン、ブラシ、その他のフリーハンドの芸術的道具を制御して、仮想キャンバスにペイントを適用します。一部の画像エディタは複数レイヤーモデルをサポートしていますが、ぼかしなどの信号処理操作をサポートするために、各レイヤーは通常デジタル画像として表現されます。したがって、エディタによって提供される幾何学的プリミティブは、すぐにピクセルに変換され、キャンバスにペイントされます。ラスターグラフィックエディタという名前は、ベクターグラフィックスも処理する一般的なエディタとこのアプローチを対比するために使用されることがあります。最初に人気を博した画像エディタの1つは、MacDrawのコンパニオンであるAppleのMacPaintでした。最近の例としては、無料のGIMPエディタと、商用製品のPhotoshopおよびPaint Shop Proがあります。このクラスにも、医療、リモートセンシング、デジタル写真など、 多くの専門エディタが含まれます。

2Dアニメーションの復活^{[4] : 8}により、アマチュアやプロのアニメーター向けに無料および独自のソフトウェアパッケージが広く利用できるようになりました。RETAS UbiArt FrameworkやAdobe After Effectsなど のソフトウェアを使用すると、着色と合成をより短時間で行うことができます。^[要出典]

デジタル2Dアニメーションのプロセスを支援し、スピードアップするために、さまざまなアプローチが開発されてきました^{[4] : 38。}たとえば、Adobe Flashなどのツールでベクターアートワークを生成することで、アーティストはソフトウェア駆動の自動着色と中間処理を採用することができます。

BlenderやAdobe Substanceなどのプログラムを使用すると、ユーザーは3Dアニメーション、2Dアニメーションのいずれかを実行したり、その両方をソフトウェア内で組み合わせて、複数の形式のアニメーションを試すことができます。^[5]

ウィキメディア・コモンズには2Dに関連するメディアがあります。

• 2.5D
• 3Dコンピュータグラフィックス
• コンピュータアニメーション
• CG
• ビットブリット
• コンピュータグラフィックス
• グラフィックアートソフトウェア
• グラフィックス
• 画像の拡大縮小
• ビデオハードウェア別家庭用コンピュータのリスト
• タートルグラフィックス
• グラフィックの透明性
• パレット（コンピューティング）
• ピクセルアート