半連続性

関数${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ある点において上半連続であると呼ばれる。${\displaystyle x_{0}\in X}$すべての実数に対して${\displaystyle y>f\left(x_{0}\right)}$近隣地域が存在する${\displaystyle U}$の${\displaystyle x_{0}}$そのため${\displaystyle f(x)<y}$すべての人々のために${\displaystyle x\in U}$[ ^{2 ]同様に} 、${\displaystyle f}$は上半連続である${\displaystyle x_{0}}$かつその場合に限り $$\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}$$ ここで、lim sup は関数の上側の極限です。${\displaystyle f}$その時点で${\displaystyle x_{0}}$定義される $${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\inf _{x_{0}\in U}\sup _{x\in U}f(x)}$$ ここで、下限は点のすべての近傍にわたる。${\displaystyle x_{0}}$[ ^{3 ] [ 4 ] [ 5 ]​}

もし${\displaystyle X}$距離関数を持つ距離空間${\displaystyle d}$そして${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$これは、${\displaystyle \varepsilon }$-${\displaystyle \delta }$連続関数の定義と同様の定式化。すなわち、各${\displaystyle \varepsilon >0}$があります${\displaystyle \delta >0}$そのため${\displaystyle f(x)<f(x_{0})+\varepsilon }$いつでも$\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

関数${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$以下のいずれかの条件を満たす場合、上半連続と呼ばれます。 ^{[ 2 ]}

（１）この関数は定義域のすべての点で上半連続である。

（２）各${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$セット${\displaystyle f^{-1}([-\infty ,y))=\{x\in X:f(x)<y\}}$オープンしています${\displaystyle X}$、 どこ${\displaystyle [-\infty ,y)=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t<y\}}$。

（３）各${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$、${\displaystyle y}$-スーパーレベルセット${\displaystyle f^{-1}([y,\infty ))=\{x\in X:f(x)\geq y\}}$閉鎖中​${\displaystyle X}$。

（４）ハイポグラフ${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\leq f(x)\}}$閉鎖中${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$。

（５）機能${\displaystyle f}$終域が連続である場合${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$左順序トポロジーが与えられます。これは、左順序トポロジーがすべての区間によって生成されるため、条件 (2) の言い換えにすぎません。${\displaystyle [-\infty ,y)}$。

関数${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ある点において下半連続と呼ばれる。${\displaystyle x_{0}\in X}$すべての実数に対して${\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}$近隣地域が存在する${\displaystyle U}$の${\displaystyle x_{0}}$そのため${\displaystyle f(x)>y}$すべての人々のために${\displaystyle x\in U}$同等に、${\displaystyle f}$は下半連続である${\displaystyle x_{0}}$かつその場合に限り $${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}$$ どこ${\displaystyle \liminf }$関数の下極限は${\displaystyle f}$地点で${\displaystyle x_{0}.}$

もし${\displaystyle X}$距離関数を持つ距離空間${\displaystyle d}$そして${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$これは次のように言い換えることもできます。${\displaystyle \varepsilon >0}$があります${\displaystyle \delta >0}$そのため${\displaystyle f(x)>f(x_{0})-\varepsilon }$いつでも$\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

関数${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$以下のいずれかの条件を満たす場合、それは下半連続であると呼ばれます。

（１）この関数は定義域のすべての点で下半連続である。

（２）各${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$セット${\displaystyle f^{-1}((y,\infty ])=\{x\in X:f(x)>y\}}$オープンしています${\displaystyle X}$、 どこ${\displaystyle (y,\infty ]=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t>y\}}$。

（３）各${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$、${\displaystyle y}$-サブレベルセット${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,y])=\{x\in X:f(x)\leq y\}}$閉鎖中​${\displaystyle X}$。

（４）エピグラフ${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\geq f(x)\}}$閉鎖中${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$[ ^{6 ]： 207​}

（５）機能${\displaystyle f}$終域が連続である場合${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$正しい順序トポロジーが与えられます。これは条件(2)の言い換えにすぎません。なぜなら、正しい順序トポロジーはすべての区間によって生成されるからです。${\displaystyle (y,\infty ]}$。

させて${\displaystyle f,g:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$。

• もし${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$下半連続である場合、その和は${\displaystyle f+g}$は下半連続である^{[ 9 ]}（ただし、和が適切に定義されている場合、すなわち、${\displaystyle f(x)+g(x)}$不定形ではない${\displaystyle -\infty +\infty }$上半連続関数についても同様です。
• もし${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$が下半連続かつ非負である場合、積関数${\displaystyle fg}$は下半連続である。同様の結果は上半連続関数にも当てはまる。
• 機能${\displaystyle f}$下半連続であるのは、${\displaystyle -f}$上半連続である。
• もし${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$上半連続であり、${\displaystyle f}$が非減少である 場合、合成${\displaystyle f\circ g}$は上半連続である。一方、${\displaystyle f}$非減少でない場合、${\displaystyle f\circ g}$上半連続ではない可能性があります。たとえば、${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle f(x)=-x}$。 それから${\displaystyle f}$連続的で ${\displaystyle f\circ g=-g}$これは、上半連続ではないが、${\displaystyle g}$連続的である。
• もし${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$は下半連続であり、その（点ごとの）最大値と最小値（定義される）は${\displaystyle x\mapsto \max\{f(x),g(x)\}}$そして${\displaystyle x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}}$）もまた下半連続である。したがって、からのすべての下半連続関数の集合は${\displaystyle X}$に${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$（または${\displaystyle \mathbb {R} }$) は格子を形成する。同様の記述は上半連続関数にも当てはまる。

• 任意の族の（点ごとの）上限${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$下半連続関数${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$（定義される）${\displaystyle f(x)=\sup\{f_{i}(x):i\in I\}}$）は下半連続である。^{[ 10 ]}

特に、単調増加数列の極限${\displaystyle f_{1}\leq f_{2}\leq f_{3}\leq \cdots }$連続関数の極限は下半連続である。（下記のベールの定理は部分的な逆を示している。）極限関数は一般に下半連続であるだけで、連続ではない。例として、次の関数が挙げられる。${\displaystyle f_{n}(x)=1-(1-x)^{n}}$定義済み${\displaystyle x\in [0,1]}$のために${\displaystyle n=1,2,\ldots .}$

同様に、任意の上半連続関数の族の下限は上半連続である。また、単調減少する連続関数列の極限は上半連続である。

• もし${\displaystyle C}$はコンパクト空間（例えば、閉じた有界区間）である。${\displaystyle [a,b]}$） そして${\displaystyle f:C\to {\overline {\mathbb {R} }}}$上半連続である場合、${\displaystyle f}$最大値に達する${\displaystyle C.}$もし${\displaystyle f}$は下半連続である${\displaystyle C,}$最小値に達する${\displaystyle C.}$

（上半連続の場合の証明：定義の条件（５）より、${\displaystyle f}$連続であるとき${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$左順序トポロジーが与えられます。したがって、そのイメージ${\displaystyle f(C)}$その位相においてコンパクトである。そして、その位相におけるコンパクト集合は、最大値を持つ集合と完全に一致する。（別の証明については、極値定理に関する記事を参照のこと。）

• （ベールの定理）^[注^{1 ]}${\displaystyle X}$距離空間である。すべての下半連続関数${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$は、拡張された実数値連続関数の点ごとの増加列の極限である 。${\displaystyle X.}$特に、次のような数列が存在する。${\displaystyle \{f_{i}\}}$連続関数${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$そのため

$${\displaystyle f_{i}(x)\leq f_{i+1}(x)\quad \forall x\in X,\ \forall i=0,1,2,\dots }$$そして

$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f_{i}(x)=f(x)\quad \forall x\in X.}$$

もし${\displaystyle f}$値を取りません${\displaystyle -\infty }$連続関数は実数値とみなすことができる。^{[ 11 ] [ 12 ]}

さらに、すべての上半連続関数${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$は、拡張された実数値連続関数の単調減少列の極限である。${\displaystyle X;}$もし${\displaystyle f}$値を取りません${\displaystyle \infty ,}$連続関数は実数値関数とみなすことができる。

• 任意の上半連続関数${\displaystyle f:X\to \mathbb {N} }$任意の位相空間上${\displaystyle X}$は、ある稠密な開部分集合上で局所的に一定である。${\displaystyle X.}$

• 位相空間${\displaystyle X}$順次であれば、${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$が上半連続であるのは、それが逐次上半連続である場合、すなわち、任意の に対して が成り立つ場合に限る。${\displaystyle x\in X}$および任意のシーケンス${\displaystyle (x_{n})_{n}\subset X}$それは収束して${\displaystyle x}$そこには${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }f(x_{n})\leqslant f(x)}$同等に、シーケンシャル空間では、${\displaystyle f}$が上半連続であるのは、そのスーパーレベル集合が${\displaystyle \{\,x\in X\,|\,f(x)\geqslant y\,\}}$すべての​${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$一般に、上半連続関数は順次上半連続であるが、その逆は必ずしも成り立たない。

集合値マップ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$は上半連続である${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$すべての開集合に対して${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$そのため${\displaystyle F(x)\subset U}$近隣地域が存在する${\displaystyle V}$の${\displaystyle x}$そのため${\displaystyle F(V)\subset U.}$^{[ 13 ]：定義2.1}

集合値マップ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$は下半連続である${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$すべての開集合に対して${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$そのため${\displaystyle x\in F^{-1}(U),}$近隣地域が存在する${\displaystyle V}$の${\displaystyle x}$そのため${\displaystyle V\subset F^{-1}(U).}$^{[ 13 ]：定義2.2}

上側および下側の集合値半連続性は、位相空間間の集合値写像に対して、より一般的に、以下の式を置き換えることによって定義される。${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$そして${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上記の定義は任意の位相空間に関するものである。^{[ 13 ]}

単値関数の下半連続性と上半連続性、および集合値関数の下半連続性と上半連続性の間には直接的な対応関係はないことに注意してください。上半連続な単値関数は、集合値写像として考えると必ずしも上半連続ではありません。^{[ 13 ]： 18} 例えば、関数${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$定義される $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$ は単一値の意味では上半連続ですが、集合値写像は${\displaystyle x\mapsto F(x):=\{f(x)\}}$集合値の意味での上半連続ではない。

集合値関数${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$は内部半連続と呼ばれます${\displaystyle x}$すべての${\displaystyle y\in F(x)}$そしてすべての収束数列${\displaystyle (x_{i})}$で${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$そのため${\displaystyle x_{i}\to x}$数列が存在する${\displaystyle (y_{i})}$で${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そのため${\displaystyle y_{i}\to y}$そして${\displaystyle y_{i}\in F\left(x_{i}\right)}$十分に大きいすべての${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$^{[ 14 ] [注2 ]}

集合値関数${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$は外側半連続と呼ばれます${\displaystyle x}$すべての収束列について${\displaystyle (x_{i})}$で${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$そのため${\displaystyle x_{i}\to x}$そしてすべての収束数列${\displaystyle (y_{i})}$で${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そのため${\displaystyle y_{i}\in F(x_{i})}$各${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$シーケンス${\displaystyle (y_{i})}$に収束する${\displaystyle F(x)}$（つまり、${\displaystyle \lim _{i\to \infty }y_{i}\in F(x)}$) ^{[ 14 ]}

半連続性の重要な応用例の一つは変分法である。この文脈における半連続性の重要性は、次の定理によって示される。^{[ 19 ]}とする${\displaystyle X}$位相空間であり、${\displaystyle F:X\to (-\infty ,+\infty ]}$最小化シーケンスとは、${\displaystyle x_{k}}$で${\displaystyle X}$そのため $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }F(x_{k})=\inf _{X}F.}$$ 定理は、もし${\displaystyle F}$順次下半連続であり、${\displaystyle x_{k}}$は、に収束する最小化列である。${\displaystyle x_{0}}$、 それから$${\displaystyle F(x_{0})=\inf _{X}F.}$$ つまり、${\displaystyle x_{0}}$絶対最小値${\displaystyle F}$。

これは、関数解析におけるトネリの定理などの結果と組み合わされることが多く、トネリの定理は、L ^p空間上の非線形汎関数の弱い下半連続性を、別の関数の凸性によって特徴づけるものです。この種のより専門的な結果は、偏微分方程式の問題の変分定式化において有用であり、積分によって与えられる汎関数の半連続性を、多くの場合、何らかのソボレフ空間上で定義される被積分関数の凸性特性と関連付けます。典型的な例は、ラプラス作用素に対するディリクレ問題であり、これは境界条件の下でのエネルギーの最小化問題として定式化できます。 $${\displaystyle F(u)=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2},}$$ すなわち、ユークリッド空間内の有界領域における関数の勾配の二乗ノルムの積分である。被積分関数は適切なソボレフ空間において凸関数であるため、最小化列の極限はディリクレ問題の解となる。これは、例えば有限要素法による解法において、最小化列を構成する方法を提供するなど、重要な意味を持つ。

凸性の仮定とともに、上半連続性と下半連続性の両方が、局所凸位相ベクトル空間上の関数の鞍点の存在を保証する定理において重要な役割を果たします。そのような結果の1つが、 FanとSionのミニマックス定理です。^{[ 20 ]}この定理は、もし${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbb {R} }$は、空でない閉じた凸集合のペアからの関数である。${\displaystyle X,Y}$反射的バナッハ空間に属し、

• ${\displaystyle f(x,\cdot )}$それぞれ凹型で上半連続である${\displaystyle x\in X}$そして
• ${\displaystyle f(\cdot ,y)}$各${\displaystyle y\in Y}$、

すると、鞍点の集合は${\displaystyle f}$は凸である。凸性と凹性の両方が厳密な場合、鞍点は最大で 1 つ存在する。集合が${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$が有界であれば、鞍点の集合は空ではない。鞍点は定義により点である。${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$その $${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=\inf _{x\in X}\sup _{y\in Y}f(x,y)=\sup _{y\in Y}\inf _{x\in X}f(x,y).}$$

重要な整数値関数の多くは半連続でもある。簡単な例として、多面体を考えてみよう。${\displaystyle K}$（または、より一般的には、閉じた凸集合）${\displaystyle n}$次元ベクトル空間。${\displaystyle K}$は定義により、ある線形汎関数の最大値の集合である。${\displaystyle K}$関数を定義する $${\displaystyle f(x)=\inf\{\dim F|F{\text{ is a face of }}K{\text{ and }}x\in F\}.}$$ それから${\displaystyle f}$これは下半連続です。直感的に理解できるのは、小さな摂動であれば、辺や頂点などの低次元の面から高次元の面へ移動できますが、摂動が十分に小さい場合、高次元の面のどの点も低次元の面へ移動できないからです。

同様の性質を示す別の例として、行列ランクは空間上の下半連続関数である。${\displaystyle n\times m}$行列。これは、近くにある行列ではランクが上がることはあっても下がることはないためです。この結果、陰関数定理と合わせて、リー群が滑らかな多様体上で滑らかに作用する場合、点を通る軌道の次元は下半連続になります（つまり、関数${\displaystyle f(x)=\dim(G\cdot x)}$) ^{[ 21 ]}

この考え方のより洗練されたバージョンは、代数幾何学において基本的な役割を果たしており、整数を終域とする多くの次元写像が半連続であることが知られています。（例えば、ニュートン・オクンコフ体に適用した場合など。）

一般に、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle S}$計画と​${\displaystyle f:X\to S}$有限表示の平坦かつ適切な射。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$になる${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュールフラットで有限表示${\displaystyle S}$すると、任意の${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$機能 $${\displaystyle h^{i}:S\to \mathbb {Z} _{\geq 0},s\mapsto {\text{dim}}_{\kappa (s)}H^{i}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$$ は上半連続である。^{[ 22 ]}この定理の重要な特殊ケースは、さらに${\displaystyle X,S}$ネーター的である、${\displaystyle f}$投影的で${\displaystyle {\mathcal {F}}}$一貫性については、 Hartshorneの標準教科書^{[ 23 ] : 288}で確認できます。ハイパーコホモロジーの言語によるオリジナルの研究は、 EGA III ^{[ 24 ]}の定理 (7.7.5) にあり、特に複素解析の設定についてはGrauertの以前の研究も引用されています。

させて${\displaystyle X,Y}$計画と${\displaystyle f:X\to Y}$有限型の射。関数 $${\displaystyle n_{X/Y}:Y\to \mathbb {Z} _{\geq 0}\cup \{\infty \},y\mapsto {\text{dim}}_{\text{top}}X_{y}}$$ いかなる関係者にも${\displaystyle y\in Y}$繊維の寸法${\displaystyle X_{y}}$。 もし${\displaystyle f}$は有限表示のスキームの平坦射である。${\displaystyle n_{X/Y}}$は下半連続である。^{[ 25 ]}もし${\displaystyle f}$はスキームの適切な射である。${\displaystyle n_{X/Y}}$上半連続である。^{[ 26 ]}

ヴァキルは代数幾何学におけるさらなる半連続性の結果のリストを収集した。^{[ 27 ]}

半連続関数は、記述集合論において、次元、ランク、順序高さなどの複雑性尺度による位相空間の階層化を定義するために用いられる。^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}このような関数はしばしば順序値を取り、その半連続性により、集合は${\displaystyle \{x:f(x)\geq \alpha \}}$閉鎖されている（したがって、ボレルはポーランドの空間にある）。

中心的な例として、整礎木上のランク関数が挙げられる。${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq \omega ^{<\omega }}$ベール空間内の点によってコード化された木である${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ランク​${\displaystyle \rho ({\mathcal {T}})\in \omega _{1}\cup \{\infty \}}$は、降順シーケンスの長さの上限として定義される。${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ランクを割り当てる関数${\displaystyle \rho ({\mathcal {T}})}$各木は、木コード上の自然なトポロジーに関して下半連続である。このランクは、木の空間を閉集合に層別化する。${\displaystyle \{{\mathcal {T}}:\rho ({\mathcal {T}})\geq \alpha \}}$行列ランクが階層化する方法と類似している${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times m}}$。

より一般的には、順序値を持つ下半連続関数は、ポーランド空間における点や構造の複雑さを測定するために用いられます。例えば、可算構造のスコットランク、集合の射影ランク、同値関係のルシン・ノビコフ複雑性などが挙げられます。これらの関数は、細かな分類を可能にし、射影階層の上位レベルにおける普遍集合や有効なパラメータ化を定義する上で非常に重要です。

区間の逆像は${\displaystyle [\alpha ,\infty ]}$下半連続関数が閉関数である場合、そのような関数は位相空間を複雑さが増していく閉（すなわちボレル）な部分へと正準的に層別化します。この性質は、反射原理、分離定理の証明、およびボレル同値関係の実効的な分類においてしばしば用いられます。

エルゴード理論と位相力学では、力学系の不変測度の空間上の汎関数を研究する際に半連続性が自然に生じます。最も重要な例はエントロピー関数で、これは各不変測度にその測度論的エントロピーを割り当てます。^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

させて${\displaystyle (X,T)}$位相力学系であり、${\displaystyle X}$コンパクトで${\displaystyle T:X\to X}$連続的。空間${\displaystyle {\mathcal {M}}_{T}(X)}$の${\displaystyle T}$-不変ボレル確率測度は、双対のコンパクトな凸部分集合である。${\displaystyle C(X)}$弱*トポロジーの下で。エントロピーマップ${\displaystyle \mu \mapsto h_{\mu }(T)}$は上半連続関数である${\displaystyle {\mathcal {M}}_{T}(X)}$: $${\displaystyle \limsup _{\mu _{n}\to \mu }h_{\mu _{n}}(T)\leq h_{\mu }(T).}$$

この性質は変分原理において重要な役割を果たしており、位相エントロピーは${\displaystyle h_{\mathrm {top} }(T)}$は最高位である${\displaystyle h_{\mu }(T)}$すべての不変測度について。上半連続性により、測度空間がコンパクトな場合、この上限が達成されることが保証される。

より一般的には、リアプノフ指数、次元スペクトル、帰還時間統計量など、多くの興味深い汎関数は、不変測度の空間上で半連続である。場合によっては、これらの半連続性の性質は、与えられた量を最大化または最小化する測度の存在を証明したり、単体の構造的性質を確立したりするために使用される。${\displaystyle {\mathcal {M}}_{T}(X)}$（例えば、エルゴード測度が残差を形成することなど）${\displaystyle G_{\delta }}$-セット）。

同様の考え方は、システム間の不変結合を研究する結合理論にも見られる。結合の集合は弱*位相においてコンパクトであり、半連続性を用いて不変結合の非連結性と一意性を解析する。