ハイポグラフ（数学）

数学において、関数のハイポグラフまたはサブグラフは、そのグラフの上または下にある点の集合です。関連する定義は、そのような関数のエピグラフであり、これは関数のグラフの上または上にある点の集合です。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

この定義では関数の定義域（共域ではなく）は特に重要ではなく、代わりに任意の集合^[1]をとることができる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ハイポグラフの定義は関数のグラフの定義にヒントを得たもので、グラフは集合として定義される。 ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle \operatorname {graph} f:=\left\{(x,y)\in X\times Y~:~y=f(x)\right\}.}$

拡張実数で評価される関数のサブグラフまたはサブグラフは、集合^{[2]である。}${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {hyp} f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\leq f(x)\right\}\\&=\left[f^{-1}(\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}(\{x\}\times (-\infty ,f(x)]).\end{alignedat}}}$

同様に、関数上またはその上にある点の集合はその関数のエピグラフです。 厳密なハイポグラフ はグラフを削除したハイポグラフです。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {hyp} _{S}f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r<f(x)\right\}\\&=\operatorname {hyp} f\setminus \operatorname {graph} f\\&=\bigcup _{x\in X}(\{x\}\times (-\infty ,f(x))).\end{alignedat}}}$

はの一方（または両方）を値として取る可能性がある（その場合、そのグラフはのサブセットではない）にもかかわらず、 のハイポグラフはのサブセットではなく のサブセットとして定義されます。${\displaystyle f}$${\displaystyle \pm \infty }$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ].}$

関数のハイポグラフが空となるのは、負の無限大と完全に等しい 場合のみです。${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

関数が凹関数であるためには、その関数の基底グラフが凸集合となる必要がある。実アフィン関数の 基底グラフは、${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}.}$

関数が上半連続となるのは、その関数の基線が閉じている場合のみです。

• 有効ドメイン
• エピグラフ（数学）  – グラフ上の領域
• 適切な凸関数

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• R・ティレル・ロッカフェラー;ウェッツ、ロジャー J.-B. (2009 年 6 月 26 日)。変分分析。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 317. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 9783642024313. OCLC  883392544.