セット上のウルトラフィルター

数学の分野である集合論において、集合上の超フィルターは、集合 上の最大フィルターである 。言い換えれば、超フィルターとは、上のフィルターの定義を満たし、 の部分集合のコレクションであり、 のフィルターである、より厳密に言えば、それよりも大きい の部分集合のコレクションは存在しないという意味で、包含に関して最大​​である。(上記では、定義により、集合 上のフィルターには空集合が含まれない。) 同様に、集合 上の超フィルターは、 またはその補集合のすべての部分集合に対して超フィルターに属するという特性を持つ上のフィルターとして特徴付けることもできる。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X\setminus A}$

集合上の超フィルターは、半順序集合上の超フィルターの重要な特殊な例です。半順序集合はべき集合 で構成され、半順序は部分集合の包含です。 この記事では、集合上の超フィルターについて具体的に扱い、より一般的な概念については扱いません。 ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \,\subseteq .}$

集合上のウルトラフィルタには 2 種類あります。上の主ウルトラフィルタは、固定要素を含むのすべての部分集合の集合です。主でないウルトラフィルタは、自由ウルトラフィルタです。任意の無限集合上の自由ウルトラフィルタの存在は、 ZFCで証明できるウルトラフィルタ補題によって暗示されます。一方、集合上のすべてのウルトラフィルタが主である ZFモデルが存在します。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$

超フィルターは集合論、モデル理論、位相幾何学において多くの応用がある。^{[1] : 186}通常、自由超フィルターのみが非自明な構成につながる。例えば、主超フィルターを法とする超積は常に因子の1つと同型であるが、自由超フィルターを法とする超積は通常より複雑な構造を持つ。

任意の集合が与えられたとき、その上の超フィルタは次のような空でない部分集合の族である: ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

1. 適切または非退化: 空集合は${\displaystyle U.}$
2. 上向きに${\displaystyle X}$：がの任意のスーパーセットで（つまり である場合）、${\displaystyle A\in U}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\subseteq B\subseteq X}$${\displaystyle B\in U.}$
3. π −システム：と がの要素それら共通部分${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A\cap B.}$
4. のどちらかまたはその補集合が^[注1]の要素である場合、${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X\setminus A}$${\displaystyle U.}$

特性 (1)、(2)、(3) は、フィルタ${\displaystyle X.}$の定義特性です。著者の中には、「フィルタ」の定義に非退化 (上記の特性 (1)) を含めない人もいます。ただし、「ウルトラフィルタ」(および「プレフィルタ」と「フィルタ サブベース」) の定義には、常に非退化が定義条件として含まれています。この記事では、フィルタが強調のために「適切」であると説明される場合でも、すべてのフィルタが適切であることを要求します。

フィルタサブベースは、有限交差プロパティ(つまり、すべての有限交差が空でない)を持つ空でない集合のファミリです。同様に、フィルタサブベースは、何らかの(適切な) フィルタに含まれる空でない集合のファミリです。特定のフィルタ サブベースを含む最小の ( に対する) フィルタは、フィルタ サブベースによって生成されると言われます。 ${\displaystyle \subseteq }$

集合族の上方閉包は集合 ${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle P^{\uparrow X}:=\{S:A\subseteq S\subseteq X{\text{ for some }}A\in P\}.}$

あプレフィルターまたはフィルタ基底は、下向きの空でない適切な（すなわち）集合族で、つまり の場合、 となる集合族が存在する上向き閉包がある集合族であり、その場合、このフィルタはによって生成されるフィルタ、のフィルタ基底であると言われる${\displaystyle \varnothing \not \in P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle B,C\in P}$${\displaystyle A\in P}$${\displaystyle A\subseteq B\cap C.}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{\uparrow X}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{\uparrow X}.}$

^[2]における${\displaystyle X}$集合族の双対は集合である。例えば、冪集合の双対はそれ自身である: 集合族が 上の適切なフィルタとなるのは、その双対が上の適切なイデアルとなる場合のみである(「適切な」とは冪集合と等しくないことを意味する)。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle X\setminus P:=\{X\setminus B:B\in P\}.}$ ${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle X\setminus \wp (X)=\wp (X).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

の部分集合の族は${\displaystyle U\neq \varnothing }$${\displaystyle X}$超かつ以下の同等の条件のいずれかが満たされる場合^[2][3]${\displaystyle \varnothing \not \in U}$

1. あらゆる集合に対して、 またはとなる集合（または同等に、またはとなる集合）が存在します。${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle B\in U}$${\displaystyle B\subseteq S}$${\displaystyle B\subseteq X\setminus S}$${\displaystyle B\cap S}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \varnothing }$
2. あらゆる集合に対して、等しいか、または${\displaystyle S\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{B\in U}}B}$${\displaystyle B\in U}$${\displaystyle B\cap S}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \varnothing.}$
   • ここで、は、${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{B\in U}}B}$${\displaystyle U.}$
   • この「超」の特徴はセットに依存しないため、 「超」という用語を使用するときにセットについて言及することはオプションです。${\displaystyle U}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$
3. あらゆる集合（ の部分集合である必要はない）に対して、 が等しい、またはとなる集合が存在する。${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\in U}$${\displaystyle B\cap S}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \varnothing.}$
   • がこの条件を満たす場合、すべてのスーパーセットもこの条件を満たします。特に、セットがウルトラセットである場合、およびそれがサブセットとしていくつかのウルトラセット族を含む場合のみ、そのセットはウルトラセットになります。${\displaystyle U}$${\displaystyle V\supseteq U.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \varnothing \not \in V}$${\displaystyle V}$

ウルトラフィルタサブベースは必ずプレフィルタになります。^{[証明 1]}

ultra プロパティを使用して、ウルトラフィルターとウルトラ プレフィルターの両方を定義できるようになりました。

アンウルトラプレフィルタ^[2][3]は、ウルトラなプレフィルタです。同様に、ウルトラなフィルタサブベースでもあります。

アン超フィルタ^[2][3]は、 の（適切な）超フィルタです超プレフィルタによって生成される の任意のフィルタです${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ウルトラプレフィルターを最大プレフィルターとして

ウルトラ プレフィルタを「最大性」の観点から特徴付けるには、次の関係が必要です。

2つの集合族とがあるとすると、族はより粗い^{[4] [5]}と言われ、 はより細かいであり、またはN ⊢ Mに従属するとされ、任意の に対してとなるものが存在する場合、族と は同値であるとされ、のいずれかが他方より細かい場合、族と は比較可能である。^[4]${\displaystyle M}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M,}$${\displaystyle M\leq N}$${\displaystyle C\in M,}$${\displaystyle F\in N}$${\displaystyle F\subseteq C.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\leq N}$${\displaystyle N\leq M.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

従属関係、つまり は前順序であるため、上記の「同等」の定義は同値関係 を形成します。 の場合 ですが、その逆は一般には成り立ちません。 ただし、 がフィルタなどの上向きに閉じている場合 の場合に限り となります 。 すべてのプレフィルタは、それが生成するフィルタと同等です。 これは、フィルタがフィルタではないセットと同等になる可能性があることを示しています。 ${\displaystyle \,\geq ,\,}$${\displaystyle M\subseteq N}$${\displaystyle M\leq N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\leq N}$${\displaystyle M\subseteq N.}$

との 2 つの集合族が同等である場合、と は両方ともウルトラ (それぞれプレフィルタ、フィルタ サブベース) であるか、そうでない場合はどちらもウルトラ (それぞれプレフィルタ、フィルタ サブベース) ではありません。特に、フィルタ サブベースがプレフィルタでもない場合は、それが生成するフィルタまたはプレフィルタと同等ではありません。と が両方とものフィルタである場合、 と が同等なのは、次の場合のみです。適切なフィルタ (それぞれウルトラフィルタ) が集合族と同等である場合、 は必然的にプレフィルタ (それぞれウルトラ プレフィルタ) です。次の特性を使用して、フィルタ (それぞれウルトラフィルタ) と従属の概念のみを使用してプレフィルタ (それぞれウルトラ プレフィルタ) を定義することができます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M=N.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

任意の集合の族は、それが（適切な）フィルターと同等である場合にのみプレフィルターになります。

任意の集合族は、超フィルタと同等である場合に限り、超プレフィルタとなります。

あ${\displaystyle X}$^[2][3]の最大プレフィルタは、以下の同等の条件のいずれかを満たすプレフィルタである${\displaystyle U\subseteq \wp (X)}$

1. ${\displaystyle U}$超です。
2. ${\displaystyle U}$はに関して最大​​であり、が満たされる場合、^[3]となる。${\displaystyle \operatorname {プレフィルタ} (X)}$${\displaystyle \,\leq ,}$${\displaystyle P\in \operatorname {プレフィルタ} (X)}$${\displaystyle U\leq P}$${\displaystyle P\leq U.}$
3. ^[3]に適切に従属するプレフィルタは存在しない。${\displaystyle U.}$
4. （適切な）フィルタがを満たす場合${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\leq F}$${\displaystyle F\leq U.}$
5. 生成されたフィルターは超です。${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$

空集合にはウルトラフィルタが存在しないため、以降は が空でないものとみなされます。 ${\displaystyle X}$

フィルタサブベースがウルトラフィルタとなるのは、以下の同等の条件のいずれかが満たされている場合のみです。^{[2] [3]}${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

1. いずれかまたは${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle S\in U}$${\displaystyle X\setminus S\in U.}$
2. ${\displaystyle U}$は、 上の最大フィルタ部分基底であり、が上の任意のフィルタ部分基底であれば、 ^[6]が成り立つことを意味する。${\displaystyle X,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq F}$${\displaystyle U=F.}$

上の(適切な) フィルタは、次の同等の条件のいずれかが満たされる場合にのみ、 上の超フィルタです。${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle U}$超です。
2. ${\displaystyle U}$超プレフィルターによって生成されます。
3. 任意の部分集合または^[6]${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\in U}$${\displaystyle X\setminus S\in U.}$
   • したがって、ウルトラフィルターは、それぞれについて、が「大きい」（つまり）か「小さい」（つまり）かを決定します。^[7]${\displaystyle U}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S\in U}$${\displaystyle X\setminus S\in U}$
4. 各サブセットについて、^{[注 1]}が含まれるか ( ) が含まれるかのいずれかです。${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X\setminus A}$
5. ${\displaystyle U\cup (X\setminus U)=\wp (X).}$この条件は次のように言い換えることができる：は によって分割され、その双対${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X\setminus U.}$
   • 集合とはすべての前置フィルタに対して互いに素である。${\displaystyle P}$${\displaystyle X\setminus P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X.}$
6. ${\displaystyle \wp (X)\setminus U=\left\{S\in \wp (X):S\not \in U\right\}}$^[6]の理想である${\displaystyle X.}$
7. （ただし）の任意の有限部分集合族に対して、ある指数に対して${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle S_{1}\cup \cdots \cup S_{n}\in U}$${\displaystyle S_{i}\in U}$${\displaystyle i.}$
   • 言葉で言えば、「大きな」集合は、どれも大きくない集合の有限の和集合にはなり得ない。^[8]
8. 任意のif thenまたは${\displaystyle R,S\subseteq X,}$${\displaystyle R\cup S=X}$${\displaystyle R\in U}$${\displaystyle S\in U.}$
9. 任意のif thenまたは（この特性を持つフィルタは${\displaystyle R,S\subseteq X,}$${\displaystyle R\cup S\in U}$${\displaystyle R\in U}$${\displaystyle S\in U}$プライムフィルター）。
10. いずれの場合も、または${\displaystyle R,S\subseteq X,}$${\displaystyle R\cup S\in U}$${\displaystyle R\cap S=\varnothing }$ ${\displaystyle R\in U}$${\displaystyle S\in U.}$
11. ${\displaystyle U}$は最大フィルタである。つまり、が上のフィルタで、 となる場合である。同様に、上のフィルタが を適切な部分集合として含まないとき（つまり、より厳密に細かいフィルタは存在しないとき）、は最大フィルタである。 ^[6]${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq F}$${\displaystyle U=F.}$${\displaystyle U}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

ならば、そのグリルはで と書くことができる族であり 、文脈から明らかである。例えば、であり、 であれば、で あり、さらに、 がフィルタサブベースであれば、^[9] グリルがで上向きに閉じている場合、かつ の場合に限り、これは今後仮定される。さらに、が で上向きに閉じている場合、かつ の場合に限り、${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#X}:=\{S\subseteq X~:~S\cap B\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}\}}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing ^{\#}=\wp (X)}$${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#}=\varnothing .}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#}\subseteq {\mathcal {A}}^{\#}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}^{\#}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}},}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#\#}={\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#\#}={\mathcal {B}}.}$

フィルタのグリルは、フィルタグリルと呼ばれる^[9]。任意のフィルタグリルがフィルタグリルである場合、(1)が上向きに閉じており、(2)がすべての集合に対してであり、またはである場合に限ります。グリル操作は、一対一の関係を誘導します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \varnothing \neq {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\#X}}$

${\displaystyle {\bullet }^{\#X}~:~\operatorname {Filters} (X)\to \operatorname {FilterGrills} (X)}$

その逆関数も^[9]で与えられている。が上のフィルタグリルである場合と同値である。 ^[9]または、同値であるが が上の超フィルタである場合と同値である。 ^[9]つまり、 上のフィルタがフィルタグリルである場合と同値である。空でない任意の に対して が上のフィルタかつ上のフィルタグリルである場合と同値である。すべての次の同値に対して (1) および (2)が成り立つ。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\#X}.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}^{\#X},}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle R,S\subseteq X,}$

${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {F}}}$もし、もし、もし、もし、もし^[9]${\displaystyle R,S\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle R\cap S\in {\mathcal {F}}.}$

が空でない集合族である場合、の核^は[10]内のすべての集合の共通部分である。${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P:}$ $${\displaystyle \operatorname {ker} P:=\bigcap _{B\in P}B.}$$

空でない集合の族は次のように呼ばれます。 ${\displaystyle P}$

• 無料のifと${\displaystyle \operatorname {ker} P=\varnothing }$それ以外の場合（つまり、 の場合）は固定されます。${\displaystyle \operatorname {ker} P\neq \varnothing }$
• プリンシパルif${\displaystyle \operatorname {ker} P\in P.}$
• が単集合である場合、点における主集合である。この場合、 であれば、 は点における主集合であると言われる${\displaystyle \operatorname {ker} P\in P}$${\displaystyle \operatorname {ker} P}$${\displaystyle \operatorname {ker} P=\{x\}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x.}$

集合の族が固定されている場合、集合のいくつかの要素が単一集合である場合に限り、集合は超集合となり、その場合には必然的にプレフィルターとなります。すべての主プレフィルターは固定されているため、主プレフィルターは、集合が単一集合である場合に限り超集合となります。単一集合が超集合となるのは、その唯一の要素も単一集合である場合に限ります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \operatorname {ker} P}$

次の定理は、すべての超フィルターが 2 つのカテゴリのいずれかに分類されることを示しています。つまり、自由フィルターであるか、単一のポイントによって生成される主フィルターであるかのいずれかです。

単一点で主となる上のすべてのフィルターは超フィルターであり、さらにが有限であれば、これら以外の 上に超フィルターは存在しません。^[10]特に、集合が有限の濃度を持つ場合、 上にはちょうど 個の超フィルターが存在し、それらは の各単一部分集合によって生成される超フィルターです。したがって、自由な超フィルターは無限集合上にのみ存在できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n<\infty ,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

が無限集合である場合、 上の超フィルタの数はの部分集合の族の数と同じだけ存在する。明示的に、 が無限の濃度を持つ場合、 上の超フィルタの集合はその濃度と同じ濃度を持つ^[11]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X;}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp (\wp (X));}$${\displaystyle 2^{2^{\kappa }}.}$

および が、 が超であるような集合の族である場合、は必然的に超です。プレフィルタではないフィルタ サブベースは超になることはできませんが、それでも によって生成されたプレフィルタとフィルタが超になることは可能です。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle S}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \varnothing \not \in S,}$${\displaystyle U\leq S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

が超であり、が集合であるとする。トレースが超となるのは、空集合を含まない場合のみである。さらに、集合 と の少なくとも 1 つは超となる (この結果は の任意の有限分割に拡張される)。が 上のフィルタであり、 が上の超フィルタである場合、を満たすものが存在する^[12] 。この結果は、フィルタの無限族に対して必ずしも真であるわけではない。^[12]${\displaystyle U\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle U\vert _{Y}:=\{B\cap Y:B\in U\}}$${\displaystyle U\vert _{Y}\setminus \{\varnothing \}}$${\displaystyle U\vert _{X\setminus Y}\setminus \{\varnothing \}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}\leq U,}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle F_{i}\leq U.}$

超集合の写像の下の像は再び超であり、が超プレフィルタである場合、 も超である。超であるという特性は、全単射の下でも保持される。しかし、超フィルタの逆像は、写像が全射であっても必ずしも超であるわけではない。たとえば、 に複数の点があり、 の範囲が単一の点からなる場合、 は上の超プレフィルタであるが、その逆像は超ではない。あるいは、 が内の点によって生成される主フィルタである場合、 の逆像には空集合が含まれるため、 は超ではない。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle U\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f(U).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \{y\}}$${\displaystyle \{y\}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Y\setminus f(X)}$${\displaystyle U}$

すべての点が相異なる無限列によって誘導される基本フィルタは、超フィルタではありません。 ^[12]が、濃度を持つすべての部分集合からなる集合を表す場合、少なくとも( ) 個の相異なる点が含まれる場合、は超ですが、どのプレフィルタにも含まれません。この例は、任意の整数に一般化でき、 が複数の要素を含む場合も に一般化できます。プレフィルタでもない超集合はほとんど使用されません。 ${\displaystyle n=2,}$${\displaystyle U_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 2n-1}$${\displaystyle =3}$${\displaystyle U_{n}}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle X}$

任意の に対して が上の超フィルターならば、が上の超フィルターであるようなすべての集合は^[13]${\displaystyle S\subseteq X\times X}$${\displaystyle a\in X,}$${\displaystyle S{\big \vert }_{\{a\}\times X}:=\{y\in X~:~(a,y)\in S\}.}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X\times X}$${\displaystyle \left\{a\in X~:~S{\big \vert }_{\{a\}\times X}\in {\mathcal {U}}\right\}\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X\times X.}$

上のすべての超フィルタの集合を任意の集合に関連付ける関数は、と呼ばれるモナドを形成する。${\displaystyle X}$${\displaystyle U(X)}$${\displaystyle X}$超フィルターモナド。単位マップは 要素を主超フィルターに$${\displaystyle X\to U(X)}$$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x.}$

このウルトラフィルタモナドは、有限集合のカテゴリをすべての集合のカテゴリに含めるというコデンシティモナドであり、^[14]はこのモナドの概念的な説明を与える。

同様に、超積モナドは、集合の有限族のカテゴリを集合のすべての族のカテゴリに含める共密度モナドです。したがって、この意味では、超積はカテゴリ的に必然的です。^[14]

超濾過補題は1930年にアルフレッド・タルスキによって初めて証明された。 ^[13]

超フィルタ補題は、次の各ステートメントと同等です。

1. 集合上のすべてのプレフィルタに対して、それに従属する最大プレフィルタが存在する。 ^[2]${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$
2. 集合上のすべての適切なフィルタサブベースは、集合上のいくつかの超フィルタに含まれる。${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

超フィルタ補題の帰結として、すべてのフィルタはそれを含むすべての超フィルタの共通部分に等しい。^{[15] [注 2]}

以下の結果は、超フィルタの補題を使用して証明できます。が無限である場合に限り、集合上に自由超フィルタが存在する。すべての適切なフィルタは、それを含むすべての超フィルタの共通集合に等しい。^[4]超でないフィルタもあるため、これは超フィルタの族の共通集合が必ずしも超である必要がないことを示しています。集合の族は、の任意の有限族の共通集合が無限である場合に限り、自由超フィルタに拡張できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} \neq \varnothing }$${\displaystyle \mathbb {F} }$

このセクション全体を通じて、ZF はツェルメロ-フランケル集合論を指し、ZFC は選択公理( AC )を持つZFを指します。 超フィルタ補題はZFとは独立しています。つまり、ZFの公理は成り立つが超フィルタ補題は成り立たないモデルが存在します。 また、すべての超フィルタが必ず主となるZFモデルも存在します。

シングルトン セットを含むすべてのフィルターは必然的にウルトラフィルターであり、離散ウルトラフィルターの定義が与えられれば、 ZF以上のものは必要ありません。 が有限である場合、すべてのウルトラフィルターはある点で離散フィルターです。したがって、自由ウルトラフィルターは無限セット上にのみ存在できます。特に、 が有限である場合、ウルトラフィルターの補題は公理ZFから証明できます。選択公理を仮定すると、無限セット上の自由ウルトラフィルターの存在を証明できます。より一般的には、ウルトラフィルターの補題は選択公理を使用して証明できます。簡単に言うと、空でないセットの任意の直積は空でないということです。ZFでは、選択公理は、特に、( a)ゾルンの補題、(b)チコノフの定理、(c) ベクトル基底定理の弱形式 (すべてのベクトル空間には基底があるという)、(d) ベクトル基底定理の強形式、およびその他のステートメントと同等です。ただし、超フィルター補題は選択公理よりも厳密には弱いです。自由超フィルターが存在することは証明できますが、自由超フィルターの明示的な例を構築することはできません( ZFと超フィルター補題のみを使用して)。つまり、自由超フィルターは無形です。^[16]アルフレッド・タルスキは、 ZFCのもとで、無限集合上のすべての自由超フィルタの集合の濃度は の濃度に等しいことを証明した。ここで はの冪集合を表す。 ^{[17]他の著者は、この発見をベドジフ・ポスピシル（}フィヒテンホルツとカントロヴィッチ の組み合わせ論的議論をハウスドルフが改良したもの）によるものだとしている。^{[18] [19]}${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle \{S\subseteq X:x\in S\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp (\wp (X)),}$${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle X.}$

ZFの下では、選択公理は超フィルタ補題とクライン＝ミルマン定理の両方を証明するために使用できます。逆に、ZFの下では、超フィルタ補題とクライン＝ミルマン定理を組み合わせて選択公理を証明できます。^[20]