Theorem in functional analysis
関数解析や 数学 の関連分野 において 、 バナッハ・アラオグルの定理（ アラオグルの定理 とも呼ばれる ）は、 ノルムベクトル空間 の 双対空間 の 閉じた 単位球が 弱* 位相で コンパクトである ことを述べている 。 [1]一般的な証明では、弱*位相を持つ単位球は、 積位相 を持つコンパクト集合の 積
の閉じた部分集合であると見なされる。 チコノフの定理 の結果として 、この積、したがってその中の単位球はコンパクトである。
この定理は、観測可能な代数の状態集合を記述するときに物理学に応用されます。つまり、任意の状態は、いわゆる純粋状態の凸線形結合として記述できるということです。
歴史 ローレンス・ナリシとエドワード・ベッケンシュタインによれば、アラオグルの定理は「非常に重要な結果であり、おそらく 弱*位相に関する 最も 重要な事実であり 、関数解析全体に反映されている」とのことです。
1912年、ヘリーは の連続双対空間の単位球が 可算弱*コンパクトであることを証明しました。
1932年、 ステファン・バナッハは、任意の 可分 ノルム空間 の連続双対空間の閉じた単位球が 順次弱*コンパクトであることを証明しました（バナッハは 順次コンパクト性 のみを考慮しました）。
一般的な場合の証明は、1940年に数学者 レオニダス・アラオグル によって発表されました。ピエッチ[2007]によると、この定理またはその重要な前身を主張できる数学者は少なくとも12人います。
C
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle C([a,b])}
ブルバキ ・アラオグル定理は、 ブルバキ による元の定理を 局所凸空間 上の 双対位相 に 一般化したものである [4] [5] 。この定理は バナッハ・アラオグル定理 または 弱コンパクト性定理とも呼ばれ、一般的には単に アラオグル定理 と呼ばれる 。
声明 が体上のベクトル空間である 場合 、 は の 代数的双対空間 を表します 。そして、これら 2 つの空間は、 によって定義される
双線型 評価写像 に関連付けられます。
ここで、3 つ 組は、標準双対 システム と呼ばれる双対システム を形成します 。
X
{\displaystyle X}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
X
{\displaystyle X}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
:
X
×
X
#
→
K
{\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X^{\#}\to \mathbb {K} }
⟨
x
,
f
⟩
=
def
f
(
x
)
{\displaystyle \left\langle x,f\right\rangle ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(x)}
⟨
X
,
X
#
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\#},\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right\rangle }
が位相ベクトル空間 （TVS） である 場合、その 連続双対空間 は で表され、 常に が成り立ちます。 上の 弱*位相 を で表し、 上の 弱*位相を で表します 。
弱*位相は 点収束の位相 とも呼ばれます。これは、マップ と マップの ネット が与えられた場合、この位相でネット が収束する 条件は、ドメイン内のすべての点に対して 、値のネットが 値に収束することであるためです。
X
{\displaystyle X}
X
′
,
{\displaystyle X^{\prime },}
X
′
⊆
X
#
{\displaystyle X^{\prime }\subseteq X^{\#}}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
σ
(
X
#
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
σ
(
X
′
,
X
)
.
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right).}
f
{\displaystyle f}
f
∙
=
(
f
i
)
i
∈
I
,
{\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I},}
f
∙
{\displaystyle f_{\bullet }}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
(
f
i
(
x
)
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}}
f
(
x
)
.
{\displaystyle f(x).}
アローグル定理 — 連続双対空間を持つ任意の 位相ベクトル空間 （TVS） （ 必ずしも ハウスドルフ または 局所凸で ある必要はない ） に対して、 の任意の原点 近傍 の極
は の 弱*位相 [注1] において コンパクトである。 さらに、は 標準系に関して の 極に等しく 、 のコンパクト部分集合でもある。
X
{\displaystyle X}
X
′
,
{\displaystyle X^{\prime },}
U
∘
=
{
f
∈
X
′
:
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
}
{\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
X
′
.
{\displaystyle X^{\prime }.}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
U
{\displaystyle U}
⟨
X
,
X
#
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
.
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}
双対理論に関する証明 証拠 を の基礎体で表します。 は 実数 または 複素数 です。
この証明では、記事に記載されているいくつかの基本的な特性、つまり 極集合 、 双対システム 、および 連続線型演算子 を使用します。
X
{\displaystyle X}
K
,
{\displaystyle \mathbb {K} ,}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
.
{\displaystyle \mathbb {C} .}
証明を始めるにあたり、定義と容易に検証できる結果をいくつか思い出してみましょう。 が 弱*位相 を備えている場合 、この ハウスドルフ 局所 凸位相ベクトル空間は で表されます。
空間は常に 完全な TVS です 。しかし、 は 完全な空間ではない可能性があり、それがこの証明が空間 を含む理由です。
具体的には、この証明では、完全なハウスドルフ空間の部分集合がコンパクトであるためには (そしてその場合に限り) 閉じており 全有界で あるという事実を使用します。重要なのは、 から継承される 部分 空間位相 が に等しいことです。これは、 の任意 の ネット が これらの位相の 1 つで に収束する場合と、それが他の位相でも に収束する場合に限り、 示すことによって 容易に検証できます (2 つの位相が等しいのは、それらがまったく同じ収束ネットを持つ場合とに限りますので、結論は従います)。
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
σ
(
X
#
,
X
)
,
{\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right),}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
.
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
.
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
σ
(
X
′
,
X
)
.
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right).}
f
∈
X
′
,
{\displaystyle f\in X^{\prime },}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
トリプルは 双対 である が、一般的には双対システムであることが保証されていない。特に明記しない限り、すべての極性セットは標準的な ペアリング に関して取られる。
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
⟨
X
,
X
#
⟩
,
{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle ,}
⟨
X
,
X
′
⟩
.
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}
を の原点の近傍とし、次のように します 。
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
U
∘
=
{
f
∈
X
′
:
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
}
{\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}
標準ペアリングに関しての の極座標である 。
U
{\displaystyle U}
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
U
∘
∘
=
{
x
∈
X
:
sup
f
∈
U
∘
|
f
(
x
)
|
≤
1
}
{\displaystyle U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}}
に関して の双極性
U
{\displaystyle U}
である 。
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
U
#
=
{
f
∈
X
#
:
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
}
{\displaystyle U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}
は標準双対系に関する 極座標である 。
U
{\displaystyle U}
⟨
X
,
X
#
⟩
.
{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle .}
U
∘
=
U
#
∩
X
′
.
{\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime }.}
極座標に関するよく知られた事実は、
U
∘
∘
∘
⊆
U
∘
.
{\displaystyle U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }.}
が の -閉部分集合であることを 示してください 。 がの ネットで で に 収束する と仮定します。 結論として、 任意の に対して を示すことで十分（かつ必要）です。 スカラー体 および のすべての値は 閉部 分集合（ ）に属する ため、このネットの極限も この集合に属する必要があります。したがって、
U
#
{\displaystyle U^{\#}}
σ
(
X
#
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}
X
#
:
{\displaystyle X^{\#}:}
f
∈
X
#
{\displaystyle f\in X^{\#}}
f
∙
=
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}
U
#
{\displaystyle U^{\#}}
f
{\displaystyle f}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
.
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}
f
∈
U
#
,
{\displaystyle f\in U^{\#},}
|
f
(
u
)
|
≤
1
{\displaystyle |f(u)|\leq 1}
u
∈
U
.
{\displaystyle u\in U.}
f
i
(
u
)
→
f
(
u
)
{\displaystyle f_{i}(u)\to f(u)}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
f
i
(
u
)
{\displaystyle f_{i}(u)}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
{
s
∈
K
:
|
s
|
≤
1
}
,
{\displaystyle \left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\},}
f
(
u
)
{\displaystyle f(u)}
|
f
(
u
)
|
≤
1.
{\displaystyle |f(u)|\leq 1.}
であることを示し 、 が と の両方の閉じた部分集合であることを結論付けます 。すべての連続線型関数は（特に）線型関数 であるため、 包含関係が成り立ちます。逆包含関係について、 が であるとし ます。 これは、 線型関数が近傍 で有界であることを正確に示しています 。したがって、は 連続線型関数 （つまり、 ） であり、望みどおりになります。(1) と、 の部分空間位相で 交差が閉じているという事実を使用すると、が閉じている という主張 が成り立ちます。
U
#
=
U
∘
{\displaystyle U^{\#}=U^{\circ }}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
:
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right):}
U
∘
⊆
U
#
{\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}}
U
#
⊆
U
∘
,
{\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ },\,}
f
∈
U
#
{\displaystyle f\in U^{\#}}
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
,
{\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}
f
{\displaystyle f}
U
{\displaystyle U}
f
{\displaystyle f}
f
∈
X
′
{\displaystyle f\in X^{\prime }}
f
∈
U
∘
,
{\displaystyle f\in U^{\circ },}
U
#
∩
X
′
=
U
∘
∩
X
′
=
U
∘
{\displaystyle U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }}
X
′
,
{\displaystyle X^{\prime },}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
が の- 全有界 部分集合で ある ことを示します 。 双極定理 により、 近傍 が の 吸収部分 集合であるため 、集合 についても同じことが成り立つはずであり、これは が の - 全有界部分集合 で ある ことを示すことを証明できます。は の部分集合 の 点を区別する ため、 が - 全有界 で ある 場合に限り、 が - 全有界 で あることになります。したがって特に、 も - 全有界です。
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
X
′
:
{\displaystyle X^{\prime }:}
U
⊆
U
∘
∘
{\displaystyle U\subseteq U^{\circ \circ }}
U
{\displaystyle U}
X
,
{\displaystyle X,}
U
∘
∘
;
{\displaystyle U^{\circ \circ };}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
X
′
.
{\displaystyle X^{\prime }.}
X
{\displaystyle X}
X
′
,
{\displaystyle X^{\prime },}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
は の-全有界部分集合で もあると 結論付ける。 上の位相は から継承される 部分空間位相と同一であること を思い出す。 この事実と (3) および「全有界」の定義から、 は の -全有界部分集合で ある ことが分かる。
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
σ
(
X
#
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}
X
#
:
{\displaystyle X^{\#}:}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
.
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
σ
(
X
#
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}
X
#
.
{\displaystyle X^{\#}.}
最後に、は の -コンパクト部分集合で あることを推論します。 は 完全なTVS であり 、 の閉じた((2)により)かつ完全に有界な((4)により)部分集合である ため、 はコンパクトである ことが分かります 。
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
X
′
:
{\displaystyle X^{\prime }:}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
,
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right),}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
◼
{\displaystyle \blacksquare }
がノルムベクトル空間 である 場合 、近傍の極は双対空間で閉じており、ノルムで制限されます。特に、 が の開（または閉）単位球である場合 、 の極は の連続双対空間（ 通常の双対ノルム を持つ） の閉単位球です 。したがって、この定理は次のように特殊化できます。
X
{\displaystyle X}
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
U
{\displaystyle U}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
{\displaystyle X}
バナッハ・アラオグルの定理 — がノルム空間である場合、連続双対空間 （通常の 演算子ノルム が付与される）内の閉じた単位球は、 弱*位相 に関してコンパクトです 。
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
の 連続双対空間 が無限次元ノルム空間である場合、 が通常のノルム位相を持つとき、 の閉じた単位球が コンパクト部分集合になることは 不可能 です。これは、ノルム位相の単位球がコンパクトであるための必要十分条件は、空間が有限次元である場合に限ります ( F. リースの定理 を参照)。この定理は、同じベクトル空間上に異なる位相を持つことの有用性の一例です。
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
見かけに反して、バナッハ・アラオグルの定理は 弱*位相が 局所コンパクトであることを意味し ない ことに注意する必要がある。これは、閉じた単位球が 強位相 では原点の近傍にすぎないが、弱*位相では空の内部を持つため、空間が有限次元でない限り、通常は弱*位相の原点の近傍ではないためである。実際、 すべての 局所コンパクト ハウス ドルフ位相ベクトル空間は有限次元でなければならない
というのは、 ヴェイユの結果である。
基本的な証明 以下の 初等的証明では 双対性理論 は使用せず 、集合論、位相幾何学、関数解析の基本概念のみを必要とします。位相幾何学で必要なのは、 位相空間 における 正味 収束の実用的な知識と、 線型関数が連続である ためには、それが 原点の 近傍で有界である必要 があるという事実への精通です (詳細については 、連続線型関数 と 部分線型関数 の記事を参照してください)。また、形式 のすべての関数の空間が 直積 として識別される 仕組みの技術的な詳細と、 点ごとの収束 、 積位相 、および 代数的双対 空間 などの部分集合や などの部分空間の積にそれらが誘導する部分空間位相 との関係を適切 に理解することも必要です。
これらの詳細について、興味のある読者のためにここで説明します。
K
X
{\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}
X
→
K
{\displaystyle X\to \mathbb {K} }
∏
x
∈
X
K
,
{\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} ,}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
∏
x
∈
X
B
r
x
.
{\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}
バナッハ-アラオグル定理の本質は、バナッハ-アラオグル定理が従う次の命題にあります。バナッハ-アラオグル定理とは異なり、この命題では ベクトル空間に何らかの位相が備わっている必要はあり ません 。
X
{\displaystyle X}
上記の命題を証明する前に、まずバナッハ-アラオグルの定理がどのようにしてこの命題から導かれるかを示します (命題とは異なり、バナッハ-アラオグルは が 位相ベクトル空間 (TVS)であり 、 が 原点の近傍であると仮定します)。
X
{\displaystyle X}
U
{\displaystyle U}
上記の命題からバナッハ＝アラオグル則が導かれることの証明 が連続双対空間を持つ 位相ベクトル空間 であり 、が 原点の近傍であると 仮定する。 は における原点の近傍であるため 、 の 吸収部分 集合でもある ので、任意 の に対して と なる実数が存在する
。したがって、上記の命題の仮定は満たされ、したがって、集合は 弱*位相 においてコンパクトである。バナッハ-アラオグルの定理の証明は 、[注 2] が次のように定義された
こと を示せば完了する。
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
U
{\displaystyle U}
U
{\displaystyle U}
X
,
{\displaystyle X,}
X
,
{\displaystyle X,}
x
∈
X
,
{\displaystyle x\in X,}
r
x
>
0
{\displaystyle r_{x}>0}
x
∈
r
x
U
.
{\displaystyle x\in r_{x}U.}
U
#
{\displaystyle U^{\#}}
U
#
=
U
∘
,
{\displaystyle U^{\#}=U^{\circ },}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
U
∘
=
def
{
f
∈
X
′
:
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
}
=
U
#
∩
X
′
.
{\displaystyle U^{\circ }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~U^{\#}\cap X^{\prime }.}
証明
U
∘
=
U
#
:
{\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}:}
結論は と同等である
ため、 の
場合、 これはまさに線形関数 が近傍に有界であることを表しており 、したがって は期待どおりに 連続線形関数 (つまり) です 。
U
∘
=
U
#
∩
X
′
,
{\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime },}
U
#
⊆
X
′
.
{\displaystyle U^{\#}\subseteq X^{\prime }.}
f
∈
U
#
{\displaystyle f\in U^{\#}}
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
,
{\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}
f
{\displaystyle f}
U
;
{\displaystyle U;}
f
{\displaystyle f}
f
∈
X
′
{\displaystyle f\in X^{\prime }}
◼
{\displaystyle \blacksquare }
命題の証明 積空間は 、 ティコノフの定理 によりコンパクトです （各閉球は ハウスドルフ [注 3] コンパクト空間 であるため）。コンパクト空間の閉部分集合はコンパクトであるため、
が の閉部分集合である ことが示されれば、命題の証明は完了します。
次のステートメントはこの結論を保証します。
∏
x
∈
X
B
r
x
{\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}
B
r
x
=
def
{
s
∈
K
:
|
s
|
≤
r
x
}
{\displaystyle B_{r_{x}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r_{x}\}}
U
#
=
def
{
f
∈
X
#
:
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
}
=
{
f
∈
X
#
:
f
(
U
)
⊆
B
1
}
{\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}}
∏
x
∈
X
B
r
x
.
{\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}
U
#
⊆
∏
x
∈
X
B
r
x
.
{\displaystyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}
U
#
{\displaystyle U^{\#}}
積空間 の閉じた部分集合である
∏
x
∈
X
K
=
K
X
.
{\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}.}
（１）の証明 ：
任意の に対して、 を （上で定義したように） 番目の 座標への射影を表すものとする 。を証明するには、任意 の に対してである ことが示されれば十分（かつ必要）である。したがって、 を
固定して とおく。したがって、 が で
あることを 示すことが残っている。は、 を満たす任意の正の実数であると命題の文で定義されていること
を思い出すと （したがって、たとえば、 は各 に対して有効な選択肢となる ）、これは を意味する。 は 、 を満たす 正の同次 関数である
ため、
z
∈
X
,
{\displaystyle z\in X,}
Pr
z
:
∏
x
∈
X
K
→
K
{\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} }
z
{\displaystyle z}
U
#
⊆
∏
x
∈
X
B
r
x
,
{\textstyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}},}
Pr
x
(
U
#
)
⊆
B
r
x
{\displaystyle \Pr {}_{x}\left(U^{\#}\right)\subseteq B_{r_{x}}}
x
∈
X
.
{\displaystyle x\in X.}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
∈
U
#
.
{\displaystyle f\in U^{\#}.}
Pr
x
(
f
)
=
f
(
x
)
,
{\displaystyle \Pr {}_{x}(f)\,=\,f(x),}
f
(
x
)
∈
B
r
x
.
{\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}}.}
r
x
>
0
{\displaystyle r_{x}>0}
x
∈
r
x
U
{\displaystyle x\in r_{x}U}
r
u
:=
1
{\displaystyle r_{u}:=1}
u
∈
U
{\displaystyle u\in U}
u
x
=
def
1
r
x
x
∈
U
.
{\displaystyle \,u_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\frac {1}{r_{x}}}\,x\in U.\,}
f
{\displaystyle f}
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
,
{\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}
1
r
x
|
f
(
x
)
|
=
|
1
r
x
f
(
x
)
|
=
|
f
(
1
r
x
x
)
|
=
|
f
(
u
x
)
|
≤
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1.
{\displaystyle {\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.}
したがって、希望どおりで あることを示します 。
|
f
(
x
)
|
≤
r
x
,
{\displaystyle |f(x)|\leq r_{x},}
f
(
x
)
∈
B
r
x
,
{\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}},}
（２）の証明 ：
代数 的双対空間は 常に の閉部分集合である （この結果を知らない読者のために、これは以下の補題で証明されている）。 集合は
の 閉部分集合の積であるため、 の 積位相 で
閉じている。
したがって は の2つの閉部分集合の共通部分であり、 (2) が証明される。 [注 4]
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
K
X
=
∏
x
∈
X
K
{\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }
U
B
1
=
def
{
f
∈
K
X
:
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
}
=
{
f
∈
K
X
:
f
(
u
)
∈
B
1
for all
u
∈
U
}
=
{
(
f
x
)
x
∈
X
∈
∏
x
∈
X
K
:
f
u
∈
B
1
for all
u
∈
U
}
=
∏
x
∈
X
C
x
where
C
x
=
def
{
B
1
if
x
∈
U
K
if
x
∉
U
{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}U_{B_{1}}&\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,{\Big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\ \in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}\\&={\big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\,\in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:f(u)\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\big \}}\\&={\Big \{}\left(f_{x}\right)_{x\in X}\in \prod _{x\in X}\mathbb {K} \,~:~\;~f_{u}~\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\Big \}}\\&=\prod _{x\in X}C_{x}\quad {\text{ where }}\quad C_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\begin{cases}B_{1}&{\text{ if }}x\in U\\\mathbb {K} &{\text{ if }}x\not \in U\\\end{cases}}\\\end{alignedat}}}
∏
x
∈
X
K
=
K
X
{\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}}
K
.
{\displaystyle \mathbb {K} .}
U
B
1
∩
X
#
=
U
#
{\displaystyle U_{B_{1}}\cap X^{\#}=U^{\#}}
K
X
,
{\displaystyle \mathbb {K} ^{X},}
◼
{\displaystyle \blacksquare }
集合 が閉じているという結論は、今度はネットを使って証明された次のより一般的な結果を特別なケースに適用することによっても得られ 、
U
B
1
=
{
f
∈
K
X
:
f
(
U
)
⊆
B
1
}
{\displaystyle U_{B_{1}}=\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}:f(U)\subseteq B_{1}\right\}}
Y
:=
K
{\displaystyle Y:=\mathbb {K} }
B
:=
B
1
.
{\displaystyle B:=B_{1}.}
観察 : が 任意の集合であり、が 位相空間の 閉部 分集合である場合 、 点ごとの収束の位相において は の閉部分集合です。
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
Y
,
{\displaystyle Y,}
U
B
=
def
{
f
∈
Y
X
:
f
(
U
)
⊆
B
}
{\displaystyle U_{B}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{f\in Y^{X}:f(U)\subseteq B\right\}}
Y
X
{\displaystyle Y^{X}}
観察の証明 : とし、 が 内のネットで、に点 ごとに収束する と仮定します。 残っているのは 、 が定義により を意味することを示すことです。 内の 任意 のに対して 、 およびすべての値が 閉じた ( 内の ) 部分集合に属する ため、このネットの極限もこの閉じた集合に属する必要があります。したがって、これで 証明は完了です。
f
∈
Y
X
{\displaystyle f\in Y^{X}}
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}
U
B
{\displaystyle U_{B}}
f
.
{\displaystyle f.}
f
∈
U
B
,
{\displaystyle f\in U_{B},}
f
(
U
)
⊆
B
.
{\displaystyle f(U)\subseteq B.}
u
∈
U
,
{\displaystyle u\in U,}
(
f
i
(
u
)
)
i
∈
I
→
f
(
u
)
{\displaystyle \left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)}
Y
{\displaystyle Y}
f
i
(
u
)
∈
f
i
(
U
)
⊆
B
{\displaystyle f_{i}(u)\in f_{i}(U)\subseteq B}
Y
{\displaystyle Y}
B
,
{\displaystyle B,}
f
(
u
)
∈
B
,
{\displaystyle f(u)\in B,}
◼
{\displaystyle \blacksquare }
上の補題は、実際には下の系からも導かれます。なぜなら、 はハウスドルフ 完全一様空間で あり、そのような空間の任意の部分集合 (特に ) は、それが完全である場合に限り、閉じているからです。
∏
x
∈
X
K
{\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
上記のバナッハ・アラオグル定理の初等的証明は、 が を満たす任意の部分集合（ の任意 の 吸収部分集合 など ）である場合、 が の 弱*コンパクト 部分集合で あることを示している。
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
X
=
(
0
,
∞
)
U
=
def
{
r
u
:
r
>
0
,
u
∈
U
}
{\displaystyle X=(0,\infty )U~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{ru:r>0,u\in U\}}
X
{\displaystyle X}
U
#
=
def
{
f
∈
X
#
:
f
(
U
)
⊆
B
1
}
{\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{f\in X^{\#}:f(U)\subseteq B_{1}\right\}}
X
#
.
{\displaystyle X^{\#}.}
補足として、上記の基本的な証明の助けを借りて、次の ようになる
- インデックス付きの非負の実数
が存在することが示されます (この脚注を参照) [証明 1]。
これらの実数は 、次の意味で「最小」になるように選択することもできます。 (証明のように) を使用して、任意
のの場合 に の 表記を定義し、すべての の場合
に を定義する と、
これらの数 が一意であることが示されます。実際、この 最小 値式を使用してそれらを定義できます。
X
{\displaystyle X}
m
∙
=
(
m
x
)
x
∈
X
{\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{x}\right)_{x\in X}}
U
∘
=
U
#
=
X
#
∩
∏
x
∈
X
B
m
x
=
X
′
∩
∏
x
∈
X
B
m
x
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}U^{\circ }&=U^{\#}&&\\&=X^{\#}&&\cap \prod _{x\in X}B_{m_{x}}\\&=X^{\prime }&&\cap \prod _{x\in X}B_{m_{x}}\\\end{alignedat}}}
m
∙
{\displaystyle m_{\bullet }}
P
=
def
U
∘
{\displaystyle P~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~U^{\circ }}
P
=
U
#
{\displaystyle P=U^{\#}}
∏
B
R
∙
=
def
∏
x
∈
X
B
R
x
{\displaystyle \prod B_{R_{\bullet }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\prod _{x\in X}B_{R_{x}}}
R
∙
=
(
R
x
)
x
∈
X
∈
R
X
,
{\displaystyle R_{\bullet }=\left(R_{x}\right)_{x\in X}\in \mathbb {R} ^{X},}
T
P
=
def
{
R
∙
∈
R
X
:
P
⊆
∏
B
R
∙
}
{\displaystyle T_{P}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{R_{\bullet }\in \mathbb {R} ^{X}~:~P\subseteq \prod B_{R_{\bullet }}\right\}}
m
∙
∈
T
P
{\displaystyle m_{\bullet }\in T_{P}}
x
∈
X
,
{\displaystyle x\in X,}
m
x
=
inf
{
R
x
:
R
∙
∈
T
P
}
,
{\displaystyle m_{x}=\inf \left\{R_{x}:R_{\bullet }\in T_{P}\right\},}
m
∙
{\displaystyle m_{\bullet }}
実際、が 極集合を含む閉球の積全体の集合を表す場合
、は
に 属するすべての集合の共通部分を表す。
Box
P
{\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}
P
,
{\displaystyle P,}
Box
P
=
def
{
∏
B
R
∙
:
R
∙
∈
T
P
}
=
{
∏
B
R
∙
:
P
⊆
∏
B
R
∙
}
,
{\displaystyle \operatorname {Box} _{P}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\prod B_{R_{\bullet }}~:~R_{\bullet }\in T_{P}\right\}~=~\left\{\prod B_{R_{\bullet }}~:~P\subseteq \prod B_{R_{\bullet }}\right\},}
∏
B
m
∙
=
∩
Box
P
∈
Box
P
{\textstyle \prod B_{m_{\bullet }}=\cap \operatorname {Box} _{P}\in \operatorname {Box} _{P}}
⋂
Box
P
{\textstyle \bigcap \operatorname {Box} _{P}}
Box
P
.
{\displaystyle \operatorname {Box} _{P}.}
これは（他のことの中でも [注5] ）、これ に関する の 唯一の 最小元は、この（必然的に 凸 で バランスのとれた ）集合の代替定義として使用できることを意味します 。関数は 半ノルム であり、 を の 凸バランスのとれた包 に置き換えて も変化しません （ であるため ）。同様に、を の 閉包 に 置き換えて も は変化しません。
∏
B
m
∙
=
∏
x
∈
X
B
m
x
{\textstyle \prod B_{m_{\bullet }}=\prod _{x\in X}B_{m_{x}}}
Box
P
{\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}
⊆
;
{\displaystyle \,\subseteq ;}
m
∙
=
def
(
m
x
)
x
∈
X
:
X
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle m_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(m_{x}\right)_{x\in X}:X\to [0,\infty )}
U
{\displaystyle U}
U
{\displaystyle U}
U
#
=
[
cobal
U
]
#
{\displaystyle U^{\#}=[\operatorname {cobal} U]^{\#}}
U
∘
=
[
cl
X
U
]
∘
,
{\displaystyle U^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}U\right]^{\circ },}
m
∙
{\displaystyle m_{\bullet }}
U
{\displaystyle U}
X
.
{\displaystyle X.}
逐次バナッハ・アラオグル定理 バナッハ・アラオグル定理の特殊なケースは、定理の順次バージョンであり、 可分ノルムベクトル空間の双対空間の閉単位球が弱*位相において順次コンパクトである と 主張 する。実際、可分空間の双対の閉単位球上の弱*位相は 距離化可能 であり、したがってコンパクト性と順次コンパクト性は同値である。
具体的には、 が 可分ノルム空間で、 の閉単位球であるとします。 は 可分なので、 は可算稠密部分集合であるとします。次に、 の任意の に対して、 と
の 双対性ペアリングを表す 計量を定義します。この計量における
の逐次コンパクト性は、 アルゼラ・アスコリ定理 の証明で使用されたものと同様の 対角化の議論 によって示すことができます 。
X
{\displaystyle X}
B
{\displaystyle B}
X
′
.
{\displaystyle X^{\prime }.}
X
{\displaystyle X}
x
∙
=
(
x
n
)
n
=
1
∞
{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}
x
,
y
∈
B
{\displaystyle x,y\in B}
ρ
(
x
,
y
)
=
∑
n
=
1
∞
2
−
n
|
⟨
x
−
y
,
x
n
⟩
|
1
+
|
⟨
x
−
y
,
x
n
⟩
|
{\displaystyle \rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}}}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
.
{\displaystyle X.}
B
{\displaystyle B}
逐次バナッハ–アラオグルの定理は、その証明の構成的な性質のため（選択公理に基づく一般的な場合とは対照的に）、偏微分 方程式 の分野でPDE または 変分問題 の解を構築するためによく使用されます。たとえば、 可分ノルムベクトル空間の双対上の汎関数を最小化したい場合、一般的な戦略の 1 つは、まず の 最小値に近づく 最小化シーケンスを構築することです。 逐次バナッハ–アラオグルの定理を使用して、弱* 位相で極限に収束する部分シーケンスを抽出し、次に が の最小化者である ことを証明します。
最後のステップでは、弱* 位相で （逐次） 下側半連続性 プロパティに従うことがしばしば必要になります。
F
:
X
′
→
R
{\displaystyle F:X^{\prime }\to \mathbb {R} }
X
,
{\displaystyle X,}
x
1
,
x
2
,
…
∈
X
′
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }}
F
,
{\displaystyle F,}
x
,
{\displaystyle x,}
x
{\displaystyle x}
F
.
{\displaystyle F.}
F
{\displaystyle F}
が実数直線上の有限ラドン測度の空間である とき（したがって、 は リース表現定理 により、無限遠で消える連続関数の空間である ）、逐次バナッハ–アラオグルの定理は ヘリーの選択定理 と同等である。
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
=
C
0
(
R
)
{\displaystyle X=C_{0}(\mathbb {R} )}
証拠 任意
の および に対して
、積位相
が
与えられます 。任意の は 複素平面のコンパクト部分集合であるため、 チコノフの定理 により、それらの積は コンパクトであることが保証されます。
x
∈
X
,
{\displaystyle x\in X,}
D
x
=
{
c
∈
C
:
|
c
|
≤
‖
x
‖
}
{\displaystyle D_{x}=\{c\in \mathbb {C} :|c|\leq \|x\|\}}
D
=
∏
x
∈
X
D
x
{\displaystyle D=\prod _{x\in X}D_{x}}
D
x
{\displaystyle D_{x}}
D
{\displaystyle D}
で表される 閉じた単位球は、 自然な方法で の
サブセットとして識別できます。
X
′
,
{\displaystyle X^{\prime },}
B
1
′
,
{\displaystyle B_{1}^{\,\prime },}
D
{\displaystyle D}
F
:
B
1
′
→
D
f
↦
(
f
(
x
)
)
x
∈
X
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}F:\;&&B_{1}^{\,\prime }&&\;\to \;&D\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&(f(x))_{x\in X}.\\\end{alignedat}}}
この写像は単射であり、弱*位相を 持つ とき連続です 。この写像の逆写像は、その像上で定義され、これも連続です。
B
1
′
{\displaystyle B_{1}^{\,\prime }}
ここで、上の写像の像が閉じていることが示され、定理の証明が完了する。 によってインデックス付けさ
れた の像内の点 とネットが与えられ、 によって定義される
関数が に あり
、
λ
∙
=
(
λ
x
)
x
∈
X
∈
D
{\displaystyle \lambda _{\bullet }=\left(\lambda _{x}\right)_{x\in X}\in D}
(
f
i
(
x
)
)
x
∈
X
{\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{x\in X}}
F
{\displaystyle F}
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
lim
i
(
f
i
(
x
)
)
x
∈
X
→
λ
∙
in
D
,
{\displaystyle \lim _{i}\left(f_{i}(x)\right)_{x\in X}\to \lambda _{\bullet }\quad {\text{ in }}D,}
g
:
X
→
C
{\displaystyle g:X\to \mathbb {C} }
g
(
x
)
=
λ
x
for every
x
∈
X
,
{\displaystyle g(x)=\lambda _{x}\qquad {\text{ for every }}x\in X,}
B
1
′
{\displaystyle B_{1}^{\,\prime }}
F
(
g
)
=
λ
∙
.
{\displaystyle F(g)=\lambda _{\bullet }.}
◼
{\displaystyle \blacksquare }
結果
正規空間への影響 がノルム空間 である と仮定し 、その連続双対空間 に通常の 双対ノルム を付与します。
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
の閉じた単位球は 弱*コンパクトである。 したがって、 が無限次元の場合、その閉じた単位球は、 F. Rieszの定理 により、ノルム位相では必然的にコンパクト ではない （弱*コンパクトであるにもかかわらず）。
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
バナッハ 空間が 反射的で ある ためには、その閉じた単位球が -コンパクトである必要があります。これは ジェームズの定理 として知られています 。
σ
(
X
,
X
′
)
{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}
が反射的バナッハ空間 である 場合 、 内のすべての有界列 には弱収束する部分列が存在します。 （これは、 の弱距離化可能部分空間 にバナッハ–アラオグルの定理 を適用する か、より簡潔に言えば、 エーベルライン–シュムリアンの定理 を適用することで得られます。） たとえば、 が 空間 Lp 空間 で、が を満たす とします。が 内の関数の有界列であると
します。すると、 となる部分列 と が
存在し、 が存在します。 に対する
対応する結果は 真ではなく、 は反射的ではありません。
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
L
p
(
μ
)
{\displaystyle L^{p}(\mu )}
1
<
p
<
∞
{\displaystyle 1<p<\infty }
q
{\displaystyle q}
1
p
+
1
q
=
1.
{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}
f
1
,
f
2
,
…
{\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }
X
.
{\displaystyle X.}
(
f
n
k
)
k
=
1
∞
{\displaystyle \left(f_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}
f
∈
X
{\displaystyle f\in X}
∫
f
n
k
g
d
μ
→
∫
f
g
d
μ
for all
g
∈
L
q
(
μ
)
=
X
′
.
{\displaystyle \int f_{n_{k}}g\,d\mu \to \int fg\,d\mu \qquad {\text{ for all }}g\in L^{q}(\mu )=X^{\prime }.}
p
=
1
{\displaystyle p=1}
L
1
(
μ
)
{\displaystyle L^{1}(\mu )}
ヒルベルト空間への影響
ヒルベルト空間では、すべての有界閉集合は弱相対コンパクトであるため、すべての有界ネットは弱収束するサブネットを持ちます (ヒルベルト空間は 反射的 です)。 ノルム閉包であるため、凸集合は弱閉包（ ハーン・バナッハの定理 ）であり、ヒルベルト空間または反射バナッハ空間内の凸有界集合のノルム閉包は弱コンパクトである。 の閉集合と有界集合は、 弱演算子位相 に関してプレコンパクトです (弱演算子位相は、トレースクラス演算子のプレデュアルに関して弱*位相である超弱位相よりも弱い ) 。 したがって 、 演算子の有界シーケンスには、弱集積点があります。結果として、弱演算子または超弱位相のいずれかが装備されている場合、 は Heine–Borel プロパティを 持ちます 。
B
(
H
)
{\displaystyle B(H)}
B
(
H
)
,
{\displaystyle B(H),}
B
(
H
)
{\displaystyle B(H)}
選択公理と他の命題との関係 バナッハ＝アラオグル定理 は、 ツェルメロ＝フランケル集合論 （ ZF ）の公理的枠組みの下では 選択公理と同値である チコノフの定理 を用いて証明できる。主流の関数解析のほとんどは、 ZF + 選択公理（しばしば ZFC と表記される）に依存している。しかし、この定理は 分離可能な ケース（上記参照）では選択公理に依存し ない 。このケースでは実際に構成的証明が存在する。任意のノルム空間の一般的なケースでは、選択公理よりも厳密に弱く、コンパクト ハウスドルフ 空間に対するチコノフの定理と同値である超 フィルタ補題 は 、バナッハ＝アラオグル定理の証明に十分であり、実際それと同値である。
バナッハ–アラオグルの定理は 、 実ベクトル空間 ( HB )に対する ハーン–バナッハの定理を意味する 超フィルタ補題と同値ですが、同値ではありません (言い換えると、バナッハ–アラオグルは HB よりも厳密に強いです )。しかし、 ハーン–バナッハの定理は 、ノルム空間に対するバナッハ–アラオグルの定理の次の弱いバージョンと同値であり [6]、 そこではコンパクト性の結論 (双対空間の閉じた単位球の 弱*位相における) が 準コンパクト性の結論 ( 凸コンパクト性 と呼ばれることもある) に置き換えられています 。
コンパクト性は 凸コンパクト性を意味します。なぜなら、位相空間がコンパクトであるためには、 有限交差特性 (FIP)を持つ閉部分集合のすべての 族が 空でない交差を持つ必要があるからです。凸コンパクト性の定義は、 FIP による コンパクト空間のこの特徴付けに似ていますが、すべての閉部分集合ではなく、 凸で ある閉部分集合のみが含まれる点が異なります。
参照
注記
^ 明示的には、に 弱*位相が 与えられ 、 から継承された 部分空間位相 が与えられ たときに、 部分集合が「弱*位相においてコンパクト（それぞれ完全に有界など）」であると言われる場合 、 は コンパクト （それぞれ 完全に有界 など）な空間になります 。
B
′
⊆
X
′
{\displaystyle B^{\prime }\subseteq X^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
B
′
{\displaystyle B^{\prime }}
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
,
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right),}
B
′
{\displaystyle B^{\prime }}
^ が （元々） に備わっている位相を表す 場合 、等式 は の 極座標が （および） のみ に 依存し 、位相の残りは 無視できることを示しています。意味を明確にするために、が 上の任意の TVS 位相で、 集合が の原点の近傍でもあるとします。 の連続双対空間を で表し、 に関する の極座標を で表すと、 は上からの集合になります。すると、これらの集合は両方とも に等しいため、 になります。言い換えると、 が連続双対空間の サブセット で
ある
という 極座標 の 定義 「 要件 」 は 重要 で はなく、無視できます。これは、結果として得られる線形関数の集合に何の影響も及ぼさないためです。ただし、が 上の TVS 位相で が の 原点の近傍で は ない 場合、に関する の 極座標 が に等しいとは限らず 、位相を 無視できません。
τ
{\displaystyle \tau }
X
{\displaystyle X}
U
∘
=
U
#
{\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}}
U
∘
=
{
f
∈
X
′
:
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
}
{\displaystyle U^{\circ }={\Big \{}f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}}
U
{\displaystyle U}
U
{\displaystyle U}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
τ
{\displaystyle \tau }
σ
{\displaystyle \sigma }
X
{\displaystyle X}
U
{\displaystyle U}
(
X
,
σ
)
.
{\displaystyle (X,\sigma ).}
(
X
,
σ
)
{\displaystyle (X,\sigma )}
(
X
,
σ
)
′
{\displaystyle (X,\sigma )^{\prime }}
U
{\displaystyle U}
(
X
,
σ
)
{\displaystyle (X,\sigma )}
U
∘
,
σ
=
def
{
f
∈
(
X
,
σ
)
′
:
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
}
{\displaystyle U^{\circ ,\sigma }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in (X,\sigma )^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}}
U
∘
,
τ
{\displaystyle U^{\circ ,\tau }}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
U
∘
,
τ
=
U
∘
,
σ
{\displaystyle U^{\circ ,\tau }=U^{\circ ,\sigma }}
U
#
.
{\displaystyle U^{\#}.}
U
∘
,
σ
{\displaystyle U^{\circ ,\sigma }}
U
∘
,
σ
{\displaystyle U^{\circ ,\sigma }}
(
X
,
σ
)
′
{\displaystyle (X,\sigma )^{\prime }}
ν
{\displaystyle \nu }
X
{\displaystyle X}
U
{\displaystyle U}
(
X
,
ν
)
{\displaystyle (X,\nu )}
U
∘
,
ν
{\displaystyle U^{\circ ,\nu }}
U
{\displaystyle U}
(
X
,
ν
)
{\displaystyle (X,\nu )}
U
#
{\displaystyle U^{\#}}
ν
{\displaystyle \nu }
^あらゆる は ハウスドルフ空間 でもある ため 、 がコンパクトであるという結論 には、いわゆる「コンパクト ハウスドルフ空間に対するチコノフの定理」のみが必要であり、これは 超フィルター補題と同等であり、 選択公理 よりも厳密に弱い 。
B
r
x
{\displaystyle B_{r_{x}}}
∏
x
∈
X
B
r
x
{\displaystyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}
^ 結論は 次のように書くことができます。したがって、 この集合は 次のように定義できます。 このように定義を書き直すと、X # の場合にこれが当てはまるため、集合 が閉じていることが明確になります 。{\displaystyle X^{\#}.}
U
B
1
=
∏
x
∈
X
C
x
{\displaystyle U_{B_{1}}=\prod _{x\in X}C_{x}}
U
B
1
=
(
∏
u
∈
U
B
1
)
×
∏
x
∈
X
∖
U
K
.
{\displaystyle U_{B_{1}}~=~{\Big (}\prod _{u\in U}B_{1}{\Big )}\times \prod _{x\in X\setminus U}\mathbb {K} .}
U
#
{\displaystyle U^{\#}}
U
#
=
def
X
#
∩
[
(
∏
u
∈
U
B
1
)
×
∏
x
∈
X
∖
U
K
]
.
{\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X^{\#}\cap \left[{\Big (}\prod _{u\in U}B_{1}{\Big )}\times \prod _{x\in X\setminus U}\mathbb {K} \right].}
U
#
{\displaystyle U^{\#}}
∏
x
∈
X
K
{\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }
^ この組は、 によって定義される自然誘導点単位 の半順序 に関する の 最小元 であり 、任意の に対してが成り立つ場合に限ります。 したがって、 の原点のすべての近傍は、 この一意の（最小）関数に関連付けられます。任意の に対して が成り立つ 場合 、 となり 、特に となり、 任意 の に対して となります。
m
∙
=
def
(
m
x
)
x
∈
X
{\displaystyle m_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(m_{x}\right)_{x\in X}}
T
P
{\displaystyle T_{P}}
R
∙
≤
S
∙
{\displaystyle R_{\bullet }\leq S_{\bullet }}
R
x
≤
S
x
{\displaystyle R_{x}\leq S_{x}}
x
∈
X
.
{\displaystyle x\in X.}
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
m
∙
:
X
→
[
0
,
∞
)
.
{\displaystyle m_{\bullet }:X\to [0,\infty ).}
x
∈
X
,
{\displaystyle x\in X,}
r
>
0
{\displaystyle r>0}
x
∈
r
U
{\displaystyle x\in rU}
m
x
≤
r
{\displaystyle m_{x}\leq r}
m
0
=
0
{\displaystyle m_{0}=0}
m
u
≤
1
{\displaystyle m_{u}\leq 1}
u
∈
U
.
{\displaystyle u\in U.}
証明
^
空でない任意の部分集合について、 等式 が成り立ちます (左側の交差点は、開いた円板ではなく、閉じた円板です (半径の可能性もあります)。 これは、と の閉じた部分集合の交差点であるため 、それ自体が閉じている必要があるためです)。任意の について、をと すると、 前の集合の等式が意味します から、 および が従って 、 に関して の 最小 の元 が作成されます (実際、 族は(非 零引数 の ) 任意の交差点と、少なくとも 1 つの集合の有限和で 閉じています)。基本的証明は 、およびが空でないことを示し、さらに、 に は、任意 の について を 満たす 元がある ことも示しました。これは、任意の について を意味します 。
包含は 即時です。逆の包含を証明するには、をとします 定義により、 そうである場合 に 限り、 およびとすると、 であること
A
⊆
[
0
,
∞
)
,
{\displaystyle A\subseteq [0,\infty ),}
∩
{
B
a
:
a
∈
A
}
=
B
inf
A
{\displaystyle \cap \left\{B_{a}:a\in A\right\}=B_{\inf _{}A}}
0
{\displaystyle 0}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
x
∈
X
,
{\displaystyle x\in X,}
m
x
=
inf
{
R
x
:
R
∙
∈
T
P
}
{\displaystyle m_{x}=\inf _{}\left\{R_{x}:R_{\bullet }\in T_{P}\right\}}
∩
Box
P
=
⋂
R
∙
∈
T
P
∏
x
∈
X
B
R
x
=
∏
x
∈
X
⋂
R
∙
∈
T
P
B
R
x
=
∏
x
∈
X
B
m
x
.
{\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}=\bigcap _{R_{\bullet }\in T_{P}}\prod _{x\in X}B_{R_{x}}=\prod _{x\in X}\bigcap _{R_{\bullet }\in T_{P}}B_{R_{x}}=\prod _{x\in X}B_{m_{x}}.}
P
⊆
∩
Box
P
{\displaystyle P\subseteq \cap \operatorname {Box} _{P}}
m
∙
∈
T
P
{\displaystyle m_{\bullet }\in T_{P}}
∩
Box
P
∈
Box
P
,
{\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}\in \operatorname {Box} _{P},}
∩
Box
P
{\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}}
Box
P
{\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}
⊆
.
{\displaystyle \,\subseteq .\,}
Box
P
{\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}
T
P
{\displaystyle T_{P}}
Box
P
{\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}
T
P
{\displaystyle T_{P}}
(
r
x
)
x
∈
X
{\displaystyle \left(r_{x}\right)_{x\in X}}
r
u
=
1
{\displaystyle r_{u}=1}
u
∈
U
,
{\displaystyle u\in U,}
m
u
≤
1
{\displaystyle m_{u}\leq 1}
u
∈
U
.
{\displaystyle u\in U.}
P
⊆
(
∩
Box
P
)
∩
X
′
⊆
(
∩
Box
P
)
∩
X
#
{\displaystyle P~\subseteq ~\left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\prime }~\subseteq ~\left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\#}}
f
∈
(
∩
Box
P
)
∩
X
#
.
{\displaystyle f\in \left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\#}.}
f
∈
P
=
def
U
#
{\displaystyle f\in P~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~U^{\#}}
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
,
{\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,}
u
∈
U
{\displaystyle u\in U}
|
f
(
u
)
|
≤
1.
{\displaystyle |f(u)|\leq 1.}
f
∈
∩
Box
P
=
∏
B
m
∙
,
{\displaystyle f\in \cap \operatorname {Box} _{P}=\prod B_{m_{\bullet }},}
f
(
u
)
=
Pr
u
(
f
)
∈
Pr
u
(
∏
x
∈
X
B
m
x
)
=
B
m
u
,
{\displaystyle f(u)=\Pr {}_{u}(f)\in \Pr {}_{u}\left(\prod _{x\in X}B_{m_{x}}\right)=B_{m_{u}},}
|
f
(
u
)
|
≤
m
u
≤
1
,
{\displaystyle |f(u)|\leq m_{u}\leq 1,}
◼
{\displaystyle \blacksquare }
引用
^ Rudin 1991、定理3.15。 ^ Köthe 1983、§20.9の定理(4)。 ^ Meise & Vogt 1997、定理 23.5。 ^ ab ベル、J.;デビッド・フレムリン（1972年）。 「選択公理の幾何学的形式」 (PDF) 。 数学の基礎 。 77 (2): 167-170。 土井 ：10.4064/fm-77-2-167-170 。 2021 年 12 月 26 日 に取得 。
参考文献
ケーテ、ゴットフリート (1983) [1969]。 位相ベクトル空間 I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 159. Garling、DJH ニューヨーク訳: Springer Science & Business Media。 ISBN 978-3-642-64988-2 . MR 0248498. OCLC 840293704. Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997)。「定理 23.5」。 関数解析入門 。オックスフォード、イギリス: Clarendon Press。p. 264。ISBN 0-19-851485-9 。 ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。 位相ベクトル空間 。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス 。ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834. ルディン、ウォルター (1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277. 定理3.15（68ページ）を参照。 Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135. シェクター、エリック （1996）。 分析とその基礎ハンドブック 。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミックプレス 。ISBN 978-0-12-622760-4 . OCLC 175294365. トレヴ、フランソワ (2006) [1967]。 トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル 。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。 ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322.
さらに読む
![{\displaystyle C([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e4f44fa2823fcdffc5fc26981c0d4fa57cade9)
![{\displaystyle U^{\#}=[\operatorname {cobal} U]^{\#}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7181bc4ae037f8c31dad0f3911f819b6c9317139)
![{\displaystyle U^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}U\right]^{\circ },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891fd81d453827ec3ca2bb4a3770bddfe1b0030d)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}F:\;&&B_{1}^{\,\prime }&&\;\to \;&D\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&(f(x))_{x\in X}.\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a0397e85db7d048e9674d926da6aa724976576)
![{\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X^{\#}\cap \left[{\Big (}\prod _{u\in U}B_{1}{\Big )}\times \prod _{x\in X\setminus U}\mathbb {K} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2559beb7c748549ff6cdd77f793e28d5f5e6433f)
