エクステンダー（集合論）

集合論において、エクステンダーは、大きな基本的性質を証明する基本的な埋め込みを表すウルトラフィルターのシステムです。非主ウルトラフィルターは、エクステンダーの最も基本的なケースです。

-extenderは、臨界点 を持ち、以上の順序数にマッピングされる、 ZFC ⁻ (ZFC からべき乗集合公理を引いたもの) の何らかのモデルの基本埋め込みとして定義できます。また、から抽出された各-タプルに 1 つずつ、超フィルターのコレクションとして定義することもできます。 ${\displaystyle (\kappa ,\lambda )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \kappa \in M}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda}$

κ と λ を κ≤λ となる基数とします。次の特性が満たされる場合 、集合は(κ,λ) 拡張集合と呼ばれます。${\displaystyle E=\{E_{a}|a\in [\lambda ]^{<\omega }\}}$

1. それぞれは[κ] ^<ω上のκ完全非主超フィルタであり、さらに ${\displaystyle E_{a}}$
   1. 少なくとも1つはκ ⁺完全ではない、${\displaystyle E_{a}}$
   2. それぞれ少なくとも1つはセットを含む${\displaystyle \alpha \in \kappa ,}$${\displaystyle E_{a}}$${\displaystyle \{s\in [\kappa ]^{|a|}:\alpha \in s\}​​.}$
2. (一貫性) これらは一貫性がある(したがって、超べき乗Ult( V、E _a ) は有向システムを形成する)。${\displaystyle E_{a}}$
3. （正規性）が成り立つ場合、ある${\displaystyle f}$${\displaystyle \{s\in [\kappa ]^{|a|}:f(s)\in \max s\}\in E_{a},}$${\displaystyle b\supseteq a,\ \{t\in \kappa ^{|b|}:(f\circ \pi _{ba})(t)\in t\}\in E_{b}.}$
4. (十分根拠があるかどうか) 極限超冪 Ult( V , E ) は十分根拠がある(ただし Ult( V , E ) は超冪 Ult( V , E _a ) の直接の極限である)。

コヒーレンスとは、λの有限部分集合で、がのスーパーセットである場合、がウルトラフィルタの要素であり、長さのシーケンスの集合に投影する正しい方法を選択した場合、がの要素であることを意味します。より正式には、に対して、およびに対して、およびはペアごとに異なり、最大で、投影を定義します。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E_{b}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle |a|,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E_{a}.}$${\displaystyle b=\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\},}$${\displaystyle \alpha _{1} <\alpha _{n} <\lambda ,}$${\displaystyle a=\{\alpha _{i_{1}},\dots ,\alpha _{i_{m}}\},}$${\displaystyle m\leq n}$${\displaystyle j\leq m}$${\displaystyle i_{j}}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle \pi _{ba}:\{\xi _{1},\dots ,\xi _{n}\}\mapsto \{\xi _{i_{1}},\dots ,\xi _{i_{m}}\}\ (\xi _{1}},\dots <\xi _{n}).}$

そして、もし ${\displaystyle E_{a}}$${\displaystyle E_{b}}$$${\displaystyle X\in E_{a}\iff \{s:\pi _{ba}(s)\in X\}\in E_{b}.}$$

集合論的宇宙を臨界点κと基数 λ、κ≤λ≤ j (κ)を持つ推移的内部モデルにマッピングする基本的な埋め込みが与えられた場合、次のように定義します。 次に、定義で上記に述べたすべてのプロパティを持ち、したがって (κ,λ) 拡張子である ことを示すことができます。${\displaystyle j:V\to M,}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M,}$${\displaystyle E=\{E_{a}|a\in [\lambda ]^{<\omega }\}}$$${\displaystyle {\text{for }}a\in [\lambda ]^{<\omega },X\subseteq [\kappa ]^{<\omega }:\quad X\in E_{a}\iff a\in j(X).}$$${\displaystyle E}$

• 金森章弘（2003）．The Higher Infinite : 集合論における大規模基数をその始まりから(第 2 版)。スプリンガー。ISBN 3-540-00384-3。
• ジェック、トーマス(2002)。集合論(第 3 版)。スプリンガー。ISBN 3-540-44085-2。