ブール代数に対するストーンの表現定理

数学において、ブール代数に対するストーンの表現定理は、すべてのブール代数は特定の集合体に同型であると述べている。この定理は、20世紀前半に登場したブール代数のより深い理解の基礎となる。この定理は、マーシャル・H・ストーンによって初めて証明された。^{[1]ストーンは、}ヒルベルト空間上の作用素のスペクトル理論の研究によってこの定理にたどり着いた。

各ブール代数 Bには、ここではS ( B ) と表記される、ストーン空間と呼ばれる関連する位相空間があります。 S ( B )の点はB上の超フィルター、またはBから2 要素ブール代数への準同型写像と同義です。 S ( B )上の位相は、bがBの要素で ある形式のすべての集合からなる 基底によって生成されます。これらの集合も閉じているため、閉開集合(閉じていて開いている) です。これは、準同型写像のネットが2 要素ブール代数に 点ごとに収束する位相です。$${\displaystyle \{x\in S(B)\mid b\in x\},}$$

任意のブール代数Bに対して、S ( B ) はコンパクトな 全不連続 ハウスドルフ空間です。このような空間はストーン空間（またはプロ有限空間）と呼ばれます。逆に、任意の位相空間Xが与えられた場合、 Xの閉開である部分集合のコレクションはブール代数です。

ストーンの表現定理の簡単なバージョンは、すべてのブール代数B は、そのストーン空間S ( B )の閉開集合の代数に同型であると述べます。同型性は、 b を含むすべてのウルトラフィルターの集合に要素を送ります。これは、 S ( B ) 上の位相の選択と、 B がブール代数である ため、閉開集合です。${\displaystyle b\in B}$

この定理を圏論の言語で言い換えると、ブール代数の圏とストーン空間の圏の間には双対性があるという定理になります。この双対性は、ブール代数とそのストーン空間の対応に加えて、ブール代数Aからブール代数Bへの各準同型が、自然とS ( B ) からS ( A ) への連続関数に対応することを意味します。言い換えると、圏の間に同値性を与える反変関数が存在するということです。これは、圏の非自明な双対性の初期の例でした。

この定理は、位相空間と半順序集合の間の双対性に対するより一般的な枠組みであるストーン双対性の特殊なケースです。

証明には選択公理またはその弱められた形式が必要です。具体的には、定理はブール素イデアル定理、つまりすべてのブール代数は素イデアルを持つという弱められた選択原理と同等です。

古典的なストーン双対性のブール空間（すなわち、ゼロ次元 局所コンパクトハウスドルフ空間）と連続写像（それぞれ、完全写像）のカテゴリへの拡張は、GDディモフ（それぞれ、H.P.ドクター）によって得られた。^{[2] [3]}

• 分配格子に対するストーンの表現定理
• 表現定理 – 特定の特性を持つすべての構造が他の構造と同型であることの証明
• 集合体 – 測度論における代数的概念。集合代数とも呼ばれる。
• ブール代数のトピックのリスト
• ストーン空間 – すべての開集合の閉包が開いている位相空間Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ストーン関手 – 圏論における関手
• 有限群 – ある意味で有限群のシステムから組み立てられた位相群
• 超フィルター補題 – 最大適正フィルターPages displaying short descriptions of redirect targets

• ハルモス、ポール、ギヴァント、スティーブン（1998）。代数としての論理。ドルチアーニ数学解説第21巻。アメリカ数学協会。ISBN 0-88385-327-2。
• ジョンストン、ピーター・T. (1982)。『ストーン・スペース』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-23893-5。
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1981)。普遍代数の講座。Springer。ISBN 3-540-90578-2。