ネット（数学）

数学、より具体的には一般位相幾何学および関連分野において、ネットまたはムーア・スミス列は、定義域が有向集合である関数である。この関数の共定義域は通常、何らかの位相空間である。ネットは、距離空間における列の概念を直接一般化する。ネットは主に解析学と位相幾何学の分野で使用され、そこでは、（一般に）列では特徴付けることができない多くの重要な位相特性を特徴付けるために使用される（列のこの欠点が、シーケンシャル空間とフレシェ・ウリゾーン空間の研究の動機となった）。ネットはフィルターと一対一で対応している。

ネットの概念は、1922年にEHムーアとハーマン・L・スミスによって初めて導入されました。 ^[1]「ネット」という用語はジョン・L・ケリーによって造られました。^{[2] [3]}

フィルターの関連する概念は、1937 年にアンリ・カルタンによって開発されました。

有向集合は、前順序を伴う空でない集合であり、通常は（特に断りのない限り） によって表されると自動的に想定され、（上向きに）有向であるという特性も備えています。これは、任意の に対して、かつとなるようなものが存在することを意味します。 言葉で言えば、この特性は、（ の）任意の 2 つの要素が与えられた場合、常にその両方の「上にある」（それぞれより大きいか等しい）何らかの要素が存在することを意味します。このように、有向集合は「方向」の概念を数学的に厳密な方法で一般化します。ただし重要なのは、有向集合が全順序や部分順序である必要がないことです。有向集合は、最大元および/または最大元 を持つことができます。この場合、条件および は、厳密な不等式 および で置き換えることはできません。これは、厳密な不等式は、aまたはb が最大である場合に満たされないからです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle a,b\in A,}$${\displaystyle c\in A}$${\displaystyle a\leq c}$${\displaystyle b\leq c.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a\leq c}$${\displaystyle b\leq c}$${\displaystyle a<c}$${\displaystyle b<c}$

内のネットは と表記され、その定義域が何らかの有向集合で値が である形式の関数です。ネットの定義域の要素はインデックスと呼ばれます。集合が文脈から明らかな場合は単にネットと呼ばれ、 は前順序を持つ有向集合であると想定されます。ネットの表記法は、山括弧 を使用するなどさまざまです。代数的位相表記法で一般的なように、塗りつぶされた円または「箇条書き」は、入力変数またはインデックス の代わりに使用されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle x_{\bullet }:A\to X}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle x_{\bullet }(a)=x_{a}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \,\leq .}$${\displaystyle \left\langle x_{a}\right\rangle _{a\in A}}$${\displaystyle a\in A}$

ネットが集合に最終的にまたは残余に含まれるとは、任意の点Aに対して点Aが存在する場合を言う。${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in A}$${\displaystyle b\geq a,}$${\displaystyle x_{b}\in S.}$${\displaystyle x\in X}$限界点またはいつでもネットの制限: ${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle X}$

ネット上のすべてのオープンな近傍は 最終的には となるため、${\displaystyle U}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle U}$

次のように表現される：ネットは に収束する${\displaystyle x}$か を極限として持ち${\displaystyle x}$、次のようにも表記されます。場合は、表記から省略できます。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim \;&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a\in A}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X.\end{alignedat}}}$$${\displaystyle X}$

かつこの極限が一意（すなわちのみ）である場合、矢印の代わりに等号を使用して次のように書きます。^[4]ハウスドルフ空間では、すべてのネットは最大で 1 つの極限を持ち、収束ネットの極限は常に一意です。^[4]著者によってはと の表記を区別しない人もいますが、周囲の空間がハウスドルフでない場合、これによって曖昧さが生じる可能性があります。 ${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to y}$${\displaystyle x=y}$$${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x\;~~{\text{ または }}~~\;\lim x_{a}=x\;~~{\text{ または }}~~\;\lim _{a\in A}x_{a}=x}$$${\displaystyle \to .}$${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x}$${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle X}$

ネットは${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$頻繁にまたは最後に、任意の 点に対して、となるが存在する、そして^[5]点は${\displaystyle S}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in A}$${\displaystyle b\geq a}$${\displaystyle x_{b}\in S.}$${\displaystyle x\in X}$ネットのあらゆる近傍に対して が頻繁に/共最終的に である場合、 はネットの蓄積点またはクラスター点^[5]実際、がクラスター点であるのは、 に収束するサブセットがある場合のみです^[6]におけるのすべてのクラスター点の集合はのそれぞれに対してに等しく、ここで です。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x.}$${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\bullet }\right)}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle X}$${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\geq a}\right)}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle x_{\geq a}:=\left\{x_{b}:b\geq a,b\in A\right\}}$

ネットにおける「サブシーケンス」の類似物は「サブネット」の概念です。「サブネット」にはいくつかの異なる非同等の定義がありますが、この記事では1970年にスティーブン・ウィラード^[7]によって導入された定義を使用します。それは次のとおりです。とがネットである場合、はサブネットまたはと呼ばれます。${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle s_{\bullet}}$ウィラードサブネット^[7]の共終部分集合となるような順序保存写像が存在するとき、 写像は順序保存写像と呼ばれが成り立つとき、次がが 集合あるということは、任意のに対して次が存在することを意味する。${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle h:I\to A}$${\displaystyle h(I)}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}\quad {\text{ すべての }}i\in I に対して。}$$${\displaystyle h:I\to A}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle h(i)\leq h(j).}$${\displaystyle h(I)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a\in A,}$${\displaystyle b\in h(I)}$${\displaystyle b\geq a.}$

が のサブネットのクラスタポイントである場合、も^[6]のクラスタポイントである。${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{\bullet }.}$

セットされたネットは${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle X}$ユニバーサルネットまたはウルトラネットは、すべての部分集合が最終的に補集合に含まれるか、最終的に補集合に含まれる場合^[5]${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle X\setminus S.}$

全ての定数ネットは（自明な）ウルトラネットである。ウルトラネットの全てのサブネットはウルトラネットである。 ^[8]選択公理を仮定すると、全てのネットにはウルトラネットであるサブネットが存在するが、自明でないウルトラネットが明示的に構築されたことはない。^[5]がウルトラネットであり、が関数である 場合、はウルトラネットである^[5]${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$${\displaystyle Y.}$

ウルトラネットが次のようにクラスタリングされると仮定すると、それは^[5]に収束する。${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$

コーシーネットはコーシー列の概念を一様空間上に定義されたネットに一般化したものである。^[9]

ネットとは${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$コーシーネットとは、任意の側近 が存在し、すべてに対してが の^[9][10]より一般的には、コーシー空間、ネットがコーシーであるとは、ネットによって生成されるフィルタがコーシーフィルタ。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle c\in A}$${\displaystyle a,b\geq c,}$ ${\displaystyle \left(x_{a},x_{b}\right)}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle x_{\bullet}}$

位相ベクトル空間(TVS) は、すべてのコーシーネットが何らかの点に収束する場合に完全と呼ばれます。位相ベクトル空間の特殊なタイプであるノルム空間は、すべてのコーシーシーケンスが何らかの点に収束する場合に限り、完全 TVS (バナッハ空間と同義) です (この特性は逐次完全性と呼ばれます)。コーシーネットはノルム空間の完全性を記述するために必要ではありませんが、より一般的な (おそらくノルム可能でない) 位相ベクトル空間 の完全性を記述するために必要です。

事実上、トポロジーの概念はすべて、ネットと極限の言語で言い換えることができます。ネットの極限の概念は、シーケンスの極限の概念と非常に似ているため、これは直感を導くのに役立つかもしれません。次の一連の定理と補題は、その類似性を強めるのに役立ちます。

部分集合が で閉じている場合、かつ のネットの のすべての極限点がに必ず含まれる場合に限ります。明示的には、 が のネットであり、 がすべての に対してである場合、 が である場合、 がである場合、${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle s_{a}\in S}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle \lim {}_{}s_{\bullet }\to x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x\in S.}$

より一般的には、 が任意の部分集合である場合、の閉包は内の何らかのネットに対して となる点の集合である。^[6]${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \lim _{a\in A}s_{\bullet }\to x}$${\displaystyle \left(s_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle S}$

部分集合が開いているのは、 のどのネットもの点に収束しない場合に限ります。 ^[11]また、 の部分集合が開いているのは、 の元に収束するすべてのネットが最終的に に含まれる場合に限ります。 これらの「開部分集合」の特徴付けにより、ネットでトポロジーを特徴付けることができます。集合が開いているのは、その補集合が閉じている場合に限りますから、トポロジーは閉部分集合によって特徴付けることもできます。したがって、ネットに関する「閉集合」の特徴付けは、トポロジーを特徴付けるためにも使用できます。 ${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X\setminus S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

位相空間間の関数が点で連続であるための必要十分条件は、領域内のすべてのネットに対して、がでを意味する場合です。^[6] 簡単に言えば、関数が連続であるための必要十分条件は、 が を意味する場合です。一般に、この記述は、「ネット」という単語を「シーケンス」に置き換えると正しくなくなります。つまり、 が第 1 可算空間(またはシーケンス空間)でない 場合は、自然数以外の有向集合を考慮する必要があります。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lim {}f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X}$

空間がコンパクトであるためには、内のすべてのネットに の極限を持つサブネットが必要です。これは、ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理とハイン-ボレルの定理の一般化と見ることができます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

ネットのクラスターポイントの集合は、その収束サブネットの限界の集合に等しい。

ネットには、そのすべてのサブネットに制限がある場合に限り、制限があります。その場合、ネットのすべての制限は、すべてのサブネットの制限でもあります。

一般に、空間内のネットは複数の極限を持つことができますが、 がハウスドルフ空間である場合、ネットの極限は、存在する場合、一意です。逆に、 がハウスドルフでない場合は、2つの異なる極限を持つ 上のネットが存在します。したがって、極限の一意性は、空間上のハウスドルフ条件に相当し、実際にこれを定義としてとらえることができます。この結果は有向性条件に依存します。一般的な前順序または半順序でインデックス付けされたセットは、ハウスドルフ空間内であっても異なる極限点を持つ場合があります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

フィルタは位相幾何学における関連した概念であり、一般位相空間における収束の一般的な定義を可能にする。これら 2 つの概念は、同じ収束の概念を与えるという意味で同等である。^{[12]より具体的には、すべての}フィルタ基底は、フィルタの尖端集合を使用して関連するネットを誘導し、フィルタ基底が収束すると、関連するネットが収束することを意味する。同様に、 の任意のネットは、裾のフィルタ基底を誘導し、このフィルタ基底によって生成される のフィルタは、ネットのイベンチュアリティフィルタと呼ばれる。ネットが収束すると、イベンチュアリティフィルタが収束することを意味する。^[13]この対応により、1 つの概念で証明できる定理は、他の概念でも証明できる。^[13]たとえば、ある位相空間から他の位相空間への関数の連続性は、ドメイン内のネットの収束がコドメイン内の対応するネットの収束を意味するか、フィルタ基底を使用した同じステートメントによって特徴付けることができる。 ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{\left\{x_{a}:a\in A,a_{0}\leq a\right\}:a_{0}\in A\right\}}$${\displaystyle X}$

ロバート・G・バートルは、両者は同等であるにもかかわらず、両方の概念を持つことは有用であると主張している。^{[13]彼は、ネットはシーケンスに十分似ているため、シーケンス、特に}解析学で一般的な連続要素を使用するシーケンスとの類似性で自然な証明と定義を行うことができるが、フィルターは代数的位相幾何学で最も有用であると主張している。いずれにせよ、彼は、一般位相幾何学におけるさまざまな定理を証明するために、この2つを組み合わせて使用​​する方法を示している。

ネットの使用に関する学習曲線は、通常、フィルタの使用に関する学習曲線よりもはるかに緩やかです。そのため、多くの数学者、特にアナリストは、フィルタよりもネットを好みます。ただし、フィルタ、特にウルトラフィルタには、ネットに比べて重要な技術的利点がいくつかあり、その結果、解析とトポロジの分野以外では、フィルタよりもネットに遭遇する機会がはるかに少なくなります。

空でない全順序集合はすべて有向である。したがって、そのような集合上のすべての関数はネットである。特に、自然数は 通常の整数比較の順序とともに有向集合の典型的な例を形成する。シーケンスは自然数上の関数であるため、位相空間内のすべてのシーケンスは、 上で定義された のネットと見なすことができます。逆に、自然数がドメインであるネットはどれもシーケンスです。なぜなら、定義により、 のシーケンスはから への関数にすぎないからです。このように、ネットはシーケンスの一般化です。つまり、ネットは可算な線形順序集合 ( ) 上で定義されるのではなく、任意の有向集合上で定義されます。ネットは、シーケンスで使用される表記法に似た (そしてシーケンスに触発された) 表記法を使用して表されることがよくあります。たとえば、添え字表記法はシーケンスから取られています。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {N} .}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}}$${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle x_{a}}$

同様に、シーケンスのすべての極限と関数の極限は、ネットの極限として解釈できます。具体的には、任意の整数に対して点が属する が存在する場合、ネットは最終的に のサブセットになります。したがって、ネットのすべての近傍に対して が最終的に である場合に限ります。ネットは、頻繁にのサブセットになるのは、任意の に対してとなる整数が存在する場合、つまり、 の無限個の要素が に属する場合に限ります。したがって、 のすべての近傍にの無限個の要素が含まれる場合に限り、点はネットのクラスター ポイントになります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\geq N,}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle \lim {}_{n}a_{n}\to L}$${\displaystyle V}$${\displaystyle L,}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle a_{n}\in S,}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle y}$

位相幾何学の文脈では、シーケンスは位相空間間の関数に関するすべての情報を完全にはエンコードしません。特に、次の 2 つの条件は、一般に、位相空間と間のマップでは同等ではありません。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

1. この写像は位相的な意味で連続的である。${\displaystyle f}$
2. の任意の点と の合成に収束するの任意の列が与えられると、この列は に収束します(連続的な意味で)。${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$

条件 1 は常に条件 2 を保証しますが、その逆は必ずしも真ではありません。 2 つの条件が同等である空間は、シーケンシャル空間と呼ばれます。距離空間を含むすべての第 1 可算空間はシーケンシャル空間ですが、すべての位相空間がシーケンシャルであるとは限りません。 ネットはシーケンスの概念を一般化するため、条件 2 は次のようになります。

2. の任意の点と の任意のネットがの合成に収束すると、このネットは に収束します(ネットの意味で連続)。${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$

この変更により、条件は、必ずしも点の周囲に可算または線形順序付けされた近傍基底を持たない位相空間を含む、位相空間のすべてのマップに対して同等になります。したがって、シーケンスは位相空間間の関数に関する十分な情報をエンコードしませんが、ネットはエンコードします。これは、位相空間内の開集合のコレクションの動作が有向集合に非常に似ているためです。

シーケンスでは十分でない例として、プロトタイプを持つすべての関数の集合を直積として解釈し（関数を組と同一視し、その逆も行う）、それに積位相を付与します。 上のこの（積）位相は、点ごとの収束 の位相と同一です。は、最大で有限個の点（つまり、集合が有限である点）を除いてどこでもに等しいすべての関数の集合を表すものとします。すると、定数関数はの閉包に属し、次の式が成り立ちます。 ^[8]これは、に収束する のネットを構築することで証明されます。ただし、に収束するのシーケンスは存在しません^[14]。これは、シーケンスだけでは目的の結論に到達できないため、（非シーケンス）ネットを使用する必要がある例の 1 つです。の要素を通常の方法で点ごとに比較し、すべての に対してが である場合に限り であると宣言します。この点ごとの比較は、任意の に対して の点ごとの最小値が に属し、 および を満たすため、有向集合 を作成する半順序です。この半順序は、恒等写像( によって定義) を 値ネットに変換します。このネットはで に点ごとに収束し、が の閉包に属することを意味します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{x\in \mathbb {R} }}\mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle (f(x))_{x\in \mathbb {R} },}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \{0,1\}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \{x:f(x)=0\}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbf {0} :\mathbb {R} \to \{0\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} };}$${\displaystyle \mathbf {0} \in \operatorname {cl} _{\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}E.}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {0} .}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {0} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle f\geq g}$${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle (E,\geq )}$${\displaystyle f,g\in E,}$${\displaystyle m:=\min\{f,g\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f\geq m}$${\displaystyle g\geq m.}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :(E,\geq )\to E}$${\displaystyle f\mapsto f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }.}$

より一般的には、シーケンスのサブネットは必ずしもシーケンスではありません。 ^{[5] [a]}さらに、シーケンスのサブネットはシーケンスである可能性がありますが、サブシーケンスではありません。^[b]しかし、シーケンシャル空間の特定のケースでは、すべてのネットは対応するシーケンスを誘導し、この関係はサブネットをサブシーケンスにマップします。具体的には、第 1 可算空間では、ネットはシーケンスを誘導します。ここで、はの最小値として定義されます。 つまり、すべての整数 に対して、および となります。 ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle \left(x_{h_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle h_{n}}$${\displaystyle n^{\text{th}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle h_{1}:=\inf A}$${\displaystyle h_{n}:=\inf\{a\in A:a>h_{n-1}\}}$${\displaystyle n>1}$

集合がによって誘導される部分空間位相を備えている場合、が である場合は が である場合に限ります。このように、ネットが与えられた点に収束するかどうかという問題は、 とネットの像（つまり、ネットの点）からなるこの位相的部分空間のみに依存します。${\displaystyle S=\{x\}\cup \left\{x_{a}:a\in A\right\}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{\bullet }.}$

直感的には、ネットの収束とは、値が十分に大きいに対して、望むだけ近くにとどまることを意味します。位相空間内の点が与えられた場合、 を含むすべての近傍の集合を で表すとします。すると は有向集合となり、方向は逆包含によって与えられるため、が に含まれる場合のみ となります。に対して を 内の点とすると、はネットです。 がに対して増加すると、ネット内の点はの減少する近傍にあるように制約されます。したがって、点 のこの近傍システムでは、ネット収束の定義に従って は に収束します。${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle x_{a}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N_{x}}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle N_{x}}$${\displaystyle S\geq T}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle T.}$${\displaystyle S\in N_{x},}$${\displaystyle x_{S}}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle \left(x_{S}\right)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \,\geq ,}$${\displaystyle x_{S}}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{S}}$${\displaystyle x}$

上の位相の部分基底 が与えられ（位相の基底はすべて部分基底でもあることに注意）、 のネットが収束する点が与えられた場合、その点がのすべての近傍に最終的に収束する場合に限ります。この特徴付けは、与えられた点の近傍部分基底（したがって近傍基底）にも拡張されます。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle x.}$

積空間内のネットには、各投影に限界がある場合に限り限界があります。

明示的に、を位相空間とし、 その直積に位相 を付与し、任意の添字に対してへ の標準射影を で表すものとする。${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ $${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}}$$${\displaystyle l\in I,}$${\displaystyle X_{l}}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\pi _{l}:\;&&{\textstyle \prod }X_{\bullet }&&\;\to \;&X_{l}\\[0.3ex]&&\left(x_{i}\right)_{i\in I}&&\;\mapsto \;&x_{l}\\\end{alignedat}}}$$

を で方向付けられたのネットとし、すべてのインデックスに対してを「に 差し込む」結果を表すとすると 、ネット が得られる。この定義を関数合成の 観点から考えると便利な場合がある。ネットは、ネットと射影の合成に等しい。つまり、${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle i\in I,}$$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$$${\displaystyle f_{\bullet }}$${\displaystyle \pi _{i}}$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right):A\to X_{i}.}$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$${\displaystyle f_{\bullet }:A\to {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i};}$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\pi _{i}\,\circ \,f_{\bullet }.}$

任意の点に対して、ネットが積空間でに収束する場合、すべてのインデックスに対してが に収束する場合に限ります^[15] また、ネットがでに集まるときはいつでも、すべてのインデックスに対してが に集まります^[8]しかし、その逆は一般には成り立ちません。^[8]たとえば、 と が交互に現れるシーケンスを表すとします。すると、と はとの両方のクラスター点になりますが、を中心とする半径 の開いた球には1 つの点も含まれていないため、のクラスター点ではありません。${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i},}$${\displaystyle f_{\bullet }}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle X_{i}.}$${\displaystyle f_{\bullet }}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle i\in I.}$${\displaystyle X_{1}=X_{2}=\mathbb {R} }$${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (1,1),(0,0),(1,1),(0,0),\ldots }$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle (0,0).}$${\displaystyle L_{1}:=0}$${\displaystyle L_{2}:=1}$${\displaystyle \pi _{1}\left(f_{\bullet }\right)}$${\displaystyle \pi _{2}\left(f_{\bullet }\right)}$${\displaystyle X_{1}\times X_{2}=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \left(L_{1},L_{2}\right)=(0,1)}$${\displaystyle f_{\bullet }}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle f_{\bullet }}$

が与えられていないが、任意の に対してにおいてとなるものが存在する場合、 によって定義される組はにおけるの極限になります 。しかし、この組が存在すると結論付けるためには、選択公理を仮定する必要がある場合があります。選択公理は、 が有限である場合や、任意の がネットの一意の極限である場合（その場合、選択するものがないため）などの状況では必要ありません。これは、たとえば、任意の がハウスドルフ空間である場合に発生します。が無限であり、が空でない場合、射影が全射写像であると結論付けるには、（一般に）選択公理が必要になります。 ${\displaystyle L\in X}$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\to L_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle f_{\bullet }}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle L}$${\displaystyle I}$${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }={\textstyle \prod \limits _{j\in I}}X_{j}}$${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i}}$