ウルトラフィルターをセットに

集合論の数学分野において、集合上の超フィルターとは${\displaystyle X}$セットに対する最大フィルタです${\displaystyle X.}$ 言い換えれば、それはサブセットの集合である${\displaystyle X}$フィルターの定義を満たす${\displaystyle X}$そしてそれは包含に関して最大​​であり、厳密により大きな部分集合の集合は存在しないという意味である。${\displaystyle X}$これもフィルターです。（上記では、定義により、集合上のフィルターは空集合を含みません。）同様に、集合上の超フィルターは${\displaystyle X}$また、フィルターとしても特徴づけられる${\displaystyle X}$すべての部分集合に対して${\displaystyle A}$の${\displaystyle X}$どちらか${\displaystyle A}$またはその補数${\displaystyle X\setminus A}$超濾過器に属する。

集合上の超フィルターは、半順序集合上の超フィルターの重要な特殊な例であり、半順序集合は冪集合から構成される。$\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$そして部分順序は部分集合の包含関係である${\displaystyle \,\subseteq .}$ この記事は、セット上のウルトラフィルターに特化して扱っており、より一般的な概念については触れていません。

セットには2種類の超濾過器があります。主超濾過器は${\displaystyle X}$は、すべての部分集合の集合です。${\displaystyle X}$固定要素を含む${\displaystyle x\in X}$主超フィルターでない超フィルターは自由超フィルターである。任意の無限集合上に自由超フィルターが存在することは、 ZFCで証明できる超フィルター補題によって示唆される。一方、集合上のすべての超フィルターが主超フィルターとなるZFのモデルも存在する。

超フィルターは集合論、モデル論、位相幾何学において多くの応用例がある。^{[ 1 ] : 186}通常、自由超フィルターのみが非自明な構成につながる。例えば、主超フィルターを法とする超積は常に因子の1つと同型であるが、自由超フィルターを法とする超積は通常より複雑な構造を持つ。

任意の集合が与えられた${\displaystyle X,}$超フィルター​${\displaystyle X}$空でない族である${\displaystyle U}$サブセットの${\displaystyle X}$すなわち、以下の通りである。

1. 適切または非退化: 空集合は要素ではない${\displaystyle U.}$
2. 上向きに${\displaystyle X}$： もし${\displaystyle A\in U}$そしてもし${\displaystyle B\subseteq X}$は、のスーパーセットです。${\displaystyle A}$（つまり、もし${\displaystyle A\subseteq B\subseteq X}$） それから${\displaystyle B\in U.}$
3. πシステム：もし${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$要素${\displaystyle U}$ならばそれらの交差点も${\displaystyle A\cap B.}$
4. もし${\displaystyle A\subseteq X}$そして、${\displaystyle A}$またはその補数${\displaystyle X\setminus A}$は${\displaystyle U.}$^{[注1 ]}

特性(1)、(2)、(3)はフィルタの定義特性である。${\displaystyle X.}$著者によっては、「フィルタ」の定義に非退化性（上記特性（1））を含めていないものもあります。しかし、「ウルトラフィルタ」（および「プレフィルタ」や「フィルタサブベース」）の定義には、常に非退化性が定義条件として含まれています。本稿では、強調のためにフィルタを「適切」と表現する場合もありますが、すべてのフィルタが適切であることを要求します。

フィルタサブベースとは、有限交差特性（すなわち、すべての有限交差が空でない）を持つ空でない集合族のことです。言い換えれば、フィルタサブベースとは、何らかの（適切な）フィルタに含まれる空でない集合族のことです。最小（相対的に）${\displaystyle \subseteq }$) 特定のフィルタサブベースを含むフィルタは、フィルタサブベースによって生成されたと言われます。

上方への閉鎖${\displaystyle X}$集合族の${\displaystyle P}$セットは

${\displaystyle P^{\uparrow X}:=\{S:A\subseteq S\subseteq X{\text{ はある }}A\in P\}.}$

Aプリフィルターまたはフィルターベースは空でない適切な（つまり${\displaystyle \varnothing \not \in P}$集合の族${\displaystyle P}$つまり、下向きなので、${\displaystyle B,C\in P}$すると、いくつかの${\displaystyle A\in P}$そのため${\displaystyle A\subseteq B\cap C.}$同様に、プリフィルターは任意の集合の族である。${\displaystyle P}$その上方への閉鎖${\displaystyle P^{\uparrow X}}$はフィルタであり、その場合、このフィルタはによって生成されたフィルタと呼ばれます。${\displaystyle P}$そして${\displaystyle P}$フィルターベースであると言われている${\displaystyle P^{\uparrow X}.}$

デュアル​${\displaystyle X}$^{[ 2 ]}集合族の${\displaystyle P}$セットは${\displaystyle X\setminus P:=\{X\setminus B:B\in P\}.}$例えば、冪集合の双対$\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$それ自体です。${\displaystyle X\setminus {\mathcal {P}}(X)={\mathcal {P}}(X).}$ 集合の族は適切なフィルターです${\displaystyle X}$その双対が適切なイデアルである場合に限る。${\displaystyle X}$（「適切な」とは、べき集合と等しくないことを意味する。）

家族${\displaystyle U\neq \varnothing }$サブセットの${\displaystyle X}$と呼ばれるウルトラの場合${\displaystyle \varnothing \not \in U}$また、以下のいずれかの同等の条件が満たされる：^{[ 2 ] [ 3 ]}

1. 各セットについて${\displaystyle S\subseteq X}$ある集合が存在する${\displaystyle B\in U}$そのため${\displaystyle B\subseteq S}$または${\displaystyle B\subseteq X\setminus S}$（あるいは同等に、${\displaystyle B\cap S}$等しい${\displaystyle B}$または${\displaystyle \varnothing }$)
2. 各セットについて${\displaystyle S\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{B\in U}}B}$ある集合が存在する${\displaystyle B\in U}$そのため${\displaystyle B\cap S}$等しい${\displaystyle B}$または${\displaystyle \varnothing .}$
   • ここ、${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{B\in U}}B}$は、すべての集合の和集合として定義されます。${\displaystyle U.}$
   • この特徴づけは「${\displaystyle U}$「is ultra」はセットに依存しません${\displaystyle X,}$セットについて言及すると${\displaystyle X}$「ウルトラ」という用語を使用する場合、これは省略可能です。
3. 各セットについて${\displaystyle S}$（必ずしもサブセットではない）${\displaystyle X}$) ある集合が存在する${\displaystyle B\in U}$そのため${\displaystyle B\cap S}$等しい${\displaystyle B}$または${\displaystyle \varnothing .}$
   • もし${\displaystyle U}$この条件を満たすならば、すべてのスーパーセットもこの条件を満たす。${\displaystyle V\supseteq U.}$特に、セット${\displaystyle V}$超であるのは、${\displaystyle \varnothing \not \in V}$そして${\displaystyle V}$いくつかの超集合族を部分集合として含む。

超であるフィルタサブベースは必然的にプリフィルタである。^{[証明1 ]}

ultraプロパティは、ウルトラフィルタとウルトラプリフィルタの両方を定義するために使用できるようになりました。

1ウルトラプレフィルター^{[ 2 ] [ 3 ]}は、ウルトラであるプレフィルターです。言い換えれば、ウルトラであるフィルターサブベースです。

1超濾過器^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle X}$は (適切な) フィルターです${\displaystyle X}$それはウルトラです。同様に、それはあらゆるフィルターです${\displaystyle X}$これは超プレフィルターによって生成されるものです。

超プレフィルターを最大限のプレフィルターとして用いる

超前フィルタを「最大性」の観点から特徴づけるには、次の関係式が必要となる。

2つの集合族が与えられた場合${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N,}$家族${\displaystyle M}$より粗いと言われている^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle N,}$そして${\displaystyle N}$より細かい、より従属的${\displaystyle M,}$書かれた${\displaystyle M\leq N}$またはN ⊢ M、すべての${\displaystyle C\in M,}$いくつかあります${\displaystyle F\in N}$そのため${\displaystyle F\subseteq C.}$家族${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$等価であるとは、${\displaystyle M\leq N}$そして${\displaystyle N\leq M.}$家族${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$これらのセットのうち一方が他方よりも細かい場合、それらは比較可能である。 ^{[ 4 ]}

従属関係、すなわち${\displaystyle \,\geq ,\,}$は前順序なので、上記の「同等」の定義は同値関係を形成します。${\displaystyle M\subseteq N}$それから${\displaystyle M\leq N}$しかし、その逆は一般的には成り立たない。ただし、${\displaystyle N}$上向きに閉じている場合、例えばフィルターの場合、${\displaystyle M\leq N}$かつその場合に限り${\displaystyle M\subseteq N.}$ すべてのプリフィルターは、それが生成するフィルターと等価である。これは、フィルターがフィルターではない集合と等価になり得ることを示している。

2 つの集合族がある場合${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$等価であれば、両方とも${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$それらは超（それぞれプリフィルタ、フィルタサブベース）であるか、そうでなければどちらも超（それぞれプリフィルタ、フィルタサブベース）ではない。特に、フィルタサブベースがプリフィルタでもない場合、それはそれが生成するフィルタまたはプリフィルタと等価ではない。${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$両方のフィルターがオンになっています${\displaystyle X}$それから${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$等価であるのは、${\displaystyle M=N.}$適切なフィルター（または超フィルター）が集合の族と等価である場合${\displaystyle M}$それから${\displaystyle M}$は必然的にプリフィルタ（またはウルトラプリフィルタ）である。以下の特徴付けを用いることで、フィルタ（またはウルトラフィルタ）と従属関係の概念のみを用いてプリフィルタ（またはウルトラプリフィルタ）を定義することが可能となる。

任意の集合族がプリフィルターであるのは、それが（適切な）フィルターと等価である場合に限る。

任意の集合族が超前フィルタであるのは、それが超フィルタと等価である場合に限る。

A最大プリフィルター${\displaystyle X}$^{[ 2 ] [ 3 ]}はプリフィルターです${\displaystyle U\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$以下のいずれかの同等の条件を満たすもの：

1. ${\displaystyle U}$超です。
2. ${\displaystyle U}$最大は​${\displaystyle \operatorname {プリフィルター} (X)}$に関して${\displaystyle \,\leq ,}$つまり、もし${\displaystyle P\in \operatorname {Prefilters} (X)}$満たす${\displaystyle U\leq P}$それから${\displaystyle P\leq U.}$^{[ 3 ]}
3. 適切に従属するプリフィルターはありません${\displaystyle U.}$^{[ 3 ]}
4. （適切な）フィルター${\displaystyle F}$の上${\displaystyle X}$満たす${\displaystyle U\leq F}$それから${\displaystyle F\leq U.}$
5. フィルター${\displaystyle X}$によって生成されました${\displaystyle U}$超です。

空集合には超フィルターが存在しないため、以下は${\displaystyle X}$空ではない。

フィルターサブベース${\displaystyle U}$の上${\displaystyle X}$超フィルターは${\displaystyle X}$以下の同等の条件のいずれかが満たされる場合に限ります。^{[ 2 ] [ 3 ]}

1. いかなる場合でも${\displaystyle S\subseteq X,}$どちらか${\displaystyle S\in U}$または${\displaystyle X\setminus S\in U.}$
2. ${\displaystyle U}$は最大フィルタサブベースです${\displaystyle X,}$つまり、もし${\displaystyle F}$フィルターサブベースは${\displaystyle X}$それから${\displaystyle U\subseteq F}$暗示する${\displaystyle U=F.}$^{[ 6 ]}

（適切な）フィルター${\displaystyle U}$の上${\displaystyle X}$超フィルターは${\displaystyle X}$以下のいずれかの同等の条件が満たされる場合に限り、

1. ${\displaystyle U}$超です。
2. ${\displaystyle U}$超プレフィルターによって生成されます。
3. 任意の部分集合に対して${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle S\in U}$または${\displaystyle X\setminus S\in U.}$^{[ 6 ]}
   • つまり、超濾過器${\displaystyle U}$すべての${\displaystyle S\subseteq X}$かどうか${\displaystyle S}$「大きい」という意味です（つまり${\displaystyle S\in U}$）または「小さい」（つまり${\displaystyle X\setminus S\in U}$[ ^{7 ]​}
4. 各サブセットについて${\displaystyle A\subseteq X,}$いずれか^{[注1 ]}${\displaystyle A}$は${\displaystyle U}$または （${\displaystyle X\setminus A}$） は。
5. ${\displaystyle U\cup (X\setminus U)={\mathcal {P}}(X).}$この条件は次のように言い換えることができます。${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$分割される${\displaystyle U}$そしてその双${\displaystyle X\setminus U.}$
   • セット${\displaystyle P}$そして${\displaystyle X\setminus P}$すべてのプリフィルターに対して互いに排他的である${\displaystyle P}$の上${\displaystyle X.}$
6. ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)\setminus U=\left\{S\in {\mathcal {P}}(X):S\not \in U\right\}}$理想は${\displaystyle X.}$^{[ 6 ]}
7. 任意の有限族に対して${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$サブセットの${\displaystyle X}$（どこ${\displaystyle n\geq 1}$）、 もし${\displaystyle S_{1}\cup \cdots \cup S_{n}\in U}$それから${\displaystyle S_{i}\in U}$あるインデックスに対して${\displaystyle i.}$
   • 言い換えれば、「大きな」集合は、どれも大きくない集合の有限和集合であってはならない。^{[ 8 ]}
8. いかなる場合でも${\displaystyle R,S\subseteq X,}$もし${\displaystyle R\cup S=X}$それから${\displaystyle R\in U}$または${\displaystyle S\in U.}$
9. いかなる場合でも${\displaystyle R,S\subseteq X,}$もし${\displaystyle R\cup S\in U}$それから${\displaystyle R\in U}$または${\displaystyle S\in U}$この特性を持つフィルターはプライムフィルター）。
10. いかなる場合でも${\displaystyle R,S\subseteq X,}$もし${\displaystyle R\cup S\in U}$そして${\displaystyle R\cap S=\varnothing }$そして、${\displaystyle R\in U}$または${\displaystyle S\in U.}$
11. ${\displaystyle U}$は最大フィルタです。つまり、${\displaystyle F}$フィルターは${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle U\subseteq F}$それから${\displaystyle U=F.}$同様に、${\displaystyle U}$フィルターがない場合、それは最大フィルターです${\displaystyle F}$の上${\displaystyle X}$含まれる${\displaystyle U}$真部分集合として（つまり、厳密により細かいフィルターは存在しない）${\displaystyle U}$[ ^{6 ]​}

もし${\displaystyle X}$が無限集合である場合、超フィルターは無限集合と同じ数だけ存在する。${\displaystyle X}$サブセットのファミリーが存在するため${\displaystyle X;}$明示的に、もし${\displaystyle X}$無限の濃度を持つ${\displaystyle \kappa }$次に、超フィルターのセットが${\displaystyle X}$と同じカーディナリティを持つ${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X));}$その基数とは${\displaystyle 2^{2^{\kappa }}.}$^{[ 11 ]}

もし${\displaystyle U}$そして${\displaystyle S}$は集合の族であり、${\displaystyle U}$超です、${\displaystyle \varnothing \not \in S,}$そして${\displaystyle U\leq S,}$それから${\displaystyle S}$必然的にウルトラです。フィルターサブベース${\displaystyle U}$プリフィルターではないものはウルトラにはなれませんが、それでもプリフィルターとフィルターによって生成されるフィルターはウルトラにすることができます。${\displaystyle U}$究極的に。

仮定する${\displaystyle U\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$超で${\displaystyle Y}$は集合です。トレース${\displaystyle U\vert _{Y}:=\{B\cap Y:B\in U\}}$空集合を含まない場合に限り、超集合である。さらに、少なくとも1つの集合が${\displaystyle U\vert _{Y}\setminus \{\varnothing \}}$そして${\displaystyle U\vert _{X\setminus Y}\setminus \{\varnothing \}}$超になるでしょう（この結果は、任意の有限分割に拡張されます）${\displaystyle X}$）。 もし${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}}$フィルターは${\displaystyle X,}$${\displaystyle U}$超フィルターは${\displaystyle X,}$そして${\displaystyle F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}\leq U,}$すると、いくつか${\displaystyle F_{i}}$満たす${\displaystyle F_{i}\leq U.}$^{[ 12 ]} この結果は、無限族のフィルタに対して必ずしも真であるとは限りません。 ^{[ 12 ]}

地図の下の画像${\displaystyle f:X\to Y}$ウルトラセットの${\displaystyle U\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$再びウルトラで、もし${\displaystyle U}$ウルトラプレフィルターであれば、${\displaystyle f(U).}$超フィルターであるという性質は全単射の下で保持されます。ただし、超フィルターの逆像は、写像が全射であっても必ずしも超フィルターではありません。たとえば、${\displaystyle X}$複数のポイントがあり、範囲が${\displaystyle f:X\to Y}$単一の点から構成される${\displaystyle \{y\}}$それから${\displaystyle \{y\}}$超プレフィルター${\displaystyle Y}$しかし、その原像は超ではない。あるいは、もし${\displaystyle U}$は、点によって生成される主フィルタです。${\displaystyle Y\setminus f(X)}$すると、${\displaystyle U}$空集合が含まれているため、ウルトラではありません。

すべての点が異なる無限数列によって誘導される基本フィルタは、超フィルタではない。 ^{[ 12 ]}${\displaystyle n=2,}$それから${\displaystyle U_{n}}$は、のすべての部分集合からなる集合を表します。${\displaystyle X}$基数を持つ${\displaystyle n,}$そしてもし${\displaystyle X}$少なくとも${\displaystyle 2n-1}$（${\displaystyle =3}$）異なる点、${\displaystyle U_{n}}$これは超過ですが、どのプリフィルターにも含まれていません。この例は任意の整数に一般化できます。${\displaystyle n>1}$そしてまた${\displaystyle n=1}$もし${\displaystyle X}$複数の要素を含む。プレフィルター機能を持たないウルトラセットは、ほとんど使用されない。

すべての${\displaystyle S\subseteq X\times X}$そしてすべての${\displaystyle a\in X,}$させて${\displaystyle S{\big \vert }_{\{a\}\times X}:=\{y\in X~:~(a,y)\in S\}.}$もし${\displaystyle {\mathcal {U}}}$超フィルターは${\displaystyle X}$するとすべてのセット${\displaystyle S\subseteq X\times X}$そのため${\displaystyle \left\{a\in X~:~S{\big \vert }_{\{a\}\times X}\in {\mathcal {U}}\right\}\in {\mathcal {U}}}$超フィルターは${\displaystyle X\times X.}$^{[ 13 ]}

超フィルター補題は、1930年にアルフレッド・タルスキによって初めて証明された。 ^{[ 13 ]}

超フィルター補題は、以下の各命題と同等である。

1. セットの各プリフィルターについて${\displaystyle X,}$最大プリフィルターが存在する${\displaystyle X}$それに従う。^{[ 2 ]}
2. セット上のすべての適切なフィルターサブベース${\displaystyle X}$超濾過器に含まれる${\displaystyle X.}$

超フィルタ補題の帰結として、すべてのフィルタは、それを含むすべての超フィルタの共通部分に等しい。^{[ 4 ] [注2 ]}

以下の結果は、超フィルター補題を用いて証明できる。集合上に自由超フィルターが存在する。${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle X}$は無限である。すべての適切なフィルタは、それを含むすべての超フィルタの共通部分に等しい。^{[ 4 ]}超フィルタではないフィルタが存在するため、これは超フィルタの族の共通部分が超フィルタである必要はないことを示している。集合の族${\displaystyle \mathbb {F} \neq \varnothing }$は、任意の有限族の要素の交差が自由超フィルターに拡張できる場合に限り、${\displaystyle \mathbb {F} }$無限です。

超濾過器の完全性${\displaystyle U}$冪集合上の最小の基数κは、κ個の要素を持つ。${\displaystyle U}$その交点は${\displaystyle U.}$超フィルタの定義は、任意の冪集合超フィルタの完全性が少なくとも${\displaystyle \aleph _{0}}$完全性がより大きい超濾過器${\displaystyle \aleph _{0}}$つまり、要素の任意の可算集合の共通部分${\displaystyle U}$まだ${\displaystyle U}$—は可算完全またはσ完全と呼ばれます。

冪集合上の可算完備な非主超フィルターの完全性は常に測定可能な基数である。

のルーディン・キースラー順序（メアリー・エレン・ルーディンとハワード・ジェローム・キースラー）は、次のように定義される冪集合超フィルターのクラス上の前順序${\displaystyle U}$超フィルターは${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$そして${\displaystyle V}$超フィルター${\displaystyle {\mathcal {P}}(Y),}$それから${\displaystyle V\leq {}_{RK}U}$関数が存在する場合${\displaystyle f:X\to Y}$そのため

${\displaystyle C\in V}$かつその場合に限り${\displaystyle f^{-1}[C]\in U}$

すべての部分集合について${\displaystyle C\subseteq Y.}$

超濾過器${\displaystyle U}$そして${\displaystyle V}$と呼ばれるルーディン・ケイスラー等価とは、集合が存在する場合にU ≡ _RK Vと表記される。${\displaystyle A\in U}$そして${\displaystyle B\in V}$そして全単射${\displaystyle f:A\to B}$上記の条件を満たすもの。（もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$同じカーディナリティを持つ場合、定義は固定することで簡略化できます。${\displaystyle A=X,}$${\displaystyle B=Y.}$）

≡ _RKは≤ _RKの核であることが知られています。つまり、U ≡ _RK Vは、${\displaystyle U\leq {}_{RK}V}$そして${\displaystyle V\leq {}_{RK}U.}$^{[ 30 ]}

超濾過器にはいくつかの特別な特性があります${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega ),}$どこ${\displaystyle \omega }$自然数を拡張し、集合論や位相幾何学の様々な分野で有用であることが証明されている。

• 非主成分限外濾過器${\displaystyle U}$P点（または弱選択的）すべてのパーティションについて${\displaystyle \left\{C_{n}:n<\omega \right\}}$の${\displaystyle \omega }$すべての${\displaystyle n<\omega ,}$${\displaystyle C_{n}\not \in U,}$いくつか存在する${\displaystyle A\in U}$そのため${\displaystyle A\cap C_{n}}$それぞれが有限集合である${\displaystyle n.}$
• 非主成分限外濾過器${\displaystyle U}$すべてのパーティションに対して、ラムゼイ（または選択的）と呼ばれる。${\displaystyle \left\{C_{n}:n<\omega \right\}}$の${\displaystyle \omega }$すべての${\displaystyle n<\omega ,}$${\displaystyle C_{n}\not \in U,}$いくつか存在する${\displaystyle A\in U}$そのため${\displaystyle A\cap C_{n}}$各シングルトンセット${\displaystyle n.}$

すべてのラムゼー超フィルターがP点であることは自明の観察である。ウォルター・ルーディンは、連続体仮説がラムゼー超フィルターの存在を暗示していることを証明した。^{[ 31 ]} 実際、マーティンの公理を含め、多くの仮説がラムゼー超フィルターの存在を暗示している。サハロン・シェラは後に、P点超フィルターが存在しないことは矛盾しないことを示した。^{[ 32 ]}したがって、これらのタイプの超フィルターの存在はZFCとは無関係である。

P点とは、非主超フィルターの空間βω\ωの通常の位相における位相的P点であるため、このように呼ばれます。ラムジーという名前はラムジーの定理に由来します。その理由を知るには、超フィルターがラムジーであるのは、任意の2彩色に対してとなる場合のみであることを証明できます。${\displaystyle [\omega ]^{2}}$限外濾過器には、均一な色を持つ要素が存在する。

超フィルター${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )}$ラムゼイであるのは、非主冪集合超フィルターのルーディン-ケイスラー順序において最小である場合に限る。 ^{[ 33 ]}

• 拡張者（集合論）
• フィルター（数学）– 半順序集合の特別な部分集合 
• セットに対するフィルタリング– 「大きな」セットを表す部分集合のファミリー 
• トポロジーにおけるフィルター– フィルターを用いてすべての基本的なトポロジー概念と結果を記述および特徴付ける 
• Łośの定理– 数学的構成リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• ウルトラフィルター– 最大限の適切なフィルター 
• ユニバーサルネット– 一連の点の一般化リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 

証明

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