T対称性

T対称性または時間反転対称性は、時間反転の変換における物理法則の理論的な対称性である。

${\displaystyle T:t\mapsto -t.}$

熱力学の第二法則は、時間が未来に向かって流れるにつれてエントロピーが増加すると述べているため、一般に、マクロな宇宙は時間反転の下で対称性を示さない。言い換えれば、熱力学の第二法則が時間対称性が保たれると予測される特別な平衡状態を除いて、時間は非対称または非対称であると言われている。しかし、量子非侵襲測定は、古典的な対応物とは逆に、平衡状態でさえ時間対称性を破ると予測されているが^[1]、これはまだ実験的に確認されていない。

時間の非対称性(時間の矢印を参照) は、通常、次の 3 つのカテゴリのいずれかによって発生します。

1. 動的物理法則に固有のもの（例えば弱い力の場合）
2. 宇宙の初期条件による（例えば、熱力学の第二法則の場合）
3. 測定によるもの（例：非侵襲的測定の場合）

日常の経験から、T 対称性はバルク材料の挙動には当てはまらないことがわかります。これらのマクロ法則の中で最も注目すべきは、熱力学の第二法則です。摩擦を伴う物体の相対運動や流体の粘性運動など、他の多くの現象もこれに帰着します。その根底にあるメカニズムは、使用可能なエネルギー (たとえば、運動エネルギー) が熱に消散することだからです。

この時間非対称な散逸が本当に避けられないのかどうかという疑問は、多くの物理学者によって、しばしばマクスウェルの悪魔の文脈で考察されてきました。この名前は、ジェームズ・クラーク・マクスウェルが記述した思考実験に由来しており、その実験では、微小な悪魔が部屋の2つの半分の間の門を守っています。悪魔は遅い分子だけを一方の半分に入れ、速い分子だけをもう一方の半分に入れます。最終的に部屋の片側を以前よりも冷たく、もう片側を熱くすることで、部屋のエントロピーを減らし、時間の矢印を逆転させるように見えます。これについては多くの分析が行われてきましたが、そのすべてで、部屋と悪魔のエントロピーを合わせると、この全体のエントロピーは確かに増加することが示されている。この問題の現代の分析では、クロード・E・シャノンのエントロピーと情報の関係が考慮されています。現代のコンピューティングにおける多くの興味深い結果がこの問題と密接に関連しており、可逆コンピューティング、量子コンピューティング、コンピューティングの物理的限界などがその例です。一見形而上学的と思われるこれらの疑問は、今日ではこのようにしてゆっくりと物理科学の仮説へと変換されつつあります。

現在のコンセンサスは、ボルツマン-シャノンの位相空間体積の対数とシャノン情報量の負数、ひいてはエントロピーとの同一視にかかっています。この概念では、マクロシステムの固定された初期状態は、物体の分子の座標が制約されているため、比較的低いエントロピーに対応します。散逸の存在下でシステムが進化するにつれて、分子の座標は位相空間のより大きな体積に移動し、より不確実になり、エントロピーの増加につながります。

不可逆性に対する一つの解決策は、我々が観察するエントロピーの一定の増加は、宇宙の初期状態によってのみ起こると言うことです。宇宙の他の可能な状態（例えば、熱死平衡にある宇宙）では、実際にはエントロピーは増加しません。この見方では、我々の宇宙の見かけの T 非対称性は宇宙論の問題です。つまり、なぜ宇宙は低いエントロピーから始まったのか？という問題です。宇宙論的観測（宇宙マイクロ波背景の等方性など）によって裏付けられたこの見方は、この問題を宇宙の 初期条件の問題に結び付けています。

重力の法則は古典力学では時間反転不変であるように思われますが、特定の解は必ずしもそうである必要はありません。

物体は外側からブラックホールの事象の地平線を横切り、その後急速に中心領域に落下し、そこで私たちの物理学の理解は崩れます。ブラックホール内では前方の光円錐は中心に向けられ、後方の光円錐は外側に向けられるため、通常の方法では時間の逆転を定義することさえできません。ブラックホールから何かが脱出できる唯一の方法は、ホーキング放射です。

ブラックホールの時間反転は、ホワイトホールと呼ばれる仮想的な物体になります。外から見ると、これらは同じように見えます。ブラックホールには始まりがあり、そこから逃れることはできませんが、ホワイトホールには終わりがあり、入ることはできません。ホワイトホールの前方の光円錐は外側に向けられ、後方の光円錐は中心に向けられます。

ブラックホールの事象の地平線は、局所的な光速で外側に移動する表面であり、脱出と後退のちょうど境界上にあると考えられます。ホワイトホールの事象の地平線は、局所的な光速で内側に移動する表面であり、外側に押し流されるか中心に到達するかのちょうど境界上にあります。これらは 2 つの異なる地平線であり、ホワイトホールの地平線は、ブラックホールの地平線を裏返しにしたようなものです。

ブラックホールの不可逆性に関する現代の見解は、ブラックホールが熱力学的物体とみなされているため、熱力学の第二法則に関連付けることである。たとえば、ゲージ重力二重性仮説によれば、ブラックホール内のすべての微視的プロセスは可逆的であり、他のマクロな熱システムと同様に、集団的行動のみが不可逆的である。^[要出典]

物理および化学反応速度論において、力学的微視的方程式の T 対称性は、詳細平衡の原理とオンサガーの相反関係という 2 つの重要な法則を意味します。微視的記述の T 対称性と、その運動学的結果は、微視的可逆性と呼ばれます。

時間の逆転によって変化しない古典的な変数には次のものがあります。

${\displaystyle {\vec {x}}}$、三次元空間における粒子の位置

${\displaystyle {\vec {a}}}$、粒子の加速

${\displaystyle {\vec {F}}}$、粒子に作用する力

${\displaystyle E}$、粒子のエネルギー

${\displaystyle V}$、電位（電圧）

${\displaystyle {\vec {E}}}$、電界

${\displaystyle {\vec {D}}}$、電気変位

${\displaystyle \rho }$、電荷密度

${\displaystyle {\vec {P}}}$、電気分極

電磁場のエネルギー密度

${\displaystyle T_{ij}}$、マクスウェル応力テンソル

弱い力に関連するものを除く、すべての質量、電荷、結合定数、およびその他の物理定数。

時間反転によって否定される古典的な変数には次のものがあります。

${\displaystyle t}$、イベントが発生する時間

${\displaystyle {\vec {v}}}$、粒子の速度

${\displaystyle {\vec {p}}}$、粒子の線形運動量

${\displaystyle {\vec {l}}}$、粒子の角運動量（軌道とスピンの両方）

${\displaystyle {\vec {A}}}$、電磁ベクトルポテンシャル

${\displaystyle {\vec {B}}}$、磁場

${\displaystyle {\vec {H}}}$、磁気補助磁場

${\displaystyle {\vec {j}}}$、電流密度

${\displaystyle {\vec {M}}}$、磁化

${\displaystyle {\vec {S}}}$、ポインティングベクトル

${\displaystyle {\mathcal {P}}}$、パワー（仕事の速度）。

一定の外部磁場を受ける荷電粒子のシステムの例を考えてみましょう。この場合、速度と時間を逆転させ、座標を変更しない標準的な時間反転操作は、システムの対称性ではなくなります。このことを考慮すると、オンサガー–カシミールの相反関係のみが成り立つと思われます。^[2]これらの等式は、一方が の影響を受け、もう一方が の影響を受ける 2 つの異なるシステムに関係するため、その有用性は限られています。ただし、ダイナミクスとオンサガーの相反関係を保存する他の時間反転操作を見つけることは可能であることが証明されています。^{[3] [4] [5]}結論として、磁場の存在が常に T 対称性を破るとは言えません。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle {\vec {B}}}$${\displaystyle -{\vec {B}}}$

ほとんどのシステムは時間反転に対して非対称ですが、対称性のある現象が存在する場合もあります。古典力学では、速度v はTの操作によって反転しますが、加速度は反転しません。^{[6]したがって、散逸現象は}vの奇数項を通じてモデル化されます。しかし、既知の散逸源を取り除いた繊細な実験により、力学法則は時間反転不変であることが明らかになりました。散逸自体は熱力学の第二法則に由来します。

磁場B内の荷電物体の運動には、ローレンツ力の項v × Bによる速度が関係しており、一見Tの下では非対称のように見えるかもしれません。よく見ると、Bも時間反転の下で符号が変わることがわかります。これは、磁場が電流Jによって生成され、これがTの下で符号を反転するためです。したがって、電磁場内の古典的な荷電粒子の運動も時間反転不変です。(それにもかかわらず、磁気光学効果を分析する場合のように、外部磁場が固定されている場合、局所的な意味で時間反転非不変性を考慮することは依然として有用です。これにより、ファラデーアイソレータや方向二色性など、時間反転を局所的に破る光学現象が発生する条件を分析できます。)

物理学では、運動の法則（運動学）と力の法則（力学）を分けて考えます。ニュートンの運動法則の古典的な運動学に倣い、量子力学の運動学は、力学の時間反転対称性について何も前提としない形で構築されています。言い換えれば、力学が不変であれば、運動学もそれが不変のままであることを許します。力学が不変でなければ、運動学もこれを示します。量子運動法則の構造はより豊かであり、次にこれについて検討します。

このセクションでは、量子力学における時間反転の最も重要な3つの特性について説明します。

1. それは反ユニタリ演算子として表現されなければならない、
2. 非縮退量子状態が電気双極子モーメントを持つことを防ぐ、
3. T ² = −1（フェルミオンの場合）という性質を持つ2次元表現を持つこと。

この結果の奇妙さは、パリティと比較すると明らかです。パリティが量子状態のペアを相互に変換する場合、これら 2 つの基底状態の和と差は良好なパリティの状態です。時間反転はこのように動作しません。これは、すべてのアーベル群が1 次元の既約表現によって表されるという定理に違反しているように見えます。これは、反ユニタリ演算子によって表されるためです。したがって、量子力学における スピノルへの道が開かれます。

一方、量子力学的時間反転の概念は、物理的に動機付けられた量子コンピューティングとシミュレーション設定の開発に有用なツールであることが判明しており、同時に、それらの複雑さを評価するための比較的単純なツールも提供しています。たとえば、量子力学的時間反転は、新しいボソンサンプリングスキームの開発に使用され^{[7] 、2つの基本的な光学操作、}ビームスプリッターとスクイージング変換の二重性を証明するために使用されました。^[8]

T 対称性の正式な数学的表現では、Tの 3 つの異なる表記法を注意深く区別する必要があります。つまり、時間座標の実際の反転を捉える反転であるT 、スピノルとベクトルに作用する通常の有限次元行列であるT、および無限次元ヒルベルト空間上の演算子であるTです。

実数（複素数ではない）の古典的（量子化されていない）スカラー場 の場合、時間反転反転は次のように簡単に記述できる。 ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\mathsf {T}}\phi (t,{\vec {x}})=\phi ^{\prime }(-t,{\vec {x}})=s\phi (t,{\vec {x}})}$

時間の反転は、全体の符号が変わるまで、固定された時空点におけるスカラー値を変化させない。これをもう少し正式に書くと、 ${\displaystyle s=\pm 1}$

${\displaystyle {\mathsf {T}}:\phi (t,{\vec {x}})\mapsto \phi ^{\prime }(-t,{\vec {x}})=s\phi (t,{\vec {x}})}$

これには、 がマップであることを強調できるという利点があり、したがって「mapsto」表記法が使用されますが、 は古いフィールドと新しいフィールドを相互に関連付ける事実の記述です。 ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$${\displaystyle \mapsto ~,}$${\displaystyle \phi ^{\prime }(-t,{\vec {x}})=s\phi (t,{\vec {x}})}$

スカラー場と異なり、スピノル場とベクトル場は 時間反転に対して非自明な振る舞いをする可能性がある。この場合、次のように書く必要がある。 ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\mathsf {T}}:\psi (t,{\vec {x}})\mapsto \psi ^{\prime }(-t,{\vec {x}})=T\psi (t,{\vec {x}})}$

ここで、は単なる通常の行列です。複素体の場合、複素共役が必要になることがあり、そのマッピングは 2x2 行列として考えることができます。ディラック スピノルの場合、は 4x4 行列として記述することはできません。これは、実際には複素共役が実際に必要になるためです。ただし、ディラック スピノルの 8 つの実数成分に作用する 8x8 行列として記述できます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle K:(x+iy)\mapsto (x-iy)}$${\displaystyle T}$

一般的な設定では、に与えられるべきab initio値は存在しません。その実際の形は、調べられている特定の方程式または方程式によって異なります。一般的には、方程式は時間反転不変でなければならないと述べ、この目的を達成する の明示的な値を解きます。場合によっては、一般的な議論を行うことができます。したがって、たとえば、3 次元ユークリッド空間または 4 次元ミンコフスキー空間のスピノルの場合、明示的な変換を与えることができます。これは、慣例的に次のように与えられます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle T=e^{i\pi J_{y}}K}$

ここで、 は角運動量演算子の y 成分であり、 は前述と同様に複素共役です。この形式は、スピノルが時間微分で 1 次である線形微分方程式で記述できる場合に必ず適用されます。これは、何かが「スピノル」と呼ばれるために一般的に当てはまります。 ${\displaystyle J_{y}}$${\displaystyle K}$

形式表記により、時間反転を任意のテンソル場 に拡張する方法が明確になりました。この場合、 ${\displaystyle \psi _{abc\cdots }}$

${\displaystyle {\mathsf {T}}:\psi _{abc\cdots }(t,{\vec {x}})\mapsto \psi _{abc\cdots }^{\prime }(-t,{\vec {x}})={T_{a}}^{d}\,{T_{b}}^{e}\,{T_{c}}^{f}\cdots \psi _{def\cdots }(t,{\vec {x}})}$

共変テンソルのインデックスは、次のように変換されます。量子場の場合、3番目のTもあり、これは実際にはヒルベルト空間に作用する無限次元演算子です。これは量子化された場に対して次のように 作用します。${\displaystyle {T_{a}}^{b}={(T^{-1})_{b}}^{a}}$${\displaystyle {\mathcal {T}},}$${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle {\mathsf {T}}:\Psi (t,{\vec {x}})\mapsto \Psi ^{\prime }(-t,{\vec {x}})={\mathcal {T}}\Psi (t,{\vec {x}}){\mathcal {T}}^{-1}}$

これは、1 つの共変インデックスと 1 つの反変インデックスを持つテンソルの特殊なケースと考えることができるため、 が 2つ必要になります。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

これら 3 つのシンボルはすべて、時間反転の概念を捉えています。これらは、関数、ベクトル/スピノル、または無限次元演算子など、作用する特定の空間に応じて異なります。この記事の残りの部分では、これら 3 つを区別するわけではありません。以下に示すTは、文脈に応じてまたはのいずれかを意味し、読者が推測できるようにしています。 ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {T}},}$

ユージン・ウィグナーは、ハミルトニアンの対称操作Sが量子力学ではユニタリ演算子S = U、または反ユニタリ演算子S = UK （ここでUはユニタリ、K は複素共役を表す）のいずれかで表されることを示しました。これらは、任意の 1 つの状態ベクトルから別の状態ベクトルへの射影の長さを保存するようにヒルベルト空間に作用する唯一の操作です。

パリティ演算子を考えてみましょう。位置に作用すると、空間の方向が反転し、PxP ⁻¹ = − xとなります。同様に、運動量の方向も反転し、PpP ⁻¹ = − pとなります。ここで、xとp は位置演算子と運動量演算子です。これにより、 Pがユニタリになるように選択され、PiP ⁻¹ = i である場合にのみ、標準交換子 [ x , p ] = iħが保持されます。ここで、ħ は縮小されたプランク定数です。

一方、時間反転演算子Tは、 x 演算子TxT ⁻¹ = xには何も行いませんが、 p の方向を反転して、TpT ⁻¹ = − pとなります。標準交換子は、 T が反ユニタリになるように選択された場合、つまりTiT ⁻¹ = − iの場合にのみ不変です。

もう 1 つの議論は、4 元運動量の時間成分であるエネルギーに関するものです。時間反転がユニタリ演算子として実装されると、空間反転が運動量の符号を反転するのと同じように、エネルギーの符号が反転します。これは不可能です。運動量とは異なり、エネルギーは常に正だからです。量子力学におけるエネルギーは、時間的に前進するときに得られる位相係数 exp(– iEt ) として定義されるため、エネルギーの符号を保存しながら時間を反転する方法は、「i」の方向も反転して、位相の方向を反転することです。

同様に、位相の向きを反転する操作 ( iの符号を変更) は、時間の方向も変更しない限り、正のエネルギーを負のエネルギーに変換します。したがって、正のエネルギーを持つ理論のすべての反ユニタリー対称性は、時間の方向を反転する必要があります。すべての反ユニタリー演算子は、時間反転演算子と時間を反転しないユニタリー演算子の積として表すことができます。

スピンJを持つ粒子の場合、次の表現が使える。

${\displaystyle T=e^{-i\pi J_{y}/\hbar }K,}$

ここでJy_はスピンのy成分であり、 TJT ⁻¹ = −Jが使用されています。

これは、あらゆる粒子の電気双極子モーメント(EDM)に興味深い結果をもたらします。EDM は、外部電場に置かれた状態のエネルギーのシフトによって定義されます。Δ e = d· E + E ·δ· E、ここでd はEDM、δ は誘導双極子モーメントと呼ばれます。EDM の重要な特性の 1 つは、EDM によるエネルギー シフトがパリティ変換によって符号を変えることです。ただし、d はベクトルであるため、状態 |ψ⟩ での期待値は ⟨ψ| J |ψ⟩、つまり期待されるスピンに比例する必要があります。したがって、時間反転では、不変状態では EDM がゼロになる必要があります。言い換えると、ゼロにならない EDM は、P対称性とT対称性の両方が破れていることを示します。^[9]

水などの一部の分子は、Tが対称性であるかどうかに関係なく、必ず EDM を持ちます。これは正しいです。量子系がパリティの下で互いに変換する縮退した基底状態を持つ場合、EDM を与えるために時間反転を破る必要はありません。

実験的に観測された核子の電気双極子モーメントの限界は、現在、強い相互作用における時間反転対称性の破れと、その最新理論である量子色力学に厳しい制限を課しています。そして、相対論的量子場理論のCPT 不変性を使用して、強い CP 破れに強い限界を課します。

電子の電気双極子モーメントに関する実験的限界は、素粒子物理学の理論とそのパラメータにも制限を課す。^{[10] [11]}

Tは反ユニタリーZ ₂対称性生成子 である。

T ² = UKUK = UU ^* = U ( U ^T ) ⁻¹ = Φ、

ここでΦは位相の対角行列である。その結果、U = Φ U ^TかつU ^T = U Φとなり、

U = Φ U Φ。

これは、 Φ の要素が ±1 であることを意味し、その結果、T ² = ±1 のいずれかになります。これは、 Tの反ユニタリ性に特有のものです。パリティなどのユニタリ演算子の場合、任意の位相が許可されます。

次に、 Tの下でのハミルトン不変量を取ります。 | a ⟩ とT | a ⟩ を同じエネルギーの 2 つの量子状態とします。ここで、T ² = −1の場合、状態は直交していることがわかります。これはクラマースの定理と呼ばれる結果です。これは、 T ² = −1の場合、状態に二重の退化があることを意味します。非相対論的量子力学におけるこの結果は、量子場の理論のスピン統計定理の前兆となります。

時間反転のユニタリ表現を与える量子状態、すなわちT ² = 1は、乗法量子数によって特徴付けられ、T パリティと呼ばれることもあります。

素粒子物理学は、力学の基本法則を標準モデルに体系化しました。これは、 CPT対称性を持つ量子場理論として定式化されています。つまり、法則は、時間反転、パリティ、電荷共役の同時動作の下で不変です。ただし、時間反転自体は対称性ではないとされています（これは通常、 CP対称性の破れと呼ばれます）。この非対称性の原因は2つ考えられます。1つは、弱い崩壊で異なるフレーバーのクォークが混合することによるもので、もう1つは、強い相互作用で直接CP対称性の破れが起こることです。前者は実験で確認されており、後者は中性子のEDMが観測されていないことによって強く制約されています。

時間反転の破れは熱力学の第二法則とは無関係です。なぜなら、 CPT対称性の保存により、時間反転の影響により粒子が反粒子に、またその逆の名前に変更されるからです。したがって、熱力学の第二法則は宇宙の 初期条件に由来すると考えられています。

強い測定（古典的および量子的）は確かに妨害的であり、熱力学の第二法則により非対称性を引き起こします。しかし、 非侵襲的測定は進化を妨げないため、時間対称であることが期待されます。驚くべきことに、これは古典物理学にのみ当てはまり、量子物理学では、熱力学的に不変な平衡状態であっても当てはまりません。^{[1]このタイプの非対称性は}CPT対称性とは無関係ですが、検証提案の極端な条件のため、まだ実験的に確認されていません。

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• マクスウェルの悪魔
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• 熱力学の第二法則
• 時間変換対称性

• マクスウェルの悪魔: エントロピー、情報、コンピューティング、HSLeff および AF Rex 編 (IOP 出版、1990 年) ISBN 0-7503-0057-4 
• マクスウェルの悪魔 2: エントロピー、古典情報、量子情報、HSLeff および AF Rex 編 (IOP 出版、2003) ISBN 0-7503-0759-5 
• 皇帝の新しい心：コンピュータ、心、物理法則について、ロジャー・ペンローズ著（オックスフォード大学出版局、2002年）ISBN 0-19-286198-0 
• Sozzi, MS (2008).離散対称性と CP の破れ。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-929666-8。
• Birss, RR (1964)。対称性と磁性。John Wiley & Sons, Inc.、ニューヨーク。
• 時間反転を破る光学特性を持つマルチフェロイック材料
• CP 違反、II Bigi および AI Sanda 著 (ケンブリッジ大学出版局、2000 年) ISBN 0-521-44349-0 
• CP対称性の破れに関する粒子データグループ
  • SLACにおけるババール実験
  • KEKのBELLE実験
  • フェルミ国立加速器研究所のKTeV実験
  • CERNのCPLEAR実験