ボソンサンプリング

ボソンサンプリングは、ボソン散乱を使用して行列のパーマネントの期待値を評価できる可能性を探ったLidror TroyanskyとNaftali Tishbyの元の研究^{[1]の後に、} Scott AaronsonとAlex Arkhipovによって導入された非普遍的な量子計算の制限付きモデルです。^[2]このモデルは、線形干渉計によって散乱された同一のボソンの確率分布からサンプリングするものです。この問題は任意のボソン粒子に対して明確に定義されていますが、そのフォトニックバージョンは現在、ボソンサンプリングデバイスのスケーラブルな実装の最も有望なプラットフォームと考えられており、線形光量子コンピューティングに対する非普遍的なアプローチとなっています。さらに、普遍的ではありませんが、ボソンサンプリング方式は、完全な線形光量子コンピューティングセットアップよりもはるかに少ない物理リソースを使用して、従来のコンピューターでは実装が難しいコンピューティングタスクを実装すると強く信じられています。この利点により、短期的には 量子計算のパワーを実証するための理想的な候補となります。

M 個の区別できない単一光子 ( N>M )が注入されるNモードのマルチモード線形光回路について考える。次に、ボソン サンプリング タスクの光子実装は、回路の出力における単一光子測定の確率分布からサンプルを生成することから構成される。具体的には、これには信頼性の高い単一光子源 (現在最も広く使用されているのはパラメトリック ダウンコンバージョン結晶) と線形干渉計が必要である。後者は、例えば、溶融ファイバー ビーム スプリッター^[3] 、シリカ オン シリコン^[4]またはレーザー書き込み^{[5] [6] [7]}統合干渉計、または電気的および光学的にインターフェイスされた光チップ^[8]を使用して製造することができる。最後に、この方式では、回路の出力で測定を実行する、電流バイアス超伝導ナノワイヤ に基づくものなどの高効率単一光子計数検出器も必要となる 。したがって、これら 3 つの要素に基づくボソン サンプリング設定では、Knill、Laflamme、および Milburn によるユニバーサル光学スキーム( KLMスキーム)のように、補助関数、適応測定、またはエンタングルメント操作は必要ありません。これにより、この設定は量子計算の非ユニバーサル モデルとなり、実際の実現に必要な物理リソースの量を削減します。

具体的には、線形干渉計が、回路の入力モードの 生成（消滅）演算子の線形変換を実行するN×Nユニタリ行列によって記述されるとします。${\displaystyle U,}$${\displaystyle a_{i}^{\dagger}}$ ${\displaystyle (a_{i}^{})}$

${\displaystyle b_{j}^{\dagger }=\sum _{i=1}^{N}U_{ji}a_{i}^{\dagger }\;\;(b_{j}=\sum _{i=1}^{N}U_{ji}^{*}a_{i}).}$

ここで、i ( j ) は入力（出力）モードを表し、 は出力モード（ i,j =1 ,..., N ）の生成（消滅）演算子を表します。何らかのユニタリによって特徴付けられる干渉計は、自然に- 光子状態のユニタリ発展を誘導します。さらに、このマップは- 次元ユニタリ行列と、システムの指数的に大きいヒルベルト空間に作用するユニタリとの間の準同型です。単純な計数議論により、 Nモードに分散されたM 個の区別できない光子のシステムに対応するヒルベルト空間のサイズは、二項係数によって与えられることがわかります（この準同型が存在するため、 のすべての値が可能であるわけではないことに注意してください）。 ${\displaystyle b_{j}^{\dagger}}$ ${\displaystyle (b_{j}^{})}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \varphi _{M}(U)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \varphi_{M}}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\tbinom {M+N-1}{M}}}$${\displaystyle W}$

干渉計に単一光子の入力状態（k番目のモードに注入された光子の数）が 注入されると仮定すると、${\displaystyle |\psi _{\text{in}}\rangle =}$${\displaystyle |s_{1},s_{2},...,s_{N}\rangle }$${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}s_{k}=M}$ ${\displaystyle (s_{k}}$${\displaystyle |\psi _{\text{out}}\rangle }$

回路の出力は次のように書き表すことができます。との間の準同型性を理解する簡単な方法は次のとおりです。 ${\displaystyle |\psi _{\text{out}}\rangle =\varphi _{M}(U)|s_{1},s_{2},...,s_{N}\rangle .}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \varphi _{M}(U)}$

基底状態xの同型性を定義し、次の結果を得る: x x${\displaystyle P_{|s_{1},s_{2},...,s_{N}\rangle }(}$${\displaystyle )\equiv x_{1}^{s_{1}}{\cdot }x_{2}^{s_{2}}{\cdot \cdot \cdot }x_{N}^{s_{N}}}$${\displaystyle P_{{\varphi (U)}|s_{1},s_{2},...,s_{N}\rangle }(}$${\displaystyle )=P_{|s_{1},s_{2},...,s_{N}\rangle }(U}$${\displaystyle )}$

その結果、 k番目の出力モードで光子を検出する確率 は次のように与えられる^[9]。${\displaystyle p(t_{1},t_{2},...,t_{N})}$${\displaystyle t_{k}}$

${\displaystyle p(t_{1},t_{2},...,t_{N})=|\langle t_{1},t_{2},...,t_{N}|\psi _{\text{out}}\rangle |^{2}={\frac {|{\text{Perm}}\,U_{S,T}|^{2}}{t_{1}!\cdot \cdot \cdot t_{N}!s_{1}!\cdot \cdot \cdot s_{N}!}}.}$

上記の式では、 は行列のパーマネントを表し、これはユニタリからi番目の列を 回数、 j番目の行を 回数繰り返すことによって得られます。通常、ボソン サンプリング問題のコンテキストでは、入力状態は、干渉計の最初のMモードのそれぞれに単一の光子が注入される と表される標準形式で取得されます。この場合、上記の式は次のようになります。 ${\displaystyle {\text{Perm}}\,U_{S,T}}$${\displaystyle U_{S,T},}$${\displaystyle U}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle t_{j}}$${\displaystyle |1_{M}\rangle ,}$

${\displaystyle p(t_{1},t_{2},...,t_{N})=|\langle t_{1},t_{2},...,t_{N}|\varphi _{M}(U)|1_{M}\rangle |^{2}={\frac {|{\text{Perm}}\,U_{T}|^{2}}{t_{1}!\cdot \cdot \cdot t_{N}!}},}$

ここで、行列は最初のM列を保持し、j番目の行を繰り返すことによって得られます。その後、ボソン サンプリングのタスクは、線形光回路を記述するユニタリを入力として、上記の出力分布から正確にまたは近似的にサンプリングすることです。以下に詳述するように、単一光子測定の対応する統計にパーマネントが出現することは、ボソン サンプリング問題の困難さに寄与します。 ${\displaystyle U_{T}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle t_{j}}$${\displaystyle U}$

ボソン サンプリング モデルへの関心が高まっている主な理由は、非普遍的であるにもかかわらず、古典的なコンピューターでは手に負えない計算タスクを実行すると強く信じられていることです。その主な理由の 1 つは、ボソン サンプリング デバイスがサンプリングする必要がある確率分布が、複素行列のパーマネントに関連していることです。パーマネントの計算は、一般に非常に困難なタスクです。これは、 #P 困難な複雑性クラスに分類されます。さらに、乗法誤差内での近似も #P 困難な問題です。

ボソンサンプリングを古典的コンピュータでシミュレートすることの難しさに関する現在のすべての証明は、古典的アルゴリズムによる効率的なシミュレーションがもたらす強力な計算上の帰結に依存しています。つまり、これらの証明は、効率的な古典的シミュレーションは多項式階層の第 3 レベルへの崩壊を意味することを示していますが、これは、その強力な計算上の帰結 ( P=NP問題の強力な帰結と一致します) のため、コンピュータ サイエンス コミュニティでは非常にありそうにない^{[引用が必要]}と考えられています。

正確なボソンサンプリング問題の困難性証明は、2 つの異なる方法で達成できます。具体的には、最初の方法では計算複雑性理論のツールを使用し、次の 2 つの事実を組み合わせます。

1. 線形干渉計の出力における特定の測定結果の確率を乗法定数内に近似することは、#P困難な問題である（永久の複雑さのため）${\displaystyle p(t_{1},t_{2},...,t_{N})}$
2. もし正確なボソンサンプリングのための多項式時間古典アルゴリズムが存在するならば、上記の確率はBPP ^NP複雑性クラスの乗法定数の範囲内で近似できるはずである^{[10]。つまり、}多項式階層の第3レベルの範囲内である。${\displaystyle p(t_{1},t_{2},...,t_{N})}$

これら 2 つの事実と戸田の定理を組み合わせると、多項式階層の崩壊が起こりますが、これは前述のように発生する可能性が非常に低いです。このことから、正確なボソン サンプリング問題には古典的な多項式時間アルゴリズムは存在しないという結論が導かれます。

一方、代替の証明は、量子計算の別の制限されたモデル、つまり瞬間量子計算モデルに対する同様の結果に触発されています。^[11] つまり、証明では、適応測定を備えた線形光学がクラスBQPに対して普遍的であることを示すKLMスキームを使用します。また、次の事実にも依存しています。

1. 後選択測定を伴う線形光学は、PostBQP、すなわち後選択を伴う量子多項式時間クラス（KLM構成の直接的な帰結）に対して普遍的である。
2. PostBQPクラスはPP（確率多項式時間クラス）と同等である：PostBQP = PP ^[12]
3. 古典的なボソンサンプリングアルゴリズムの存在は、PostBPPクラス（つまり、ポスト選択を伴う古典的な多項式時間、クラスBPP_パスとしても知られる）におけるポスト選択線形光学のシミュレーション可能性を意味する。

再び、前の場合と同様に、これら 3 つの結果を組み合わせると、多項式階層が崩壊します。これにより、正確なボソン サンプリング問題に対する古典的な多項式時間アルゴリズムが存在する可能性は非常に低くなります。

正確なボソンサンプリングのための最良の古典的アルゴリズムは、 n個の光子とm個の出力モードを持つシステムで時間内に実行されます。 ^[13]このアルゴリズムは、ボソンサンプリングによる量子優位性を証明するために必要な光子の推定値を50個にしています。R のオープンソース実装もあります。 ${\displaystyle O(n2^{n}+mn^{2})}$

上記の困難性証明は、実験設定の不完全性（ノイズ、デコヒーレンス、光子損失など）のため、ボソンサンプリングデバイスの現実的な実装には適用できません。したがって、実用的なニーズには、対応する近似タスクの困難性証明が必要です。後者は、総変動距離に関して、によって与えられる確率分布に近い確率分布からサンプリングすることから成ります。したがって、この問題の複雑さを理解するには、いくつかの追加の仮定と、まだ証明されていない 2 つの推測に依存します。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle p(t_{1},t_{2},...,t_{N})}$

具体的には、正確なボソンサンプリング問題の証明は、特定の測定結果の指数的に小さい確率を推定する #P 困難性に基づいているため、ここでは直接適用できません。したがって、サンプラーが推定したいものを「知っていた」場合、敵対的にそれを改ざんすることができます (タスクが近似的である限り)。これが、上記の確率をN×Nランダムユニタリ行列に「隠す」というアイデアの理由です。これは、ハール測度に従ってランダムに選択されたユニタリ の任意のM×Mサブ行列が、 M ≤ N ^{1/6を条件として、} iid複素ランダムガウス変数の行列と変動距離が近いことを知っていれば実行できます (ハールランダム行列は、そのパラメータの独立した確率密度関数を光回路コンポーネント、つまりビームスプリッターや位相シフターにマッピングすることで、光回路に直接実装できます^[14] )。したがって、線形光回路がハールランダムユニタリ行列を実装する場合、敵対的サンプラーは指数的に多くの確率のうちどれが重要であるかを検出できず、したがってその推定を避けることができません。この場合、内部に密かに持ち込まれたM×Mの iid ガウス行列のパーマネントの絶対値の 2 乗に比例します。これらの議論により、近似ボソンサンプリング問題の困難性証明の最初の予想、つまりパーマネントオブガウス予想が導き出されます。 ${\displaystyle p(t_{1},t_{2},...,t_{N})}$${\displaystyle p(t_{1},t_{2},...,t_{N})}$${\displaystyle p(t_{1},t_{2},...,t_{N})}$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p(t_{1},t_{2},...,t_{N})}$${\displaystyle p(t_{1},t_{2},...,t_{N})}$${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,1)_{\mathcal {C}}^{M\times M}}$${\displaystyle U.}$

• iid ガウス行列のパーマネントを乗法誤差内に近似することは、#P 困難なタスクです。${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,1)_{\mathcal {C}}^{M\times M}}$

さらに、上記の推測は、特定の測定結果の与えられた確率が比例する推定値に結び付けられる可能性がある。しかし、この関係を確立するには、別の推測、つまり永久反集中の推測に頼らなければならない。 ${\displaystyle |{\text{Perm}}\,X|^{2},}$

• 任意のMおよびδ >0に対して、M×M行列上で次の不等式が成立する確率がδより小さくなる多項式Qが存在する。${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,1)_{\mathcal {C}}^{M\times M}}$${\displaystyle |\,{\text{Perm}}\,X|<{\frac {\sqrt {M!}}{Q(M,1/\delta )}}.}$

上記の 2 つの予想 (正しいという証拠が複数ある) を利用すると、最終的な証明では、近似ボソン サンプリング タスク用の古典的な多項式時間アルゴリズムの存在は、多項式階層の崩壊を意味することが最終的に述べられます。このステートメントの証明に重要な別の事実、つまり、いわゆるボソン誕生日パラドックス (よく知られている誕生日パラドックスとの類似点) についても言及する価値があります。後者は、M個の同一のボソンが、同じモードに 2 つのボソンがない線形干渉計のN ≫ M ^{2モード間に散在している場合、高い確率で 2 つのボソンが同じ出力モードにも見つからないことを述べています。 [15]}この特性は、最大 16 モードの統合干渉計で 2 つおよび 3 つの光子を使用して実験的に観察されています^[16]。一方で、この機能により、制限されたボソン サンプリング デバイスの実装が容易になります。つまり、線形光回路の出力に複数の光子が存在する確率が無視できる場合、光子数分解検出器はもはや必要ありません。オンオフ検出器はセットアップの実現に十分です。

干渉計の出力における特定の測定結果の確率はユニタリ行列の部分行列のパーマネントと関連しているが、ボソンサンプリングマシンではその推定はできない。その主な理由は、対応する検出確率が通常指数的に小さいためである。したがって、その値を近似するのに十分な統計を収集するには、量子実験を指数的に長い時間実行する必要がある。したがって、ボソンサンプラーから得られる推定値は、任意の行列のパーマネントを加法誤差内に近似するための Gurvits による古典的な多項式時間アルゴリズムを実行するよりも効率的ではない。^[17]${\displaystyle p(t_{1},t_{2},...,t_{N})}$

すでに述べたように、ボソンサンプリングマシンを実装するには、多くの区別できない光子の信頼できる発生源が必要であり、この要件は現在でもデバイスの複雑さを拡大する上での主な困難の 1 つです。つまり、原子、分子、量子ドット、ダイヤモンドの色中心を使用した光子発生技術の最近の進歩にもかかわらず、最も広く使用されている方法は、依然としてパラメトリックダウンコンバージョン( PDC ) メカニズムです。 PDC 発生源の主な利点は、光子の区別不能性、収集効率が高く、実験セットアップが比較的簡単なことです。ただし、このアプローチの欠点の 1 つは、非決定論的 (予告) 性質です。具体的には、PDC 結晶によって単一光子が生成される確率がεであるとします。このとき、 M個の単一光子が同時に生成される確率はε ^Mであり、これはMとともに指数関数的に減少します。言い換えれば、ボソン サンプリング マシンの入力状態を生成するには、指数関数的に長い時間待たなければならず、これでは古典的なマシンに対する量子セットアップの利点が失われてしまいます。その後、この特性により、PDC ソースの使用はボソン サンプリング デバイスの原理実証のデモンストレーションに限定されました。

しかし最近、ボソンサンプリングのニーズに合わせて PDC ソースを最大限に活用し、M光子イベントの発生率を大幅に高める新しい方式が提案されました。 このアプローチは、スキャッターショット ボソン サンプリングと名付けられており、^{[18] [19] 、} N ( N > M ) 個の予告単一光子ソースを線形干渉計の異なる入力ポートに接続することから構成されます。 次に、 N 個のPDC 結晶すべてに同時レーザーパルスをポンピングすると、 M個の光子が生成される確率は次のように表されます。 したがって、 N ≫ Mの場合 、 M個のソースを使用した通常の固定入力ボソン サンプリングに比べて、単一光子生成率が指数関数的に向上します。 この設定は、 N 個のPDC ソースから生成されたN 個の2 モード スクイーズド真空状態をサンプリングする問題としても考えられます。 ${\displaystyle {\tbinom {N}{M}}\varepsilon ^{M}.}$

散弾ボソンサンプリングは、古典的コンピュータにとってはまだ扱いにくいものです。従来の設定では、M × Mサブマトリックスを定義する列を固定し、行のみを変更していましたが、今回は、 N 個の PDC 結晶のうちどのM 個が単一光子を生成したかに応じて、列も変更します。したがって、ここでも元の証明と同様に証明を構築できます。さらに、散弾ボソンサンプリングは、9 モードと 13 モードの集積光子回路に結合された 6 つの光子対ソースで最近実装されており、量子計算の優位性を説得力のある実験で実証するための重要な飛躍となっています。^[20]散弾ボソンサンプリングモデルは、PDC ソースの両方の脚が線形光学変換の対象となるケースにさらに一般化できます (元の散弾の場合、アームの 1 つはヘラルドに使用され、つまり、アイデンティティ チャネルを通過します)。このような二重散弾ボソンサンプリングモデルも、時間反転下での量子力学の対称性を利用することで証明されているように、計算上困難です。^[21]

ボソンサンプリングのもう 1 つの光子実装は、ガウス入力状態、つまり準確率ウィグナー分布関数がガウス分布である状態に関するものです。対応するサンプリング タスクの難しさは、散発ボソンサンプリングの難しさと関連付けることができます。^[22]つまり、後者は、ガウス入力を持つ従来のボソンサンプリング設定に組み込むことができます。このためには、2 モードのエンタングルされたガウス状態を生成し、その「右半分」に Haar ランダム ユニタリを適用し、他の半分には何も行わない必要があります。次に、「左半分」を測定して、適用する前にどの入力状態に光子が含まれていたかを調べることができます。これは、ヘラルド光子の測定が実験の最初ではなく最後まで延期されているという事実を除けば、散発ボソンサンプリングとまったく同じです。したがって、通常のボソンサンプリングまたは散発ボソンサンプリングを近似できるのとまったく同じ複雑さの仮定の下で、近似ガウスボソンサンプリングは困難であると主張できます。^[19]ガウスリソースは測定段階でも使用できます。つまり、入力単一光子状態の線形光学的発展がガウス測定（より具体的には、各出力モードをスクイーズドコヒーレント状態に投影する 8 ポートホモダイン検出）によって結論付けられるボソンサンプリングモデルを定義できます。このようなモデルは連続変数測定結果を扱いますが、これは特定の条件下では計算上困難なタスクです。^[21]最後に、入力単一光子がアクティブ（非線形）ガウス変換を受けるボソンサンプリング実験を実行するための線形光学プラットフォームも利用できます。この設定では、単一光子源やインライン非線形増幅媒体を必要とせず、2 モードスクイーズド真空状態のセットを事前リソースとして使用します。^{[23]このバリアントでは、パーマネントの一般化である}ハフニアン を使用します。^[22]${\displaystyle U}$${\displaystyle U.}$

上記の結果は、区別できない単一光子（厳密な場合と近似的な場合）を使用した元のボソンサンプリング方式、スキャッターショット、および一般的なガウスボソンサンプリング問題に対する多項式時間の古典的アルゴリズムの存在は非常にありそうにないことを示しています。それでも、ボソンサンプリング問題の効率的な古典的シミュレーションを可能にする、いくつかの重要な実現があります。そのような例の 1 つは、光回路に区別可能な単一光子が注入される場合です。この場合、光子の多粒子経路に対応する確率振幅を合計する代わりに、対応する確率（つまり、振幅の絶対値の 2 乗）を合計する必要があります。その結果、検出確率は、ユニタリの（コンポーネントごとの）絶対値の 2 乗の部分行列のパーマネントに比例します。後者は非負の行列になりました。したがって、対応するパーマネントの正確な計算は#P完全問題であるが、Jerrum、Sinclaire、Vigodaによる独創的なアルゴリズムのおかげで、その近似は古典的なコンピュータで効率的に実行できる。^[24] 言い換えれば、区別可能な光子による近似ボソンサンプリングは、効率的に古典的にシミュレート可能である。 ${\displaystyle p(t_{1},t_{2},...,t_{N})}$${\displaystyle U.}$

古典的にシミュレート可能なボソンサンプリング設定の別の例は、線形干渉計に注入されたコヒーレント状態の確率分布からのサンプリングから構成される。その理由は、線形光回路の出力ではコヒーレント状態はそのままであり、モード間の量子エンタングルメントを生成しないからである。より正確には、それらの振幅のみが変換され、その変換は古典的コンピュータで効率的に計算できる（計算は行列乗算で構成される）。この事実は、別の状態セット、いわゆる古典的状態から対応するサンプリングタスクを実行するために使用できる。その古典的状態は、グラウバー・スダルシャンP関数が明確に定義された確率分布である。これらの状態は、光等価定理により、コヒーレント状態の混合として表すことができる。したがって、対応するP関数に従って分布するランダムなコヒーレント状態を選択すると、この古典的状態セットからのボソンサンプリングの効率的な古典的シミュレーションを実行できる。^{[25] [26]}

フォトニックボソンサンプリングマシンに対する上記の要件は、既存の技術を用いて小規模に構築することを可能にするため、理論モデルが導入されて間もなく、4つの異なるグループ^{[3] [4] [6] [7]} が同時にその実現を報告した。

具体的には、次のようなボソン サンプリングの実装が含まれます。

• クイーンズランド大学とMITの共同研究による、6モード線形ユニタリー変換（3×3空間モードの2つの直交偏光で表される）によって散乱された2つおよび3つの光子^[3]
• オックスフォード大学、上海大学、ロンドン大学、サウサンプトン大学の共同研究による、6モードシリカオンシリコン導波回路の異なるモードにおける3つの光子^[4]
• ウィーン大学とイエナ大学の共同研究による、フェムト秒レーザー書き込み5モード干渉計における3つの光子^[6]
• ミラノの光子・ナノテクノロジー研究所、フルミネンセ連邦大学、ローマ・ラ・サピエンツァ大学の共同研究による、ハールランダムユニタリー変換を実装したフェムト秒レーザー書き込み5モード干渉計内の3つの光子。^[7]

その後、より複雑なボソンサンプリング実験が行われ、ランダム干渉計の空間モード数が13 ^[27]と 9 ^[28]モードまで増加し、6モードの完全に再構成可能な集積回路が実現されました。^[8] これらの実験は、全体として、動作可能なボソンサンプリングデバイスの原理実証を構成し、そのより大規模な実装への道筋を示しています。

最近、13モードの集積光子回路に結合された6つの光子対源を使用して、最初のスキャッタショットボソンサンプリング実験が実施されました^[20]。6つの光子対源は、3つの異なる非線形結晶（偏光自由度を利用）のタイプII PDCプロセスを介して取得されました。これにより、8つの異なる入力状態間で同時にサンプリングできるようになりました。13モード干渉計は、アルミノホウケイ酸ガラス上のフェムト秒レーザー書き込み技術によって実現されました。

この実験的実装は、量子計算の優位性を実験的に実証するための大きな一歩となる。^[20]

フォトニックボソンサンプリングの実装には、他にもいくつかの提案があります。これには、2つのネストされたファイバーループを使用して任意にスケーラブルなボソンサンプリングを行うスキームが含まれます。この場合、アーキテクチャは時間ビンエンコーディングを採用しており、入射光子はループに入るパルス列を形成します。一方、動的に制御されるループ結合比により、任意の線形干渉計を構築できます。さらに、このアーキテクチャは単一の干渉点のみを使用するため、他の実装よりも安定化が容易です。^[29]

もう一つのアプローチは、分散とパルス整形に基づく時間モードのユニタリー変換の実現に依存しています。つまり、連続的に伝令された光子を時間に依存しない分散に通し、光子の出力時間を測定することは、ボソンサンプリング実験と同等です。時間に依存する分散により、任意の単一粒子ユニタリーを実装することもできます。この方式では、必要な光源と検出器の数がはるかに少なく、大規模なビームスプリッターシステムは必要ありません。^[30]

たとえば、ショアの因数分解アルゴリズムを実行する汎用量子コンピュータの出力は、非決定性多項式時間(NP) 複雑度クラスのすべての問題の場合と同様に、古典的に効率的に検証できます。ただし、ボソンサンプリング方式に同様の構造が存在するかどうかは明らかではありません。つまり、後者は行列パーマネントの推定の問題 ( #P 困難複雑度クラスに分類される) に関連しているため、セットアップの大規模バージョンで正しい動作を検証する方法がわかっていません。具体的には、対応する測定確率を計算することによるボソンサンプラーの出力の単純な検証は、古典的コンピュータでは処理できない問題です。

最初の関連する質問は、多項式数の測定を実行することによって均一分布とボソンサンプリング分布を区別できるかどうかである。文献^[31]で紹介された最初の議論では、対称的な測定設定を使用する限り、上記は不可能であると述べられている (大まかに言えば、対称的な測定スキームでは光回路の出力モードにラベルを付けることができない)。しかし、現在の技術では対称設定の仮定は正当化されない (測定統計の追跡は完全にアクセス可能である) ため、上記の議論は当てはまらない。その場合、ボソンサンプリング統計を偏りのない確率分布から区別するための厳密で効率的なテストを定義することが可能である。^[32]対応する弁別子は、特定の測定パターンに関連付けられたサブマトリックスのパーマネントと相関しているが、効率的に計算することができる。このテストは、5、7、9 ^[28]、および 13 モードの集積回路を備えた 3 光子領域でボソンサンプリングと均一分布を区別するために実験的に適用されている。 ^[27]

上記のテストでは、量子と古典などのより複雑な分布や、フェルミオンとボソンの統計を区別しません。対処すべき物理的に動機付けられたシナリオは、量子干渉を破壊する光子間の識別可能性の望ましくない導入です (このレジームは、たとえば光子間に時間遅延を導入することによって、実験的に容易にアクセスできます)。その後、理想的には区別できない (量子) データと完全に区別できる (古典) データの間で調整し、適切に構築されたメトリックの変化を測定する機会が存在します。このシナリオは、出力確率の 1 対 1 の尤度比較を実行する統計テストによって対処できます。このテストでは、少数のパーマネントを計算する必要がありますが、完全な期待確率分布を計算する必要はありません。このテストの実験的実装は、標準的なボソンサンプリング^[27] (7、9、13 モードの干渉計で 3 つの光子) とスキャッタショットバージョン^[20] (異なる入力状態の 9 モードと 13 モードの干渉計で 3 つの光子) の両方について、レーザー書き込み統合回路で成功裏に報告されています。別の可能性は、識別不可能な光子の集束特性に基づいています。k 倍の同時測定結果 (多重に分布した入力モードなし) を見つける確率を分析できます。これは、後者の集束傾向により、ボソンよりも識別可能な粒子の方が大幅に高くなります。^[28]最後に、ランダムマトリックスの空間を離れて、特定の機能を備えた特定のマルチモード設定に焦点を当てることができます。特に、ボソンクラウド効果（ボソンが連続時間多粒子量子ウォークの出力配列の同じ半分にあるすべての粒子とのイベントを好む傾向）の分析は、この特定のプラットフォームで識別可能な粒子と区別できない粒子の挙動を区別できることが証明されています。^[28]

ボソンサンプリングマシンが理論予測どおりに動作することを確認するための別のアプローチは、完全に再構成可能な光回路を使用することです。完全に特性評価された回路で予測可能なマルチモード相関で検証された大規模な単一光子および多光子干渉により、回路がランダムユニタリ操作を実装するために継続的に再構成されても、システムは正しい動作を維持すると仮定するのが妥当です。この目的のために、量子抑制法則（線形干渉計がフーリエ行列または関連する対称性を持つ他の行列で記述される場合、特定の入力と出力の組み合わせの確率が抑制される）を利用できます。^[33]これらの抑制法則は、効率的な方法で古典的に予測できます。このアプローチにより、平均場状態など、いくつかの集団的な多粒子特性（ボソンの曇りを含む）を模倣する他の物理モデルを除外することもできます。完全に再構成可能な6モードデバイスにおけるフーリエ行列回路の実装が報告されており^[8]、4モードおよび8モードのフーリエ行列における2つの光子に対する抑制則の実験的観測が示されている^{[34] 。}

ボソンサンプリングタスクの光子的実現とは別に、いくつかの他のセットアップが提案されている。これには、例えば、ボソンをトラップされたイオンの局所横フォノンモードにエンコードすることが含まれる。このスキームは、対応するフォノン フォック状態の決定論的な準備と高効率の読み出し、および固有のクーロン相互作用と個々の位相シフトの組み合わせによるフォノンモードの普遍的な操作を可能にする。^[35]このスキームはスケーラブルであり、イオントラッピング技術の最近の進歩に依存している（例えば、非調和軸ポテンシャルを利用することで、線形ポールトラップに数十個のイオンをうまくトラップすることができる）。

ボソンサンプリング設定を実装するための別のプラットフォームは、相互作用するスピンのシステムです。最近の観測では、NモードでのM粒子によるボソンサンプリングは、 2 NスピンのXYモデルにおけるM励起による短時間発展と同等であることが示されています。 ^{[36]ここでは、ボソンの集積確率が小さいことや、効率的なエラー後選択など、いくつかの追加の仮定が必要になります。ただし、このスケーラブルなスキームは、結合した}超伝導量子ビット、特にD-Wave マシンの構築と操作の大幅な進歩を考慮すると、かなり有望です 。

ボソンサンプリングのタスクは、分子の振動スペクトルを決定する問題と奇妙な類似点を共有しています。ボソンサンプリングスキームの実現可能な修正により、分子のフランク・コンドンプロファイルの再構築に使用できるセットアップが得られます（これに対する効率的な古典的なアルゴリズムは現在知られていません）。具体的には、現在のタスクは、対象の分子の特性によって決定される線形干渉計に特定のスクイーズド コヒーレント状態を入力することです。^[37]したがって、この顕著な観察により、ボソンサンプリングタスクの実装への関心が基本的な基盤をはるかに超えて広がりました。

超伝導共振器ネットワークボソンサンプリング装置を干渉計として使用することも提案されている。共振器間の結合の小さな変化がサンプリング結果を変えるため、このアプリケーションは実用的であると考えられる。したがって、サンプリング結果を変更されていない基準と比較することで、結合を変更できるパラメータの変化を感知することができる。^[38]

ボソンサンプリングモデルの変種は、例えば、量子光学と計算複雑性に固有のツールを組み合わせることで、特定の行列パーマネント（例えば、コンピュータサイエンスにおける対応する未解決問題^{[39]に関連する}正半定値行列のパーマネント）の推定を目的とした古典的な計算アルゴリズムを構築するために使用されてきた。^[40]

粗粒度ボソンサンプリングは、計算が困難な決定問題や関数問題のリソースとして提案されており、暗号への応用が期待されています。^{[41] [42] [43]}最初の関連する原理実証実験は、フォトニックボソンサンプリングマシン（直接フェムト秒レーザー書き込み技術で製造）を使用して実行され、^[44]多くの理論的予測が確認されました。

ガウスボソンサンプリングは、薬理学的に興味のある分子間の結合傾向を計算するための探索要素としても分析されてきた。^[45]

• 量子ランダム回路
• クロスエントロピーベンチマーク
• 線形光量子コンピューティング
• KLMプロトコル

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