C対称性

物理学において、電荷共役とは、すべての粒子を対応する反粒子と入れ替える変換であり、それによってすべての電荷の符号が反転します。これは、電気電荷だけでなく、他の力に関連する電荷も含みます。C対称性という用語は、「電荷共役対称性」の略語であり、電荷共役の下での物理法則の対称性に関する議論で使用されます。その他の重要な離散対称性には、P対称性（パリティ）とT対称性（時間反転）があります。

これらの離散対称性 C、P、T は、電磁力、重力、強い相互作用、弱い相互作用といった既知の自然の基本力を記述する方程式の対称性です。ある数学方程式が自然を正しくモデル化しているかどうかを検証するには、時間運動などの連続対称性だけでなく、その離散対称性にも物理的な解釈を与え、自然がこれらの対称性に従っているかどうかを判断する必要があります。連続対称性とは異なり、離散対称性の解釈は、知的にやや難しく、混乱を招きます。1950 年代には、呉健雄が弱い相互作用が P 対称性を破っていることを実証し、初期の驚きをもたらしました。数十年間、複合対称性 CP が維持されているように見えましたが、CP を破る相互作用が発見されました。これらの発見はどちらもノーベル賞につながりました。

C対称性は、物理的に特に厄介な問題である。宇宙は主に物質で満たされており、反物質は少ないのに対し、物理法則の素朴なC対称性は、物質と反物質が同量存在することを示唆している。現在では、初期宇宙におけるCP対称性の破れが「過剰な」物質を説明できると考えられているが、この議論はまだ決着していない。1970年代以前の宇宙論の教科書では、遠方の銀河はすべて反物質でできており、宇宙全体の物質の正味バランスがゼロに保たれているのではないかと示唆されることが多かった。

本稿では、ディラック方程式や量子場理論の構造など、様々な重要な方程式や理論体系におけるC対称性を明らかにし、明確にすることに焦点を当てる。様々な基本粒子は、電荷共役下での振る舞いに基づいて分類することができる。これについては、 Cパリティに関する記事で説明されている。

非公式な概要

電荷共役は、密接に関連した3つの異なる設定において対称性として現れます。1つ目は、クライン・ゴルドン方程式やディラック方程式など、いくつかの著名な微分方程式の（古典的で量子化されていない）解の対称性、2つ目は、対応する量子場の対称性、3つ目は、一般的な設定における（擬似）リーマン幾何学の対称性です。これら3つの場合すべてにおいて、対称性は最終的には複素共役に関する対称性であることが明らかになりますが、表記法、座標の選択、その他の要因によっては、何がどこで共役されているのかが不明瞭になる場合があります。

古典分野では

電荷共役対称性は、電気電荷の対称性として解釈される。なぜなら、古典力学、量子力学、幾何学の3つの場合すべてにおいて、古典電気力学の電流に似たネーター電流を構築できるからである。これは、マクスウェル方程式を介して、電気力学自体が U(1)ファイバー束、いわゆる円束上の構造として解釈できることから生じる。これにより、電磁気学の幾何学的解釈、すなわち電磁ポテンシャルが得られる。 $A_{\mu }$ これは、円束上のゲージ接続（エーレスマン接続）として解釈されます。この幾何学的解釈により、複素数値構造を持つものなら（文字通りほぼ）何でも電磁場と結合することが可能になります。ただし、この結合はゲージ不変な方法で行われる必要があります。この幾何学的設定におけるゲージ対称性とは、円上を移動すると、結合されたオブジェクトも「円状に」変換し、対応する形で追跡しなければならないということを意味します。より厳密に言えば、方程式は円上の局所座標系の変更に対してゲージ不変でなければならないということです。U(1)の場合、これはシステムが位相因子による乗算に対して不変であるという記述に他なりません。 $e^{i\phi (x)}$ それは（時空）座標に依存する $x.$ この幾何学的設定では、電荷共役は離散対称性として理解できる。 $z=(x+iy)\mapsto {\overline {z}}=(x-iy)$ これは複雑な共役操作を行い、円周上の方向の感覚を反転させます。

量子論では

量子場理論において、電荷共役は粒子と反粒子の交換として理解できます。この説明を理解するには、量子場理論とは何かを最低限理解しておく必要があります。（非常に）簡略化して言えば、摂動論を用いて連立微分方程式系の解を求めるための計算手法です。この過程の重要な要素は量子場であり、これは系内の（自由で非連立の）微分方程式それぞれに対応します。量子場は慣習的に次のように表されます。

\psi (x)=\int d^{3}p\sum _{\sigma ,n}e^{-ip\cdot x}a\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)+e^{ip\cdot x}a^{\dagger }\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)

どこ ${\vec {p}}$ 勢いは、 $\sigma$ スピンラベルです。 $n$ システム内の他の状態に対する補助ラベルです。 $a$ そして $\displaystyle a^{\dagger }}$ は生成および消滅演算子（ラダー演算子）であり、 $u,v$ これらは、問題となっている（自由で、相互作用がなく、結合されていない）微分方程式の解です。量子場は、一般に、結合された微分方程式系の厳密解を得る方法が知られていないため、中心的な役割を果たします。しかし、摂動論によって、自由場解の組み合わせとして近似解を構築することができます。この構築を行うには、必要に応じて任意の自由場解をオンデマンドで抽出して扱うことができなければなりません。量子場はまさにこれを提供します。量子場は、生成消滅演算子を介して任意の時点で任意の自由場解を選択できるように、可能なすべての自由場解をベクトル空間に列挙します。

生成演算子と消滅演算子は正準交換関係に従う。つまり、一方の演算子が他方の演算子が「生成する」ものを「取り消す」。これは、任意の解が $u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)$ その「反解決策」と組み合わせる必要がある $v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)$ 一方の操作が他方の操作を打ち消すか相殺するようにする。ペアリングは、すべての対称性が維持されるように実行される。一般にローレンツ不変性に関心があるため、量子場はすべての可能なローレンツ座標系にわたる積分を含み、これはすべての可能な運動量にわたる積分として上に記述される（これはフレームバンドルのファイバーにわたる積分である）。ペアリングには、与えられた $u\left({\vec {p}}\right)$ と関連付けられている $v\left({\vec {p}}\right)$ 反対の運動量とエネルギーを持つ。量子場は、すべての可能なスピン状態の総和でもある。ここでも、双対ペアリングは反対のスピンに対応する。他の量子数についても同様で、これらも反対のペアリングとなる。この双対ペアリングを実行するには技術的な難しさがある。与えられた解に対してそれが何を意味するのかを記述する必要がある。 $u$ 他の解と「双対」である $v,$ そして、フレーム束のファイバー上で積分する場合、スピンを記述するファイバー上で積分（総和）する場合、および理論に現れる他のファイバー上で積分（総和）する場合に、一貫して双対性を維持するように記述する。

積分対象のファイバーが電磁気学の U(1) ファイバーである場合、双対ペアリングはファイバー上の方向（向き）を反転させる。積分対象のファイバーが色電荷の SU(3) ファイバーである場合、双対ペアリングは再び向きを反転させる。SU(3) には 2 つの双対基本表現があるため、これは「ちょうどうまくいく」。 $\mathbf {3}$ そして ${\overline {\mathbf {3} }}$ 自然にペアにできる。この量子場の処方は、システムの連続対称性を列挙し、双対を首尾一貫した方法で定義できるあらゆる状況に自然に一般化される。ペアリングは、完全に抽象的な意味で反対の電荷を結びつける。物理学では、電荷は連続対称性の生成子に関連付けられる。異なる電荷は、それらの対称性に対する普遍包絡代数のカシミール不変量の異なる固有空間に関連付けられる。これは、基礎となる時空多様体のローレンツ対称性と、時空多様体の上に置かれたファイバー束内の任意のファイバーの対称性の両方に当てはまる。双対性は、対称性の生成子をマイナス生成子に置き換える。したがって、電荷共役は、対称性の空間の線束または行列式束に沿った反射に関連付けられる。

以上は、量子場理論における量子場の一般的な概念の概略である。物理的な解釈としては、解は $u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)$ 粒子と溶液に対応します $v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)$ これらは反粒子に対応するため、電荷共役はこれら2つのペアリングである。この概略図は、一般的な幾何学的設定において電荷共役がどのように見えるかを示す十分なヒントも提供する。摂動論を用いて、摂動展開の中間役となる量子場を構築するという特定の強制的な要件はない。電荷共役は一般的な設定で表現できる。

幾何学において

一般的なリーマン多様体および擬リーマン多様体では、接束、余接束、および両者を結びつける計量があります。このような状況に直面した場合、いくつかの興味深いことができます。1つは、滑らかな構造により、多様体上に微分方程式を立てることができることです。接空間と余接空間は、多様体上で微積分を実行するのに十分な構造を提供します。特に興味深いのはラプラシアンであり、定数項を加えると、クライン・ゴルドン演算子に相当するものになります。余接束は、その基本的な構成により、常にシンプレクティック多様体です。シンプレクティック多様体は、標準座標を持ちます。 $x,p$ 位置と運動量として解釈され、正準交換関係に従う。これにより、双対性、ひいては電荷共役をこの一般的な設定に拡張するためのコアとなるインフラストラクチャが提供される。

2番目に興味深いことは、スピン構造を構築することです。おそらくこれに関して最も注目すべき点は、それが非常に認識しやすい一般化であるということです。 $(p,q)$ 従来の物理学におけるスピノルの概念を(1,3)次元ミンコフスキー時空上に構築した、次元擬リーマン多様体。この構成は、複素化されたクリフォード代数を経由してクリフォード束とスピン多様体を構築する。この構成の最後に得られるシステムは、ディラックスピノルとディラック方程式に既に精通していれば、非常に馴染み深いものである。いくつかの類似点がこの一般の場合にも当てはまる。まず、スピノルはワイルスピノルであり、複素共役のペアで存在する。これらは自然に反可換であり（これはクリフォード代数から導かれる）、まさにパウリの排他原理と関連付けたいものである。もう一つは、ガンマ行列に類似したカイラル要素の存在である。 $\displaystyle \gamma _{5}}$ これにより、これらのスピノルは左手系と右手系のサブスペースに分類されます。複素化は重要な要素であり、この一般化された設定において「電磁気性」をもたらします。スピノル束は擬直交群の下で「単に」変換するわけではありません。 $SO(p,q)$ ローレンツ群の一般化 $SO(1,3)$ しかし、より大きなグループの下では、複雑化したスピングループ $\mathrm {スピン} ^{\mathbb {C} }(p,q).$ 二重カバーなので、より大きくなっています。 $SO(p,q)\times U(1).$

の $U(1)$ この要素は、いくつかの異なる方法で電磁気学と関連付けることができます。1つの方法は、スピン多様体上のディラック演算子を2乗すると、要素が含まれるということです。 $F=dA$ と $A$ 接続のその部分から生じる $U(1)$ これは、通常のミンコフスキー時空で通常のディラック方程式を二乗したときに起こることと全く同じです。2つ目のヒントは、これが $U(1)$ この部分はスピン構造の決定因子束と関連付けられており、複雑な共役を通して左巻きと右巻きのスピノルを効果的に結びつけている。

残るは、上記の構成の離散対称性に取り組むことである。P対称性とT対称性を一般化していると思われるものがいくつかある。 $p$ 時間とともに次元が変化すると、 $q$ 空間の次元では、接線ベクトルを反転させることができます。 $p$ 次元部分空間で時間反転を行い、 $q$ 次元はパリティに対応する。C対称性は線束の鏡映と同一視できる。これらすべてを結び付けるために、最終的に転置の概念が用いられる。これは、クリフォード代数の要素を逆順（転置）に記述できることを意味する。その結果、従来の物理学における場の概念だけでなく、離散対称性の概念も一般的なリーマン幾何学の設定に引き継がれることになる。

これに対する反応は2通りある。1つは、これを興味深い現象として捉えること。もう1つは、低次元（低次元時空）においては、様々なリー群とその他の構造との間に多くの「偶然の」同型が存在することを認識することである。これらを一般的な枠組みで考察することで、これらの関係性が解きほぐされ、「物事の起源」がより明確になる。

ディラック場の電荷共役

電磁気学の法則（古典力学と量子力学の両方）は、電荷を負電荷と交換しても不変である。電子とクォークはどちらも基本粒子フェルミオン場であり、単一粒子場の励起はディラック方程式によって記述される。

(i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi =0

電荷共役解を見つけたい

(i{\partial \!\!\!{\big /}}+q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi ^{c}=0

数個の代数操作で、最初の式から2番目の式を導出できる。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}ディラック方程式の標準的な解説では、共役場が示されている。 ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0},$ 反粒子場として解釈され、複素転置ディラック方程式を満たす。

{\overline {\psi }}(-i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)=0

符号の一部が反転していることに注意してください。これを再び転置すると、4×4行列を見つけることができれば、ほぼ目的の形になります。 $C$ これは、ガンマ行列を転置して必要な符号変更を挿入します。

C^{-1}\gamma _{\mu }C=-\gamma _{\mu }^{\textsf {T}}

電荷共役解は、次の式で与えられる。

\psi \mapsto \psi ^{c}=\eta _{c}\,C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}

4×4行列 $C,$ 電荷共役行列と呼ばれるこの行列は、ガンマ行列に関する記事で明示的な形式が示されています。興味深いことに、この形式は表現に依存しないものではなく、ガンマ群（ガンマ行列の代数的性質を捉えるクリフォード代数の部分群）に選択された特定の行列表現に依存します。この行列は、荷電粒子のローレンツ共変性を記述するスピン群の複素化に関わる微妙な相互作用により、表現に依存します。複素数 $\displaystyle \eta _{c}}$ は任意の位相因子です $|\eta _{c}|=1,$ 一般的には $\eta _{c}=1.$

電荷共役、キラリティ、らせん構造

キラリティと電荷共役の相互作用はやや微妙であり、明確な説明が必要である。電荷共役は粒子のキラリティを変化させないとよく言われるが、場の場合はそうではない。この違いは、粒子の「ホール理論」解釈において、反粒子が粒子の不在として解釈されることから生じる。これについては以下で詳しく説明する。

従来は、 $\displaystyle \gamma _{5}}$ はキラル演算子として使用されます。電荷共役の下では、次のように変換されます。

C\gamma _{5}C^{-1}=\gamma _{5}^{\textsf {T}}

そして、 $\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}$ 等しい $\displaystyle \gamma _{5}}$ ガンマ行列の表現方法によって異なる。ディラック基底とカイラル基底では、 $\gamma _{5}^{\textsf {T}}=\gamma _{5}$ 、その間 $\gamma _{5}^{\textsf {T}}=-\gamma _{5}$ マヨラナ基底において得られる。計算例を以下に示す。

ワイルスピノール

質量ゼロのディラックスピノル場の場合、カイラリティは正のエネルギー解ではヘリシティに等しく（負のエネルギー解ではヘリシティのマイナスとなる）。^{[ 2 ]}^{： §2-4-3、87 ページ以降。}これは、質量ゼロのディラック方程式を次のように書くことで得られる。

i\partial \!\!\!{\big /}\psi =0

を掛ける $\gamma ^{5}\gamma ^{0}=-i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$ 得られるもの

\displaystyle {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij}\partial _{m}\psi =\gamma _{5}\partial _{t}\psi }

どこ $\sigma ^{\mu \nu }=i\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]/2$ は角運動量演算子であり、 $\epsilon _{ijk}$ これは完全反対称テンソルです。3Dスピン演算子を定義することで、これをもう少し分かりやすい形にすることができます。 $\Sigma ^{m}\equiv {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij},$ 平面波状態をとる $\psi (x)=e^{-ik\cdot x}\psi (k)$ オンシェル制約を適用すると、 $k\cdot k=0$ そして、運動量を3次元単位ベクトルに正規化する。 ${\hat {k}}_{i}=k_{i}/k_{0}$ 書く

\left(\Sigma \cdot {\hat {k}}\right)\psi =\gamma _{5}\psi ~.

上記を検討すると、角運動量固有状態（ヘリシティ固有状態）はカイラル演算子の固有状態に対応するという結論が得られる。これにより、質量ゼロのディラック場はワイルスピノルのペアにきれいに分割できる。 $\psi _{\text{L}}$ そして $\psi _{\text{R}},$ それぞれが個別にワイル方程式を満たすが、エネルギーは逆である。

\left(-p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{R}}=0

そして

\left(p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{L}}=0

負のヘリシティを負のエネルギーと等価にし、したがって反粒子を反対のヘリシティを持つ粒子と等価にすることができるという自由度があることに注目してください。明確にするために、 $\sigma$ ここにパウリ行列があります。 $p_{\mu }=i\partial _{\mu }$ は運動量演算子です。

キラル基底における電荷共役

ガンマ行列のワイル表現を用いると、(質量を持つと仮定した)ディラックスピノルは次のように書ける。

\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}

対応する双対（反粒子）場は

{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\left(\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)^{\textsf {T}}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{*}\\\psi _{\text{R}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}

電荷共役スピノルは

\psi ^{c}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{c}\\\psi _{\text{R}}^{c}\end{pmatrix}}=\eta _{c}C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}

以前と同様に、 $\eta _{c}$ は位相因子であり、 $\eta _{c}=1.$ 左と右の状態が入れ替わっていることに注意してください。これはパリティ変換によって復元できます。パリティの下では、ディラックスピノルは次のように変換されます。

\psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{p}\left(t,{\vec {x}}\right)=\gamma ^{0}\psi \left(t,-{\vec {x}}\right)

電荷とパリティの組み合わせの下では、次のようになる。

\psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\\\psi _{\text{R}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}

従来は、 $\eta _{c}=1$ 世界的に。ただし、下記の注記を参照してください。

マヨラナの状態

マヨラナ条件は、電場とその共役電荷との間に制約を課す。すなわち、両者は等しくなければならない。 $\psi =\psi ^{c}.$ これはおそらく、マヨラナ・スピノルが電荷共役対合の固有状態である必要があるという要件として最もよく表現できるだろう。

そのためには表記上の注意が必要です。電荷共役について論じている多くのテキストでは、 $\psi \mapsto \psi ^{c}$ ディラック方程式の単粒子解に適用する場合、明示的な記号名は与えられない。これは、量子化された場を議論する場合とは対照的である。量子化された場では、ユニタリ演算子が用いられる。 ${\mathcal {C}}$ は定義される（後述のセクションで説明するように）。本セクションでは、対合を次のように命名する。 ${\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{c}$ となることによって ${\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}.$ これを線形演算子とみなすと、その固有状態を考えることができる。マヨラナ条件は、そのような固有状態の一つを特定する。 ${\mathsf {C}}\psi =\psi .$ しかし、そのような固有状態は2つ存在する。 ${\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}.$ ワイル基底で上記と同様に続けると、これらの固有状態は次のようになる。

\psi ^{(+)}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}

そして

\psi ^{(-)}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}

マヨラナスピノルは慣習的に正の固有状態、すなわち $\psi ^{(+)}.$ キラル演算子 $\gamma _{5}$ この2つを交換すると、

\gamma _{5}{\mathsf {C}}=-{\mathsf {C}}\gamma _{5}

これは直接代入することで容易に検証できます。 ${\mathsf {C}}$ 4×4行列表現は存在しません。より正確には、複素数をその複素共役に変換できる複素4×4行列は存在しません。この逆行列には8×8の実数行列が必要です。複素共役を電荷共役として物理的に解釈する方法は、後述のセクションで説明するスカラー場の複素共役を考慮すると明らかになります。

カイラル固有状態への射影演算子は次のように書ける。 $P_{\text{L}}=\left(1-\gamma _{5}\right)/2$ そして $P_{\text{R}}=\left(1+\gamma _{5}\right)/2,$ したがって、上記は次のように翻訳されます。

P_{\text{L}}{\mathsf {C}}={\mathsf {C}}P_{\text{R}}~.

これは、ディラック方程式の単粒子複素数値解に電荷共役を適用すると、解のカイラリティが反転することを直接的に示している。電荷共役固有空間への射影演算子は次のようになる。 $P^{(+)}=(1+{\mathsf {C}})P_{\text{L}}$ そして $P^{(-)}=(1-{\mathsf {C}})P_{\text{R}}.$

幾何学的解釈

位相係数 $\ \eta _{c}\$ 幾何学的解釈を与えることができる。質量を持つディラックスピノルの場合、「任意の」位相因子が $\ \eta _{c}\$ 運動量とヘリシティの両方に依存する可能性がある（ただし、カイラリティには依存しない）。^{[ 4 ]}これは、この位相が、座標系の局所的な選択に応じて、スピノル束のファイバーに沿って変化する可能性があると解釈できる。言い換えれば、スピノル場はスピノル束の局所的な部分であり、ローレンツブーストと回転は、対応するフレーム束のファイバーに沿った動きに対応する（これもまた、局所的な座標系の選択にすぎない）。このように調べると、この追加の位相の自由度は、電磁場から生じる位相として解釈できる。マヨラナスピノルの場合、位相はブーストと回転の下で変化しないように制約される。

量子化された場の電荷共役

上記は、単粒子解における電荷共役のみを説明したものである。量子場理論のようにディラック場が第二量子化されている場合、スピノルと電磁場は演算子によって記述される。この場合、電荷共役の対合はユニタリ演算子として現れる。 ${\mathcal {C}}$ （書道体で）粒子場に作用し、^{[ 5 ]}^{[ 6 ]のように表現される。}

$\psi \mapsto \psi ^{c}={\mathcal {C}}\ \psi \ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}\ C\ {\overline {\psi }}^{\textsf {T}}$
${\overline {\psi }}\mapsto {\overline {\psi }}^{c}={\mathcal {C}}\ {\overline {\psi }}\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}^{*}\ \psi ^{\textsf {T}}\ C^{-1}$
$A_{\mu }\mapsto A_{\mu }^{c}={\mathcal {C}}\ A_{\mu }\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=-A_{\mu }\$

非書道的な $\ C\$ これは、先に示したものと同じ4×4行列です。

電弱理論における電荷反転

電荷共役は粒子のカイラリティを変化させません。左巻きニュートリノは電荷共役によって左巻き反ニュートリノに変換されますが、これは標準模型では相互作用しません。この性質こそが、弱い相互作用におけるC対称性の「最大の破れ」を意味するものです。

標準模型のいくつかの拡張案、例えば左右対称モデルなどは、このC対称性を回復する。

スカラー場

ディラック場には「隠された」 $U(1)$ ゲージ自由度により、ディラック方程式や場自体にさらなる変更を加えることなく、電磁場に直接結合することが可能になります。^{[ a ]} これはスカラー場には当てはまりません。スカラー場は電磁気学と結合するために明示的に「複素化」する必要があります。これは、複素平面の追加因子を「テンソル化」することによって行われます。 $\mathbb {C}$ フィールドに、またはデカルト積を構築する $U(1)$ 。

非常に一般的な手法の一つは、単純に2つの実スカラー場から始めることです。 $\phi$ そして $\chi$ 線形結合を作成する

\psi \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\phi +i\chi \over {\sqrt {2}}}

電荷共役の対合は、マッピングである。 ${\mathsf {C}}:i\mapsto -i$ これは電磁ポテンシャルの符号を反転させるのに十分であるため（この複素数が電磁ポテンシャルに結合するために使用されているため）。実スカラー場の場合、電荷共役は恒等写像にすぎない。 ${\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi$ そして ${\mathsf {C}}:\chi \mapsto \chi$ したがって、複素化された場の場合、電荷共役は単に ${\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{*}.$ 「mapsto」矢印 $\mapsto$ は「何がどこにあるか」を追跡するのに便利です。同等の古い表記法は単に次のように書きます。 ${\mathsf {C}}\phi =\phi$ そして ${\mathsf {C}}\chi =\chi$ そして ${\mathsf {C}}\psi =\psi ^{*}.$

上記は、電荷を持つスカラー場の従来の構成法について説明したものである。場に代数的な構造を他の方法で導入することも可能である。特に、次のような振る舞いをする「実数」場を定義することができる。 ${\mathsf {C}}:\phi \mapsto -\phi$ 実在するものであるため、それ自体では電磁気と結合することはできませんが、複素化されると、次のように変化する電荷場が生じます。 ${\mathsf {C}}:\psi \mapsto -\psi ^{*}.$ C対称性は離散対称性であるため、与えられた物理的現実を正しくモデル化する理論を探求する際に、このような代数的なゲームを行う自由度が多少ある。

物理学の文献では、次のような変換 ${\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi ^{c}=-\phi$ これ以上の説明なしに記述できるかもしれない。この正式な数学的解釈は、場が $\phi$ は $\mathbb {R} \times \mathbb {Z} _{2}$ どこ $\mathbb {Z} _{2}=\{+1,-1\}.$ したがって、厳密に言えば、このフィールドは次のように記述されるべきである。 $\phi =(r,c)$ 電荷共役下では、 ${\mathsf {C}}:(r,c)\mapsto (r,-c).$ 単純にこれらの式を掛け合わせて、マイナス記号の位置をずらしたくなる気持ちはよく分かりますが、これは厳密には正しくありません。たいていはこれで「うまくいく」のですが、正しく追跡しないと混乱を招くことになります。

電荷とパリティの反転の組み合わせ

C対称性とパリティ反転変換（P対称性参照）を組み合わせることで、複合CP対称性を維持できると長らく考えられてきた。しかし、弱い相互作用（特にカオンとB中間子）において、この対称性の破れが確認されている。標準模型では、このCP対称性の破れは CKM行列の単一位相に起因する。CP対称性と時間反転（ T対称性）を組み合わせると、結果として得られるCPT対称性は、ワイトマン公理のみを用いて普遍的に満たされることが示される。

一般的な状況では

電荷共役の類似概念は、高次元ガンマ行列に対して定義することができ、ワイル・ブラウアー行列に関する論文では、ワイル・スピノルの具体的な構成法が示されている。ただし、クリフォード代数の表現論で抽象的に定義されるスピノルは場ではなく、むしろ零次元時空上に存在するものと考えるべきである。

T対称性の類似物は以下から導かれる。 $\gamma ^{1}\gamma ^{3}$ ディラックスピノルの T 共役演算子として。スピノルには、スピノルが構築されるクリフォード代数のすべての基底ベクトルの方向を反転することによって得られる固有のP 対称性もあります。時空多様体上のフェルミオン場の P および T 対称性との関係はやや微妙ですが、大まかに次のように特徴付けることができます。クリフォード代数を介してスピノルを構築する場合、構築には構築するためのベクトル空間が必要です。慣例として、このベクトル空間は、与えられた固定時空点 (接多様体の単一のファイバー) における時空多様体の接空間です。時空多様体に適用される P および T 操作は、接空間の座標も反転させるものとして理解できます。したがって、2 つの空間は結合されています。一方のパリティまたは時間の方向を反転すると、もう一方のパリティまたは時間の方向も反転します。これは慣例です。この接続を伝播しないと、結合が解除される可能性があります。

これは、接空間をベクトル空間として扱い、それをテンソル代数に拡張し、ベクトル空間上の内積を用いてクリフォード代数を定義することによって行われます。このような各代数をファイバーとして扱うと、クリフォード束と呼ばれるファイバー束が得られます。接空間の基底変換の下で、クリフォード代数の要素はスピン群に従って変換されます。スピン群をファイバーとして主ファイバー束を構築すると、スピン構造が得られます。

上記の段落で欠けているのは、スピノルそのものです。これには、接多様体の「複素化」、つまり複素平面とのテンソル積が必要です。これが完了すると、ワイルスピノルを構築できます。ワイルスピノルは次の形式をとります。

w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)

どこで $e_{j}$ はベクトル空間の基底ベクトルである $V=T_{p}M$ 点における接空間 $p\in M$ 時空多様体において $M.$ ワイルスピノルは、その複素共役とともに接空間を張る。

V\otimes \mathbb {C} =W\oplus {\overline {W}}

交代代数 $\wedge W$ スピノル空間と呼ばれるこの空間には、スピノルだけでなく、スピノルの積（つまり、ベクトルやテンソルなど、より高いスピン値を持つオブジェクト）も存在します。

注記

↑この自由度は明示的に排除され、マヨラナスピノルでは制限される。

参考文献

↑ Bjorken, James D. & Drell, Sidney D. (1964). Relativistic Quantum Mechanics . New York, NY: McGraw-Hill. 第5.2 章、66-70 ページ。
1 2 Itzykson, Claude & Zuber, Jean-Bernard (1980). Quantum Field Theory . New York, NY: McGraw-Hill. 第2-4 章、85ページ以降。
↑ペスキン、ME & シュローダー、DV (1997).量子場理論入門. アディソン・ウェスリー. ISBN 0-201-50397-2。
↑ Itzykson & Zuber (1980) 、§ 2-4-2電荷共役、86 ページ、式2-100
↑ビョルケン＆ドレル（1964）、第15章
↑ Itzykson & Zuber (1980) 、§ 3-4

Sozzi, MS (2008).離散対称性とCP対称性の破れ. オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-929666-8。

[7] この自由度は明示的に排除され、マヨラナスピノルでは制限される。

[Bjorken-Drell-1964-1] Bjorken, James D. & Drell, Sidney D. (1964). Relativistic Quantum Mechanics . New York, NY: McGraw-Hill. 第5.2 章、66-70 ページ。

[Itzykson-Zuber-1980-2] 1 2 Itzykson, Claude & Zuber, Jean-Bernard (1980). Quantum Field Theory . New York, NY: McGraw-Hill. 第2-4 章、85ページ以降。

[PS-3] ペスキン、ME & シュローダー、DV (1997).量子場理論入門. アディソン・ウェスリー. ISBN 0-201-50397-2。

[4] Itzykson & Zuber (1980) 、§ 2-4-2電荷共役、86 ページ、式2-100

[5] ビョルケン＆ドレル（1964）、第15章

[6] Itzykson & Zuber (1980) 、§ 3-4

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[ 6 ]のように表現される。

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