3球体

数学において、超球面または3 次元球面は、球面の 4 次元版であり、3 次元のn球面です。4 次元ユークリッド空間では、固定された中心点から等距離にある点の集合です。3 次元球面の内部は4 次元球面です。

3 次元球面と呼ばれるのは、4 次元に曲がっているにもかかわらず、位相的には表面自体が 3 次元であるためです。たとえば、3 次元球面上を移動すると、南北、東西、または 3 番目の基本方向に沿って移動できます。つまり、3 次元球面は3 次元多様体の一例です。

座標において、中心（C ₀、C ₁、C ₂、C ₃）と半径rを持つ3次元球面は、実数4次元空間（R ⁴ ）内のすべての点（x ₀、x ₁、x ₂、x ₃）の集合であり、

${\displaystyle \sum _{i=0}^{3}(x_{i}-C_{i})^{2}=(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.}$

原点を中心とし半径1の3次元球面は単位3次元球面と呼ばれ、通常はS ³と表記される。

${\displaystyle S^{3}=\left\{(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{4}:x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}.}$

R ^{4 を}2つの複素次元（C ²）または四元数（H ）を持つ空間と見なすと便利な場合が多い。単位3次元球面は次のように表される。

${\displaystyle S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}}$

または

${\displaystyle S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\right\}.}$

ノルム1の四元数としてのこの記述は、三次元球面を四元数分割環のベルソルと同一視する。単位円が平面極座標にとって重要であるのと同様に、四元数の乗算に関係する四次元空間の極観点において三次元球面は重要である。三次元球面のこの展開の詳細については四元数の極分解を参照のこと。三次元球面のこの観点は、ジョルジュ・ルメートルによって展開された楕円空間の研究の基礎となっている。^[1]

半径rの3次元球面の3次元表面体積は

${\displaystyle SV=2\pi ^{2}r^{3}\,}$

一方、4次元超体積（3次元球面によって囲まれた4次元領域または球の内容）は

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}.}$

3 次元球面と 3 次元超平面との空でない交差はすべて2 次元球面です (ただし、超平面が 3 次元球面に接している場合は、交差は 1 つの点になります)。3 次元球面が特定の 3 次元超平面を通過すると、交差は 1 つの点として始まり、その後、2 次元球面が大きくなり、超平面が 3 次元球面の「赤道」を横切るときに最大サイズに達します。その後、3 次元球面が超平面から離れると、2 次元球面は再び 1 つの点に縮小します。

与えられた 3 次元超平面では、3 球面は「赤道面」の周りを回転することができます (中心軸の周りを回転する 2 球面と類似)。その場合、サイズが一定である 2 球面のように見えます。

3 次元球面は、境界のないコンパクトで連結な 3 次元多様体です。また、単連結でもあります。これは、広い意味では、3 次元球面上の任意のループまたは円形のパスは、3 次元球面から出ることなく、連続的に 1 点まで縮小できることを意味します。2003年にグリゴリー ペレルマンによって証明されたポアンカレ予想は、3 次元球面がこれらの特性を持つ唯一の 3 次元多様体 (同相を除いて) であることを規定しています。

3 次元球面はR ³の1 点コンパクト化に同相です。一般に、3 次元球面と同相な位相空間は位相 3 次元球面と呼ばれます。

3 次元球面のホモロジー群は以下のとおりです。H 0 ( S ³ , Z )とH ₃ ( S ³ , Z )_はどちらも無限巡回ですが、他のすべての添え字iについてはH _i ( S ³ , Z ) = {}です。これらのホモロジー群を持つ位相空間は、ホモロジー 3 次元球面と呼ばれます。当初、ポアンカレはすべてのホモロジー 3 次元球面がS ³に同相であると予想しましたが、その後、彼自身が同相ではない球面を構築しました。これは現在、ポアンカレ ホモロジー球面として知られています。現在、無限に多くのホモロジー球面が存在することが知られています。たとえば、傾き⁠のデーン充填1/ん⁠ 3 次元球面上の任意の結び目にはホモロジー球面が与えられますが、通常これらは 3 次元球面と同相ではありません。

ホモトピー群に関しては、 π ₁ ( S ³ ) = π ₂ ( S ³ ) = {}であり、π ₃ ( S ³ )は無限巡回です。高次のホモトピー群 ( k ≥ 4 ) はすべて有限アーベルですが、それ以外は識別可能なパターンに従いません。詳細については、球面のホモトピー群を参照してください。

3次元球面は当然滑らかな多様体であり、実際、R ⁴の閉じた埋め込み部分多様体です。R 4上のユークリッド計量は、³次元球面上の計量を誘導し、リーマン多様体の構造を与えます。すべての球面と同様に、3次元球面は⁠に等しい一定の正の断面曲率を持ちます。1/r2 ^...⁠ここでrは半径です。

3 次元球面の興味深い幾何学の多くは、3 次元球面が四元数の乗算によって与えられる自然なリー群構造を持つという事実に由来しています (群構造については以下のセクションを参照してください)。このような構造を持つ他の球面は、0 次元球面と 1 次元球面のみです (円群を参照)。

2 次元球面とは異なり、3 次元球面には、ゼロでないベクトル場（接線束の切断）があります。 3 つの線形独立でゼロでないベクトル場も存在します。 これらは、3 次元球面のリー代数の基底を形成する任意の左不変ベクトル場と見なすことができます。 これは、3 次元球面が平行化可能であることを意味します。 したがって、3 次元球面の接線束は自明です。 n球面上の線形独立ベクトル場の数に関する一般的な議論については、球面上のベクトル場の記事を参照してください。

円群TのS ³への興味深い作用があり、3次元球面にホップ束として知られる主円束の構造を与える。S ^3をC ²のサブセットと考えると、作用は次のように与えられる 。

${\displaystyle (z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {T} }$。

この作用の軌道空間は2球面S ²に同相である。S ^{3 は}S 2 × S ¹に同相ではないので、ホップ束は非自明である ^。

3 次元球面の構成はいくつかよく知られています。ここでは、3 次元球面のペアを接着し、1 点のコンパクト化について説明します。

3 次元球は、一対の 3 次元球の境界を「接着」することで位相的に構築できます。3 次元球の境界は 2 次元球であり、これら 2 つの 2 次元球は同一視されます。つまり、同じサイズの 3 次元球のペアを想像し、それらの 2 次元球の境界が一致するように重ね合わせ、2 次元球のペア上の一致する点のペアが互いに完全に等価であるとします。2 次元球の場合 (以下を参照) と同様に、接着面は赤道球と呼ばれます。

3 ボールの内部は互いに接着されていないことに注意してください。4 次元を考える方法の 1 つは、3 ボールの 3 次元座標の連続した実数値関数として考えることです。これはおそらく「温度」と考えられます。接着する 2 球に沿って「温度」をゼロとし、3 ボールの 1 つを「高温」、もう 1 つを「低温」とします。「高温」の 3 ボールは「上半球」、そして「低温」の 3 ボールは「下半球」と考えることができます。温度は、2 つの 3 ボールの中心で最高/最低になります。

この構築は、一対のディスクの境界を接着することによって実行される 2 球の構築に類似しています。ディスクは 2 球であり、ディスクの境界は円 (1 球) です。一対のディスクの直径が同じであるとします。それらを重ねて、境界上の対応する点を接着します。ここでも、3 次元は温度と考えることができます。同様に、2 球を膨らませて、一対のディスクを北半球と南半球になるように移動することができます。

2 次元球面から 1 点を削除すると、ユークリッド平面に同相な点が残ります。同様に、3 次元球面から 1 点を削除すると、3 次元空間が得られます。これを確認する非常に便利な方法は、立体投影を使用することです。まず、低次元バージョンについて説明します。

単位 2 次元球面の南極を3 次元空間のxy平面に置きます。球面の点P (北極Nを除く) を平面にマッピングするには、P を直線NPと平面の交点に送ります。3 次元球面のステレオ投影 (この場合も北極を除く) は、同じ方法で 3 次元空間にマッピングされます。(ステレオ投影は等角投影であるため、円形の球は円形の球または平面に送られることに注意してください。)

1 点コンパクト化を考える少し異なる方法は、指数写像を経由することです。ユークリッド平面上にある単位 2 球面の図に戻ります。原点を基準とする平面内の測地線を考え、これを南極を基準とする同じ長さの 2 球面内の測地線に写像します。この写像では、半径πの円のすべての点は北極に送られます。開いた単位円はユークリッド平面に同相であるため、これも 1 点コンパクト化です。

3 次元球面の指数写像も同様に構築され、3 次元球面が単位四元数のリー群であるという事実を使って議論することもできます。

S ³の 4 つのユークリッド座標は、x ₀ ² + x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² = 1という条件に従うため冗長です。3 次元多様体として、 2 次元球面を 2 つの座標 (緯度と経度など) を使用してパラメータ化できるのと同じように、S ^{3 を3 つの座標でパラメータ化できるはずです。S} 3^の非自明なトポロジーのため、空間全体をカバーする単一の座標セットを見つけることは不可能です。2 次元球面の場合と同様に、少なくとも2 つの座標チャートを使用する必要があります。以下に、いくつかの異なる座標の選択肢を示します。

S ²上の通常の球面座標と同様に、S ³上に何らかの超球面座標があると便利です。そのような選択肢の1つは、決してユニークではありませんが、 ( ψ , θ , φ )を使用することです。ここで

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=r\cos \psi \\x_{1}&=r\sin \psi \cos \theta \\x_{2}&=r\sin \psi \sin \theta \cos \varphi \\x_{3}&=r\sin \psi \sin \theta \sin \varphi \end{aligned}}}$

ここで、ψとθ は0 からπまでの範囲で、φ は0 から 2 πまでの範囲で変化します。 ψの任意の固定値に対して、θとφ は半径 の 2 次元球面をパラメータ化します。ただし、 ψ が0 またはπに等しい退化したケース(この場合は点を表します) は除きます。 ${\displaystyle r\sin\psi}$

これらの座標における3次元球面上の円計量は[ ^{2]で与えられる。}

${\displaystyle ds^{2}=r^{2}\left[d\psi^{2}+\sin^{2}\psi\left(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta\,d\varphi^{2}\right)\right]}$

そして体積の形は

${\displaystyle dV=r^{3}\left(\sin ^{2}\psi \,\sin \theta \right)\,d\psi \wedge d\theta \wedge d\varphi .}$

これらの座標は、四元数で簡潔に記述できます。任意の単位四元数q は、ベルソルとして記述できます。

${\displaystyle q=e^{\tau \psi }=\cos \psi +\tau \sin \psi }$

ここでτは単位虚数四元数、つまりτ ² = −1 を満たす四元数です。これはオイラーの公式の四元数版です。単位虚数四元数はすべてIm Hの単位 2 球面上にあるため、このようなτ は次のように書くことができます。

${\displaystyle \tau =(\cos \theta )i+(\sin \theta \cos \varphi )j+(\sin \theta \sin \varphi )k}$

τがこの形式の場合、単位四元数qは次のように表される。

${\displaystyle q=e^{\tau \psi }=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k}$

ここで、x _0,1,2,3は上記の通りです。

q が空間回転を記述するために使用される場合（四元数と空間回転を参照）、 τ を中心とした角度2 ψの回転を記述します。

単位半径の場合、超球面座標の別の選択肢である( η , ξ ₁ , ξ ₂ )は、 C ²へのS ³の埋め込みを利用する。複素座標( z ₁ , z ₂ ) ∈ C ²では、次のように書く。

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta .\end{aligned}}}$

これはR4で次のように 表現することもできる^。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\x_{1}&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x_{2}&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\x_{3}&=\sin \xi _{2}\cos \eta .\end{aligned}}}$

ここでη は0 から⁠の範囲をとります。π/2⁠、ξ ₁とξ _{2 は}0 から 2 πの間の任意の値を取ることができる。これらの座標は、3次元球面をホップ束として記述する際に役立つ。

${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}.\,}$

0から⁠までの任意の固定値ηに対してπ/2⁠、座標( ξ ₁、ξ ₂ )は2 次元トーラスをパラメータ化します。上記の定数ξ ₁とξ ₂のリングは、トーラス上に単純な直交グリッドを形成します。右の図を参照してください。退化したケースでは、η が0 または⁠に等しいときπ/2⁠、これらの座標は円を描きます。

これらの座標における3次元球面上の円計量は次のように与えられる。

${\displaystyle ds^{2}=d\eta ^{2}+\sin ^{2}\eta \,d\xi _{1}^{2}+\cos ^{2}\eta \,d\xi _{2}^{2}}$

そして体積の形は

${\displaystyle dV=\sin \eta \cos \eta \,d\eta \wedge d\xi _{1}\wedge d\xi _{2}.}$

ホップファイバの連結円を得るには、上記の式に簡単な代入を行う^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,(\xi _{1}+\xi _{2})}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,(\xi _{2}-\xi _{1})}\cos \eta .\end{aligned}}}$

この場合、 ηとξ _{1 は}どの円かを指定し、ξ _{2 は各円に沿った位置を指定します。} ξ ₁またはξ ₂の1 往復 (0 から 2 π ) は、トーラスのそれぞれの 2 方向への往復に相当します。

もう一つの便利な座標は、S ³を極から対応する赤道R ³超平面に立体投影することによって得られる。例えば、点(-1, 0, 0, 0)から投影すると、 S ³の点p は次のように 書ける。

${\displaystyle p=\left({\frac {1-\|u\|^{2}}{1+\|u\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {u} }{1+\|u\|^{2}}}\right)={\frac {1+\mathbf {u} }{1-\mathbf {u} }}}$

ここでu = ( u ₁ , u ₂ , u ₃ )はR ³のベクトルであり、‖ u ‖ ² = u ₁ ² + u ₂ ² + u ₃ ²である。上記の 2 番目の等式では、pを単位四元数、u = u ₁ i + u ₂ j + u ₃ kを純粋四元数と同一視している。(四元数の乗算は一般に非可換であるにもかかわらず、ここでは分子と分母が可換であることに注意)。この写像の逆写像は、S ³のp = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ )を

${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {1}{1+x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right).}$

点(1, 0, 0, 0)から投影することもでき、その場合、点pは次のように与えられる。

${\displaystyle p=\left({\frac {-1+\|v\|^{2}}{1+\|v\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {v} }{1+\|v\|^{2}}}\right)={\frac {-1+\mathbf {v} }{1+\mathbf {v} }}}$

ここで、v = ( v ₁ , v ₂ , v ₃ )はR ³の別のベクトルである。この写像の逆写像はpを

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{1-x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right).}$

u座標は(-1, 0, 0, 0)以外のすべての場所で定義され、v座標は(1, 0, 0, 0)以外のすべての場所で定義されていることに注意してください。これは、 S ³のすべてをカバーしている2 つの座標チャートまたは「パッチ」で構成されるS ³上のアトラスを定義します。これらの 2 つのチャートの重なりにおける遷移関数は、次のように表されます。

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{\|u\|^{2}}}\mathbf {u} }$

逆もまた同様です。

単位四元数の集合として考えると、S ^{3 は}重要な構造、すなわち四元数の乗法の構造を継承します。単位四元数の集合は乗法に関して閉じているため、S ^{3 は}群の構造を取ります。さらに、四元数の乗法は滑らかであるため、S ^{3 は}実リー群と見なすことができます。これは、次元 3 の非可換コンパクトリー群です。リー群として考えると、S ^3はSp(1)またはU(1, H )と表記されることが多いです。

リー群構造を許容する球面は、単位複素数の集合と考えられるS ¹と、単位四元数の集合であるS ³だけであることがわかります（実数 1 と −1 からなる退化したケースS ⁰も、0 次元ではあるがリー群です）。単位八元数の集合である S 7 はリー群を形成すると考える人もいるかもしれませんが、八元数の乗算は非結合的であるため、これは成り立ちません。八元数構造により、S 7^には1つの重要な特性、つまり並列^化可能性が与えられます。並列化可能な球面は、 S ¹、S ³、およびS ⁷だけであることがわかります。

四元数Hの行列表現を使用すると、 S ³の行列表現が得られます。便利な選択肢の 1 つは、パウリ行列です。

${\displaystyle x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.}$

この写像は、Hから2 × 2 複素行列の集合への入射代数準 同型写像を与えます。四元数qの絶対値はqの行列像の行列式の平方根に等しいという性質があります。

すると、単位四元数の集合は、単位行列式を持つ上記形式の行列によって与えられる。この行列部分群は、まさに特殊ユニタリ群 SU(2)である。したがって、リー群としてのS ^{3 は}SU(2)と同型である。

ホップ座標（η、ξ1、ξ2）を用いると_{、 SU( 2} )の任意の元を次の形式で 表すことができる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta &e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta \\-e^{-i\,\xi _{2}}\cos \eta &e^{-i\,\xi _{1}}\sin \eta \end{pmatrix}}.}$

この結果を別の方法で述べると、 SU(2)の元の行列表現をパウリ行列の線形結合の指数として表すことができる。任意の元U ∈ SU(2)は次のように書けること がわかる。

${\displaystyle U=\exp \left(\sum _{i=1}^{3}\alpha _{i}J_{i}\right).}$^[4]

Uの行列式が +1 であるという条件は、係数α ₁が 3 次元球面上にあるように制約されていることを意味します。

1884年に出版されたエドウィン・アボットの『フラットランド』、および1965年に出版されたディオニス・バーガーの『フラットランド』の続編『スフィアランド』では、3次元球面は「超球面」、4次元球面は「超球面」と呼ばれています。

マーク・A・ピーターソンはアメリカ物理学会誌^[5]に、3球体を視覚化する3つの異なる方法を説明し、ダンテが宇宙を同じように見ていたことを示唆する『神曲』の言葉を指摘している。カルロ・ロヴェッリも同じ考えを支持している。^[6]

スティーブン・L・リップスコムは著書『第四次元における芸術と数学の出会い』^[7]の中で、芸術、建築、数学に関連する超球面次元の概念を展開している。

• 1 球面、2 球面、n球面
• テッセラクト、ポリクロロン、シンプレックス
• パウリ行列
• ホップ束、リーマン球面
• ポアンカレ球
• リーブ葉状構造
• クリフォードトーラス

• Weisstein、Eric W.「ハイパースフィア」。MathWorld。 注: この記事では、球体の代替命名方式を使用しており、n次元空間内の球体はn球体と呼ばれます。