瞬時の回転中心

平面運動をしている物体の瞬間回転中心（瞬間速度中心、^[1] 瞬間中心、または平面変位の極とも呼ばれる）は、特定の瞬間に速度がゼロになる点です。この瞬間、物体の他の点の速度ベクトルは、この回転中心の周りに、純粋な回転によって生成されるものと同じ円形の場を生成します。

物体の平面運動は、多くの場合、2 次元平面内を移動する平面図形を使用して説明されます。瞬間中心とは、特定の瞬間に他のすべての点がその周りを回転する、移動平面内の点です。

平面の連続的な動きには、時間パラメータの値ごとに瞬間的な中心があります。これにより、移動重心と呼ばれる曲線が生成されます。これらの瞬間的な中心に対応する固定平面の点が固定重心を形成します。

この概念を 3 次元空間に一般化すると、ねじの周りのねじれになります。ねじには、3D 空間内の直線 (必ずしも原点を通るとは限りません) である軸、つまり回転軸があります。また、ねじには有限のピッチ (ねじ軸の周りの回転に対応する軸に沿った固定された移動) もあります。

瞬間中心は、平面変位の極の極限ケースと考えることができます。

位置 1 から位置 2 への物体の平面変位は、平面回転と平面並進の組み合わせによって定義されます。任意の平面変位に対して、移動物体には変位の前後で同じ場所にある点があります。変位は、この極の周りの回転として考えることができます。

平面変位の極の構築

まず、移動体の 2 つの点 A と B を選択し、2 つの位置で対応する点を見つけます (図を参照)。2 つの線分A ¹ A ²と B ¹ B ^{2に垂直な二}等分線を作成します。これら 2 つの二等分線の交点 P が平面変位の極になります。A ¹と A ^{2 は}P の周りの円上にあることに注意してください。これは、物体内の対応するすべての点の位置にも当てはまります。

平面運動において物体の 2 つの位置が瞬間的に離れている場合、変位の極がその瞬間の中心になります。この場合、点 A と点 B の瞬間位置の間に作成される線分が速度ベクトル V _Aと V _Bになります。これらの速度ベクトルに垂直な線は、その瞬間の中心で交差します。

直交座標の代数的構成は次のように整理できる。との中心点は 直交座標である。 ${\displaystyle \left(P_{x},P_{y}\right)}$${\displaystyle A^{1}}$${\displaystyle A^{2}}$

${\displaystyle A_{x}^{m}={\frac {1}{2}}\left(A_{x}^{1}+A_{x}^{2}\right);\quad A_{y}^{m}={\frac {1}{2}}\left(A_{y}^{1}+A_{y}^{2}\right),}$

と の中点は直交座標系で表され 、${\displaystyle B^{1}}$${\displaystyle B^{2}}$

${\displaystyle B_{x}^{m}={\frac {1}{2}}\left(B_{x}^{1}+B_{x}^{2}\right);\quad B_{y}^{m}={\frac {1}{2}}\left(B_{y}^{1}+B_{y}^{2}\right).}$

水平に対して反時計回りに測定された から と から の2つの角度は、次のように決定 されます。${\displaystyle A^{1}}$${\displaystyle A^{2}}$${\displaystyle B^{1}}$${\displaystyle B^{2}}$

${\displaystyle \tan \tau _{A}={\frac {A_{y}^{2}-A_{y}^{1}}{A_{x}^{2}-A_{x}^{ 1}}},\quad \tan \tau _{B}={\frac {B_{y}^{2}-B_{y}^{1}}{B_{x}^{2}-B_{x}^{1}}}}$

の位置を見つける ${\displaystyle P\left(P_{x},P_{y}\right)}$

方法1:

接線の正しい分岐を取ります。回転の中心が2 つの中点からおよびの距離にあるとします。時計回りの回転を想定 (そうでない場合は の符号を入れ替えます)。${\displaystyle \left(P_{x},P_{y}\right)}$${\displaystyle d_{A}}$${\displaystyle d_{B}}$${\displaystyle \pi /2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{x}&=A_{x}^{m}+d_{A}\cos \left(\tau _{A}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=B_{x}^{m}+d_{B}\cos \left(\tau _{B}-{\frac {\pi }{2}}\right);\\P_{y}&=A_{y}^{m}+d_{A}\sin \left(\tau _{A}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=B_{y}^{m}+d_{B}\sin \left(\tau _{B}-{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}$

これを、 4 つの未知数 (2 つの距離と中心の 2 つの座標) を持つ4 × 4の非同次線形方程式系として書き直します。${\displaystyle d}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&-\sin \tau _{A}&0\\1&0&0&-\sin \tau _{B}\\0&1&\cos \tau _{A}&0\\0&1&0&\cos \タウ_{B}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\d_{A}\\d_{B}\end{pmatrix}} ={\begin{pmatrix}A_{x}^{m}\\B_{x}^{m}\\A_{y}^{m}\\B_{y}^{m}\end{pmatrix} }.}$

回転の中心の座標は、解ベクトルの最初の2つの要素である。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\d_{A}\\d_{B}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sin \left(\tau _{A}-\tau _{B}\right)}}{\begin{pmatrix}\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{A}\sin \tau _{B}+B_{x}^{m}\sin \tau _{A}\cos \tau _{B}-A_{x}^{m}\cos \tau _{A}\sin \tau _{B}\\\left(A_{x}^{m}-B_{x}^{m}\right)\cos \tau _{A}\cos \tau _{B}+A_{y}^{m}\sin \tau _{A}\cos \tau _{B}-B_{y}^{m}\cos \tau _{A}\sin \tau _{B}\\\left(B_{x}^{m}-A_{x}^{m}\right)\cos \tau _{B}+\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{B}\\\left(B_{x}^{m}-A_{x}^{m}\right)\cos \tau _{A}+\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{A}\\\end{pmatrix}}.}$

方法2:

^{2つの線分A 1} A ²とB ¹ B ²の二等分線の方程式を 次のように 求めます。

点-傾き形式の直線の方程式は次のようになります。 ここで は点、 は傾きです。 ${\displaystyle y-y_{0}=m(x-x_{0})}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle m}$

^{A 1} A ²の二等分線の方程式は${\displaystyle y-A_{y}^{m}=\tan \tau _{A}\left(x-A_{x}^{m}\right)}$

^{B 1} B ²の二等分線の方程式は${\displaystyle y-B_{y}^{m}=\tan \tau _{B}\left(x-B_{x}^{m}\right)}$

これら2つの二等分線は交差するので 、 2つの未知数と係数を持つ2つの方程式の連立方程式を書くことができる。 ${\displaystyle P\left(P_{x},P_{y}\right)}$

${\displaystyle {\begin{cases}P_{y}-A_{y}^{m}=\tan \tau _{A}\left(P_{x}-A_{x}^{m}\right)\\P_{y}-B_{y}^{m}=\tan \tau _{B}\left(P_{x}-B_{x}^{m}\right)\end{cases}}}$

このシステムの解決策は

${\displaystyle P_{x}={\frac {B_{y}^{m}-A_{y}^{m}+A_{x}^{m}\tan \tau _{A}-B_{x}^{m}\tan \tau _{B}}{\tan \tau _{A}-\tan \tau _{B}}},\qquad P_{y}={\frac {B_{y}^{m}-A_{y}^{m}+\tan \tau _{A}\left(A_{x}^{m}-B_{x}^{m}\right)}{\tan \tau _{A}-\tan \tau _{B}}}+B_{y}^{m}}$

純粋な翻訳

2 つの位置間の変位が純粋な並進である場合、線分 A ¹ B ¹と A ² B ^{2の垂直二等分線は平行線を形成します。これらの線は}無限遠の線上の点で交差すると考えられるため、この平面変位の極は、垂直二等分線の方向で「無限遠にある」と言えます。

極限では、純粋な並進は、点速度ベクトルが平行な平面運動になります。この場合、瞬間中心は、速度ベクトルに垂直な方向の無限遠にあると言えます。

直線道路上を滑らずに転がる円形の車輪の平面運動を考えてみましょう。スケッチ 3 を参照してください。車輪は軸 M を中心に回転し、軸は道路と平行な方向に移動します。車輪と道路の接触点 P は滑らないため、点 P は道路に対して速度がゼロになります。したがって、車輪上の点 P が道路に接触した瞬間に、点 P は瞬間中心になります。

動いている車輪の点の集合のうち瞬間中心となるものは円そのものであり、これが動いている重心を定義します。これらの瞬間中心に対応する固定面の点は道路の線であり、これが固定された重心を定義します。

車輪の点 A の速度ベクトルは線分 AP に垂直で、この線分の長さに比例します。特に、車輪の点の速度は、P の周りを回転する車輪の角速度によって決まります。多数の点の速度ベクトルはスケッチ 3 に示されており、次の式を使用して計算できます。

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{A}}$

ここで、点 A の速度、車輪の角速度、点 P から点 A へのベクトル です。${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {\omega }}}$${\displaystyle {\vec {r}}_{A}}$

車輪上の点が瞬間中心 P から離れるほど、その速度は比例して大きくなります。したがって、車輪の上の点は車輪の中心 M と同じ方向に移動しますが、P からの距離が 2 倍なので、速度は 2 倍になります。点 P から車輪の半径 'r' に等しい距離にあるすべての点は、点 M と同じ速度で移動しますが、方向は異なります。これは、M と同じ速度で P の周りの円に接する方向に移動する車輪上の点について示されています。

2 つの平面剛体が接触しており、それぞれの剛体が独自の回転中心を持っている場合、剛体間の相対的な回転中心は、2 つの中心を結ぶ線上のどこかにある必要があります。その結果、回転中心が接触点にある場合にのみ純粋な転がりが存在するため (上記の道路上の車輪のように)、接触点が 2 つの回転中心を結ぶ線を通過する場合にのみ、純粋な転がりが実現されます。これは、インボリュート ギアの設計ではピッチ ポイントとして知られており、ギア間の相対的な滑りはありません。実際、2 つの回転部分間のギア比は、相対中心に対する 2 つの距離の比によって求められます。スケッチ 4 の例では、ギア比は次のようになります。${\displaystyle \gamma ={\frac {AD}{BD}}}$

上のスケッチ 1 は、多数の瞬間回転中心が描かれた4 節リンク機構を示しています。文字 BAC で示される剛体は、リンク P ₁ -A および P ₂ -B によってベースまたはフレームに接続されています。

この機構の 3 つの可動部分 (ベースは動きません) は、リンク P ₁ -A、リンク P ₂ -B、および本体 BAC です。これら 3 つの部分のそれぞれについて、瞬間的な回転中心を決定できます。

最初のリンク P ₁ -A について考えます。このリンク上のすべての点 (点 A を含む) は、点 P _{1 の周りを回転します。P 1 は}、指定された平面内で移動しない唯一の点であるため、このリンクの瞬間回転中心と呼ぶことができます。P _{1から距離 P 1} -Aにある点 A は、ベクトル V _Aで示されるように、リンク P ₁ -Aに垂直な方向に円運動します。

同じことがリンク P ₂ -B にも当てはまります。ポイント P _{2はこのリンクの瞬間的な回転中心であり、ポイント B はベクトル V B}で示される方向に移動します。

_{リンク機構の 3 番目の要素であるボディ BAC の瞬間回転中心を決定するには、リンク P 1} -A と P ₂ -Bの情報から導き出されるその移動特性が既知であるため、2 つの点 A と B が使用されます。

点 A の速度の方向はベクトル V _Aで示されます。その瞬間回転中心はこのベクトルに垂直でなければなりません (V _Aは円の円周上に接線上に位置しているため)。この要件を満たす唯一の線は、リンク P ₁ -A と同一線上にあります。この線上のどこかに点 P があり、これが物体 BAC の瞬間回転中心です。

点 A に当てはまることは点 B にも当てはまるため、この瞬間回転中心 P はベクトル V _{Bに垂直な線、つまりリンク P 2} -Bと同一直線上にあります。したがって、物体 BAC の瞬間回転中心 P は、P ₁ -A と P ₂ -B を通る線が交差する点です。

この瞬間回転中心 P は、任意の点、たとえば点 C に対するボディ BAC 上のすべての点の中心であるため、移動速度と方向は、P を C に接続することで決定できます。点 C の移動方向はこの接続に対して垂直です。速度は点 P までの距離に比例します。

このアプローチを 2 つのリンク P ₁ -A と P ₂ -B がそれぞれの瞬間回転中心の周りを回転する状態で続けると、瞬間回転中心 P の重心が決定されます。これにより、C またはボディ BAC 上の他の任意の点の移動経路が決定されます。

生体力学的研究では、上肢と下肢の関節の機能について、瞬間回転中心が観察されます。^[2] たとえば、膝関節、^{[3] [4] [5]} 足首関節、^[6]肩関節 [ ^{7] [8]}を分析する場合などです。このような知識は、肘関節^[9]や指関節^[10]などの人工関節や義肢の 開発に役立ちます。

馬の関節の研究：「…瞬間回転中心から決定された速度ベクトルは、関節面が互いに滑ることを示した。」^[11]

水中を進む船の旋回に関する研究。 ^[12]

ブレーキペダル機構の設計を変えることで、自動車のブレーキ特性を改善できる可能性がある。[ 13 ^]

自転車^[14]や自動車^{[15]のサスペンションの設計。}

正面から見たダブルウィッシュボーンサスペンションなどの4 節リンク機構の連結リンクの場合、速度に対する垂線は、接地リンクと連結リンクを結合するリンクに沿っています。この構造は、サスペンションの 運動学的ロール中心を確立するために使用されます。