回転面

この記事では、すべての平面は原点を通る平面、つまりゼロベクトルを含む平面です。n次元空間におけるこのような平面は、その空間の2 次元線形部分空間です。それは、平面内にある任意の 2 つの非ゼロかつ非平行なベクトル、つまり、次のような任意の 2 つのベクトルaとbによって完全に指定されます。

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \neq 0,}$

ここで、 ∧は外積または幾何代数による外積です(3 次元では外積を使用できます)。より正確には、量a ∧ bはaとbで指定される平面に関連付けられた双ベクトルであり、大きさは| a | | b | sin φです。ここでφはベクトル間の角度です。したがって、ベクトルがゼロではなく平行でないという要件があります。^{[ 2 ]}

双ベクトルa ∧ bをBと表記すると、点がBに関連付けられた平面上にあるという条件は単純に^{[ 3 ]となります。}

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {B} =0.}$

これはあらゆる次元で成り立ち、平面上での定義として捉えることができます。特に、外積の性質から、aとb の両方で満たされるため、次の形式の任意のベクトルで満たされます。

${\displaystyle \mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ,}$

λとμは実数です。λとμはすべての実数の範囲をとるので、cは平面全体の範囲をとります。したがって、これは平面の別の定義とみなすことができます。

特定の回転における回転面とは、その回転によって自身に写像される平面のことです。この平面は固定されていませんが、平面内のすべてのベクトルは、回転によって同じ平面内の他のベクトルに写像されます。この平面の自身への変換は、常に原点を中心とした回転であり、その回転角は平面の回転角となります。

恒等回転（行列は単位行列）を除くすべての回転には少なくとも1つの回転面があり、

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }$

回転面の数。nは次元を表す。8次元までの最大回転面数は、この表に示されている。

回転が複数の回転面を持つ場合、それらは常に互いに完全に直交し、共通するのは原点のみです。これは、回転面が直角であると言うよりも強い条件です。つまり、回転面には共通の非ゼロベクトルがなく、一方の回転面のすべてのベクトルが他方の回転面のすべてのベクトルと直交することを意味します。これは、4 次元以上の場合にのみ発生します。2 次元では回転面は 1 つだけですが、3 次元ではすべての回転面が交線に沿って少なくとも 1 つの非ゼロベクトルを共有します。^{[ 4 ]}

3 次元を超える場合、回転面は必ずしも一意ではありません。たとえば、4 次元の単位行列の負 (中心反転) は、

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},}$

これは、原点を通るすべての平面が角度πの回転面となる4次元回転を表しており、任意の直交平面のペアが回転を生成します。しかし、一般的な回転の場合、少なくとも理論的には、各点が角度だけ回転する一意の直交平面のセットを特定することが可能であり、平面と角度のセットが回転を完全に特徴付けます。^{[ 5 ]}

回転面が1つしかない回転​​を単純回転といいます。単純回転では、固定された平面が存在し、回転はこの平面を中心に行われるため、回転する点は平面からの距離が変わりません。回転面はこの平面に直交しており、回転はこの平面内で行われると言えます。

例えば、次の行列はxy平面を固定します。この平面上の点、そしてこの平面上の点のみが変化しません。回転面はzw平面であり、この平面上の点は角度θだけ回転します。一般的な点はzw平面内でのみ回転します。つまり、z座標とw座標のみを変更してxy平面を中心に回転します。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$

2次元および3次元では、すべての回転は単純回転であり、回転面は1つしかありません。4次元以上の場合にのみ、単純回転ではない回転が存在します。特に4次元では、二重回転と等傾斜回転も存在します。

二重回転では、回転面は2つあり、固定面はなく、唯一の固定点は原点です。回転は両方の回転面で行われると言えます。なぜなら、回転面上の点は回転面内で回転するからです。これらの回転面は直交しており、共通のベクトルを持たないため、一方の回転面上のすべてのベクトルは、もう一方の回転面上のすべてのベクトルと直角になります。2つの回転面は4次元空間を張るため、空間内のすべての点は、それぞれの回転面上の2つの点によって指定できます。

二重回転は、回転面ごとに1つずつ、2つの回転角を持ちます。回転は、2つの平面と2つの非ゼロの角度αとβを指定することで定義されます（いずれかの角度がゼロの場合は、回転は単純回転となります）。第1平面上の点はαだけ回転し、第2平面上の点はβだけ回転します。その他のすべての点はαとβの間の角度だけ回転するため、ある意味では、これら2つの角度が回転量を決定します。一般的な二重回転の場合、回転面と角度は一意であり、一般的な回転が与えられれば、それらを計算することができます。例えば、xy平面でα、zw平面でβの回転は、次の行列で表されます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0&0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0&0\\0&0&\cos \beta &-\sin \beta \\0&0&\sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}.}$

二重回転の特殊なケースとして、角度が等しい場合、つまりα = β ≠ 0の場合があります。これは等傾回転と呼ばれ、一般的な二重回転とはいくつかの点で異なります。たとえば、等傾回転では、すべての非ゼロ点が同じ角度αだけ回転します。最も重要なのは、回転面が一意に特定されないことです。代わりに、回転面として扱うことができる直交平面のペアが無限に存在します。たとえば、任意の点を取り、その点が回転する平面とそれに直交する平面を合わせて、2 つの回転面として使用できます。^{[ 8 ]}

単純な回転はすべて、2回の鏡映によって生成できます。n次元では、鏡映を行う( n -1)次元の部分空間を指定することで鏡映を指定できます。つまり、2次元の鏡映は直線上、3次元の鏡映は平面上、といった具合です。しかし、これは高次元では適用がますます難しくなるため、代わりに次のようにベクトルを使用する方が良いでしょう。

n次元空間における鏡映は、 ( n -1)次元部分空間に垂直なベクトルによって指定されます。単純な回転を生成するには、原点を固定する鏡映のみが必要なので、ベクトルには位置はなく、方向のみが必要です。また、ベクトルの向きも関係ありません。結果を変えることなく、負のベクトルに置き換えることができます。同様に、単位ベクトルを使用して計算を簡略化することもできます。

したがって、 ( n -1)次元空間における反射は、それに垂直な単位ベクトルmによって与えられ、次のようになる。

${\displaystyle \mathbf {x} '=-\mathbf {mxm} \,}$

ここで、積は幾何代数における幾何積である。

x′が、それに垂直な単位ベクトルnによって記述される別の異なる( n -1)次元空間に反映される場合、結果は次のようになる。

${\displaystyle \mathbf {x} ''=-\mathbf {nx} '\mathbf {n} =-\mathbf {n} (-\mathbf {mxm} )\mathbf {n} =\mathbf {nmxmn} }$

これはn次元空間における単純な回転であり、部分空間間の角度の2倍、つまりベクトルmとnの間の角度に相当します。幾何代数を用いて、これが回転であること、そして予想どおりにすべてのベクトルが回転することを確認できます。

量mnは回転子であり、nmはその逆数である。

${\displaystyle (\mathbf {mn} )(\mathbf {nm} )=\mathbf {mnnm} =\mathbf {mm} =1}$

したがって、回転は次のように書ける。

${\displaystyle \mathbf {x} ''=R\mathbf {x} R^{-1}}$

ここで、R = mnは回転子である。

回転面はmとn を含む平面であり、これらは異なる平面でなければなりません。そうでなければ、鏡像が同じになり、回転は起こりません。どちらのベクトルもその負のベクトルに置き換えることができるため、それらの間の角度は常に鋭角、または最大でπ / 2になります。回転は、ベクトル間の角度の2 倍、最大πまたは半回転です。回転の方向はmからnへの回転です。幾何積は可換ではないため、積nmは逆回転であり、方向はnからmです。

逆に、すべての単純な回転は、回転面内の 2 つの単位ベクトルを目的の回転角度の半分だけ離して 2 つの反射を行うことで、この方法で生成できます。これらを組み合わせることで、より一般的な回転を生成できます。次元nが偶数の場合は最大n回の反射、nが奇数の場合はn − 2 回の反射を使用し、各回転面内の 2 つのベクトルによって与えられる反射のペアを選択します。^{[ 9 ] [ 10 ]}

双ベクトルは幾何代数、クリフォード代数、外積代数における量であり、ベクトルの概念を2次元に一般化したものです。ベクトルが直線に対応するように、双ベクトルは平面に対応します。したがって、あらゆる平面（どの次元でも）は双ベクトルに対応付けられ、あらゆる単純双ベクトルは平面に対応付けられます。このため、双ベクトルは回転面を記述するのに適しています。

回転における各回転面には、それぞれ単純な双ベクトルが関連付けられています。これは回転面に平行で、その大きさは回転面内の回転角に等しくなります。これらの双ベクトルを合計することで、回転全体を表す単一の、一般的には単純ではない双ベクトルが生成されます。この双ベクトルは指数写像によって回転子を生成することができ、これを用いて物体を回転させることができます。

双ベクトルは指数写像（双ベクトルに適用すると、ド・モアブルの公式を用いて回転と回転が生成される）によって回転子と関連付けられます。特に、任意の双ベクトルBが与えられた場合、それに関連付けられた回転子は次のようになります。

${\displaystyle R_{\mathbf {B} }=e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}.}$

これは、双ベクトルが単純な場合は単純な回転であり、そうでない場合はより一般的な回転です。2乗すると、

${\displaystyle {R_{\mathbf {B} }}^{2}=e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}=e^{\mathbf {B} },}$

これは、2倍の角度だけ回転するローターを与えます。Bが単純な場合、これは2回の反射によって生成される回転と同じです。積mnは、ベクトル間の角度の2倍だけ回転を与えるからです。これらは等しくすることができます。

${\displaystyle \mathbf {mn} =e^{\mathbf {B} },}$

これから、mとnを含む回転面に関連付けられた、 mをnに回転させる双ベクトルは次のようになる。

${\displaystyle \mathbf {B} =\log(\mathbf {mn} ).}$

これは、記述された単純な回転に対応する単純な双ベクトルです。4次元以上のより一般的な回転は、上記のように計算された、回転の各平面に対応する単純な双ベクトルの和に対応します。

例としては、上記に示した4次元空間における2つの回転が挙げられます。zw平面における角度θによる単純回転は、単純な双ベクトルe ₃₄ θを持ちます。xy平面とzw平面におけるαとβによる二重回転は、2つの回転平面に平行で、大きさが回転角度に等しい2つの単純な双ベクトルe ₁₂ αとe ₃₄ βの和である双ベクトルe ₁₂ α + e ₃₄ βを持ちます。

ローターが与えられた場合、ローターの対数を取ることで、それに関連付けられた双ベクトルを復元できます。その後、それを単純な双ベクトルに分割して回転面を決定できますが、実際には最も単純なケースを除いて、これは非実用的である可能性があります。しかし、単純な双ベクトルが与えられた場合、幾何代数は上記のような代数を使用して回転面を研究するための有用なツールです。^{[ 1 ] [ 11 ]}

固有値を用いた特定の回転の回転面。n次元の一般的な回転行列が与えられた場合、その特性方程式は、奇数次元では1つ、偶数次元では0つの実根を持ちます。他の根は複素共役ペアにあり、正確には

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,}$

このようなペア。これらは回転面、つまり行列の固有面に対応し、代数的手法を用いて計算できます。さらに、複素根の引数は、回転面に関連付けられた双ベクトルの大きさです。特性方程式の形式は平面と関連しており、その代数的性質である重複根を双ベクトルに関連付けることが可能で、重複双ベクトルの大きさは特定の幾何学的解釈を持ちます。^{[ 1 ] [ 12 ]}