相対論的力学

物理学において、相対論的力学は特殊相対性理論(SR) および一般相対性理論(GR)と互換性のある力学を指す。相対論的力学は、運動する物体の速度が光速cに匹敵する場合に、粒子系または流体の非量子力学的記述を提供する。その結果、古典力学は高速および高エネルギーで移動する粒子に正しく拡張され、粒子の力学に電磁気学を一貫して含めることができる。これはガリレオ相対性理論では不可能だった。ガリレオ相対性理論では、粒子と光は光より速い場合も含め、あらゆる速度で移動することが許される。相対論的力学の基礎は、特殊相対性理論と一般相対性理論の公理である。SR と量子力学の統一が相対論的量子力学であり、一般相対性理論と量子力学の統一の試みが量子重力であり、これは物理学における未解決の問題である。

古典力学と同様に、この主題は、位置、速度、加速度を指定して運動を記述する「運動学」と、エネルギー、運動量、角運動量とその保存則、および粒子に作用する力や粒子によって及ぼされる力を考慮して完全に記述する「動力学」に分けることができます。ただし、微妙な点があります。古典力学では「静力学」と呼ばれますが、何が「動いている」ように見え、何が「静止している」かは、基準フレームで測定する観測者の相対的な動きに依存します。

古典力学の一部の定義と概念はSRにも引き継がれています。例えば、力は運動量の時間微分（ニュートンの第2法則）、粒子によって行われた仕事は経路に沿って粒子に及ぼされる力の線積分、および電力は行われた仕事の時間微分です。ただし、残りの定義と式には多くの重要な変更があります。SRは、運動は相対的であり、物理法則は慣性 参照系に関係なくすべての実験者に対して同じであると述べています。空間と時間の概念を変更することに加えて、SRは、ニュートン力学の重要な構成要素である質量、運動量、エネルギーの概念を再考させます。SRは、空間と時間が相互に関連していることを示すのとほぼ同じように、これらの概念がすべて同じ物理量の異なる側面であることを示しています。したがって、もう 1 つの変更は、システムの質量中心の概念です。これは、古典力学では簡単に定義できますが、相対論ではそれほど明白ではありません。詳細については、相対論的質量中心を参照してください。

より馴染みのある3 次元 ベクトル計算形式では、相対論的な速度依存性とすべての粒子および場の速度限界を正確に説明するローレンツ因子の非線形性のために、方程式はより複雑になります。しかし、平坦ミンコフスキー空間(SR) と曲がった時空(GR)を含む4次元時空では、空間から得られる 3 次元ベクトルと時間から得られるスカラーを 4 つのベクトル、つまり 4 次元テンソルにまとめることができるため、方程式はより単純でエレガントな形になります。6 成分の角運動量テンソルは、 3D の観点では 2 つのベクトル (そのうちの 1 つである従来の角運動量は軸ベクトル)であるため、バイベクトルと呼ばれることもあります。

相対論的 4 次元速度、つまり相対論における速度を表す 4 次元ベクトルは、次のように定義されます。

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {U} }}={\frac {d{\boldsymbol {\mathbf {X} }}}{d\tau }}=\left({\frac {cdt}{d \tau }},{\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }}\right)}$

上記において、は世界線と呼ばれる 時空を通る経路の固有時間であり、その後に上記が表す物体の速度が続きます。${\displaystyle {\tau}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {X} }}=(ct,\mathbf {x} )}$

は4 位置、つまりイベントの座標です。時間の遅れにより、固有時間とは、同じ場所で発生する 2 つのイベント間の時間です。固有時間は、座標時間 tと次の式で関連しています。

${\displaystyle {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {v} )}}}$

ローレンツ因子はどこにありますか？ ${\displaystyle {\gamma }(\mathbf {v} )}$

${\displaystyle \gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} /c^{2}}}}\,\rightleftharpoons \,\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}.}$

(どちらのバージョンも引用できます) したがって、次のようになります。

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {U} }}=\gamma (\mathbf {v} )(c,\mathbf {v} )}$

の係数を除く最初の 3 つの項は、観測者が自身の基準フレームで見る速度です。 は、観測者の基準フレームとオブジェクトのフレーム (オブジェクトの固有時間が測定されるフレーム) 間の速度によって決まります。 この量はローレンツ変換の下で不変であるため、異なる基準フレームの観測者が見ているものを確認するには、速度の 4 次元ベクトルに 2 つの基準フレーム間のローレンツ変換行列を掛けるだけです。 ${\displaystyle {\gamma (\mathbf {v} )}}$${\displaystyle {\gamma (\mathbf {v} )}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

物体の質量は、その物体自身の基準系で測定され、静止質量または不変質量と呼ばれ、 と表記されることもある。物体が他の基準系で速度を伴って運動する場合、その量はその基準系における物体の「相対論的質量」と呼ばれることが多い。^[1]静止質量を表すために を 使用する著者もいるが、わかりやすくするために、この記事では相対論的質量には 、静止質量にはを使用する慣例に従う。^[2]${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle m=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m_{0}}$

レフ・オクンは、相対論的質量の概念は「今日では合理的な正当性がない」ため、もはや教えるべきではないと示唆している。^[3]ヴォルフガング・リンドラーやTR・サンディン を含む他の物理学者は、この概念は有用であると主張している。^[4]この議論の詳細については、 特殊相対論における質量 を参照。

静止質量がゼロの粒子は質量がないと呼ばれます。光子と重力子は質量がないと考えられており、ニュートリノはほぼ質量がゼロです。

SR で運動量とエネルギーを定義するには、2、3 の (同等の) 方法があります。1 つの方法は、保存則を使用する方法です。これらの法則が SR でも有効であるためには、すべての可能な基準フレームで真でなければなりません。ただし、ニュートンの運動量とエネルギーの定義を使用して簡単な思考実験を行うと、これらの量は SR では保存されないことがわかります。相対論的速度を考慮して定義に小さな変更を加えることで、保存の概念を救済できます。SR での運動量とエネルギーの正しい定義として採用されているのは、これらの新しい定義です。

物体の 4 元運動量は単純で、古典的な運動量と形式は同じですが、3 ベクトルが 4 ベクトルに置き換えられます。

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {P} }}=m_{0}{\boldsymbol {\mathbf {U} }}=(E/c,\mathbf {p} )}$

与えられた基準系に対して 速度で運動する不変質量の物体のエネルギーと運動量は、それぞれ次のように表される。${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}c^{2}\\\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {v} )m_{0 }\mathbf {v} \end{整列}}}$

この係数は、上で説明した 4 元速度の定義から来ています。 の出現は別の方法で表現することもできますが、これは次のセクションで説明します。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma}$

運動エネルギーは次のように定義される。 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K=(\gamma -1)m_{0}c^{2}=E-m_{0}c^{2}\,,}$

そして、速度は運動エネルギーの関数として次のように表される。

${\displaystyle v=c{\sqrt {1-\left({\frac {m_{0}c^{2}}{K+m_{0}c^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {c{\sqrt {K(K+2m_{0}c^{2})}}}{K+m_{0}c^{2}}}={\frac {c{\sqrt {(E-m_{0}c^{2})(E+m_{0}c^{2})}}}{E}}={\frac {pc^{2}}{E}}\,.}$

空間運動量は と表すことができ、ニュートン力学の形を保ちながら、ニュートン質量を相対論的質量に置き換えます。しかし、この置き換えは力や運動エネルギーなど、いくつかの量ではうまくいきません。さらに、相対論的質量はローレンツ変換に対して不変ではありませんが、静止質量は不変です。このため、多くの人は静止質量を使用し、4 速度または座標時間を通じて を明示的に説明することを好みます。 ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$${\displaystyle \gamma }$

エネルギー、運動量、速度の間の単純な関係は、エネルギーと運動量の定義から、エネルギーに を掛け、運動量に を掛け、2つの式が等しいことに注意することで得られます。これは次の式をもたらします。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle c^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {p} c^{2}=E\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} }$この式をで割って二乗すると、 ${\displaystyle c}$

${\displaystyle (pc)^{2}=E^{2}(v/c)^{2}}$

エネルギーの定義をで割って二乗すると、 ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle E^{2}\left(1-(v/c)^{2}\right)=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

そして次のように置き換えます:

${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

これは相対論的なエネルギーと運動量の関係です。

エネルギーと運動量は、測定される基準フレームに依存しますが、量は不変です。その値は、4 次元運動量ベクトルの大きさの 2 乗です。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}}$${\displaystyle -c^{2}}$

システムの不変質量は次のように表される。

${\displaystyle {m_{0}}_{\text{tot}}={\frac {\sqrt {E_{\text{tot}}^{2}-(p_{\text{tot}}c)^{2}}}{c^{2}}}}$

運動エネルギーと結合エネルギーのため、この量は、システムを構成する粒子の静止質量の合計とは異なります。静止質量は、ニュートン物理学の場合とは異なり、特殊相対論では保存量ではありません。ただし、物体が内部的に変化している場合でも、周囲とエネルギーや運動量を交換していない限り、静止質量は変化せず、どの基準フレームでも同じ結果で計算できます。

相対論的なエネルギー・運動量方程式は、m ₀ = 0の質量のない粒子であっても、すべての粒子に当てはまります。この場合、

${\displaystyle E=pc}$

Ev  =  c ² pに代入すると、 v  =  cとなり、質量のない粒子（光子など）は常に光速で移動します。

複合システムの静止質量は、通常、その構成要素の静止質量の合計とはわずかに異なることに注意してください。静止フレームでは、運動エネルギーによって質量が増加し、(負の)結合エネルギーによって質量が減少するためです。特に、仮想の「光の箱」は、運動量が打ち消されるため静止質量を持たない粒子でできているにもかかわらず、静止質量を持ちます。

システムの不変質量に関する上記の式を見ると、単一の質量を持つ物体が静止しているとき ( v = 0、p = 0 )、ゼロではない質量が残っていることがわかります: m ₀ = E / c ²。対応するエネルギーは、単一の粒子が静止しているときの総エネルギーでもあり、「静止エネルギー」と呼ばれます。移動する慣性系から見た粒子システムでは、総エネルギーが増加し、運動量も増加します。ただし、単一の粒子の場合、静止質量は一定のままであり、粒子システムの場合、不変質量は一定のままです。これは、どちらの場合も、エネルギーと運動量の増加が互いに減算され、打ち消されるためです。したがって、粒子システムの不変質量は、単一の粒子の静止質量と同様に、すべての観測者にとって計算された定数です。

粒子系の場合、エネルギー-運動量方程式では粒子の運動量ベクトルを合計する必要があります。

${\displaystyle E^{2}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$

すべての粒子の運動量がゼロになる慣性系は、運動量中心系と呼ばれます。この特別な系では、相対論的エネルギー運動量方程式はp = 0となり、系の不変質量は系のすべての部分の全エネルギーをc ^{2で割った値として与えられます。}

${\displaystyle m_{0,\,{\rm {system}}}=\sum _{n}E_{n}/c^{2}}$

これは、計量​​器の上の熱いガスの瓶など、総運動量がゼロのフレームで測定されるシステムの不変質量です。このようなシステムでは、計量器が計量する質量が不変質量であり、システムの総エネルギーに依存します。したがって、これは分子の静止質量の合計よりも大きくなりますが、システム内のすべての総エネルギーも含まれます。エネルギーと運動量と同様に、孤立システムの不変質量は、システムが完全に閉じている限り（質量やエネルギーの出入りが許されない）、変更できません。これは、何も出入りできない限り、システムの相対論的総エネルギーが一定であるためです。

このようなシステムのエネルギーの増加は、システムを運動量中心フレームではない慣性フレームに移動させることによって生じ、不変質量の増加なしにエネルギーと運動量の増加を引き起こします。ただし、 E = m ₀ c ²は、運動量の合計がゼロになる運動量中心フレーム内の孤立したシステムにのみ適用されます。

この式を額面通りに受け取ると、相対性理論では質量は単に別の名前のエネルギー（そして異なる単位で測定される）であることがわかります。1927年にアインシュタインは特殊相対性理論について次のように述べています。「この理論では、質量は不変の大きさではなく、エネルギーの量に依存する（そして実際にはエネルギーの量と同一である）大きさです。」^[5]

「完全に閉じた」システム (つまり、孤立したシステム) では、総エネルギー、総運動量、したがって総不変質量が保存されます。質量変化に関するアインシュタインの式は、最も単純な Δ E = Δ mc ²形式に変換されますが、これは、エネルギーが (たとえば、熱や光として) 逃げることができ、不変質量が減少する非閉鎖システムの場合のみです。アインシュタインの式は、このようなシステムは、上記の式に従って、周囲に失うエネルギーに比例して質量を失う必要があることを示しています。逆に、熱と光を放出する反応を受ける前のシステムと、熱と光が逃げた後の反応後のシステムとの間の質量の違いを測定できれば、システムから逃げるエネルギーの量を推定できます。

核反応と化学反応の両方において、このようなエネルギーは、原子内の電子の結合エネルギーの差 (化学の場合) または核内の核子間の結合エネルギーの差 (原子反応の場合) を表します。どちらの場合も、反応物と (冷却された) 生成物の質量の差は、反応から逃れる熱と光の質量を測定し、したがって (方程式を使用して) 反応が進行した場合に放出される熱と光の同等のエネルギーを与えます。

化学では、放出されるエネルギーに関連する質量差は、分子量の約 10 ^{−9です。 [6]しかし、核反応ではエネルギーが非常に大きいため、生成物と反応物の重量が測定されていれば、質量差を事前に推定することができます (原子は、各}核種で常に同じである原子質量を使用して間接的に重量を測定できます)。したがって、異なる原子核の質量を測定した場合、アインシュタインの公式が重要になります。質量の違いを見ることで、特定の核反応によって放出できるエネルギーをどの核が蓄えているかを予測でき、原子力エネルギーの開発、ひいては核爆弾の開発に役立つ重要な情報を提供します。たとえば歴史的に、リーゼ・マイトナーは、核の質量差を使用して、核分裂を好ましいプロセスにするのに十分なエネルギーがあると推定することができました。アインシュタインの公式のこの特別な形式が意味するところにより、この公式は科学界全体で最も有名な方程式の 1 つとなりました。

方程式E  =  m ₀ c ^2は、運動量中心フレーム内の孤立系にのみ適用されます。これは、質量がエネルギーに変換され、その後質量が消滅することを意味すると広く誤解されています。ただし、システムに適用される方程式の一般的な説明には、システムの質量 (不変質量)に寄与するはずの熱と光が逃げるオープン (非孤立) システムが含まれます。

歴史的に、質量がエネルギーに「変換」されることに関する混乱は、質量と「物質」の混同によって助長されてきました。ここで、物質はフェルミオン粒子として定義されています。このような定義では、電磁放射と運動エネルギー (または熱) は「物質」とは見なされません。状況によっては、物質が実際に非物質のエネルギー形式に変換される場合もあります (上記を参照) が、これらすべての状況において、物質と非物質のエネルギー形式は元の質量を保持しています。

孤立したシステム (すべての質量とエネルギーの交換が閉ざされている) の場合、エネルギーが消えることはないため、運動量中心のフレームで質量が消えることはありません。代わりに、この方程式は、文脈上、運動量中心のフレームでシステムにエネルギーが追加されたり、そこからエネルギーが逃げたりすると、システムは追加されたエネルギーまたは取り除かれたエネルギーに比例して質量が増えたり減ったりしたと測定されることを意味します。したがって、理論上は、原子爆弾をその爆風に耐えられるほど頑丈な箱に入れ、秤の上で爆発させた場合、この閉じたシステムの質量は変化せず、秤は動きません。超強力なプラズマで満たされた箱に透明な「窓」が開かれ、光と熱がビームで逃げ、爆弾のコンポーネントが冷却された場合にのみ、システムは爆風のエネルギーに関連する質量を失います。たとえば、21 キロトンの爆弾では、約 1 グラムの光と熱が生成されます。この熱と光が逃げると、爆弾の残骸は冷却されるにつれて 1 グラムの質量を失います。この思考実験では、光と熱が1グラムの質量を運び去り、その結果、それらを吸収する物体にこの1グラムの質量が蓄積されることになる。^[7]

相対論的力学では、時間とともに変化する質量モーメント

${\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {v} \right)}$

および軌道3角運動量

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$

点状粒子の4次元位置Xと4次元運動量Pによって4次元の2ベクトルが合成される：^{[8] [9]}

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} }$

ここで、∧ は外積を表します。このテンソルは加法的です。つまり、システムの全角運動量は、システムの各構成要素の角運動量テンソルの合計です。したがって、離散粒子の集合体の場合は、粒子全体の角運動量テンソルを合計するか、連続質量分布の範囲にわたって角運動量密度を積分します。

6 つの各コンポーネントは、他のオブジェクトやフィールドの対応するコンポーネントと集計されると、保存量を形成されます。

特殊相対論では、ニュートンの第二法則はF = m aの形で成立しないが、次のように表される場合には成立する。

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$

ここでp = γ( v ) m ₀ vは上で定義した運動量、m _{0 は}不変質量です。したがって、力は次のように表されます。

${\displaystyle \mathbf {F} =\gamma ^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\ \mathrm {where} \ \gamma =\gamma (\mathbf {v} )}$

その結果、古い文献の中には、γ( v ) ³ m _{0 は}縦方向の質量と呼ばれ、γ( v ) m _{0 は}横方向の質量と呼ばれているものがあり、数値的には相対論的質量と同じです。特殊相対論における質量を参照してください。

これを逆転させて力から加速度を計算すると、

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {1}{m_{0}\gamma (\mathbf {v} )}}\left(\mathbf {F} -{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,.}$

このセクションで説明する力は、 4 次元ベクトルではない古典的な 3 次元の力です。この 3 次元の力は、ニュートンの運動の第 3 法則に従う力であるため、力の適切な概念です。これを、 4 次元の力と呼ばれるものと混同しないでください。4次元の力は、単にオブジェクトの共動フレーム内の 3 次元の力を 4 次元ベクトルであるかのように変換したものです。ただし、3 次元の力の密度 (単位 4体積あたりに伝達される線形運動量)は、伝達される力の密度の負と組み合わせると、 4 次元ベクトル (重量の密度+1)になります。

点状粒子に作用するトルクは、上記の角運動量テンソルの固有時間に対する微分として定義される：^{[10] [11]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }$

またはテンソル成分では:

${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}$

ここで、F はイベントXで粒子に作用する 4d の力です。角運動量と同様に、トルクは加算されるため、拡張されたオブジェクトの場合は、質量の分布にわたって合計または積分します。

仕事エネルギー定理によれば^[12]、運動エネルギーの変化は物体に対して行われた仕事に等しい。特殊相対論では：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K=W=[\gamma _{1}-\gamma _{0}]m_{0}c^{2}.\end{aligned}}}$

初期状態で物体が静止している場合、v ₀  = 0 かつ γ ₀ ( v ₀ ) = 1 であり、最終状態では速度v ₁  =  vであり、 γ ₁ ( v ₁ ) = γ( v ) と設定すると、運動エネルギーは次のようになります。

${\displaystyle K=[\gamma (v)-1]m_{0}c^{2}\,,}$

^この結果は、全相対論的エネルギーγ(v)m0c2から静止エネルギーm0c2を_引くことによって^直接得られる。

ローレンツ因子γ( v )は、 ( v / c ) ^{2 <1の}テイラー級数または二項級数に展開することができ、次の式が得られます。

${\displaystyle \gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)=1+{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}+{\dfrac {3}{8}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{4}+{\dfrac {5}{16}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{6}+\cdots }$

そしてその結果

${\displaystyle E-m_{0}c^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}}{c^{2}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}}{c^{4}}}+\cdots ;}$

${\displaystyle \mathbf {p} =m_{0}\mathbf {v} +{\frac {1}{2}}{\frac {m_{0}v^{2}\mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}\mathbf {v} }{c^{4}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}\mathbf {v} }{c^{6}}}+\cdots .}$

光よりはるかに遅い速度の場合、分母にc ^{2以上の項がある項は無視できます。これらの式は、ニュートンの}運動エネルギーと運動量の標準的な定義に簡略化されます。これは当然のことです。なぜなら、特殊相対性理論は低速度ではニュートン力学と一致しなければならないからです。

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