相対論的角運動量

物理学において、相対論的角運動量とは、特殊相対性理論（SR）および一般相対性理論（GR）における角運動量を定義する数学的定式化と物理的概念を包含する概念である。この相対論的量は、古典力学における対応する量とは微妙に異なる。

角運動量は、位置と運動量から導かれる重要な力学的量です。これは、物体の回転運動と回転の変化に対する抵抗の尺度です。また、運動量保存が並進対称性に対応するのと同様に、角運動量保存は回転対称性に対応します。対称性と保存則の関係は、ネーターの定理によって示されます。これらの概念はもともと古典力学で発見されましたが、特殊相対性理論と一般相対性理論においても真であり、重要です。抽象代数の観点から見ると、時空における角運動量、四元運動量、およびその他の対称性の不変性は、ローレンツ群、より一般的にはポアンカレ群によって記述されます。

古典物理学では別々に扱われる物理量は、相対性理論の公準を適用することで、特殊相対性理論（SR）と一般相対性理論（GR）では自然に統合される。特に、空間座標と時間座標は4元位置ベクトルに、エネルギーと運動量は4元運動量ベクトルに統合される。これらの 4元ベクトルの成分は、使用する基準系によって異なり、ローレンツ変換によって他の慣性系や加速系へと変化する。

相対論的角運動量はそれほど自明ではありません。角運動量の古典的な定義は、位置xと運動量pの外積によって擬ベクトル $x$ $\times$ $p$ を得るか、あるいは外積によって2 階反対称テンソル $x$ $\land$ $p$ を得ることです。これは何かと結合するのでしょうか? あまり議論されない別のベクトル量があります。それは、システムの重心のブーストに関連する時間変化する質量極ベクトルモーメント (慣性モーメントではない)であり、これは古典的な角運動量擬ベクトルと結合して 2 階反対称テンソルを形成します。これは、電場極ベクトルが磁場擬ベクトルと結合して電磁場反対称テンソルを形成するのとまったく同じです。点状粒子ではなく回転する質量エネルギー分布 (ジャイロスコープ、惑星、恒星、ブラックホールなど) の場合、角運動量テンソルは回転する物体の応力エネルギーテンソルで表されます。

特殊相対性理論のみでは、回転する物体の静止系において、量子力学および相対論的量子力学における「スピン」に類似した固有の角運動量が存在するが、これは点粒子ではなく広がりを持つ物体の場合である。相対論的量子力学では、素粒子はスピンを持ち、これは軌道角運動量演算子への追加の寄与となり、全角運動量テンソル演算子が得られる。いずれにせよ、物体の軌道角運動量への固有の「スピン」の付加は、パウリ・ルバンスキー擬ベクトルを用いて表現できる。^{[ 1 ]}

定義

軌道3次元角運動量

参考および背景説明として、密接に関連する2種類の角運動量を示す。

古典力学では、瞬間的な三次元位置ベクトル $x = (x, y, z)$ と運動量ベクトル $p = (p x, p y, p z)を持つ粒子の軌道角運動量は、$ 軸ベクトルとして定義される。 $\mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p}$ これは3つの構成要素から成り、それらはデカルト座標系の方向の巡回置換によって体系的に与えられる（例えば、 $xを$ $y$ に、 $yを$ $z$ に、 $zを$ $x$ に変更し、これを繰り返す）。 ${\begin{aligned}L_{x}&=yp_{z}-zp_{y}\,,\\L_{y}&=zp_{x}-xp_{z}\,,\\L_{z}&=xp_{y}-yp_{x}\,.\end{aligned}}$

関連する定義として、軌道角運動量を平面要素として捉える方法がある。これは、外積を外積に置き換えることで外積代数の言葉で実現でき、角運動量は反変な2階反対称テンソルになる^{[ 2 ]。} $\mathbf {L} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {p}$

または、 $x = (x 1, x 2, x 3) = (x, y, z)$ および運動量ベクトル $p = (p 1, p 2, p 3) = (p x, p y, p z)$ と書くと、成分はテンソル添え字表記で簡潔に省略できます。 $L^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}$ ここで、添え字 $i$ と $j$ は 1、2、3 の値をとります。一方、構成要素は 3 × 3 の反対称行列に体系的に完全に表示できます。 ${\begin{aligned}\mathbf {L} &={\begin{pmatrix}L^{11}&L^{12}&L^{13}\\L^{21}&L^{22}&L^{23}\\L^{31}&L^{32}&L^{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&L_{xz}\\L_{yx}&0&L_{yz}\\L_{zx}&L_{zy}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&- L_{zx}\\-L_{xy}&0&L_{yz}\\L_{zx}&-L_{yz}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&xp_{y}-yp_{x}&-(zp_{x}-xp_{z})\\-(xp_{y}-yp_{x})&0&yp_{z}-zp_{y}\\zp_{x}-xp_{z}&-(yp_{z}-zp_{y})&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

この量は加算性があり、孤立系においては、系の全角運動量は保存される。

動的質量モーメント

古典力学では、質量mの粒子が速度uで運動する場合の 3 次元量^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} $\mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {u} \right)=m\mathbf {x} -t\mathbf {p}$ 質量モーメントの次元は、長さに質量を掛けたものです。これは、実験室系で測定した場合、粒子または粒子系の質量に、時間原点 ( t = 0 ) における空間原点から重心(COM)までの距離を掛けたものに等しくなります。この量には、普遍的な記号も、普遍的な名前もありません。異なる著者は、別の記号 (例えばμ ) で表したり、別の名前を指定したり、ここで使用されているものの負の値としてNを定義したりする場合があります。上記の形式の利点は、位置に関するおなじみのガリレオ変換に似ていることです。ガリレオ変換は、慣性系間の非相対論的ブースト変換です。

このベクトルは加算性も持ちます。粒子のシステムの場合、ベクトル和は結果として得られます。 $\sum _{n}\mathbf {N} _{n}=\sum _{n}m_{n}\left(\mathbf {x} _{n}-t\mathbf {u} _{n}\right)=\left(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }\sum _{n}m_{n}-t\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}\right)=M_{\text{tot}}(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }-\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }t)$ ここで、システムの重心位置と速度、および総質量はそれぞれ ${\begin{aligned}\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {x} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]M_{\text{tot}}&=\sum _{n}m_{n}.\end{aligned}}$

孤立系の場合、Nは時間に関して保存される。これは時間微分によって確認できる。角運動量Lは擬似ベクトルであるが、Nは「通常の」（極座標）ベクトルであるため、反転操作に対して不変である。

多粒子系における結果として得られるN _totは、すべての粒子の複雑な運動がどのようなものであっても、系の重心が直線上を移動するように粒子が動くという物理的な視覚的表現を持つ。これは必ずしもすべての粒子が重心に「追従」することを意味するものではなく、すべての粒子がほぼ同時に同じ方向に動くことを意味するものでもない。単に、粒子の集団的な運動が重心に対して制約されているということである。

特殊相対性理論では、粒子が実験室系に対して速度uで運動する場合、 ${\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2},&\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} \end{aligned}}$ どこ $\gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}$ はローレンツ因子であり、mは粒子の質量（すなわち静止質量）である。同じ実験室系における、 $m$ 、 $u$ 、 $p$ 、 $Eを用いた対応する相対論的質量モーメントは次のようになる。$ $\mathbf {N} ={\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {x} -\mathbf {p} t=m\gamma (\mathbf {u} )(\mathbf {x} -\mathbf {u} t).$

デカルト座標系の成分は ${\begin{aligned}N_{x}=mx-p_{x}t&={\frac {E}{c^{2}}}x-p_{x}t=m\gamma (u)(x-u_{x}t)\\N_{y}=my-p_{y}t&={\frac {E}{c^{2}}}y-p_{y}t=m\gamma (u)(y-u_{y}t)\\N_{z}=mz-p_{z}t&={\frac {E}{c^{2}}}z-p_{z}t=m\gamma (u)(z-u_{z}t)\end{aligned}}$

特殊相対性理論

x方向へのブーストのための座標変換

別の座標系 F に対して速度 $v$ $= ($ $v$ $, 0, 0)$ で移動する座標系 $F'を考えます。この座標系は、一致する$ $xx$ $'$ 軸の方向に沿って移動します。2 つの座標系の原点は、時刻 $t$ $=$ $t$ $'$ $= 0$ で一致します。物体の質量エネルギー $E$ $=$ $mc$ $2$ と運動量成分 $p$ $= ($ $p$ $x$ $,$ $p$ $y$ $,$ $p$ $z$ $)$ 、および座標系 F における位置座標 $x$ $= ($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $)$ と時刻 $t$ は、ローレンツ変換に従って、 $F 'において$ $E$ $'$ $=$ $m$ $'$ $c$ $2$ 、 $p$ $'$ $= ($ $p$ $x$ $'$ $,$ $p$ $y$ $'$ $,$ $p$ $z$ $'$ $)$ 、 $x$ $'$ $= ($ $x$ $'$ $,$ $y$ $'$ $,$ $z$ $'$ $)$ 、および $t$ $'$ に $変換$ されます $。$ ${\begin{aligned}t'&=\gamma (v)\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\,,\quad &E'&=\gamma (v)\left(E-vp_{x}\right)\\x'&=\gamma (v)(x-vt)\,,\quad &p_{x}'&=\gamma (v)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\y'&=y\,,\quad &p_{y}'&=p_{y}\\z'&=z\,,\quad &p_{z}'&=p_{z}\\\end{aligned}}$

ここでいうローレンツ因子は、フレーム間の相対速度である速度vに適用される。これは必ずしも物体の速度uと同じではない。

軌道3角運動量Lを擬似ベクトルとして表すと、次のようになる。 ${\begin{aligned}L_{x}'&=y'p_{z}'-z'p_{y}'=L_{x}\\L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'=\gamma (v)(L_{y}-vN_{z})\\L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'=\gamma (v)(L_{z}+vN_{y})\\\end{aligned}}$

導出

x成分については $L_{x}'=y'p_{z}'-z'p_{y}'=yp_{z}-zp_{y}=L_{x}$ y成分 ${\begin{aligned}L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'\\&=z\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(x-vt\right)p_{z}\\&=\gamma \left[zp_{x}-z{\frac {vE}{c^{2}}}-xp_{z}+vtp_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left(zp_{x}-xp_{z}\right)+v\left(p_{z}t-z{\frac {E}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{y}-vN_{z}\right)\end{aligned}}$ およびz成分 ${\begin{aligned}L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'\\&=\gamma \left(x-vt\right)p_{y}-y\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma \left[xp_{y}-vtp_{y}-yp_{x}+y{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma \left[\left(xp_{y}-yp_{x}\right)+v\left(y{\frac {E}{c^{2}}}-tp_{y}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{z}+vN_{y}\right)\end{aligned}}$

$L y'$ および $L z'$ の第 2 項では、クロス積 $v$ $\times$ $N$ $のy$ および $z成分は、$ $N$ の成分との $v$ $x$ $=$ $v$ および $v$ $y$ $=$ $v$ $z$ $= 0$ の巡回置換を認識することによって推測できます。 ${\begin{aligned}-vN_{z}&=v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{y}\\vN_{y}&=v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{z}\\\end{aligned}}$

ここで、 $L x は$ 相対速度 $v$ に平行であり、他の成分 $L y$ と $L z$ $はv$ に垂直です。平行-垂直の対応は、各フレームで、 3 角運動量擬似ベクトル全体をvに平行 (∥) および垂直 (⊥) の成分に分割することによって容易になります。 $\mathbf {L} =\mathbf {L} _{\parallel }+\mathbf {L} _{\perp }\,,\quad \mathbf {L} '=\mathbf {L} _{\parallel }'+\mathbf {L} _{\perp }'\,.$

すると、構成要素の方程式を擬似ベクトル方程式にまとめることができる。 ${\begin{aligned}\mathbf {L} _{\parallel }'&=\mathbf {L} _{\parallel }\\\mathbf {L} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)\\\end{aligned}}$

したがって、角運動量の運動方向の成分は変化しないが、それに垂直な成分は変化する。空間と時間の変換とは対照的に、時間と空間座標は運動方向に沿って変化するが、それに垂直な成分は変化しない。

$これらの変換は、 xx$ $'$ 軸に沿った運動だけでなく、すべての $v$ に対して当てはまります。

$Lを$ テンソルとみなすと、同様の結果が得られる。 $\mathbf {L} _{\perp }'=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)$ どこ ${\begin{aligned}v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{zx}\\v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{xy}\\\end{aligned}}$

$x$ 方向の動的質量モーメントの増加は ${\begin{aligned}N_{x}'&=m'x'-p_{x}'t'=N_{x}\\N_{y}'&=m'y'-p_{y}'t'=\gamma (v)\left(N_{y}+{\frac {vL_{z}}{c^{2}}}\right)\\N_{z}'&=m'z'-p_{z}'t'=\gamma (v)\left(N_{z}-{\frac {vL_{y}}{c^{2}}}\right)\\\end{aligned}}$

導出

x成分については ${\begin{aligned}N_{x}'&={\frac {E'}{c^{2}}}x'-t'p_{x}'\\&={\frac {\gamma }{c^{2}}}(E-vp_{x})\gamma (x-vt)-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {1}{c^{2}}}\left(E-vp_{x}\right)(x-vt)-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}-{\frac {Evt}{c^{2}}}-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}+{\frac {vp_{x}vt}{c^{2}}}-tp_{x}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}+t{\frac {vE}{c^{2}}}-{\frac {xv}{c^{2}}}{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}{\cancel {-{\frac {Evt}{c^{2}}}}}{\cancel {-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}p_{x}t-tp_{x}{\cancel {+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}}}{\cancel {+t{\frac {vE}{c^{2}}}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {Ex}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[\left({\frac {Ex}{c^{2}}}-tp_{x}\right)+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left(p_{x}t-{\frac {Ex}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right]N_{x}\\&=\gamma ^{2}{\frac {1}{\gamma ^{2}}}N_{x}\end{aligned}}$ y成分 ${\begin{aligned}N_{y}'&={\frac {E'}{c^{2}}}y'-t'p_{y}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})y-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})y-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ey-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{x}y-tp_{y}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{y}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ey-tp_{y}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{y}-yp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}L_{z}\right)\end{aligned}}$ およびz成分 ${\begin{aligned}N_{z}'&={\frac {E'}{c^{2}}}z'-t'p_{z}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})z-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})z-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ez-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{z}z-tp_{z}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ez-tp_{z}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{z}-zp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}L_{y}\right)\end{aligned}}$

以前と同様に平行成分と垂直成分を収集する ${\begin{aligned}\mathbf {N} _{\parallel }'&=\mathbf {N} _{\parallel }\\\mathbf {N} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} _{\perp }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)\\\end{aligned}}$

繰り返しますが、相対運動の方向に平行な成分は変化せず、垂直な成分は変化します。

あらゆる方向へのブーストのためのベクトル変換

これまでのところ、これらはベクトルの平行分解と垂直分解に過ぎません。完全なベクトルに対する変換は、以下のように構築できます（ここでは、 $L$ は具体性とベクトル代数との互換性のために擬似ベクトルです）。

$v$ の方向の単位ベクトルを $n$ $=$ $v$ $/$ $v$ で導入します。平行成分は、 $L$ または $N$ のベクトル射影 $n$ によって与えられます。 $\mathbf {L} _{\parallel }=(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\parallel }=(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$ 一方、 nからのLまたはNのベクトル除去による垂直成分 $\mathbf {L} _{\perp }=\mathbf {L} -(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\perp }=\mathbf {N} -(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$ そしてその変化は ${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {v}{c^{2}}}\mathbf {n} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\end{aligned}}$ または $v = v n$ を復元する、 ${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {L} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {N} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\end{aligned}}$

これらは電場 $E$ と磁場 $B$ のローレンツ変換と非常によく似ています。古典電磁気学と特殊相対性理論を参照してください。

あるいは、時間、空間、エネルギー、運動量のベクトルローレンツ変換から始めて、速度 $v$ でのブーストの場合、 ${\begin{aligned}t'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(t-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} )t\mathbf {v} \,,\\\mathbf {p} '&=\mathbf {p} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} ){\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {v} \,,\\E'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(E-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} \right)\,,\\\end{aligned}}$ これらを定義に挿入する ${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,&\mathbf {N} '&={\frac {E'}{c^{2}}}\mathbf {r} '-t'\mathbf {p} '\end{aligned}}$ 変換結果を示します。

ベクトル変換の直接的な導出

各フレームにおける軌道角運動量は $\mathbf {L} '=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,\quad \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ 変換の外積を取ると ${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\left[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \right]\times \left[\mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {n} \right]\\&=[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \times \mathbf {p} -\gamma tv\mathbf {n} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {r} \times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {r} \times \mathbf {n} \\&=\mathbf {L} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \times \mathbf {p} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right]\mathbf {r} \times \mathbf {v} \\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right)\mathbf {p} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right)\mathbf {r} \right]\\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\left((\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {r} \right)+\gamma \left({\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {r} -t\mathbf {p} \right)\right]\end{aligned}}$

三重積の法則を用いる ${\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} \\\end{aligned}}$ 与える ${\begin{aligned}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\times \mathbf {v} &=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} \\(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} &=\mathbf {L} \times \mathbf {v} \\\end{aligned}}$ $N$ の定義とともに、 $\mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {L} \times \mathbf {v} +\gamma \mathbf {N} \right]$

単位ベクトル $n$ を復元すると、 $\mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {n} \times \left[(\gamma -1)\mathbf {L} \times \mathbf {n} +v\gamma \mathbf {N} \right]$

$変換では左側にn$ との外積があるので、 $\mathbf {n} \times (\mathbf {L} \times \mathbf {n} )=\mathbf {L} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )-\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )=\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )$ それから $\mathbf {L} '=\mathbf {L} +(\gamma -1)(\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} ))+\beta \gamma c\mathbf {n} \times \mathbf {N} =\gamma (\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma -1)\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )$

4次元角運動量を双ベクトルとして表す

相対論的力学では、回転する物体の重心ブーストと軌道3空間角運動量は、物体の4次元位置Xと4次元運動量Pに関して4次元の2ベクトルにまとめられます^[⁴^]^[⁵^]。 $\mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P}$

コンポーネント $M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }$ $これらは全部で6つの独立した量です。Xと$ $P$ の成分はフレームに依存するため、 $M$ も同様です。3つの成分 $M^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}=L^{ij}$ は、おなじみの古典的な3空間軌道角運動量のものであり、他の3つは $M^{0i}=x^{0}p^{i}-x^{i}p^{0}=c\,\left(tp^{i}-x^{i}{\frac {E}{c^{2}}}\right)=-cN^{i}$ は相対論的質量モーメントに $- c$ を乗じたものです。テンソルは反対称です。 $M^{\alpha \beta }=-M^{\beta \alpha }$

テンソルの成分は、体系的に行列として表示することができる。 ${\begin{aligned}\mathbf {M} &={\begin{pmatrix}M^{00}&M^{01}&M^{02}&M^{03}\\M^{10}&M^{11}&M^{12}&M^{13}\\M^{20}&M^{21}&M^{22}&M^{23}\\M^{30}&M^{31}&M^{32}&M^{33}\end{pmatrix}}\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|ccc}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\\hline N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{array}}\right)\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|c}0&-\mathbf {N} c\\\hline \mathbf {N} ^{\mathrm {T} }c&\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \\\end{array}}\right)\end{aligned}}$ ここで、最後の配列は、N を行ベクトルとして扱い、それを行列転置して列ベクトルN ^Tとし、 $x$ $\land$ $p を$ 3 × 3反対称行列として形成したブロック行列です。これらの行は、ブロックの位置を示すために挿入されたものです。

繰り返しますが、このテンソルは加算性を持ちます。システムの全角運動量は、システムを構成する各要素の角運動量テンソルの合計です。 $\mathbf {M} _{\text{tot}}=\sum _{n}\mathbf {M} _{n}=\sum _{n}\mathbf {X} _{n}\wedge \mathbf {P} _{n}\,.$

これら6つの構成要素はそれぞれ、他の対象や場に対応する構成要素と組み合わせることで、保存量となる。

角運動量テンソルMは確かにテンソルであり、その成分はローレンツ変換行列Λに従って変化する。これは、通常のテンソル添え字表記法で示される。 ${\begin{aligned}{M'}^{\alpha \beta }&={X'}^{\alpha }{P'}^{\beta }-{X'}^{\beta }{P'}^{\alpha }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }X^{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }P^{\delta }-{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }X^{\delta }{\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }P^{\gamma }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }\left(X^{\gamma }P^{\delta }-X^{\delta }P^{\gamma }\right)\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }M^{\gamma \delta }\\\end{aligned}},$ $ここで、正規化速度β = v / c$ を持つブースト (回転なし) の場合、ローレンツ変換行列の要素は次のようになる。 ${\begin{aligned}{\Lambda ^{0}}_{0}&=\gamma \\{\Lambda ^{i}}_{0}&={\Lambda ^{0}}_{i}=-\gamma \beta ^{i}\\{\Lambda ^{i}}_{j}&={\delta ^{i}}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{i}\beta _{j}\end{aligned}}$ また、 βの共変成分β _iと反変成分β ⁱは同じです。これらは単なるパラメータだからです。

言い換えれば、4つの位置と4つの運動量をそれぞれローレンツ変換し、新たに得られた成分を反対称化することで、新しい座標系における角運動量テンソルを得ることができる。

テンソル変換から導出されるベクトル変換

ブーストコンポーネントの変換は

${\begin{aligned}M'^{k0}&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{0}}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\\end{aligned}}$ 軌道角運動量に関しては ${\begin{aligned}{M'}^{k\ell }&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{\ell }}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{ij}\end{aligned}}$

ローレンツ変換の項目にある式は次のとおりです。 ${\begin{aligned}{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left(-\gamma \beta ^{\ell }\right)-\left(-\gamma \beta ^{k}\right)\left[{\delta ^{\ell }}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right]\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\gamma -(-\gamma \beta ^{k})(-\gamma \beta ^{i})\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}-\gamma \beta ^{k}\beta ^{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}-\gamma \right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -\gamma \beta ^{2}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma ^{-1}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left[{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right]\beta ^{k}\beta _{i}\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left[{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\right]\\&={\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\end{aligned}}$ 与える ${\begin{aligned}cN'^{k}&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\left[\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]cN^{i}+-\gamma \beta ^{j}\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}{\delta ^{k}}_{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}-\gamma {\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{j}\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}\\\end{aligned}}$ またはベクトル形式では、 $cで割る$ $\mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right){\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {N} \right)-{\frac {1}{c}}\gamma {\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L}$ または $β = v / c$ を復元する、 $\mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\right)\mathbf {v} \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {N} \right)-\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {L}$ そして ${\begin{aligned}L'^{k\ell }&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right)N^{i}+\left[{\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\right]L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+L^{k\ell }+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}L^{kj}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}L^{i\ell }\\\end{aligned}}$ または擬似ベクトル形式に変換する ${\begin{aligned}\varepsilon ^{k\ell n}L'_{n}&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+\varepsilon ^{k\ell n}L_{n}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\left(\beta ^{\ell }\beta _{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}-\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{\ell in}L_{n}\right)\\\end{aligned}}$ ベクトル表記で $\mathbf {L} '=\gamma c{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\times ({\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L} )$ または $β = v / c$ を復元する、 $\mathbf {L} '=\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {v} \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)$

剛体回転

曲線に沿って運動する粒子の場合、その角速度 $ω$ （擬似ベクトル）と位置 $x$ の外積は接線速度を表す。 $\mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x}$

$これはc$ の大きさを超えることはできません。なぜなら、特殊相対性理論では、質量のある物体の並進速度は光速cを超えることができないからです。数学的には、この制約は $0 \leq | u | < c$ であり、縦棒はベクトルの大きさを表します。ωと $x$ の間の角度がθである場合 $（$ θは $ゼロ$ でないと仮定します。そうでなければ、uはゼロになり、まったく運動がないことになります）、 $|$ $u$ $|$ $=$ $|$ $ω$ $|$ $|$ $x$ $|$ $sin$ $θ$ となり、角速度は次のように制限されます。 $0\leq |{\boldsymbol {\omega }}|<{\frac {c}{|\mathbf {x} |\sin \theta }}$

したがって、質量のある物体の最大角速度は、物体の大きさに依存します。与えられた | x | に対して、最小の上限は $ω$ と $x が$ 垂直なときに発生し、 $θ = π /2$ および $sin θ = 1$ となります。

角速度 $ω$ で回転する剛体の場合、 $u$ は物体内部の点 $x$ における接線速度である。物体内のすべての点には、最大角速度が存在する。

角速度（擬似ベクトル）は、慣性モーメントテンソル $Iを介して角運動量（擬似ベクトル）と関連付けられる。$ $\mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\quad \rightleftharpoons \quad L_{i}=I_{ij}\omega _{j}$ （ドット $・は、 1つの添え字に関する$ テンソルの縮約を表す。）相対論的角運動量も、物体の大きさによって制限される。

特殊相対性理論におけるスピン

4スピン

粒子は、その運動とは無関係な「内蔵」角運動量を持つ場合があり、これをスピンと呼び、sで表します。これは、軌道角運動量Lのような 3 次元擬似ベクトルです。

スピンには対応するスピン磁気モーメントが存在するため、粒子が（電磁場やスピン軌道相互作用などの）相互作用を受けると、粒子のスピンベクトルの方向は変化するが、その大きさは一定のままである。

特殊相対性理論への拡張は簡単である。^{[ 6 ]}ある実験室系Fについて、F ′を粒子の静止系とし、粒子が一定の3速度uで運動すると仮定する。するとF ′は同じ速度で加速され、ローレンツ変換は通常通り適用される。β $= u / c$ $を$ 用いる方が便利である。特殊相対性理論における4元ベクトルとして、4スピンSは一般に、実験室系において時間的成分s _tと空間的成分sを持つ4元ベクトルの通常の形式をとる。 $\mathbf {S} \equiv \left(S^{0},S^{1},S^{2},S^{3}\right)=(s_{t},s_{x},s_{y},s_{z})$ ただし、粒子の静止系では、時間的成分はゼロであり、空間的成分は粒子の実際のスピンベクトル（ここではs ′と表記）のものであると定義されるため、粒子のフレームでは $\mathbf {S} '\equiv \left({S'}^{0},{S'}^{1},{S'}^{2},{S'}^{3}\right)=\left(0,s_{x}',s_{y}',s_{z}'\right)$

規範を等しくすると、不変の関係が得られる。 $s_{t}^{2}-\mathbf {s} \cdot \mathbf {s} =-\mathbf {s} '\cdot \mathbf {s} '$ したがって、スピンの大きさが粒子の静止系と観測者の実験室系で与えられている場合、時間的成分s _tの大きさも実験室系で与えられます。

テンソル変換から導出されるベクトル変換

実験室座標系に対する4つのスピンのブーストされた成分は ${\begin{aligned}{S'}^{0}&={\Lambda ^{0}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{0}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{0}}_{i}S^{i}=\gamma \left(S^{0}-\beta _{i}S^{i}\right)\\&=\gamma \left({\frac {c}{c}}S^{0}-{\frac {u_{i}}{c}}S^{i}\right)={\frac {1}{c}}U_{0}S^{0}-{\frac {1}{c}}U_{i}S^{i}\\[3pt]{S'}^{i}&={\Lambda ^{i}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{i}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{i}}_{j}S^{j}\\&=-\gamma \beta ^{i}S^{0}+\left[\delta _{ij}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta _{i}\beta _{j}\right]S^{j}\\&=S^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}S^{j}-\gamma \beta ^{i}S^{0}\end{aligned}}$

ここで $γ = γ (u)$ です。S ′は粒子の静止系にあるため、その時間的成分はゼロ、 $S' 0 = 0$ であり、 $S 0ではありません。また、最初の式は、4元速度（$ $c$ で割ったもの）と4元スピンの内積に相当します。これらの事実を組み合わせると、次のようになります。 ${S'}^{0}={\frac {1}{c}}U_{\alpha }S^{\alpha }=0$ これは不変量である。そして、これを時間的成分に対する変換と組み合わせると、実験室座標系における知覚成分が得られる。 $S^{0}=\beta _{i}S^{i}$

逆の関係は ${\begin{aligned}S^{0}&=\gamma \left({S'}^{0}+\beta _{i}{S'}^{i}\right)\\S^{i}&={S'}^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}{S'}^{j}+\gamma \beta ^{i}{S'}^{0}\end{aligned}}$

スピンに対する共変制約は速度ベクトルとの直交性である。 $U_{\alpha }S^{\alpha }=0$

明示的な3ベクトル表記では、変換は次のようになる。 ${\begin{aligned}s_{t}&={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \\\mathbf {s} '&=\mathbf {s} +{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \right)-\gamma {\boldsymbol {\beta }}s_{t}\end{aligned}}$

逆の関係 ${\begin{aligned}s_{t}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\\\mathbf {s} &=\mathbf {s} '+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\right)\end{aligned}}$ スピンは、実験室系におけるスピンの成分であり、粒子の静止系におけるスピンから計算されます。粒子のスピンは特定の粒子に対して一定ですが、実験室系では異なって見えることがあります。

パウリ・ルバンスキー擬似ベクトル

パウリ・ルバンスキー擬似ベクトル $S_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },$ これは、質量のある粒子と質量のない粒子の両方に適用されます。

スピン軌道分解

一般に、全角運動量テンソルは軌道成分とスピン成分に分解される。 $J^{\mu \nu }=M^{\mu \nu }+S^{\mu \nu }~.$ これは、粒子、質量・エネルギー・運動量の分布、または場に適用される。

質量・エネルギー・運動量分布の角運動量

質量・エネルギー・運動量テンソルからの角運動量

以下はMTWからの要約です。^{[ 7 ]}簡略化のため、デカルト座標系を仮定します。特殊相対性理論および一般相対性理論では、流体や恒星などの質量-エネルギー-運動量の分布は、応力-エネルギーテンソルTβγ（空間と時間に依存する2階テンソル場）によって記述されます^。T00はエネルギー密度、^j = 1 , 2, 3のTj0は単位体積あたりの物体の3次元運動量のj^{番目の成分、}Tij^はせん断応力と法線応力を含む応力テンソルの成分であるため、位置4ベクトルXβの周りの軌道角運動^量密度は3階テンソルによって与えられます ^。 ${\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }=\left(X^{\alpha }-{\bar {X}}^{\alpha }\right)T^{\beta \gamma }-\left(X^{\beta }-{\bar {X}}^{\beta }\right)T^{\alpha \gamma }$

これはαとβに関して反対称である。特殊相対性理論および一般相対性理論では、Tは対称テンソルであるが、他の文脈（例えば、量子場理論）ではそうではない場合がある。

Ω を 4 次元時空の領域とする。境界は3次元時空超曲面 (「空間表面積」ではなく「時空表面積」) であり、∂Ω で表される。ここで「∂」は「境界」を意味する。3 次元時空超曲面上で角運動量密度を積分すると、 Xの周りの角運動量テンソルが得られる。 $M^{\alpha \beta }\left({\bar {X}}\right)=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }d\Sigma _{\gamma }$ ここで、dΣγ_{は、通常の3次元ユークリッド空間における2次元曲面に垂直な}単位ベクトルの役割を果たす体積1形式です。積分はX座標について行われ、X（つまりY）については行われません。一定時間の空間的曲面内の積分は次のようになります。 $M^{ij}=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{ij0}d\Sigma _{0}=\oint _{\partial \Omega }\left[\left(X^{i}-Y^{i}\right)T^{j0}-\left(X^{j}-Y^{j}\right)T^{i0}\right]dx\,dy\,dz$ これらが集合して角運動量テンソルを形成する。

質量中心周りの角運動量

重心系には固有の角運動量が存在する。言い換えれば、あらゆる事象に関する角運動量である。 $\mathbf {X} _{\text{COM}}=\left(X_{\text{COM}}^{0},X_{\text{COM}}^{1},X_{\text{COM}}^{2},X_{\text{COM}}^{3}\right)$ 物体の重心のワードライン上。T 00^は物体のエネルギー密度であるため、重心の空間座標は次のように与えられる。 $X_{\text{COM}}^{i}={\frac {1}{m_{0}}}\int _{\partial \Omega }X^{i}T^{00}dxdydz$

Y = X _COMと設定すると、物体の重心周りの軌道角運動量密度が得られます。

角運動量保存則

エネルギー・運動量保存則は、微分形式で連続方程式によって表される。 $\partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }=0$ ここで、∂γ_は4元勾配である。（非直交座標系および一般相対性理論では、これは共変微分に置き換えられる）。全角運動量保存則は、別の連続方程式によって与えられる。 $\partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }=0$

積分方程式は時空におけるガウスの定理を用いる。 ${\begin{aligned}\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}T^{\beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\\\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\end{aligned}}$

特殊相対性理論におけるトルク

点状粒子に作用するトルクは、上記の角運動量テンソルを固有時間に関して微分したものとして定義される。^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} ${\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F}$ またはテンソル成分で表すと次のようになります。 $\Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }$ ここで、Fは事象Xにおいて粒子に作用する 4 次元の力である。角運動量と同様に、トルクは加算性を持つため、広がりを持つ物体の場合、質量分布全体にわたって合計または積分する。

角運動量は時空のブーストと回転を生み出す源泉である

角運動量テンソルは、ローレンツ群のブーストと回転の生成元です。^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}ローレンツブーストは、ラピディティと、ブーストの方向を指す3次元単位ベクトル $n$ によってパラメータ化でき、これらが組み合わさって「ラピディティベクトル」になります。 ${\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta$ ここで $、β = v / c$ は相対運動の速度を光速で割った値です。空間回転は、軸角表現、角度 $θ$ 、および軸の方向を指す単位ベクトル $a$ によってパラメータ化され、これらが組み合わさって「軸角ベクトル」になります。 ${\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {a}$

各単位ベクトルは2つの独立した成分のみを持ち、3つ目の成分は単位ベクトルの大きさから決定されます。ローレンツ群には合計6つのパラメータがあり、回転に関するものが3つ、ブーストに関するものが3つです。（均質な）ローレンツ群は6次元です。

ブーストジェネレータ $K$ と回転ジェネレータ $J$ は、ローレンツ変換用の 1 つのジェネレータに組み合わせることができます。M $は$ 反対称角運動量テンソルで、成分は $M^{0i}=-M^{i0}=K_{i}\,,\quad M^{ij}=\varepsilon _{ijk}J_{k}\,.$ それに対応して、ブーストおよび回転パラメータは、次の要素を持つ別の反対称4次元行列 $ω$ にまとめられます。 $\omega _{0i}=-\omega _{i0}=\zeta _{i}\,,\quad \omega _{ij}=\varepsilon _{ijk}\theta _{k}\,,$ ここで、重複する添え字i、j、kに関する総和規約は、総和記号が不格好になるのを防ぐために使用されている。一般的なローレンツ変換は、行列指数関数によって与えられる。 $\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left({\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \right)$ また、繰り返し行列のインデックスαとβ には総和規約が適用されています。

一般ローレンツ変換Λは、任意の4ベクトルA = (A₀, A₁, A₂, A₃)に対する変換法則で_あり_、この4ベクトルの成分を別の慣性系_で表す _。 $\mathbf {A} '=\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\mathbf {A}$

角運動量テンソルは、ポアンカレ群の10個の生成子のうち6個を構成し、残りの4個は時空並進運動の4元運動量の成分である。

一般相対性理論における角運動量

緩やかに湾曲した背景における試験粒子の角運動量は、一般相対性理論ではより複雑ですが、簡単に一般化できます。ラグランジアンが一般化座標として角変数に関して表現されている場合、角運動量は角速度に関するラグランジアンの関数微分です。デカルト座標を参照すると、これらは通常、応力エネルギーテンソルの空間的部分の非対角せん断項によって与えられます。時空が円に接するキリングベクトル場をサポートしている場合、軸に関する角運動量は保存されます。

また、コンパクトで回転する質量が周囲の時空に及ぼす影響を研究することも重要である。そのプロトタイプとなるのがカー計量であり、これは軸対称ブラックホールの周囲の時空を記述する。カーブラックホールの事象の地平線上に点を描いて、それが周囲を回転する様子を観察することは明らかに不可能である。しかし、この解は、角運動量と数学的に類似した働きをする系の定数を支持する。

重力波が存在する一般相対性理論では、漸近的に平坦な時空における漸近対称群は、特殊相対性理論で期待される10次元ポアンカレ群ではなく、1962年にボンディ、ファン・デル・ブルク、メッツナー、ザックスによって定式化された無限次元群、いわゆるBMS群であり、これは4つの時空並進の無限集合（超並進と呼ばれる）を含んでいる。半世紀にわたる研究にもかかわらず、「超並進の曖昧さ」に関する困難は、重力波によって運ばれる角運動量のような基本的な概念において依然として残っていた。2020年、さまざまな研究者によって、角運動量の新しい超並進不変な定義が定式化され始めた。一般相対性理論における角運動量およびその他のローレンツ電荷の超並進不変性は、現在も活発な研究分野である。^[¹²^]

参考文献

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↑ R. ペンローズ( 2005). 『現実への道』ヴィンテージブックス。pp. 437–438、566–569。ISBN 978-0-09-944068-0。注：ペンローズを含む一部の著者は、時空におけるベクトルやテンソルにはギリシャ文字の添え字を用いるのが一般的であるにもかかわらず、この定義においてラテン文字を使用しています。
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さらに読む

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外部リンク

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[Penrose_p433-2] 1 2 R. ペンローズ (2005). 『現実への道』ヴィンテージブックス。p. 433。ISBN 978-0-09-944068-0。ペンローズはウェッジ積に係数2を含めていますが、他の著者も同様です。

[3] M. ファインゴールド (2008).特殊相対性理論とその仕組み.ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 138. ISBN 978-3-527-40607-4。

[4] R. ペンローズ( 2005). 『現実への道』ヴィンテージブックス。pp. 437–438、566–569。ISBN 978-0-09-944068-0。注：ペンローズを含む一部の著者は、時空におけるベクトルやテンソルにはギリシャ文字の添え字を用いるのが一般的であるにもかかわらず、この定義においてラテン文字を使用しています。

[5] M. ファインゴールド (2008).特殊相対性理論とその仕組み. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp. 137–139 . ISBN 978-3-527-40607-4。

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[9] S. Aranoff (1972). "特殊相対性理論における平衡" (PDF) . Nuovo Cimento . 10 (1): 159. Bibcode : 1972NCimB..10..155A . doi : 10.1007/BF02911417 . S2CID 117291369 . 2012年3月28日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。 2013年10月27日に取得。

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相対論的角運動量

定義

軌道3次元角運動量

動的質量モーメント

特殊相対性理論

x方向へのブーストのための座標変換

あらゆる方向へのブーストのためのベクトル変換

4次元角運動量を双ベクトルとして表す

剛体回転

特殊相対性理論におけるスピン

4スピン

パウリ・ルバンスキー擬似ベクトル

スピン軌道分解

質量・エネルギー・運動量分布の角運動量

質量・エネルギー・運動量テンソルからの角運動量

質量中心周りの角運動量

角運動量保存則

特殊相対性理論におけるトルク

角運動量は時空のブーストと回転を生み出す源泉である

一般相対性理論における角運動量

関連項目

参考文献

さらに読む

特殊相対性理論

一般相対性理論

外部リンク

関連するトピック

物理学

、特殊相対性理論

一般相対性理論

角運動量